高等数学下册复习.doc

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莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莆螆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁蒀螇罿袀腿薀袅衿节螅螁衿莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀薄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂 高等数学下册复习上册的积分公式，7-12章各章、节和总复习的填空、选择都认真看一遍！以例题和习题为主！以下的复习摘要有的具体有的简单仅供同学们参考！第7章 微分方程一、 本章提要1 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：dyydxx=j()或者=j()（重点、计算） dxxdyy一阶线性微分方程：y+P(x)y=Q(x)或者x+P(y)x=Q(y)通解公式y=Q(x)eP(x)dxdx+Ce-P(x)dx 或者用常数变异法求解.（重点；计算或者填空）线性相关，线性无关（选择）可降解（不显含x或y）的（重点；计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（重点；填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算)微分方程解的结构定理（重点；选择或填空）换元法也是求解微分方程的重要方法之一.二、要点解析例1 求微分方程 y+y=0 的通解-x解一 因为 y+y=0 所对应的特征方程为r+1=0，特征根r=-1，所以y=Ce（C为任意常数）为所求通解解二 因为y+y=0，所以dy=-ydx(y0)，分离变量 dy=-dx，两边积分 ydyy=-dx， lny=-x+lnC1， 所以三、例题精解 y=Ce-x （C为任意常数）例3 求y=4y满足初始条件yx=0=1,yx=0=2 的特解解一 令y=p，则y=dpdpdydp将其代入原方程y=4y得 =pdxdydxdypdp=4y， dy分离变量 pdp=4ydy，两边积分 pdp=4ydy，121p=4y2+C1， 22p2=4y2+C2，因为yx=0=1,p=yx=0=2，所以22=412+C2，可得C2=0故p2=4y2，即 p=2y这里y=-2y 应舍去，因为此时y 与y 异号，不能够满足初始条件将 y=2y分离变量便得其解y=e2x+C3再由yx=0=1，得C3=0，于是所求解为 y=e上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到解二 因为y=4y，所以 2xy-4y=0，特征方程 r-4=0，特征根 r1=-2,r2=2，于是其通解为y=C1e-2x2+C2e2x，由初始条件可得C1=0 ，C2=1 ，所求特解为y=e2x例4 求方程y+y=sinx的通解解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为y+y=0，特征方程为 r+1=0，特征根r1=-i,r2=i，齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinx，由于方程y+y=sinx=e0sinx，a+ib=i(其中a=0,b=1) 恰是特征单根，故设特解为y*=x(acosx+代入原方程，可得a=-2bsin，x )1,b=0 所以 2* y=-于是所求通解为 1xcosx， 21xcosx 2 y=C1cosx+C2sinx-上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 y+py+qy=f(x)中的非齐次项f(x)=e可设为yp=xekaxaxPnx()cboxs+Phx，那么该微分方程的特解(b)xsinPm(x)cobsx+Qm x(b)xsi，n其中Pm(x), Qm(x) 均为 m次待定多项式 m=maxh,n如果非齐次项中的a,b使 aib不是特征方程的根，则设k=0；如果aib是特征方程的单根，则取k=1 例5 求解微分方程y-2y+y=4xex。解：因为l=1是特征方程l2-2l+1=0的重根，所以原方程的一个待定特解为y*=x2(ax+b)ex，将此解代入原方程，得(6ax+2b)ex=4xex。 比较两端系数，得a=2,b=0。于是得到原方程的一个特解 32y*=x3ex。 3又因为相应齐次方程的通解是y=(C1+C2x)ex。x因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)e+23xxe。 3上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 y+py+qy=f(x)中的非齐次项f(x)=Q，那么该微分方程的特解可设为 m(x)eyp=xQm(x)e，其中 Qm(x) 为 m次待定多项式如果非齐次项中的l不是特征方程的根，则设k=0；如果l是特征方程的单根，则取k=1，如果l是特征方程的重根，则取k=2. 