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第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用x，h表示，经过一段时间的考察，知x，h的分布律如下： x 0 1 2 3 h 0 1 2 p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2试比较两台车床的优劣。解：因为Ex=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6; Eh=00.5+10.3+20.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。2. 连续型随机变量x的概率密度为 又知Ex=0.75，求k, a之值 。 解：首先由密度函数性质知；又 Ex=0.75，即有 ；由上述两式可求得k=3, a=2。3.已知随机变量x的分布律为x-1023p1/81/43/81/4求Ex，E(3x-2)，Ex2，E(1-x)2 。解：Ex=(-1)(1/8)+0(1/4)+2(3/8)+3(1/4)=11/8; Ex2=(-1)2(1/8)+02(1/4)+22(3/8)+32(1/4)=31/8; E(1-x)2=(1-(-1)2(1/8)+(1-0)2(1/4)+(1-2)2(3/8)+(1-3)2(1/4)=17/8或者， E(1-x)2=E(1-2x+x2)=1- (E2x)+Ex2=17/8。4. 若x的概率密度为。求(1)Ex，(2)Ex2 。解：(1)中因e-|x|为偶函数，x为奇函数，故xe-|x|为奇函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上故 Ex=0。 (2)。5. 轮船横向摇摆的随机振幅x的概率密度为 求(1)确定系数A；(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？解：(1)由密度函数性质知,即 (2) ， 。6. 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度x和h为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表： x910 11 h 6 7 p 0.30.5 0.2 p 0.4 0.6试求E(x+h)，E(xh)。解：因为 Ex=90.3+100.5+110.2=9.9，Eh=60.4+70.6=6.6，故 E(x+h)=Ex+Eh=9.9+6.6=16.5；又x和h为两个相互独立的，因此有E(xh)=ExEh=9.96.6=65.34。7. 已知(x，h)的联合概率密度为 试求E(x2+h2)。解：E(x2+h2)=。8. 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以x表示停车的次数，求Ex (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)。解：引入随机变量 易知，现在求Ex 由题设，任一游客在第i站不下车的概率为9/10，因此，20位游客都不在第i站下车的概率为(9/10)20，在第i站下车的概率为1-(9/10)20。也就是 Px i=0=(9/10)20， Px i=1=1-(9/10)20()，因此， Ex i=1-(9/10)20()。故Ex=E(次)9. 圆的直径用x度量，而x且在a，b上服从均匀分布，试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差。解：由于x服从a，b上的均匀分布，因此x的分布密度为 而圆的周长L=px，圆的面积A=px2/4，故有 EL=E(px)=pEx=， DL=D(px)=p2Dx=； EA=px2/4=，又 =，因此 DA=EA2-(EA)2= = 10. 设随机变量x，h相互独立，其概率密度分别为： ， 试求E(xh)，D(x+h)。解：因为 ， ， ， ，又x与h是独立的，故有 E(xh)=ExEh=11=1； D(x+h)=Dx+Dh=。11. 设随机变量x与h相互独立，且Ex=Eh=0，Dx=Dh=1，求E(x+h)2 。解： E(x+h)2= E(x2+2xh+h2)= Ex2+2E(xh)+Eh2，又x与h相互独立，因此 E(xh)= ExEh，而Dx=，同理 故有 E(x+h)2=E(x2+2xh+h2)= Ex2+2 ExEh+Eh2 =+2 ExEh+=1+1=2。12. 若连续型随机变量的概率密度是 且已知Ex=0.5，Dx=0.15，求系数a, b , c 。解：因为，即有 又Ex=0.5，故 又Ex=0.5，Dx=0.15，因而Ex2=0.4，因此 解、组成的方程组，解得a=12，b=-12，c=3。13. 设随机变量x有分布函数 求E(2x+1)，D(4x) 。解：先求x的分布密度函数 故 ， ,因此。从而有 E(2x+1)=2Ex+1=，D(4x)=16Dx=。14. 证明：当k=Ex时，E(x-k)2的值最小，且最小值为Dx。解：E(x-k)2=E(x-Ex)+(Ex-k)2= E(x-Ex)2+2E(x-Ex)(Ex-k)+E(Ex-k)2 = E(x-Ex)2+E(Ex-k)2=Dx+ E(Ex-k)2 Dx。即当k= Ex时，E(x-k)2取得最小值Dx。15. 如果x与h相互独立，不求出(xh)的分布，直接用x的分布和h的分布能否计算出D(xh)，怎样计算？解：因为x与h相互独立，故D(xh)=E(xh)2- E(xh)2= E(x2h2)-(ExEh)2 = Ex2Eh2)-(Ex)2(Eh)2。16. 一台仪器有10个独立工作的元件组成，每一个元件发生故障的概率为0.1，试求发生故障的元件数的方差。解：引入随机变量易知， ， ，故 x。17. 设随机变量x服从瑞利(Rayleigh)分布，其概率密度为 求Ex，Dx。解： = 。18. 若x1，x2，x3为相互独立的随机变量，且 试求： 的数学期望和方差。解：， ,故 。19.设二维随机变量(x，h)的联合分布律为 hx-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8计算rxh，并判断x与h是否独立。证明：由题得(x, h )的边际分布律各为x-101h-101pi.3/82/83/8p.j3/82/83/8 pijpi.p.j，(i,j=1,2,3)故x与h不独立。又 ，即x与h不相关。20. 设二维随机变量(x，h)的联合概率密度为： 试验证x和h是不相关的，但x和h并不相互独立。解：先求fx(x),fh (y): 同理 显然，f(x, y)fx(x)fh (y)，故x与h不独立。 又 故 ，即x与h不相关。21. 设随机变量(x，h)的联合概率密度为： 求：Ex，Eh，Cov(x，h)。解： 22 . 设有随机变量x和h，已知Dx=25，Dh=36，r xh=0.4，计算D(x+h)，D(x-h)。解：由于 故 D(X+Y)=61+24=85， D(X-Y)=61-24=37。23. 证明：当x，h不相关时，有： (1)E(xh)=ExEh (2)D( xh)=Dx+Dh。证明：(1)因为 ，由题知x，h是不相关的，故r xh=0，因此，有E(xh)=ExEh。(2)D(xh)=E(xh)2-E(xh)2=Ex22xh+h2-(Ex)22(Ex)(Eh)+(Eh)2 = Ex2-(Ex)2+Eh2-(Eh)22(Ex)(Eh)2(Ex)(Eh)=Dx+Dh。24. 设(x，h)在。试求r xh。解：因为(x，h)在，故联合密度为 。25. 设(x，)的联合概率密度为 证明：x与h不独立，但x2与h2独立。解：x与h的边际概率密度为 同理 显然， f(x, y)fx(x)fh (y)，故x与h不独立。令 ，则当z0时，；当0z1时， ；当z1时， ,故 类似地可求得h1的分布密度函数为 令(x1，h1)的分布函数为F(z, w)，则有当z0,或w0，易知 F(z, w)=0；当0z1，0 w1时， ；当z1，0 w1时， ；当0z1，w1时， ；当z1,或w1， F(z, w)=1；故(x1，h1)的联合分布密度函数为 因此有 ，即x1，h1是相互独立的。26. 设x1，x2为独立的随机变量，且都服从N(0，2)，记 。解： 而 , 。27. 设随机变量x服从指数分布，其概率密度为 试求k阶原点矩E(xk) 。解：E(xk)=
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