离散LTI系统数值解法实用程序设计终稿

离散 LTI 系统数值解法实用程序设计 摘要 探索连续 LTI 系统转化为离散 LTI 系统的有效方法及初值条件转化的有效方法 对 LTI 离散系统用迭 代法求解指定时区上的输入响应和零状态响应 编写 LTI 连续系统转化为 LTI 离散系统并用迭代方法求解系统响应 的 Mathematica 程序 以 LTI 连续系统分析实例展示程序的高效性和可靠性 关键词 离散系统 迭代法 Mathematica 程序 数值解 Numerical Solution of discrete LTI system utility designed Abstract Explore effective method of continuous LTI system into discrete LTI system effective methods and initial conditions for transformation for LTI discrete systems with iterative method specified input response and zero status area on the response the preparation of LTI continuous system into LTI discrete system with iterative method for solving the system response Mathematica program to LTI continuous systems analysis examples demonstrate the efficiency and reliability of the program Keywords Discrete systems iterative method Mathematica program numerical solution 目录 引言 1 1 连续 LTI 系统的解析解和数值解 1 1 1 求解连续低阶 LTI 系统解析解的特点 1 1 2 求解连续高阶 LTI 系统解析解存在的问题 2 1 3 求解连续 LTI 系统数值解的特点 3 2 连续 LTI 系统转化为离散 LTI 系统的方法 4 3 连续 LTI 系统转化为 LTI 离散系统初值条件的方法 5 4 迭代法求解指定时区上的 LTI 连续系统的编程技巧 5 4 1 求解指定时区上零输入响应的编程技巧 5 4 2 求解指定时区上零状态响应的编程技巧 6 4 3 求解指定时区上全响应的编程技巧 6 5 迭代法求解 LTI 系 统的 Mathematica 程序设计思路 7 6 程序应用实例 8 6 1 用 Mathematica 软件编程求解连续 LTI 系统数值解的思 路 8 6 2 用 Mathematica 软件编程求解连续 LTI 系统的实 例 8 7 结语 9 参考文献 9 附录 A 9 附录 B 10 附录 C 10 第 0 页 共 20 页 引言 随着数字技术以及计算机技术的飞速发展 鉴于离散系统在精度 抗干扰能力和可集成化等方 面 比连续系统具有更大的优越性 因此原来对连续信号和系统的研究问题 越来越多地转化为对 离散信号和系统的处理问题 通信和计算机设备等数字化的高科技产品渗透于人们的生活 学习 工作等诸多方面 这样 对于离散系统的分析 研究和改进成为了必不可少的课题 1 离散系统的响应问题是求解及分析离散系统的基础理论问题 是我们深入分析线性时不变离散 系统的基础 离散 LTI 系统的求解方法有多种 有时域分析法和变换域分析法 其中时域分析法有 利用差分方程直接求解和利用用迭代法求解 本课题所研究的是用时域分析法中的迭代法求解离散 LTI 系统的数值解 2 利用迭代的方法分析不借助任何变换而直接求解 直观且准确 根据差分方程 用迭代的方法 可以求解出零输入响应 yzi k 和零状态响应 yzs k 也可整体求出系统的全响应 迭代法是利用前 n 1 个时点的的响应值和第 n 个时点的输入信号响应的值求出第 n 个时点的系统响应值 这种方法是逐 次求解直到求出各点的响应值 方法简单 概念清楚 