例6求微分方程y+y=x+cosx的通解。解：原方程所对应齐次方程的通解为 klxlxy=C1cosx+C2sinx。设非齐次方程y+y=x的一个特解为y1=Ax+B，代入次方程，得 A=1,B=0。所以 y1=x。 设非齐次方程y+y=cosx的一个特解为y2=Excosx+Dxsinx， 代入方程，得 E=0,D=11。所以 y2=xsinx。 22因为y1+y2为原方程的一个特解，所以原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x+1xsinx。 2上述解法的特点是把f(x)分成f1(x)+f2(x)后分别求解再相加.四、练习题1 判断正误（1）若y1和y2是二阶齐次线性方程的解，则C1y1+C2y2（C1，C2为任意常数）是其通解 ； （ ）解析 只有y1 和y2是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合C1y1+C2y2才是通解（2）y+y-x=0的特征方程为r+r-1=0； （ ）解析 y+y-x=0为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为32y+y=0，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y换成未知元r，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r的次数而得到的代数方程因此，y+y-x=0的特征方程为r3+r2-1=0（3）方程y-y=sinx的特解形式可设为Acosx+Bsinx（，为待定系数） ；（ ）解析 对应的齐次方程为y-y=0，特征方程为r-r=0，特征根为 r1=0，r2=1又因为a=0,b=1,aib=i不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为 2yp=P0(x)cosx+Q0(x)sinx= Acosx+Bsinxx（4）y=y的通解为y=Ce（C为任意常数） （ ）解析 特征方程为r-1=0，特征根为r=1，所以，特征方程的通解为y=Ce x2选择题（1）y-2y+y=(x+1)ex的特解形式可设为（ A ）；(A)x2(ax+b)ex ； (B) x(ax+b)ex；x (C) (ax+b； (D) (ax+b)x2 )e解析 特征方程为r-2r+1=0，特征根为 r1=r2=1l=1是特征方程的特征重根，于是有yp=x2(ax+b)ex（2）y+2y+y=e-xsinx的特解形式可设为（ C ）；(A) Aesinx； (B) Axe-x2-x2sinx；(C) e-x(Asinx+Bcosx)； (D) Ax2(sinx+cosx)解析 特征方程为 r+2r+1=0，特征根为 r1=r2=-1又因为a=-1,b=1，2aib=-1i不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为yp=e-x(Asinx+Bcosx)（3）y+2y+2y=e-x； cosx的特解形式可设为（ A ）-x(A) x(Acosx+Bsinx)e-x； (B) Axe-xcosx； -x (C) Axesinx； (D) Ax(cosx+sinx)e2解析 特征方程为r+2r+2=0，特征根为 r1=-1+i，r2=-1-i又因为a=-1，b=1，aib=-1i是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为 yp=xe-x(Acosx+Bsinx)（4）下列方程中，通解为y=C1ex+C2xex的微分方程是（ A ）(A) y-2y+y=0 ； (B) y+2y+y=1；(C) y+y=0 ； (D) y=y解析 由通解y=C1ex+C2xex=(C1+C2x)ex可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根r1=r2=1，对应的特征方程为r-2r+1=0，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为y-2y+y=0(5) 设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程y+py+qy=0的两个特解，C1,C2是两个任意常数，则下列命题中正确的是 （A） C1y1+C2y2一定是微分方程的通解。（B）C1y1+C2y2不可能是微分方程的通解。（C）C1y1+C2y2是微分方程的解。（D）C1y1+C2y2不是微分方程的解。答C注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当y1,y2线性相关时，选项（A）2错误, 当y1,y2线性无关时，选项（B）错误。