全等三角形 辅助线做法讲义1

龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 巧添辅助线一 倍长中线 夯实基础 例 中 AD 是 的平分线 且 BD CD 求证 AB ACABC BAC 方法 1 作 DE AB 于 E 作 DF AC 于 F 证明二次全等 方法 2 辅助线同上 利用面积 方法 3 倍长中线 AD 方法精讲 常用辅助线添加方法 倍长中线 ABC 中 方式 1 延长 AD 到 E AD 是 BC 边中线 使 DE AD 连接 BE 方式 2 间接倍长 作 CF AD 于 F 延长 MD 到 N 作 BE AD 的延长线于 E 使 DN MD 连接 BE 连接 CD 经典例题 例 1 ABC 中 AB 5 AC 3 求中线 AD 的取值范围 例 2 已知在 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 的延长线上 DE 交 BC 于 F 且 DF EF 求证 BD CE 例 3 已知在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 E 是 AD 上一点 且 BE AC 延长 BE 交 AC 于 F 求证 AF EF 提示 倍长 AD 至 G 连接 BG 证明 BDG CDA 三角形 BEG 是等腰三角形 CD A B D A B C E D A B C F ED CB A N D CB A M FE D A B C F EC A B D 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 例 4 已知 如图 在 中 D E 在 BC 上 且ABC A DE EC 过 D 作 交 AE 于点 F DF AC F 求证 AE 平分 提示 方法 1 倍长 AE 至 G 连结 DG 方法 2 倍长 FE 至 H 连结 CH 例 5 已知 CD AB BDA BAD AE 是 ABD 的中线 求证 C BAE 提示 倍长 AE 至 F 连结 DF 证明 ABE FDE SAS 进而证明 ADF ADC SAS 融会贯通 1 在四边形 ABCD 中 AB DC E 为 BC 边的中点 BAE EAF AF 与 DC 的延长线相交于 点 F 试探究线段 AB 与 AF CF 之间的数量关系 并证明你的结论 提示 延长 AE DF 交于 G 证明 AB GC AF GF 所以 AB AF FC 2 如图 AD 为 的中线 DE 平分 交 AB 于 E DF 平分 交 AC 于 F 求证 ABC BDA ADC EFB 3 已知 如图 ABC 中 C 90 CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D 交 BC 于 T 过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 求证 CT BE 提示 过 T 作 TN AB 于 N 证明 BTN ECD 图 1 图图 A B F D E C E D A B C FE A B C D 图 14 图图 D F CB E A D A B C M T E 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 截长补短法引辅助线 思路 当已知或求证中涉及到线段 a b c 有下列情况时 如直接证不出来 可采用 截长法 在较长的线段上截取一条线段等于较短线段 补短法 延长较短线段和较长线段相等 这两种方法放在一起叫截长补短法 通过线段的截长补短 构造全等把分散的条件集中起来 例1 如图 ABC 中 ACB 2 B 1 2 求证 AB AC CD 证法一 补短法 延长 AC 至点 F 使得 AF AB 在 ABD 和 AFD 中 ABD AFD SAS B F ACB 2 B ACB 2 F 而 ACB F FDC F FDC CD CF 而 AF AC CF AF AC CD AB AC CD 证法二 截长法 在 AB 上截取 AE AC 连结 DE 在 AED 和 ACD 中 AED ACD SAS 例2 如图 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 1 2 CE BD 交 BD 的延长线于 E 证明 BD 2CE 分析 这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问 题 可构造线段2CE 转化为证两线段相等的问题 分别延长 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 E D CB A D CB A P Q C B A BA CE 交于 F 证 BEF BEC 得 再证 ABD ACF 得 BD CF 1 如图 中 AB 2AC AD 平分 且 AD BD 求证 ABC BAC CD AC 2 如图 AC BD EA EB 分别平分 CAB DBA CD 过点 E 求证 AB AC BD 3 如图 已知在 内 P Q 分别在ABC06 04C BC CA 上 并且 AP BQ 分别是 的角平分线 求证 BA BQ AQ AB BP 4 如图 在四边形 ABCD 中 BC BA AD CD BD 平分 BC 求证 018 CA 5 已知 如图 ABC 中 AD 平分 BAC 若 C 2 B 证明 