对于低阶的系统手工操作就可以求解出 但 对于高阶系统计算量比较大时 利用计算机运算速度快 适合做重复性操作的特点 用 Mathematica 软件编程实现这一过程 则更方便快捷 迭代法不仅可求解线性系统在指定区间上的 值 还可求非线性系统在指定区间上的值 作为理论上的研究 此课题虽然简单 但在实用技术上有广泛的应用 为进一步深入研究奠定 基础 例如在通信 计算机 自动化等很多领域都离不开对各类离散系统的分析处理 其中必定涉 及高阶系统和非线性系统 对于它们的求解 迭代解法是最有效的分析方法 比如我们在声音的处 理过程中 就是经过滤波器 将声音信号转换为离散的差分方程来处理的 再如我们在处理图像时 也是将其转化为离散的差分方程来求解 在未来的 数字化 工业发展进程中 此课题的研究方法 将有更加广泛和深入的应用 3 本课题研究的方法是时域分析法中的迭代法 研究的工具软件是 Mathematica Mathematica 是一款科学计算软件 它有强大的数值运算和符号运算 并且能与其他应用程序 连接 它的很多功能在科学研究领域中处于世界领先地位 截至 2009 年 它已是使用最广泛的理 工软件之一 Mathematica 的发布标志着现代科技计算的开始 Mathematica 是世界上通用计算系统 中最强大的系统 自从 1988 发布以来 它已经对如何在科技领域运用计算机技术产生了深刻的 巨大的和广泛的影响 Mathematica 和 MATLAB Maple 统称为称为三大数学软件 本课题中用 Mathematica 软件用迭代 的方法进行编程求解系统的数值解 第 1 页 共 11 页 1 连续 LTI 系统的解析解和数值解 1 1 求解连续低阶 LTI 系统解析解的特点 当用数字计算机求解 LTI 连续系统的解析解时 或直接在系统中采用数字计算机进行求解时 对于连续低阶系统 可以通过 Mathematica 软件编程来实现 例如求解一个连续低阶系统 其微分 方程为 y t 5y t 6y t 10Cos 20t 1 1 1 y 0 1 y 0 0 5 用 Mathematica 软件进行编程求解 程序如下 Clear y eq y t 5y t 6y t 10Cos 20t y 0 1 y 0 0 5 sol DSolve eq y t t 1 Expand y t y t sol Plot y t t 0 5 所得的结果如图 1 1 所示 1 2 3 4 5 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 图 1 1 输出信号响应图像 由上面这个例子可知 对于连续 LTI 低阶系统 用 Mathematica 软件编程可以求解出它的解析 解 解的过程很容易而且没有出现错误 1 2 求解连续高阶 LTI 系统解析解存在的问题 求连续高阶 LTI 系统的解析解 就不会像求解连续低阶 LTI 系统那么简单 例如求解高阶微分 方程 y t 150000y t 12y t 5 67y t 123y t 100Sin 15 7t 1 2 1 y 0 0 y 0 4 y 0 1 86 y 0 12 用 Mathematica 软件进行编程求解 程序如下 eq y t 150000y t 12y t 5 67y t 123y t 100Sin 15 7t y 0 0 y 0 4 y 0 1 86 y 0 12 sol DSolve eq y t t 1 Expand y t y t sol Plot y t t 0 50 用这种方法求解 在解的过程中出现了问题 如下面所示 RowReduce luc 病态矩阵 1 0 i 0 0 i 1 0 i 1 0 i 1 7227 10 7 1 63119 10 21i 2 1 3 55564 10 15 3 92837 10 35i 150000 t 第 2 页 共 11 页 56 4103 1 52752 10 17i 0 093707 t 56 4103 1 52768 10 17i 0 0468935tCos 0 0809425t 0 00161326 0 i Cos 15 7t 0 00161344 1 63119 10 21i Cos 0 0809425t 2 Cos 