填空题（） 方程 y+y=0的通解为 C1+C2cosx+C3sinx；解 特征方程为r+r=0，特征根为r1=0，r2=i，r3=-i，方程的通解为 y=C1+C2cosx+C3sinx(2)y+py+qy=0的特征方程为 r2+pr+q=0 ；解 特征方程是把微分方程中的未知函数y换成未知元r，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r的次数而得到的代数方程（3）y=2sinx的通解为 -2sinx+C1x+C2 ；解 方程两边积分得 y=2sinxdx=-2cosx+C1，微分方程的通解 y=(-2cosx+C1)dx=-2sinx+C1x+C2 3（）y-5y+6y=7满足yx=0=772x3x和yx=0=-1的特解为 e-e+ 662解 对应的齐次方程为y-5y+6y=0，特征方程为r-5r+6=0，特征根为r1=2，r2=3，对应齐次方程的通解为yc=C1e2x+C2e3x由于l=0不是特征方程的根，故设yp=Q(x)e0x=Ae0x，将Q(x)=A，Q(x)=Q(x)=0代入方程，有6A=7， 即 A=于是方程的特解为 yp=7 67， 62x3x方程的通解为 y=C1e+C2e7+ 6现在求满足初始条件的特解对y求导得y=2C1e2x+3C2e3x，77=y(0)=C+C+,即 C1+C2=0, C1=1, 12将初值代入y与y，有662C1+3C2=-1,C2=-1,-1=y(0)=2C+3C,12于是，方程满足初始条件的特解为y=e2x7-e3x+ 6(5) 设y1(x),y2(x),y3(x)是线性微分方程y+a(x)y+b(x)y=f(x)的三个特解，且y2(x)-y1(x)C，则该微分方程的通解为 y3(x)-y1(x)y=C1(y2(x)-y1(x)+C2(y3(x)-y1(x)+y1(x)。(6) 函数y=C1cos2x+C2sin2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y+4y=0。(7) 若连续函数f(x)满足关系式 f(x)=4 解答题(1) 用两种方法求解 y=x-2y；解一 对应的齐次方程为y+2y=0，特征方程为 r+2r=0，特征根为 r1=0，22x0tf()dt+ln2，则f(x)=e2xln2。 2r2=-2，于是对应的齐次方程的通解为yc=C1+C2e-2x由于l=0是特征方程的特征单根，于是设yp=Q(x)e0x=x(Ax+B)e， 求导得 Q(x)=2Ax+B， Q(x)=2A， 0x1A=,4则有 2A+2(2Ax+B)=x， 1B=-,4所以方程的特解为 yp=x(x1-)， 44所求方程的通解为 y=C1+C2e-2xx2x- +44解二 设y=p(x)，则y=p(x)，原方程变形为 p=x-2p， 对应的齐次方程为 p+2p=0，用分离变量法，得 dp=-2dx， p两边积分，得 lnp=-2x+lnc， 即p=ce-2x， 根据常数变易法，设p=c(x)ec(x)e积分得 c(x)=-2x-2x，代入p=x-2p，有 2x=x， c(x)=xe ,2xxedx=112x12x12x12x2xxdexe-edxxe-e+C1， =22224x1-+C1e-2x， 24变形后所得一阶微分方程的通解为 p=所以，原方程的通解为 y=p(x)dx=(-x21+C1e-2x)dx 4=C1+C2e-2xx2x- +44(2) 求方程 (ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0的通解；xyyx解 整理得 e(e-1)dx=-e(e+1)dy，eyexdy=-xdx， 用分离变量法，得 ye-1e+1两边求不定积分，得 ln(ey-1)=-ln(ex+1)+lnC，于是所求方程的通解为 e-1=即 e=yyC， xe+1C+1 xe+1(3) 求(y2-6x)y+2y=0的通解；解 分离变量，得 dy2y=， dx6x-y2dx6x-y2x1取倒数，有=3-y，是x关于y一阶线性微分方程求此方程的通解 dy2yy2dxx=3， dyydxdy=3， xy对应的齐次方程为 用分离变量法，得3两边积分，得 lnx=3lny+lnc， 即 x=cy，用常数变易法，设方程的解为x=c(y)y，代入方程，有 3c(y)y=-311y ， 即 c(y)=-2， 22y积分，得 c(y)=1+C， 2y所以，方程的通解为 x=12y+Cy3 2第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算（填空、选择、判断）1、向量的线性运算：向量的加减法, 向量与数的乘法rrrr2、设向量a0, 那末向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数l, 使rrb=la.3、向量的坐标表示及其线性运算（加法、数乘）4、向量的模与两点间距离公式5、向量的方向角与方向余弦： rn(cosa,cosb,cosg)=n，cos2a+cos2b+cos2g=1rrr 6、向量在轴上的投影：Prjua=|a|cosj （j为向量a与u轴的夹角）;第二节 数量积 向量积 混合积（填空、选择、判断）一、两向量的数量积rrrrrraqab，定义1设有向量、它们的夹角为，乘积|a|b|cosq称为向量与b的数量积（或rr称为 （1） ab=|b|Prjba=|a|Prjab;（2） aa=|a|; rrr2rrrrrra（3） 设、b为两非零向量，则 ab的充分必要条件是 ab=0.