最佳保温层厚度的计算

1 最佳保温层厚度的计算 再取个名字 一 摘要 通过对热传导和保温隔热材料性能的研究 根据题意 建立了解决保 温层材料和厚度的计算模型 针对第一个问题 即珍珠岩的厚度应为多少 我们建立模型一 利用 傅立叶定律列出方程 通过室温与屋顶内表面有温差和对散热过程 感热 过程的分析 给出两个不等式 通过对不等式的求解 得出珍珠岩保温层 的厚度范围 0 533893cm 且 10 3713cm 由于保温层材料已给定是珍5 5 珠岩 单价为定值 所以用料最省就最经济 又由于保温层要同时考虑保 温和隔热两种效果 还要用料最省 故珍珠岩保温层的厚度选择为 10 3713cm 约为 10 4cm 通过资料查证 保温层珍珠岩的厚度在 7cm 到 20cm 之间 所以在忽略误差的情况下 通过模型一对珍珠岩保温层的计算 得出的结果是正确的 针对第二个问题 即如果更换保温层成其他保温材料 哪种好 并求 其厚度 我们建立模型二 在保温层用一种材料替代的情况下 利用 0 1 规划 列出关系式 目标函数设为保温层费用的求解函数 由于热阻 大的材料保温隔热的效果好 所以在限制条件中 替代材料的热阻要大于 等于珍珠岩的热阻 在目标函数中未知变量为所选保温隔热材料的厚度和 单价 厚度又由导热系数导出 通过编译程序代入所有已知材料的种类数 并依次输入它们对应的导热系数和对应的单价 即算出最优材料及其对应 的厚度和价钱 输出的结果为 本文的特色在于两个模型用了两种不同的计算方法 模型一思路清晰 运行简单 但只能计算已知保温隔热材料的厚度 并不是判断最优材料和 计算厚度的通式 模型二利用 0 1 规划 建立了判断最经济材料和计算其 厚度的通式 运行简便 无论是思路还是使用范围都优于模型一 模型二 可为模型一求解 模型一可为模型二检验 最后一个问题不知道是否可行 你检验一下程序二 关键词 保温隔热材料 热阻 导热系数 温度差 外围结构 2 二 问题重述 目前 城市居民楼很多都是简单的平屋顶 屋顶由里向外的结构是涂料 水泥砂浆 楼板 水泥砂浆 珍珠岩保温层 水泥砂浆 三毡四油防水材料 厚度分别为 0 1cm 1 5cm 20cm 2cm xcm 2cm 1cm 其中 x 为未知变量 已知屋顶 外表面最高表面温度为 75 最低为 40 要求 保持室内温度舒适 所用材料最省最经济 问 珍珠岩保温层厚度是多少 如果更换保温层成其他保温材料 哪种好 并求其厚度 三 问题分析 在任何介质中 当两处存在温差时 在温度高低两部分就会产生热量的传 递 热量将由温度较高的部分通过不同的方式向温度低的地方转移 就人们的 住宅来讲 冬天室内温度较室外高 热量就会通过房屋的外围结构向室外传递 使室内温度降低 造成热损失 夏天室外温度高于室内 热量就会通过房屋的 外围结构向室内传递 使室内的温度升高 为了保持室内有宜于人们生活 工 作的温度 房屋的外围结构所采用的建筑材料必须有一定的保温隔热性能 以 保证冬暖夏凉的环境 减少供热和降温用的能量消耗 从而达到节能的目的 为了实现这一目的 我们就屋顶的保温层材料进行了设计和厚度计算 由 于室内外温差波动不大 所以在建筑保温的热工计算中 把通过建筑围护结构 的传热过程看作是在稳定条件下进行的 即是指热量在通过围护结构时 其热 流量的大小不随时间的变化而变化 因此对通过围护结构的实体材料层的传热 过程均按导热考虑 对于热传导的过程我们不考虑热量传递的瞬时性 只考虑 3 时间段的持续性 由于在实际生活中 室温与屋顶内表面有温度差 所以必须 考虑屋顶内层空气的感热过程和散热过程 又因为已知条件中给定了屋顶外表 面的温度变化范围 故不考虑屋顶外表面的感热过程和散热过程 由于除保温层外的其他材料给定且厚度已知 所以在考虑最省问题时只需 考虑保温隔热材料的用料和价格 用料越省 单价越低则越省钱 基于以上分析 我们重点考虑室内的舒适程度 即保证室内温度最适条件下 计算用料最省和价钱最省 四 问题假设 1 假设屋顶各部分材料均匀 通过屋顶的热传导过程看作是在稳定条件 下进行的 即是指热量在通过屋顶结构时 其热量的大小和方向不随 时间而变化 室内温度 室外温度 保持不变 wTn 2 假设研究一个时间段 Z 的热传导情况 即不考虑热量传递的瞬时性 而只考虑时间段 Z 的持续性 3 不考虑屋顶外表面的感热或者散热过程 即外表面温度已知为 nT 4 室内温度为常温 25 五 符号说明 室内温度wT 屋顶外表面温度n 屋顶内表面温度0 屋顶内表面与室内温度的允许温差T 第 i 层材料上表面温度 i 1 2 3 4 5 6 7 i 第 i 层材料的厚度 i 1 2 3 4 5 6 7 i 第 i 层材料的导热系数 i 1 2 3 4 5 6 7 i 第 i 层材料的热阻 i 1 2 3 4 5 6 7 iR 屋顶内表面空气散热阻s 屋顶内表面空气感热阻g R 总热阻 4 R 满足保温条件的珍珠岩保温层最小热阻0 Q 通过整个屋顶的热量 Q 通过屋顶内表面空气散热层的热量0 F 屋顶面积 