15 7t 1 19918 10 23 2 73774 10 41i Cos 0 161885t Cos 15 7t 147 405 2 65336 10 17i 0 0468935tSin 0 0809425 t 4 33681 10 19 2 83324 10 21 i Cos 0 0809425t Cos 15 7t Sin 0 0809425t 0 00161344 0 i Cos 15 7t Sin 0 0809425 t 2 9 74193 10 20 0 i Cos 15 7t Sin 0 161885t 9 62892 10 6 3 67342 10 40i Sin 15 7t 9 6289 10 6 9 55234 10 24i Cos 0 0809425t 2 Sin 15 7t 1 00443 10 21 2 29313 10 39i Cos 0 161885 t Sin 15 7 t 3 38813 10 21 1 65558 10 23i Cos 0 0809425 t Sin 0 0809425t Sin 15 7t 9 6289 10 6 1 10203 10 39i Sin 0 0809425t 2Sin 15 7t 5 8158 10 22 4 07832 10 56i Sin 0 161885t Sin 15 7t 解的结果如图 1 2 所示 1 2 3 4 5 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 图 1 2 输出信号响应图像 通过这个例子 我们发现要求解此类连续高阶系统的解析解是比较困难的 虽然也可以得到结 果 但是却耗费较长时间 而且求出的结果表达较为复杂 不仅含有实函数 而且含有复函数 当 给出一个系数很大很复杂的连续高阶 LTI 系统 我们就解不出来了 因为求解一个复杂的连续高阶 LTI 系统 后台实际上是解一个一元高次代数方程 在用 Mathematica 解这个系数很复杂的一元高 次代数方程时 会有很大的误差 故在用 Mathematica 进行编程求解此类系统时 就解不出来了 例如求解微分方程 y t 18000000y t 12y t 5 67y t 123y t 100Sin 15 7t 1 2 2 y 0 0 y 0 4 y 0 1 86 y 0 12 程序如下 Clear y eq y t 18000000y t 12y t 5 67y t 123y t 100Sin 15 7t y 0 0 y 0 4 y 0 1 86 y 0 12 第 3 页 共 11 页 sol DSolve eq y t t 1 Expand y t y t sol Plot y t t 0 50 对于上面这个微分方程 运行了好长时间 仍然没有求出结果 故对于此类连续高阶系统 就 需要将它化为离散系统 利用 Mathematica 来求解它在指定区间上的数值解 这样既简便又可靠 而且不会出现的错误 1 3 求解连续 LTI 系统数值解的特点 对于连续 LTI 系统的微分方程 y t 150000y t 12y t 5 67y t 123y t 100Sin 15 7t 1 3 1 y 0 0 y 0 4 y 0 1 86 y 0 12 由于求它的解析解既耗时结果又复杂 故我们求它的数值解 用 Mathematica 进行编程 求解它在 一个 0 50s 这个时间段上的数值解 程序如下 Clear y eq y t 150000y t 12y t 5 67y t 123y t 100Sin 15 7t y 0 0 y 0 4 y 0 1 86 y 0 12 sol NDSolve eq y t t 0 50 MaxSteps 1000000 1 Expand y t y t sol Plot y t t 0 50 所得到的结果如图 1 3 所示 InterpolatingFunction 0 50 t 10 20 30 40 50 60 40 20 2040 6080 图 1 3 输出信号响应图像 通过上面的例子 我们知道用 Mathematica 进行编程求解此类方程在指定区间上的数值解 非 常简便 而且很实用 第 4 页 共 11 页 2 连续 