概率论与数理统计试题库.doc

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艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅聿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆袅肆节蕿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈膂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇羈腿莅蚂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀莆蒀虿袀蒈螅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄羅膄薅袀羅芇莇螆羄葿薃螂羃腿蒆 概率论与数理统计试题库概率论与数理统计试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“”，错误打“”） 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则(AB)-B=A ( ) 若X服从参数为的普哇松分布，则EX=DX ( ) 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） 样本方差S2n=1n(Xi=1ni-X)2是母体方差DX的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A、B、C是中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来（1）仅A发生，B、C都不发生；（2）A,B,C中至少有两个发生；（3）A,B,C中不多于两个发生；（4）A,B,C中恰有两个发生；（5）A,B,C中至多有一个发生。三、（15分） 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.四、（10分） 已知离散型随机变量X的分布列为XP2-2-101111156515311 301-|x|e ， x， 2求Y=X的分布列. 五、（10分）设随机变量X具有密度函数f(x)=求X的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14X30). x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999七、（15分）设X1,X2,L,Xn是来自几何分布P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,L,0p1，的样本，试求未知参数p的极大似然估计. 概率论与数理统计试题（1）评分标准一 ； ； ； ； 。二 解 （1）（2）ABUACUBC或ABCUUU；（3）UU或UUUUUU；（4）UU；（5）UU或UUU每小题4分；三 解 设A=三段可构成三角形，又三段的长分别为x,y,a-x-y，则0xa,0ya,0x+y，a不等式构成平面域S.-5分aaax+yaA发生0x,0y-1. 其它0,X1,X2,L,Xn是来自X的样本，则未知参数q的极大似然估计量为_. 解：1P(A+B)=0.3即 0.3=P(A)+P(B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)所以 P(AB)=0.1P(U)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=e-l+le,-lP(X=2)=l22e-l由 P(X1)=4P(X=2) 知 e-l+le-l=2l2e-l2 即 2l-l-1=0 解得 l=1，故1-1e. 63设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为F(x)，密度为fX(x)则P(X=3)= FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=y)yX)Xy- -)y 因为XU(0,2)，所以FX(=0，即FY(y)=FX故0y4,fY(y)=FY(y)=fX=0,其它.另解 在(0,2)上函数y=x2严格单调，反函数为h(y)所以0y1)=1-P(X1)=e-l=e-2，故 l=2Pmin(X,Y)1=1-Pmin(X,Y)1=1-P(X1)P(Y1) =1-e-4.5似然函数为 L(x1,L,xn;q)=(q+1)xq=(q+1)(x,L,x)q ni1ni=1nlnL=nln(q+1)+qlnxi=1nindlnLn =+lnxi0 dqq+1i=1解似然方程得q的极大似然估计为$= q11nlnxini=1-1. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若P(C)=1，则AC与BC也独立.（B）若P(C)=1，则AUC与B也独立.（C）若P(C)=0，则AUC与B也独立.（D）若CB，则A与C也独立. （ ）2设随机变量XN(0,1),X的分布函数为F(x)，则P(|X|2)的值为（A）21-F(2). （B）2F(2)-1.（C）2-F(2). （D）1-2F(2). （ ）3设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立. （B）D(X-Y)=DX+DY.（C）D(X-Y)=DX-DY. （D）D(XY)=DXDY. （ ）4设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111Pab69183若X,Y独立，则a,b的值为2112 （A）a=,b=. （A）a=,b=. 