Z 传热时间 第 i 种保温隔热材料的单价ic M 单位面积下的最小费用 六 模型的建立与求解 模型一 分别由里到外记涂料 水泥砂浆 楼板 水泥砂浆 珍珠岩保温层 水泥 砂浆 三毡四油防水材料为 i 1 2 3 4 5 6 7 各层材料厚度分别对应为 热传导i 系数 为 面积为 F 传热时间为 Z 则由傅立叶定律得 i Q FTwn 易知 Q 与 成反比 于是我们设 R 则 R 可表示热流通过材料时的 阻力 简称热阻 由表达式可知在同样温差条件下 R 越大 通过材料的热量 越少 于是我们可以得到 Q RFZTwn 如果记第 i 层材料上表面温度为 T 下表面温度为 T 热阻为 R 则有i 1 i i Q i 1 2 3 iiiZ 1 R ii 情况 当室外温度高于室内温度 即 T T 75 时 屋顶内表面wn 5 空气散热阻记为 R 则有总热阻s R R s nii1 通过整个屋顶的热量 Q RFZTwn 通过屋顶内表面散热空气层的热量 Q 0sw 由于在热稳定条件下 通过任何一层的热流都是相同的 则有 Q Q 0 由 得 R 0wsnTR 若 T 表示屋顶内表面与室内温度允许的温度差 则有 0 假设珍珠岩保温层是第 x 层 则有 R R R s xiR 1 综上 R R x Tswn xi 1 情况 当室内温度高于室外温度 即 40 T T 时 屋顶内表面nw 空气感热热阻为 R 则有总热阻g R R g nii1 通过整个屋顶的热量 Q RFZTwn 通过屋顶内表面感热空气层的热量 6 Q 0gwRFZT 由于在热稳定条件下 通过任何一层的热流都是相同的 则有 Q Q 0 由 得 R 0wgnTR 若 表示屋顶内表面与室内温度允许的温度差 则有T w 0 假设珍珠岩保温层是第 x 层 则有 R R R g xiR 1 综上 R R x Tgnw xi 1 情况 当室内温度等于室外温度 无能量流动 模型一求解 联立 得 R T T 75 x TRswn xii 1 xwn R 40 T Txgn xii 1xnw 查参数表有各种材料热导系数分别为 膨胀珍珠岩 0 09w m K 水泥砂 浆 0 93 w m K 防火隔热涂料 0 1w m K 钢筋混泥土 1 53 w m K 建 筑用毡 0 1 w m K 5 5 屋顶感热阻 R 0 114 m k w T g2 屋顶散热阻 R 0 043 m k w 室温 T 25 屋顶外表面温度变化范围s2w 40 75 nT 输入程序得 0 533893cm 且 10 3713cm5 5 由于保温层要同时满足保温和隔热两种需求 所以最省的保温层厚度 取上述结果交集的最小值时 用料最省 故珍珠岩的厚度为 10 3713cm 7 模型二 由模型一知 在满足要求条件下确定保温层的热阻 记为 R 0 且 R 083 5 如果更换保温层为其他材料 i 则 i 材料必须满足 Ri 0 我们设 i 材料单位体积下的价格为 c 那么 i 材料单位面积下的成本最小i 值 Z R ci0i 我们容易看出如果要材料最省 就是再在所有 Z 中取个最小值 即目标函i 数为 min Z min R ci0i 可见如果选择的材料少 我们只要知道材料的价格和热导系数便可容易算 出所有成本再做比较 即可得出结果 但此时我们不能直观地把另一个目标函 数厚度表示出来 因此我们稍微转换一下 记 x 1 表示选择材料 i x 0 表示不选择材料 i 则有i i x 0 1 i 假设只用一种材料替代 则必满足以下条件 1 niix1 目标函数可表示为 M min niicxR10 R Ri0i M 即表示所有材料中单位面积下的最小成本 R 表示此时选择此种材料的厚度i 整理得 8 M min niicxR10 R Ri0i s t 1 niix1 x 0 1 i 模型二求解 经查资料的知保温隔热材料有 种 其编码及其导热系数和单价见附录 在编译好的程序中 代入材料的种数 并依次输入对应材料的导热系数和单价 即得出最佳保温隔热材料的代码及其厚度和最经济价格 其结果为 七 模型的检验与推广 八 模型的优缺点分析 优点 1 模型一思路简单易于理解 可用来计算已知保温隔热材料的厚度 运行简便 只需带入相应数据便可求解 2 模型二要优于模型一 我们可以通过模型二的通式比较多种材料 得出最优材料并能同时计算出其厚度和价钱 以达到最省的目的 运行过程比模型一更简便 使用范围较广 3 模型一和模型二用了两中不同的方法 可以互相检验 操作方便 缺点 由于不同厂家生产的同种材料的性能有微小差别 故在数值查证上有误 差 通过多步计算误差较大 附录 1 参数表 参数符号 参数值或值域 i 1 i 0 1 w m k 9 i 2 i 0 93 w m k i 3 i 1 53 w m k i 4 i 0 93 w m k i 5 i 0 09 w m k i 6 i 0 93 w m k i 7 i 0 1 w m k i 1 i 0 001 m i 2 i 0 015 m i 3 