二、两向量的向量积rrv定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：rrrrrr（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定；rrrrrrc|c|=|a|b|sinq（2）的模 ，(其中q为a与b的夹角)，rrv则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为rrrc=ab.（行列式算法）根据向量积的定义，即可推得rrr（1）aa=0；rrrrrr（2）设a、b为两非零向量，则 a/b的充分必要条件是 ab=0.向量积满足下列运算规律: rrrr（1）ab=-ba; rr向量积的几何意义：ab三、向量共线与共面 rr表示以a,b为两边的平行四边形的面积. rrrrrra=(a,a,a),b=(b,b,b)向量xyzxyz共线等价于a=lba/b，又等价于对应坐标成比例。 rrr向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz)共面等价于存在不全为rrrrrr零的数l1,l2,l3使得l1a+l2b+l3c=0（即a,b,c线性相关）而这又等价于行列式axbxcxaybycyazbz=0 cz第三节 曲面及其方程空间曲面研究的两个基本问题是：1已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2已知曲面方程，研究曲面的几何形状.例1建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程.2222(x-x)+(y-y)+(z-z)=R解 000例2 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )222A(x+y+z)表示一个圆、点或圆的虚轨迹.旋转曲面（重要）: 曲线+Dx+Ey+Fz+G=0f(y,z)=0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程为： f(z)=0；绕 y轴旋转的旋转曲面方程为：f(y,=0x2z2例3 将xOz坐标面上的曲线2-2=1分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生 ac成的旋转曲面的方程.解 绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为x2+y2z2-2=1, 2ac这个旋转曲面称为旋转单页双曲面. 绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为x2y2+z2-=1. a2c2这个旋转曲面称为旋转双页双曲面.例4 直线L绕另一条与L相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角a(0ap2)称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z轴, 半顶角为a的圆锥面方程.z2=a2(x2+y2)(a=cota).柱面：一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C: F(x, y)=0. 其他类似常见柱面：圆柱面、椭圆柱面、抛物柱面，双曲柱面、平面二次曲面：会根据方程的特点判断二次曲面的类型（填空或选择）第四节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0x=x(t)y=y(t)（一般利用拓扑或圆的参数方程，把曲线的一 二、空间曲线的参数方程z=z(t)般方程转化为参数方程）三、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z)=0, H(x,y)=0 G(x,y,z)=0.例1 圆柱螺旋线的参数方程. H(x,y)=0 z=0x=acoswtx=acosq解 y=asinwt或者y=asinqz=vtz=bq当qvq=wt,b= w=2p时h=2bp, 螺距.x2+y2+z2=1例2 求曲线在坐标面上的投影方程. z=1/23,在xOy面上的投影为 432x+y2=4;z=01(2) 因为曲线在平面z=上，所以在xOz面上的投影为线段 2解 (1)消去变量z后得x+y=22z=2,|x|; y=02(3) 同理在yOz面上的投影也为线段z=2,|y|; x=02例3 设一个立体由上半球面z=4-x2-y2和锥面z=3(x2+y2)所围成, 求它在xOy面上的投影.解 半球面和锥面的交线为22z=4-x-yC:, 22z=3(x+y)x2+y2=1消去z得投影柱面x+y=1,则交线C在xOy面上的投影为 . z=022所求立体在xOy面上的投影为 x2+y21.考大题一般集中在下面两节：即平面和直线部分。第五节 平面及其方程一、平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.