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螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆袇节芇虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅莂螈羂肁莂蒇螅羇莁蚀羀莆莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆蝿衿芈蒆蒈肅膄蒅薀袈肀蒄螃肃肆蒃袅羆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇袆螄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袃袀膆蚃薂肆肂艿蚄衿羈芈螇肄芆芈薆 1 / 35第一章 行列式1逆序数1.1 定义n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用t数字的个数之和。1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 t2证明如下：设排列为a1Lalab1Lbmbc1Lcn，作m次相邻对换后，变成a1Lalabb1Lbmc1Lcn，再作m+1次相邻对换后，变成a1Lalbb1Lbmac1Lcn，共经过2m+1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于t2故原命题成立。2n阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质2：互换任意两行（列）其值变号。性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）l倍后再加到另一行（列），其值不变。 行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。对性质4的重要拓展：设n阶同型矩阵，n(i1i2in)表示，t(i1i2in)等于它所有数字中后面小于前面=(-1)t1。 =(-1)t1，也就是排列必改变改变奇偶性，2m+1次相邻对换后t2=(-1)2m+1t1=(-1)t1，A=(aij); B=(bij)A+B=(aij+bij)，而行列式只是就某一列分解，所以，A+B应当是2个行列式之和，即A+BA+B。韦达定理的一般形式为：nn-1n-2nan-1an-2nna+L+a0=0xi=-; xixj=; xi=(-1)0ananani=1ij=1i=1nanx+an-1x+an-2x 2012年6月14日星期四2 / 35一、行列式定义1定义a11a21Lan1a12a22Lan2LLLLa1na2n=Lann(-1)t(j1j2Ljn)a1j1a2j2Lanjn其中逆序数个数. 后面的j1小的数的个数 +j2后面比j2小的数的个数+L+jn-1后面比jn-1小的数的t(j1j2Lnj)=j12三角形行列式a11 L0a12a22L0LLOLa1na11a2na=21LLannan10a22Lan2L0L0 =a11a2L2ann LLLann0 Lan1L0LNNLLann-1a1na11a2na=21LLannan1a12a22N0La1nn(n-1)N0tn(n-1)L21=(-1)a1na2n-1Lan1=(-1)2a1na2n-1Lan1 LLL0二、行列式性质和展开定理1会熟练运用行列式性质，进行行列式计算.2展开定理ai1Ak1+ai2Ak2+L+ainAkn=dikA a1jA1k+a2jA2k+anjAnk=djkA三、重要公式设A是n阶方阵，则123AT=A -1A-1=AA*=A 2012年6月14日星期四 n-13 / 354kA=knA5AB=AB，其中B也是n阶方阵6设B为m阶方阵，则AC0B=A0CB=AB0ACAmnBC=B0=(-1)AB7范德蒙行列式11L1x1x2Lxnx21x22Lx2n=(xi-xj)LLLL1jinxn-11xn-1n-12Lxn四有关结论1对于Ann,Bnn (1)A=0A=0 (2) A=BA=B2. A为n阶可逆矩阵行变AEAE（A与E等价）列变AX=0只有惟一零解AX=b有惟一解（克莱姆法则） A的行（列）向量组线性无关 A的n个特征值li0,i=1,2,L,n A可写成若干个初等矩阵的乘积 r(AB)=r(B)ATA是正定矩阵2012年6月14日星期四4 / 35A是Rn中某两组基之间的过渡矩阵3. A为n阶不可逆矩阵A=0 AX=0有非零解 r(A)t则向量组a1,a2,L,as必线性相关。推论1向量组a1,a2,L,as可以由向量组b1,b2,L,bs线性表示，并且a1,a2,L,as线性无关，那么st。推论2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。2向量组的极大线性无关组设向量组为A, 如果在A中有r个向量a1,a2,L,ar满足：(1) A0:a1,a2,L,ar线性无关；(2) 任意r+1个向量线性相关（如果有r+1个向量的话）称a1,a2,L,ar为向量组为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 注：(1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；(3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。例如，在向量组2012年6月14日星期四13 / 35242-1-2-1a1=,a2=,a3=35414-1中，首先a1,a2线性无关，又a1,a2,a3线性相关，所以a1,a2组成的部分组是极大无关组。还可以验证a2,a3也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 极大无关组的基本性质：性质1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。性质2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。 3向量组的秩与矩阵秩的关系3.1 向量组的秩定义3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做r(a1,a2,L,as)。242-1-2-1a1=,a2=,a3=35414-1的秩为2. 例如，向量组关于向量组的秩的结论:(1) 零向量组的秩为0；(2) 向量组a1,a2,L,as线性无关向量组a1,a2,L,as线性相关r(a1,a2,L,as)=s， r(a1,a2,L,as)s.，(3) 如果向量组a1,a2,L,as可以由向量组b1,b2,L,bt线性表示，则r(a1,a2,L,as)r(b1,b2,L,bs);(4) 等价的向量组必有相同的秩。注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。3.2 矩阵的秩3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？引理1: 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。引理2：矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩矩阵的列秩。定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 3.2.2矩阵秩的求法首先复习: 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数求矩阵秩的方法:把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 求向量组的秩、极大无关组的步骤： 2012年6月14日星期四14 / 35(1) 向量组a1,a2,L,as作列向量构成矩阵A；(2) (行最简形矩阵)(3) 求出B的列向量组的极大无关组(4) A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为A的极大无关组。3.2.3 矩阵秩的性质(1) 等价的矩阵，秩相同；(2) 任意矩阵A，有r(A)=r(A)；(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。若P可逆，对于任意的矩阵(4) 对于TA初等行变换BA，有r(PA)=r(A)=r(AP) Amn,Bnp,3.3 矩阵的秩与行列式的关系定理r(A+B)r(A)+r(B);r(AB)minr(A),r(B);r(AB)r(A)+r(B)-n;有r(A)+r(B)n. 当AB=O时，n阶方阵A， r(A)=nA的n个行(列)向量组线性无关A0, 即A为可逆矩阵(也称为满秩矩阵)r(A)nA的n个行(列)向量组线性相关3.5 向量空间1向量空间的概念定义1： 设 V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间说明：集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 A=0.a,bV,有a+bV; 有kaaV,kR,V.一般地，由向量组a1,a2,L,am所生成的向量空间为V=x=l1a1+l2a2 2向量空间的基与维数(1) +L+lmaml1,l2,L,lmR V，且满足 定义2：设V是向量空间，如果r个向量a1,a2,L,ara1,a2,L,ar线性无关；(2) V中任何一向量都可由a1,a2,L,ar线性表示，那么，就称向量组a1,a2,L,ar是向量空间V的一个基，r成为向量空间V的维数，记作dimVr，并称V是r维向量空间。注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。3向量在基下的坐标定义3：设向量空间V的基为a1,L,ar, 对于aV,Ta=xa+L+xa(x,L,x)11rr唯一
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