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江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷一、填空题（本大题满分70分）1、在复平面内，复数表示的点所在的象限是_ _ .2、已知集合Axx2，或x1，Bx，若，=x，则_ _ . 3、一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60)上的频率为0.6，则估计样本在40，50)，50，60)内的数据个数之和是_ _ .开始结束是输出否（第4题图）x1, y1zx + yxy yz4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 _ 5 ，是不同的直线，是不同的平面，则下列正确命题的序号是 _ .若 ， 则 ；.若， 则 ；.若 ，则 ； .若 ，则 6已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 _ 7、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是 _ .8、已知，且，则的值为_ _ 9、已知函数（），若任意且，t=,则实数t的取值范围_ _ .10、在中，已知，为线段上的点，且，则的最大值为 _ 11、在ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，ADC、BDC、ABC的内切圆半径分别为，则有如下的等式恒成立：在三棱锥P-ABC中D位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_ .12四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，则该球的体积为 _ 13、已知x，y都在区间(0，1内，且xy，若关于x，y的方程t0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是_ _ .14、各项均为正数的等比数列中，若从中抽掉一项后，余下的m-1项之积为，则被抽掉的是第 _ 项.二、解答题（本大题满分90分）15、在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， 8，BAC，a4，(1)求bc的最大值及的取值范围；(2)求函数f()2sin2()2cos2的最值16、在长方体中，分别是的中点，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.A1DD1C1ACBEF（1）求证：/平面；（2）求的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.17提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时研究表明：当50x200时，车流速度v与车流密度x满足当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时 （）当0x200时，求函数v(x)的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到个位，参考数据）18、函数在处的切线方程与直线平行；（1）若=，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；（3）若，方程有三个解，求实数的取值范围19、如图，已知椭圆过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：xy2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点 (1)求椭圆的标准方程(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.()证明：2.()问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOAkOBkOCkOD0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由20设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）（）求数列的通项公式；（）设数列的通项公式为（），若，（）成等差数列，求和的值；（）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为中的三项，高三数学模拟练习加 试21选做题选修：几何证明选讲如图，自外一点作的切线和割线，点为切点，割线交于，两点，点在上作，垂足为点 求证：选修：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是。（）求点在作用下的点的坐标；（）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程。选修：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：和直线， （1）求圆O和直线的直角坐标方程； （2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标选修不等式选讲已知非负实数，满足，求的最大值22、已知为等差数列，且，公差.（1）数列满足结论；试证：；（2）根据（1）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.（7分）23、设点在圆上，是过点的圆的切线，切线与函数的图象交于两点，点是坐标原点，且是以为底的等腰三角形；（1）试求出点纵坐标满足的等量关系；（2）若将（1）中的等量关系右边化为零，左边关于的代数式可表为 的形式，且满足条件的等腰三角形有3个，求的取值范围参考答案一、填空题（本大题满分70分）1、在复平面内，复数表示的点所在的象限是_ .第二象限2、已知集合Axx2，或x1，Bx，若，=x，则_ . 43、一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60)上的频率为0.6，则估计样本在40，50)，50，60)内的数据个数之和是_ .21开始结束是输出否（第4题图）x1, y1zx + yxy yz4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 _ 5 ，是不同的直线，是不同的平面，则下列正确命题的序号是_ .若 ， 则 ；.若， 则 ；.若 ，则 ； .若 ，则 6已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为_ 7、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是 _ .8、已知，且，则的值为_9、已知函数（），若任意且，t=,则实数t的取值范围_ _ .10、在中，已知，为线段上的点，且，则的最大值为_ 311、在ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，ADC、BDC、ABC的内切圆半径分别为，则有如下的等式恒成立：在三棱锥P-ABC中D位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_ .12四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，则该球的体积为 _ 13、已知x，y都在区间(0，1内，且xy，若关于x，y的方程t0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是_ .