二、平面的一般方程：注意有Ax+By+Cz+D=0, A=0等条件时，平面的特点. xyz+=1. abc(k=1,2,3)的平面方程为 三、平面的截距式方程：四、平面的三点式方程：过三点Mk(xk,yk,zk)x-x1x2-x1x3-x1y-y1y2-y1y3-y1z-z1z2-z1=0 z3-z1四、两平面的夹角：设有两平面P1和P2：rP1:A1x+B1y+C1z+D1=0, n1=A1,B1,C1则两平面的夹角 coqs=|A1A2+B1B2+C1C2|A+B+CA+B+C212121222222从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出：（1） P1P2 的充要条件是A1A2+B1B2+C1C2=0；（2）P1/P2的充要条件是 A1B1C1=. A2B2C2A1B1C1D1=. A2B2C2D2. （3）P1与P2重合的充要条件是 五、点到平面的距离：d=|Ax0+By0+Cz0+D|A+B+C222第六节 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程：A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0.x-x0y-y0z-z0= mnp 二、空间直线的对称式方程与参数方程：三、两直线的夹角设s1=m1,n1,p1，s2=m2,n2,p2分别是直线L1，L2的方向向量，则L1与L2的夹角j应是(s1,s2)和(-s1,s2)=p- (s1,s2)两者中的锐角. 因此cosj=|cos(s1,s2)|. 仿照对于平面夹角的讨论可以得到下列结果. vvvvvvvvvvvv|s1s2|m1m2+n1n2+p1p2|（1） cosj=； =222222|s1|s2|m1+n1+p1m2+n2+p2（2）L1L2的充要条件是m1m2+n1n2+p1p2=0；（3）L1/L2的充要条件是四、直线与平面的夹角（1）设直线的方向向量为s=m,n,p，平面的法向量n=A,B,C,直线与平面的夹角rr为j，则 sinj=|cos(s,n)|=m1n1p=1. m2n2p2rr|Am+Bn+Cp|A+B+Cm+n+p222222；（2）LP的充要条件是ABC=; mnp（3）L/P的充要条件是Am+Bn+Cp=0.五、平面束通过空间一直线可作无穷多个平面, 通过同一直线的所有平面构成一个平面束.设空间直线的一般方程为A1x+B1y+C1z+D1=0, Ax+By+Cz+D=0.2222则方程(A1x+B1y+C1z+D1)+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,称为过直线L的平面束方程, 其中l为参数.注: 上述平面束包含了除平面A2x+B2y+C2z+D2=0之外的过直线L的所有平面.x+y+z+1=0. 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 2x-y+3z+4=0解 在直线上任取一点(x0,y0,z0),例如,y+z0+2=0取x0=10y0=0,z0=-2, y-3z-6=000得点坐标(1,0,-2),因所求直线与两平面的法向量都垂直,rvrijkrrr可取s=n1n2=111=4,-1,-3,2-13对称式方程 x-1y-0z+2=, 4-1-3x=1+4t. 参数方程 y=-tz=-2-3t例2 求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和2x-y-5z =1的交线平行于的直线方程.vvrvr解 设所求直线的方向向量为s=m,n,p,根据题意知sn1,sn2, rrvijkrvv取s=n1n2=10-4=-4,-3,-1,2-1-5所求直线的方程x+3y-2z-5=. 431x+1y-1z垂直相交的直线方程. =32-1例3 求过点M(2, 1, 3)且与直线解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面P,3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0,再求已知直线与该平面的交点N, x=3t-1x+1y-1z=ty=2t+1. 令32-1z=-t代入平面方程得t=32133,交点N,-,取所求直线得方向向量为, 7777133126242=21，3=-，, 777777所求直线方程为 平面束x+2y-z-6=0例4 过直线L:作平面P, 使它垂直于平面P1:x+2y+z=0. x-2y+z=0x2y-1z3=. 214解 设过直线L的平面束(l)的方程为(x+2y-z-6)+l(x-2y+z)=0,即(1+l)x+2(1-l)y+(l-1)z-6=0.现要在上述平面束中找出一个平面图P,使它垂直于题设平面P1,因平面垂直于平面P1,故rrrv平面P的法向量n(l)垂直于平面P1的法向量n1=1,2,1.于是n(l)n1=0,即1(1+l)x+4(1-l)+(l-1)=0.解得l=2,故所求平面方程为p:3x-2y+z-6=0.容易验证，平面x-2y+z=0不是所求平面.第九章：多元函数微分法及其