LTI 系统转化为离散 LTI 系统的方法 由于用离散系统求解数值解更为简便 快捷和准确 故通常我们先将连续系统转化为离散系统 离散化就是导出能在采样时刻上与连续系统状态等价的离散化状态方程 连续 LTI 系统转化为离散 LTI 系统 包含自变量的离散化 导函数的离散化和方程的离散化 例如对于连续 LTI 方程 y t ay t by t cf t 2 1 y 0 y0 y 0 yp0 要将它离散化为离散 LTI 系统 首先是确定求解的时间区间 将自变量也就是时间离散化 用 Mathematica 进行编程 程序如下 ta 0 tb 10 n 100 Ts tb ta n ts Range 0 n Ts 其中 ta 和 tb 是初始时刻和终止时刻 为采样数 Ts 为采样间隔 ts 为采样时间 然后是输 入函数的离散化 将 f t f ts k f ts k f k f t f k 再是导函数的离散 化 程序如下 y k y k y k 1 Ts y k y k 2y k 1 y k 2 Ts 2 y k y k 3y k 1 3y k 2 y k 3 Ts 3 y k y k 4y k 1 6y k 2 4y k 3 y k 4 Ts 4 其中 y k 是一阶导函数的离散化 y k 是二阶导函数的离散化 y k 是三阶导函 数的离散化 y k 是四阶导函数的离散化 依次类推 将 y m t 转化为 y m k 最后 是方程的离散化 对于对于方程 y t ay t by t cf t 将导函数离散化的结果代入 此方程 整理后 将各项的系数分别用字母表示便可得到离散化的方程 用 Mathematica 进行编程 程序如下 y k 2y k 1 y k 2 aTs y k y k 1 bTs 2y k cTs 2f k 1 a Ts b Ts 2 y k 2 a Ts y k 1 y k 2 cTs 2f k q 1 1 a Ts b Ts 2 y k 2 a Ts qy k 1 qy k 2 cTs 2qf k p 2 aTs q cTs 2q y k py k 1 qy k 2 f k 第 5 页 共 11 页 3 连续 LTI 系统转化为 LTI 离散系统初值条件的方法 探索连续 LTI 系统初值条件转化为 LTI 离散系统初值条件的有效方法 首先我们是对上面导函 数离散化的方程进行变形 然后赋值就可得到 具体做法如下 对 y k y k y k 1 Ts 进行变形 得到 Tsy k y k y k 1 然后给 k 赋值为 将 y 1 y 0 带入 再移项就可得到 y 2 y 1 Tsy 0 对 y k y k 2y k 1 y k 2 Ts2进行变形 得到 Ts2y k y k 2y k 1 y k 2 然后给 k 赋值为 将 y 1 y 0 带入 再移项就可得到 y y y Ts2y 0 用 Mathematica 进行编程 程序如下 y 1 y 0 y 2 y 1 Tsy 0 y 3 2y 2 y 1 Ts 2y 0 第 6 页 共 11 页 4 迭代法求解指定时区上的 LTI 连续系统的编程技巧 用迭代解法可以分别求出零输入响应和零状态响应 也只有用迭代解法可以一次性求出系统的 全响应 其它的方法比如状态空间和传递函数都只能分别求系统的完全响应 迭代解法不仅可以求线性系统的完全响应 还可以求非线性系统模型的完全响应 至于求出的 结果是否有用 取决于非线性系统的模型能不能很好的反应实际系统 而非线性系统的模型能不能 很好的反应实际系统 则取决于构建的描述系统的差分方程是否正确 如果正确 那解出的结果就 能很好的反应该实际系统 4 1 求解指定时区上零输入响应的编程技巧 零输入响应是在没有外加激励时 仅有 0 时刻的非零初始状态引起的响应 它是取决于初始状 态和电路特性 这种响应是随时间按指数规律衰减变化的 4 在用 Mathematica 进行编程的过程中 连续 LTI 系统转化为离散 LTI 系统的方法和连续 LTI 系 统初值条件转化为 LTI 离散系统初值条件的方法上面我们提到 用迭代法求解指定时区上的 LTI 离 散系统零输入响应 那我们只需要将输入信号设为 0 进而求出系统的响应即可 例如对于方程 y t ay t by t cf