99991151,b=. （ ） （C） a=,b= （D）a=6618185设总体X的数学期望为m,X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是m的无偏估计量. （B）X1是m的极大似然估计量.（C）X1是m的相合（一致）估计量. （D）X1不是m的估计量. （ ）解：1因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图 可见A与C不独立.2XN(0,1)所以P(|X|2)=1-P(|X|2)=1-P(-2X2)(2)+F(-2)=1-2F(2-) =1-F3由不相关的等价条件知应选（B）.4若X,Y独立则有1=2-1 F 应选（A）. a=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2) 1121 =(+a+b)(+a)=(+a) 393921 a=， b= 99 故应选（A）.5EX1=m，所以X1是m的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A=任取一产品，经检验认为是合格品B=任取一产品确是合格品则（1） P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.90.95+0.10.02=0.857.（2） P(B|A)=P(AB)0.90.95=0.9977. P(A)0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为P(X=k)=C3()()k25k353-kk=0,1,2,3.X即 P02712515412523612538 125X的分布函数为0,27,12581, F(x)=125117125,1,26=, 552318 DX=3=. 5525 EX=3x0,0x1,1x2, 2x3,x3.五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)|x0,y0,x+y1 上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z=X+Y的分布函数与概率密 （1）(X,Y)的概率密度为f(x,y)=0,2,(x,y)D 其它.fX(x)= （2）利用公式fZ(z)=+-2-2x,0x1f(x,y)dy=0,其它+-f(x,z-x)dx其中f(x,z-x)=2,0x1,0z-x1-x0,其它2,0x1,xz1.= 0,其它.当 z1时fZ(z)=0 0z1时 fZ(z)=2 故Z的概率密度为z0dx=2x0=2zz2z,0z1,fZ(z)=0,其它.Z的分布函数为z-fZ(z)=z00,0,z1.z11,或利用分布函数法z1.0,2, =z1,z1.2z,fZ(z)=FZ(z)=0, 0z1,其它. 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,2)分布. 求（1）命中环形区域D=(x,y)|1x+y2的概率；（2）命中点到目标中心距离Z=222.1）PX,Y)D=f(x,y)dxdyD=12p4D-x2+y28dxdy=18p 2p21e-r28rdrdq=-21er2-8rd(-)=-e82r2-82-=e-e；1x2+y2818-12（2）EZ=E=-r28+-1-e8pr2dxdy1=8p 2p+0re-1+-rdrdq=e8r2dr40-r28 =-rer2-8+ +0edr=+-8dr=. r2七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）XN(m,s2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值=10，样本方差s2=0.16. （1）求m的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:s20.1（显著性水平为0.05）. （附注）t0.05(16)=1.746,t0.05(15)=1.753,t0.025(15)=2.132,222c0.05(16)=26.296,c0.05(15)=24.996,c0.025(15)=27.488.解：（1）m的置信度为1-a下的置信区间为(-ta/2(n-+ta/2(n- =10,s=0.4,n=16,a=0.05,t0.025(15)=2.132所以m的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）2（2）H0:s20.1的拒绝域为c2ca(n-1).15S22=151.6=24，c0.05 c=(15)=24.996 0.12因为 c2=2424.996=c0.05(15)，所以接受H0.2 概率论与数理统计期末试题（3）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且P(A)=P(B)=0.5，P(C)=0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为_.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_.（3） 设随机变量X的概率密度为f(x)=2x,0xa)=0.01，则a=_.2222 （注：c0.01(17)=33.4, c0.005(17)=35.7, c0.01(16)=32.0, c0.005(16)=34.2）解：（1）P(+)=P()+P()因为 A与C不相容，B与C不相容，所以C,C，故=C 同理 A=P(C+A. B)C=(P)+C(PA)=B0.+20.50.=5. 0.45（2）设A=四个球是同一颜色的，B1=四个球都是白球，B2=四个球都是黑球则 A=B1+B2.