(，14、各项均为正数的等比数列中，若从中抽掉一项后，余下的m-1项之积为，则被抽掉的是第 _ 项.13二、解答题（本大题满分90分）15、在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， 8，BAC，a4，(1)求bc的最大值及的取值范围；(2)求函数f()2sin2()2cos2的最值【解析】(1)8，BAC，bccos8.又a4，b2c22bccos42即b2c232. 又b2c22bc，bc16，即bc的最大值为16.而bc，16，cos，0，0.(2)f()2sin2()2cos21cos(2)1cos2sin2cos212sin(2)10， 2 sin(2)1.当2，即时，f()min212.当2，即时，f()max2113.16、在长方体中，分别是的中点，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.A1DD1C1ACBEF（1）求证：/平面；（2）求的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.【解析】：（1）在长方体中，可知，则四边形是平行四边形，所以。因为分别是的中点，所以，则，又面，面，则/平面。（2）. （3）在平面中作交于，过作交于点，则. 因为，而，又，且. .为直角梯形，且高.17提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时研究表明：当50x200时，车流速度v与车流密度x满足当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时 （）当0x200时，求函数v(x)的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到个位，参考数据）【解析】：(1) 由题意：当0x50时，v(x)30；当50x200时，由于，再由已知可知，当x200时，v(0)0，代入解得k2000.故函数v(x)的表达式为 (2) 依题意并由(1)可得， 当0x50时，f(x)30x，当x50时取最大值1500. 当50x200时，取等号当且仅当，即时，f(x)取最大值 （这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时19函数在处的切线方程与直线平行；（1）若=，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；（3）若，方程有三个解，求实数的取值范围【解析】：（）因为 所以 ， 2分又 设图像上任意一点因为 ,所以切线方程为 4分令 得； 再令得 ,故三角形面积, 即三角形面积为定值. 6分（）由得，假设存在满足题意,则有化简,得 对定义域内任意都成立, 8分故只有解得所以存在实数使得对定义域内的任意都成立.11分（）由得，由题意知,因为且化简,得 13分即15分如图可知,所以即为的取值范围. 16分19、如图，已知椭圆过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：xy2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点 (1)求椭圆的标准方程(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.()证明：2.()问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOAkOBkOCkOD0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【解析】： (1)解：因为椭圆过点(1，)，e， 所以a，b1，c1.故所求椭圆方程为y21.(2)()证明：方法一：由于F1(1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，所以k1k2，k10，k20.又直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x1)，yk2(x1)，联立方程解得，所以P(，)由于点P在直线xy2上，所以2.因此2k1k23k1k20，即2，结论成立方法二：设P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P不在x轴上，所以y00.又x0y02，所以2.因此结论成立()解：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)联立直线PF1与椭圆的方程得化简得(2k1)x24kx2k20，因此xAxB，xAxB，由于OA，OB的斜率存在，所以xA0，xB0，因此k0,1.因此kOAkOB2k1k1k1(2).相似地，可以得到xC0，xD0，k0,1，kOCkOD，故kOAkOBkOCkOD2()2.若kOAkOBkOCkOD0，须有k1k20或k1k21.当k1k20时，结合()的结论，可得k22，所以解得点P的坐标为(0,2)；当k1k21时，结合()的结论，解得k23或k21(此时k11，不满足k1k2，舍去)，此时直线CD的方程为y3(x1)，联立方程xy2得x，y.20设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）（）求数列的通项公式；（）设数列的通项公式为（），若，（）成等差数列，求和的值；（）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为中的三项，20解：（）由题意，当时，有，-，得，各项为正，从而，故成公差2的等差数列又时，解得故 4分（），要使，成等差数列，须，即，整理得，因为，为正整数，只能取2，3，5故， 10分（）作如下构造：，其中，它们依次为数列中第项，第项，第项，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形由的任意性，知这样的三角形有无穷多个 下面用反证法证明其中任意两个和不相似：若，且，则，整理得，所以，这与矛盾，因此，任意两个三角形不相似故原命题正确 16分数学（附加题）21选做题选修：几何证明选讲如图，自外一点作的切线和割线，点为切点，割线交于，两点，点在上作，垂足为点求证：选修：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是。（）求点在作用下的点的坐标；（）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程。解：（），所以点在作用下的点的坐标是。5分（），设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，所以，所求曲线的方程是选修：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：和直线， （1）求圆O和直线的直角坐标方程； （2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标（2）选修不等式选讲已知非负实数，满足，求的最大值22解：（1）略3分（2）结论：5分证：当时，等式成立，假设当时，成立，那么当时，因为，所以，所以，当时，结论也成立综合知，对都成立10分23、是以为底的等腰三角形是的中点. 过点的切线：设 则（2）-（1） 由已知，即由， 由，当 当由当 时，等腰三角形恰有3个等价于以上三个解都满足，故
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