t 4 1 1 y m y 2 n 将上文我们研究的导函数离散化的结果代入 4 1 1 再整理便可得到离散化的方程 y k 2y k 1 y k 2 aTs y k y k 1 bTs2y k cTs2f k 4 1 2 要用迭代法求解指定时区上的 LTI 离散系统零输入响应 那我们可以将上式中的 f k 取值为 0 同 类的合并后 把 y k 保留在等式的左边 其余项移到等式的左边 即是 1 a Ts b Ts 2 y k 2 a Ts y k 1 y k 2 0 4 1 3 然后我们可以依次给 k 赋值为 0 1 2 就可以依次得到 y 0 y 1 y 2 的值 即是该系 统函数在指定区间上的零输入响应 例如对于方程 y t 260300y t 12y t 6y t 123y t 120Sin 17t 4 1 4 y 0 0 y 0 4 y 0 1 9 y 0 12 将它离散化后 用迭代法求解它在 0 50s 的零输入响应 即就是输入信号为 的情况下 通过已 知的前四个时刻的值依次求出下一个时刻的值 直到求出指定区间上的所有的时刻的零输入响应 将此微分方程中输入信号取为 0 则微分方程变为 y t 260300y t 12y t 6y t 123y t 4 1 5 再用 Mathematica 软件进行编程求解 它的零输入响应 程序见附录 A 结果如图 4 1 所示 10 20 30 40 50 80 60 40 20 0 第 7 页 共 11 页 图 4 1 零输入响应的图像 4 2 求解指定时区上零状态响应的编程技巧 零状态响应就是电路的储能元器件 如电容 电感类元器件 无初始储能 仅由外部激励作用 而产生的响应 5 在用 Mathematica 进行编程的过程中 用迭代法求解指定时区上的 LTI 离散系统零状态响应 那我们只需要将初始状态设为 0 进而求出系统的响应即可 例如对于方程 y t ay t by t cf t 4 2 1 y 1 m y 2 n 将上文研究的导函数离散化的结果代入 4 6 再整理便可得到离散化的方程 y k 2y k 1 y k 2 aTs y k y k 1 bTs2y k cTs2f k 4 2 2 合并 把 y k 保留在等式的左边 其余项移到等式的左边 即是 1 a Ts b Ts 2 y k 2 a Ts y k 1 y k 2 cTs2f k 4 2 3 用迭代法求解指定时区上的 LTI 离散系统零状态响应 那我们可以将上式中的 y 和 y 2 取 值为 0 然后我们可以依次给 k 赋值为 0 1 2 就可以依次得到 y 0 y 1 y 2 的值 即是该系统函数在指定区间上的零状态响应 同样对于方程 y t 260300y t 12y t 6y t 123y t 120Sin 17t 4 2 4 y 0 0 y 0 4 y 0 1 y 0 12 用迭代法求解它在 0 100s 的零状态响应 即就是初始状态都为 的情况下通过已知的前四个 时刻的值依次求出下一个时刻的值 直到求出指定区间上的所有的时刻的零状态响应 则 y 0 0 y 0 y 0 y 0 用 Mathematica 软件进行编程求解 程序见附 B 结果如图 4 2 所示 20 40 60 80 10 0 20 0 15 0 10 0 05 0 05 图 4 2 零状态响应的图像 4 3 求解指定时区上零状态响应的编程技巧 全响应就是线性系统或电路在激励作用下产生的零状态响应与零输入响应之和 它是系统或电 路在输入和初始条件共同作用下的响应 是零输入响应和零状态响应叠加的结果 也体现了线性电 路的叠加性 6 用迭代法求解指定时区上零状态响应的 即是综合了零输入零输入响应和零状态响应 输入状 态和初始状态均不为 0 其他的编程技巧均不变 第 8 页 共 11 页 5 迭代法求解 LTI 系统的 Mathematica 程序设计思路 例如用迭代解法求解方程 y t 150000y t 12y t 5 67y t 123y t 100Sin 15 7t 5 1 1 y 0 0 y 0 4 y 0 1 86 y 0 12 的数值解 并用 Mathematica 进行编程求解它在 0 50s 的解 在离散化的过程中 将导函数的离散化结果带入到微分方程 