等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)

等腰三角形常用辅助线 专题练习 含答案 1 如图 已知 点 D E 在三角形 ABC 的边 BC 上 AB AC AD AE 求 证 BD CE 证明 作 AF BC 垂足为 F 则 AF DE AB AC AD AE 又 AF BC AF DE BF CF DF EF 等腰三角形底边上的高与 底边上的中线互相重合 BD CE 2 如图 在三角形 ABC 中 AB AC AF 平行 BC 于 F D 是 AC 边上任意 一点 延长 BA 到 E 使 AE AD 连接 DE 试判断直线 AF 与 DE 的位 置关系 并说 明理由 解 AF DE 理由 延长 ED 交 BC 于 G AB AC AE AD B C E ADE B E C ADE ADE CDG B E C CDG B E DGC C CDG BGE BGE CGD 180 BGE CGD 90 EG BC AF BC AF DE 解法 2 过 A 点作 ABC 底边上的高 再用 BAC D AED 2 ADE 即 CAG AED 证明 AG DE 利用 AF BC 证明 AF DE 3 如图 ABC 中 BA BC 点 D 是 AB 延长线上一点 DF AC 交 BC 于 E 求证 DBE 是等腰三角形 证明 在 ABC 中 BA BC A C DF AC C FEC 90 A D 90 FEC D FEC BED BED D BD BE 即 DBE 是等腰三角形 4 如图 ABC 中 AB AC E 在 AC 上 且 AD AE DE 的延长线与 BC 相 交于 F 求证 DF BC 证明 AB AC B C 又 AD AE D AED B D C AED B D C CEF EFC BFE 180 1 2 90 DF BC 若把 AD AE 与结论 DF BC 互换 结论也成立 若把条件 AB AC 与结论 DF BC 互换 结论依然成立 5 如图 AB AE BC ED B E AM CD A 求证 CM MD 证明 连接 AC AD AB AE B E BC ED ABC AED SAS AC AD AM CD AMC AMD 90 AM AM 公共边 RT ACM RT ADM HL CM DM 6 如图 已知 AD 是 ABC 的中线 BE 交 AC 于 F 且 AE EF 求证 BF AC 证明 过 B 点做 AC 的平行线 交 AD 的延长线于 G 点 AD 为中线 BD CD BG 平行于 AC FGB CAF DBG ACD 在 AFE 和 GFB 中 FGB CAF GFB AFE AFE GFB FGB FAE AE EF FAE AFE BFG G GFB 为等腰三角形 且 BF BG 在 ADC 和 GBD 中 DBG ACD BD CD BDG CDA ADC GBD BG AC BF AC 7 已知 如图 ABC AB AC 中 D E 在 BC 上 且 DE EC 过 D 点 作 DF BA 交 AE 于点 F DF AC 求证 AE 平分 BAC 证明 延长 AE 过 D 作 DM AC 交 AE 延长线于 M M 1 C 2 在 DEM 与 CEA 中 M 1 C 2 DE CE DEM CEA DM CA 又 DF CA DM DF M 3 AB FD 3 4 4 1 AE 平分 BAC 8 已知 如图 ABC 中 AB AC 在 AB 上取一点 D 在 延长线上取一 点 E 连接 DE 交 BC 于点 F 若 F 是 DE 中点 求 证 BD CE 证明 过 D 作 DF AC 交 BC 于 F DF AC 已知 DFC FCE DFB ACB 平行线的性质 AB AC 已知 B ACB 等边对等角 B DFB 等量代换 BD DF 等角对等边 BD CE 已知 DF CE 等量代换 DFC FCE DGF CGE 已证 DFG ECG AAS DG GE 对应边相等 9 已知 如图 在 ABC 中 AB AC CE B 是 AD 上一点 BE CB 交 CD 于 E AC DC 求证 BE 1 2BC 证明 过点 A 作 AF BC 交 BC 于点 F ABC 是等腰三角形 AB AC ABF ACF 1 AF 是 BC 上的 垂直平分线 AF BC BF CF BC 2 2 BE BC BE AF DBE BAF 3 CBE 90 DBE ABF 90 ACF ECB 4 由 1 和 4 知 道 DBE ECB 5 由 3 和 5 知道 BAF ECB 又 AB CE BFA EBC 90 RT BFA RT EBC 角角边 BF EB 6 由 2 和 6 知道 BE BC 2 10 如图 AD 为 ABC 的角平分线 M 为 BC 的中点 ME DA 交 BA 延长 线于 E 求证 BE CF 1 2 AB AC 证明 1 延长 EM 使 EM MG 连接 CG 点 M 是 BC 的中点 BM CM BME CMG BME CMG SAS BE CG E G AD 平分 BAC BAD CAD ME DA BAD E CAD AFE E AFE AE AF AFE CFG G CFG CF CG BE CG BE CF 2 BE AB AE 2BE 2AB 2AE CF BE AC CF AF AE AF 2BE 2CF AB AB AE AE AB BE AE AB CF AE AC AF CF 2BE AB AC BE CF 1 2 AB AC 11 如图 已知 ABC 中 AD BC ABC 2 C 试说明 AB BD CD 的理 由 证明 在 DC 上截取 DE BD 连接 AE AD BC ADB ADE 90 AD AD RT ADB RT ADE SAS AB AE ABC AEB AEB C EAC ABC 2 C 已知 EAC C AE CE AB CE CD CE DE AB BD CD 12 已知 如图 AD 是 ABC 的角平分线 且 AC AB BD 求证 B 2 C 证明 在 AC 上作 AE AB 连结 DE AC AB BD AE CE BD CE AD 是角平分线 BAD EAD 又 AB AE AD AD ABD EAD B AED BD DE CE EDC C AED 2 C 即 B 2 C 13 如图所示 已知在 ABC 中 AD 是 A 的平分线 且 B 2 C 求证 AC AB BD 证明 延长 AB 到 E 使 AC AE 连接 DE AD 是 BAC 的角平分线 BAD DAC 角平分线的定义 公共 边 AD AD AC AE BAD DAC ACD AED SAS ACB DEA 全等三角形形的对角相等 BDE DEB CBA CBA 2 ACB ACB DEA BDE DEA BD BE 等角对等边 AB BE AE AC AE BD BE AB BD AC 14 如图 点 E 是等边 ABC 内一点 且 EA EB ABC 外一点 D 满 足 BD AC 且 BE 平分 BDE 求 BDE 的度数 解 连接 CE AC BC AE BE CE 为公共边 BCE ACE BCE ACE 30 又 BD AC BC DBE CBE BE 为公共边 BDE BCE BDE BCE 30 15 如图 已知在 ABC 中 AB BC CA E 是 AD 上一点 并且 EB BD DE 求证 BD DC AD A 提示 证明 ABE BCD 即可 E B C 16 已知 如图 ABC 中 C 90 CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D 交 BC 于 T 过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 求证 CT BE 证明 1 作 DF BC 交 AB 于 F 则 AFD B ACD AT 为 BAC 的角平分线 AD 为公共边 AFD ACD AF AC 连接 TF AF AC AT 为 BAC 的角平分线 AT 为公 共边 ACT AFT TF AF TF CM DF CT BE TF CD DE BF 四边形 CTFD 和四边形 BEDF 都是平行四边形 CT DF BE 证明 2 作 TF AB 于 F 则 CDT ADM 90 DAM 90 DAC CTD CDT CTD CT CD AT 为 BAC 的角平分线 TF AB AC TC CT TF CD DE BF TF CD DEC B DCE FTB 又 TF CD CDE TFB CE BT CE TE BT TE CT BE