AB AC CD 6 已知 如图 ABC 中 A 60 B 与 C 的平分线 BE CF 交于点 I 求证 BC BF CE C D B A DB C A F EI CB A 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 7 已知 如图 在正方形 ABCD 中 E 为 AD 上一点 BF 平分 CBE 交 CD 于 F 求证 BE CF AE 与角平分线有关的辅助线 角平分线具有两条性质 a 对称性 b 角平分线上的点到角两边的距离相等 对于有角平分线的辅助线的作法 一般有两种 从角平分线上一点向两边作垂线 利用 角平分线 构造对称图形 如作法是在一侧的长边上截取短边 通常情况下 出现了直角或是垂 直等条件时 一般考虑作垂线 其它情况下考虑构造对称图形 至于选取哪种方法 要结合题目 图形和已知条件 1 截取构全等 如图 1 1 AOC BOC 如取 OE OF 并连接 DE DF 则有 OED OFD 从而为我们证明 线段 角相等创造了条件 例 1 如 图 1 2 AB CD BE 平分 ABC CE 平分 BCD 点 E 在 AD 上 求证 BC AB CD 简证 在此题中可在长线段 BC 上截取 BF AB 再证明 CF CD 从而达到证明的目的 这里面 用到了角平分线来构造全等三角形 另外一个全等自已证明 此题的证明 也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明 自已试一试 例 2 已知 如图 1 3 AB 2AC BAD CAD DA DB 求证 DC AC 分析 此题还是利用角平分线来构造全等三角形 构造的方法还是截 取线段相等 其它问题自已证明 例 3 已知 如图 1 4 在 ABC 中 C 2 B AD 平分 BAC 求证 AB AC CD F B DA C E 图 1 2 A D B C E F 图 1 3 A B C D E 图 1 4 A B CD E 图 1 1 O A B D E F C 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 分析 此题的条件中还有角的平分线 在证明中还要用到构造全等三角形 此题还是证明线 段的和差倍分问题 用到的是截取法来证明的 在长的线段上截取短的线段 来证明 练习 1 已知在 ABC 中 AD 平分 BAC B 2 C 求证 AB BD AC 2 已知 在 ABC 中 CAB 2 B AE 平分 CAB 交 BC 于 E AB 2AC 求证 AE 2CE 3 已知 在 ABC 中 AB AC AD 为 BAC 的平分线 M 为 AD 上任一点 求证 BM CM AB AC 4 已知 D 是 ABC 的 BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点 连接 DB DC 求证 BD C D AB AC 2 角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线 利用角平分线上的点到两边距离相等的性 质来证明问题 例 1 如图 2 1 已知 AB AD BAC FAC CD BC 求证 ADC B 180 分析 可由 C 向 BAD 的两边作垂线 近而证 ADC 与 B 之和为平角 例 2 如图 2 2 在 ABC 中 A 90 AB AC ABD CBD 求证 BC AB AD 分析 过 D 作 DE BC 于 E 则 AD DE CE 则构造出全等三角形 从而得证 此题是证明线段 的和差倍分问题 从中利用了相当于截取的方法 例 3 已知如图 2 3 ABC 的角平分线 BM CN 相交于点 P 图 2 1 A B C DE F 图 2 2 A B C D E 图 2 3 P A B C MND F 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 求证 BAC 的平分线也经过点 P 分析 连接 AP 证 AP 平分 BAC 即可 也就是证 P 到 AB AC 的距离相等 练习 1 如图 2 4 AOP BOP 15 PC OA PD OA 如果 PC 4 则 PD A 4 B 3 C 2 D 1 2 已知在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB CD 1 5 DB 2 5 求 AC 3 已知 如图 2 5 BAC CAD AB AD CE AB AE AB AD 求证 D B 180 2 1 4 已知 如图 2 6 在正方形 ABCD 中 E 为 CD 的中点 F 为 BC 上的点 FAE DAE 求证 AF AD CF 5 已知 如图 2 7 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足为 D AE 平分 CAB 交 CD 于 F 过 F 作 FH AB 交 BC 于 H 求证 CF BH 3 作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线 使之与角的两边相交 则截得一个等腰三角形 垂足为底边上的 中点 该角平分线又成为底边上的中线和高 以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质 如果题目 中有垂直于角平分线的线段 则延长该线段与角的另一边相交 例 