5 1 中 合并同类项 将 y k 的系数化为 1 其它项的系数分别用字母表示 这样就得到离散化的差分方程为 y k y k 1 y k 2 y k 3 qy k 4 qTs 4fn k 5 1 2 求解的具体过程 用 Mathematica 编程 程序如下 Clear y u ta 0 tb 50 n 200 Ts tb ta n 自变量的离散化编程 ts Range 0 n Ts 输入函数的离散化编程 fn 100 Sin 15 7ts 方程的离散化编程 q 1 1 150000 Ts 12 Ts 2 5 67 Ts 3 123Ts 4 q 4 3 150000 Ts 2 12 Ts 2 5 67 Ts 3 q 6 3 150000 Ts 12 Ts 2 q 4 150000 Ts 初值的离散化编程 y 1 0 y 2 4Ts y 3 1 86Ts 2 8Ts y 4 3 1 86Ts 2 12Ts 12Ts 3 将数值解存入数组编程 u ConstantArray 0 n 1 4 u 1 4 y 4 y 3 y 2 y 1 For j 5 j n 5 j u j A u j 1 B u j 2 C u j 3 q u j 4 q Ts 4 fn j 4 用图像表示解的结果 data Transpose ts u 5 1 ListPlot data Joined True 画出它的图形 如图 所示 10 20 30 40 50 60 40 20 2040 6080 图 5 1 输出信号响应波形图 第 9 页 共 11 页 6 程序应用实例 6 1 用 Mathematica 软件编程求解连续 LTI 系统数值解的思路 1 先给定一个连续系统 比如一个三阶的 RLC 电路 对电路进行分析 得到它的系统函数 2 根据系统函数写出它的微分方程 再将微分方程离散化为差分方程 连续系统的初值也 离散化为差分方程的初值 3 利用 Mathematica 软件和迭代法求出差分方程的数值解 6 2 用 Mathematica 软件编程求解连续 LTI 系统的实例 以 RLC 三阶电路电路为例 7 具有电阻 电感 电容的二端网络如图 5 1 所示 其中 R1 2 R2 80 L1 0 4H L2 0 2H C 5 10 3F 电压 为输入 电压 150Cos 18t 为输 1 ut2 ut 出 求该三阶电路系统的离散化数值解 图 6 1 RLC 时域电路 利用拉普拉斯变换进行分析 建立复频域代数方程 8 L2 和 R2 的串联阻抗为 6 2 12zLsR 1 C 和 L2 与 R2 的并联阻抗为 6 2 zsc 2 总阻抗为 6 2 321RL 3 系统函数为 232121 s 11 RLcRsLHRscLs 6 2 4 代入 R L C 的值 得系统函数 9 6 2 230253 4s 5ss 5 根据系统函数可以列出微分方程 y t 405y t 3500y t 205000y t 200000f t y 0 0 y 0 0 y 0 0 6 2 6 用上文的方法将 6 2 6 离散化为以下形式 y k y k 1 y k 2 y k 3 200000qTs 3fn k 6 2 7 第 10 页 共 11 页 y 1 0 y 2 0 y 3 0 用 Mathematica 进行编程求解 程序见附录 C 10 结果如图 所示 1 2 3 4 5 40 20 20 40 图 6 3 输出系统响应波形图 第 11 页 共 11 页 7 结语 毕业设计是对大学四年学习成果的一次大检阅 平时课堂上学到的知识很难以融会贯通 通过 本次毕业设计 让我在平时学习的知识得到了进一步巩固和加强 通过毕业设计还可以将平时所学 的一些知识应用到实际的设计中 设计刚开始时 由于对编程不是很熟悉 出现了许多错误 造成了多次的返工 但是 正是这 一次次的尝试磨练了我的耐性 并提高了我对软件的操作水平 在这次设计中 我不仅收获了专业 知识 还在与同学的沟通交流中增长了很多的见识 特别是要非常感谢龙老师细心和认真的指导 正因为有了老师和同学的帮助 我的毕业设计才能顺利完成 这次毕业设计为我未来踏上社会 步 入工作岗位打下了良好基础 这个毕业设计 让我深深地体会到这是一个连接学习和工作的桥梁 