所求概率为 P(B2|A)=P(AB2)P(B2) =P(A)P(B1)+P(B2)22C32C32C2C233 P(B1)=22= ,P(B2)=22=C5C5100C5C51001 所以 P(B2|A)=. 2（3）YB(4,p),(X0.5)= 其中 p=PEY=40.5011=1,DY=4441522 EY=DY+(EY)=+1=. 4412xdx=， 433， 441220（4）(X,Y)的分布为这是因为 a+b=0.4，由EXY=0.8 得 0.2+2b=0.8a=0.1,b=0. 3EXE=Y0.-80.=7. EX=0.6+20.4=1.4，EY=0.5 (Y,=)EXY- 故 covX216S24a=0.01 （5）P(Sa)=P42 即 c0，亦即 4a=32 a=8. )a4.0(116= 二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A、B、C为三个事件，P(AB)0且P(C|AB)=1，则有（A）P(C)P(A)+P(B)-1. （B）P(C)P(AUB).（C）P(C)P(A)+P(B)-1. （D）P(C)P(AUB). （ ）（2）设随机变量X的概率密度为f(x)=-(x+2)24,-x 且Y=aX+bN(0,1)，则在下列各组数中应取（A）a=1/2,b=1. （B）a=2,b（C）a=1/2,b=-1. （D）a=2,b= （ ）（3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为 则有（A）P(X=Y)=0. （B）P(X=Y)=0.5.（C）P(X=Y)=0.52. （D）P(X=Y)=1. （ ）（4）对任意随机变量X，若EX存在，则EE(EX)等于（A）0. （B）X. （C）EX. （D）(EX). （ ）（5）设x1,x2,L,xn为正态总体N(m,4)的一个样本，表示样本均值，则m的 置信度为1-a的置信区间为 3XP010.40.6 Y01P0.40.6+ua/2 +ua/2 （B）(-u1-a/2 （A）(-ua/2+ua （D）(-ua/2+ua/2 （ ） 解 （1）由P(C|AB)=1知P(ABC)=P(AB)，故P(C)P(AB) （C）(-uaP(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)P(A)+P(B)-1应选C.（2）f(x)=(x+2)242-=- 即XN(2 )b=时 Y=aX+bN(0,1) 故当a= 应选B.（3）P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.40.4+0.60.6=0.52应选C.（4）EE(EX)=EX应选C.（5）因为方差已知，所以m的置信区间为 (-ua/应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设A=从箱中任取2件都是一等品Bi=丢失i等号 i=1,2,3.则 P(A)=P(1B)P(A|1B+),+au) P2(B)P(AB)2|+3 3A|B)P(B)P(21C43C521C522 =2+2+2=； 2C910C95C99所求概率为P(B1|A)=P(B1)P(A|B1)3=. P(A)8四、（10分）设随机变量X的概率密度为ax+1,0x2, f(x)=其它.0,求（1）常数a； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(1X3).解：（1）1= a=-+-a2f(x)dx=(ax+1)dx=(x2+x)0=2a+202212（2）X的分布函数为0,xxuF(x)=fu(du)=-(du)-021,x2.1,（3）P(1x3)=x2.2,31x1f(x)dx=(1-)dx=.1242五、（12分）设(X,Y)的概率密度为e-x,0yx,f(x,y)=其它.0,求（1）边缘概率密度fX(x),fY(y)； （2）P(X+Y0.xe,00,+f(x,y)dx=+-x =-edx,y+x0,x0. y0y0. =-ye, （2）P(X+Y0. f(x,y)dxdy=x+y0,x0 时 fZ(z)=zz2edx=e-x-z2-e-z0,z0,fZ(z)=-z-z2e-e,z0. 六、（10分）（1）设XU0,1，YU0,1且X与Y独立，求E|X-Y|； （2）设XN(0,1),YN(0,1)且X与Y独立，求E|X-Y|. Y|=10-+-f(x,y)|x-y|dxdy10x0(x-y)dxdy+1x(y-x)dxdy=；3（2）因X,Y相互独立，所以Z=X-YN(0,2)1=N(0,1) E|X-Y|=七、（10分）设总体的概率密度为qxq-1,0x0) f(x;q)=其它.0,试用来自总体的样本x1,x2,L,xn，求未知参数q的矩估计和极大似然估计.解：先求矩估计 m1=EX= 10qxqdx=qq+1 q=m1$= 故q的矩估计为q1-1-m1再求极大似然估计 L(x1,L,xn;q)=qxqii=1ni=1n-1=qn(x1Lxn)q-1ilnL=nlnq+(q-1)lnx dlnLnn=+lnxi0dqqi=1所以q的极大似然估计为$=- q11nlnxini=1.概率论与数理统计期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|)=0.8，则A,B至少发生一个的概率为_.（2） 设X服从泊松分布，若EX2=6，则P(X1)=_.1(x+1),0x1)=1-P(X1)=1-P(X=0)-P(X=1) 解：（1）0.8=P(B|)=1-e-2e-2-2=1-3e-2.（3）YB(8,p)，其中p=P(X1)=DY=82115(x+1)dx= 485315=. 8881i=1,2,3,4,5100. 系统的寿命为Y，所 （4）设第i件元件的寿命为Xi，则XiE(求概率为P(Y100)=P(X1100,X2100,L,X5100)=P(X1100)=1-1+e=