i 0 200 m i 4 i 0 020 m i 6 i 0 020 m i 7 i 0 010 mT 5 5 w 25 n 40 75 nTwR 0 043 wkm 2 n 0 114 2 屋面保温隔热材料的性能指标要求 导热系数 w m k 参考厚度 mm 加气混凝土板 0 19 80 100 硬质聚氨酯泡沫塑料 0 023 25 30 10 挤塑聚苯乙烯泡沫塑料 0 03 25 30 塑聚苯乙烯泡沫塑料板 0 042 25 30 水泥聚苯板 0 09 40 100 水泥膨胀珍珠岩板 0 16 70 200 沥青膨胀珍珠岩板 0 12 40 120 你的价格表没看懂 上表列出的材料没有价格 有价格的又没导热系数和参 考厚度 你最好能把下表填上 有下表上表可删除 2 保温隔热材料导热系数 价格参考厚度一览表 材料名称 导热系数 w m k 价格 元 参考厚度 mm 3 程序原代码 1 程序一原代码 include 引用基本输入输出头文件 using namespace std 使用 std 命名空间 int main int argc char argv double Tn Tw Rm deltaT 声明双精度浮点型变量 int len 数组长度 输入 Tx 的值 即室外温度 cout 请输入 Tn Tn 输入 Tw 的值 即室内温度 cout 请输入 Tw Tw 输入 Rm 的值 即屋顶内表面空气热阻值 cout 请输入屋顶内表面空气热阻值 感热阻或散热阻 Rm 11 输入 deltaT 的值 即允许温差 cout 请输入 T deltaT 输入 n 值 即材料层 cout 请输入 n 值 len double delta new double len 创建动态数组 double lambda new double len 创建动态数组 输入 lambdax 的值 cout 请输入被求材料厚度的热传导系数 x 值 lambda 0 输入其他各层材料的热传导系数 cout 请输入其他各层材料的热传导系数 每输入完一个 按回车 endl for int i 1 i lambda i 输入其他各层材料厚度 cout 请输入其他各层材料厚度 输入顺序与热传导系数输入顺序一致 每 输入完一个 按回车 endl for i 1 i delta i double temp 0 0 临时变量 for i 1 iTw delta 0 Tn Tw Rm deltaT Rm temp lambda 0 else delta 0 Tw Tn Rm deltaT Rm temp lambda 0 cout 所求值为 delta 0 delete delta delete lambda delta NULL lambda NULL system pause return 0 12 2 程序二原代码 include using namespace std int main int argc char argv double R0 int n 输入 R0 cout 请输入 R0 R0 输入材料数 cout 请输入材料种数 n n double lambda new double n double lambdatemp new double n 输入每种材料 值 cout 请输入每种材料热导系数 每输一个 按回车 endl for int i 0 i lambda i lambdatemp i lambda i 输入每种材料价格 double fee new double n cout 请输入每种材料价格 与热导系数输入顺序一致 每输一个 按回 车 endl for i 0 i fee i lambdatemp i fee i int index 1 indexfee 1 temp fees for i 0 i n 2 i if lambda i lambda i 1 temp lambda i 13 lambda i lambda i 1 lambda i 1 temp else index i 2 if lambdatemp i lambdatemp i 1 fees lambdatemp i lambdatemp i lambdatemp i 1 lambdatemp i 1 fees else indexfee i 2 cout 选择第 index 号材料 用料最少 endl cout 厚度为 R0 lambda index cout 选择第 indexfee 号材料 费用最低 endl cout 费用为 R0 lambdatemp indexfee system pause return 0 参考文献 1 姜启源等 数学模型 第三版 北京 高等教育出版社 2003 2 马宝国 刘军主编 建筑功能材料 武汉 武汉理工出版社 2004 3 邹先欣编著 建筑结构工程施工质量监控手册 北京 建筑工业出版社 2004 4 张德信主编 建筑保温隔热材料 北京 化学工业出版社 2006