1 已知 如图 3 1 BAD DAC AB AC CD AD 于 D H 是 BC 中 点 求证 DH AB AC 2 分析 延长 CD 交 AB 于点 E 则可得全等三角形 问题可证 图 2 4 B O A P D C 图 2 5 A B D C E 图 2 6 E A B C D F 图 2 7 F D C BA E H 图 图 3 1 A B CD H E 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 例 2 已知 如图 3 2 AB AC BAC 90 AD 为 ABC 的平分线 CE BE 求证 BD 2CE 分析 给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线 可延 长此垂线与另外一边相交 近而构造出等腰三角形 例 3 已知 如图 3 3 在 ABC 中 AD AE 分别 BAC 的内 外角平分线 过顶点 B 作 BN 垂 直 AD 交 AD 的延长线于 F 连结 FC 并延长交 AE 于 M 求证 AM ME 分析 由 AD AE 是 BAC 内外角平分线 可得 EA AF 从 而有 BF AE 所以想到利用比例线段证相等 例 4 已知 如图 3 4 在 ABC 中 AD 平分 BAC AD AB CM AD 交 AD 延长线于 M 求证 AM AB AC 2 1 分析 题设中给出了角平分线 AD 自然想到以 AD 为轴作对称变 换 作 ABD 关于 AD 的对称 AED 然后只需证 DM EC2 1 另外由求证的结果 AM AB AC 即 2AM AB AC 也可 尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FCM 然后只需证 DF CF 即可 练习 1 已知 在 ABC 中 AB 5 AC 3 D 是 BC 中点 AE 是 BAC 的平分线 且 CE AE 于 E 连接 DE 求 DE 2 已知 BE BF 分别是 ABC 的 ABC 的内角与外角的平分线 AF BF 于 F AE BE 于 E 连接 EF 分别交 AB AC 于 M N 求证 MN BC2 1 图 3 2 D A B E F C 图 3 3 DB E F N A C M 图 3 4 n E B A D C M F 图 4 2图 4 1 C A B CB A F I E D H G 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 4 以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线 从而构造等腰三角形 或通过 一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交 从而也构造等腰三角形 如图 4 1 和图 4 2 所示 例 4 如图 AB AC 1 2 求证 AB AC BD CD 例 5 如图 BC BA BD 平分 ABC 且 AD CD 求证 A C 180 例 6 如图 AB CD AE DE 分别平分 BAD 各 ADE 求证 AD AB CD 练习 1 已知 如图 C 2 A AC 2BC 求证 ABC 是直角三角形 2 已知 如图 AB 2AC 1 2 DA DB 求证 DC AC 1 2A C D B B D C A A B E CD C A B A E B D C A B D C 1 2 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 OE D CB A 3 已知 CE AD 是 ABC 的角平分线 B 60 求证 AC AE CD 4 已知 如图在 ABC 中 A 90 AB AC BD 是 ABC 的 平分线 求证 BC AB AD 5 且垂直一线段 应想到 角平分线等腰三角形的中线 例 6 如图 7 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D CE 垂直于 BD 交 BD 的延长线于点 E 求证 BD 2CE 证明 延长 BA CE 交于点 F 在 BEF 和 BEC 中 1 2 BE BE BEF BEC 90 BEF BEC EF EC 从而 CF 2CE 又 1 F 3 F 90 故 1 3 在 ABD 和 ACF 中 1 3 AB AC BAD CAF 90 ABD ACF BD CF BD 2CE 注 此例中 BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线 六 借助角平分线造全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相 交于点 O 求证 OE OD A B C D 龙文教育 中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教务处 2 06 郑州市中考题 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E D F AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求ab AE BE 的长 总结口诀 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 E D G FCB A