毕业设计的完成标志着大 学生活的结束 今后迎接我的是更多的挑战 通过毕业设计的磨练 我相信我能够更好的面对这些 把握机遇 创造未来 在大学里我得到了最好的锻炼 我要将学到的知识转换成力量 为了自己的 梦想而努力奋斗 第 12 页 共 11 页 参考文献 1 钱琳琳 牛瑞燕 李秀丽 离散 LTI 系统单位脉冲响应求解方法研究 N 电气电子学报 2010 01 2 Alan V Oppenheim Discrete Time Signal Processing Third Edition M 北京 电子工业出版社 2011 9 70 3 张正文 钟东 基于 Matlab 的离散时间系统分析 N 咸宁学院学报 2007 06 4 杨忠根 任蕾 陈红亮因果周期信号通过 LTI 系统的零状态响应 N 电气电子教学学报 2011 03 5 柴黎 姚秀芳 基于复频域的连续时间 LTI 系统时域分析 J 北京 电子技术 2013 04 1 3 6 侯静怡 刘志杰 离散时间 LTI 系统的响应求解与其 Matlab 的实现 J 北京 中国科技信息 2012 22 48 49 7 朱小奇 三阶线性离散系统的时域分析 N 铁道师院学报 2001 02 8 姜永权 利用状态方程进行连续 LTI 系统数值求解 J 电工教学 1996 06 28 29 9 Alan V Oppenheim Signals and Systems Second Edition M 北京 电子工业出版社 2009 284 510 10 崔本亮 线性时不变 LTI 系统分析方法讨论 J 现代电子技术 2009 03 127 136 第 13 页 共 11 页 附录 A Clear y u ta 0 tb 50 n 400 Ts tb ta n ts Range 0 n Ts fn 0 q 1 1 260300 Ts 12 Ts 2 6 Ts 3 123Ts 4 q 4 3 260300 Ts 2 12 Ts 2 6 Ts 3 q 6 3 260300 Ts 12 Ts 2 C q 4 260300 Ts y 1 0 y 2 4Ts y 3 1 9 Ts 2 8Ts y 4 3 1 9Ts 2 12Ts 12Ts 3 u ConstantArray 0 n 1 4 u 1 4 y 4 y 3 y 2 y 1 For j 5 j n 5 j u j u j 1 u j 2 C u j 3 q u j 4 data Transpose ts u 5 1 ListPlot data Joined True 附录 B Clear y u ta 0 tb 100 n 200 Ts tb ta n ts Range 0 n Ts fn 100 Sin 15 7ts q 1 1 260300 Ts 12 Ts 2 6 Ts 3 123Ts 4 q 4 3 260300 Ts 2 12 Ts 2 6 Ts 3 q 6 3 260300 Ts 12 Ts 2 q 4 260300 Ts y 1 0 y 2 0 y 3 0 y 4 0 u ConstantArray 0 n 1 4 u 1 4 y 4 y 3 y 2 y 1 For j 5 j n 5 j u j u j 1 u j 2 C u j 3 q u j 4 q Ts 4 fn j 4 data Transpose ts u 5 1 ListPlot data Joined True 第 14 页 共 11 页 附录 C ta 0 tb 5 n 300 Ts tb ta n ts Range 0 n Ts fn 150Cos 18ts q 1 1 405 Ts 3500 Ts 2 25000Ts 3 q 3 405 2 Ts 3500 Ts 2 q 3 405 Ts q 1 y 1 0 y 2 0 y 3 0 u ConstantArray 0 n 4 u 1 3 y 3 y 2 y 1 For j 4 j n 4 j u j u j 1 u j 2 2000q Ts 3fn j 3 data Transpose ts u 4 1 ListPlot data Joined True PlotRange All 第 15 页 共 11 页 附录 文献翻译名称 模拟滤波器