数学一第7-10套答案续.doc

数学一（第七套）答案一、 填空题1、答案：考点：泰勒公式解析：2、答案：2考点：变上限积分求导解析：提示 .3、答案： 考点：二阶线性微分方程 解析：特征方程 则齐次方程的通解为 用特定系数法，设原方程的一个特解为非齐次二阶常系数方程求解问题，根据非齐次项的形式设定特解形式，用特定系数法求出特解 代入原方程得 ，B=2，即原方程的通解为 4、答案： 考点：矩阵乘积变换与逆矩阵运算、 解析： 5、答案：考点：基本概率及条件概率事件解析：6、答案：5考点：期望、方差解析：二、选择题7、答案：B考点：向量基本关系，空间直线解析：的方向向量分别为2，1，1与2，1，3，不平行，但有公共点，故选B。8、答案：A考点：连续，可导概念解析： 要使上式极限存在，由于存在且为所以应使存在，又当时才存在，故应选A。9、答案：D考点：二重积分的积分次序变换，直角坐标与极坐标的积分转换解析：累次积分是函数，在积分域：上的二重积分的极坐标系下的累次积分表达形式，于是在直角坐标系下的累次积分为 若则圆心在x轴上；若则圆心在y轴上。10、答案：D考点：级数敛散性解析：例如收敛，亦收敛；收敛，发散。11、答案：B考点：多元函数的极值判定解析：所以在内D部不可能有极值点，从而最值点必在D的边界上。12、答案：C考点：初等矩阵乘积运算解析：右乘矩阵A相当于对第二列、第三列互换，左乘矩阵相当于对该矩阵第二，第三行互换，经验证只有C符合题意。13、答案：C考点：矩阵乘积解析：A、表示三个平面互相平行，至多有两重合。 B、表示条件必要，但不充分 C、中任两个线性无关任两个平面均相交，而不能由线性表出方程组无解（即排除三平面交于一条直线的情形），可见C入选。14、答案：B考点：数学期望，相关系数解析：设t 为0 ，1上均匀分布，的概率密度函数相关系数为1，故A错 故B正确故C错三、解答题15、考点：函数奇偶性、单调性及积分变换中值定理解析：（1）若是偶函数，则 故F( x )与f ( x )有相同的奇偶数。（2）因为 由定积分中值定理 间）故 因为非增，于是当时，当时，所以对均有，即有F ( x )非减。16、考点：二重积分解析：根据被积函数中有，这个因子的特点，以为分界线，将全面划分成为两个子区域，于是 注意：是积不出来的，所以在D1上要先对x积分，而在D2上要先对y积分，因此 作代换则17、考点：三角积分，级数敛散性解析：（1）因为 所以 （2）因为所以敛，从而收敛。18、考点：空间解析几何直线方程解析：直线L1与L2的方向向量分别为取点（1，3，0），则L1与L2的对称式方程分别为 l的方向向量为过L1且平行于是s的平面的法向量为的方程为将的参数方程：代入平面的方程，求得于是得直线与平面的方程，求得于是得直线与平面的交点为，最后得公垂线l的方程： 19、考点：积分不等式解析：由 故 20、考点：矩阵特征值、特征向量解析：依题设，有即因此， 21、考点：求解方程组解析：（1） 故（I）的导出组的基础解系为（1，1，2，1）T，（I）的通解为 （k为任意实数）。（2）将（I）的通解代入方程组（II），得 若（I）的解均是（II）的解，则上述方程应对任意k成立，故得t =5，n =2，m =1，即当m =1，n =2，t =5时，（I）的解均是（II）的解，当m =1，n =2，t =5时由方程（II）知，故知I、II是同解方程。22、考点：利用随机变量X和Y的联合概率分布求其函数的数学期望解析：设Z表示商店每周所得的利润，则X与Y的联合概率密度为 故 23、考点：置信区间解析：因2000相对于50很大，故可认为所抽取的50户独立随机样本，n = 50，户为非偷漏税户户为偷漏税户令 则由中心极限定理 而满足的点故问题归结为估计参数p，使整理该不等式得其中从而求得故p的95%的置信区间为（0.366，0.634）数学一（第八套）答案一、 填空题1、答案：考点：型极限值解析：原式（这步变换很常见且重要，需牢记） 2、答案：考点：变上限定积分求导解析：因为 所以 当k 0时，所求通解为4、答案：考点：矩阵变换，矩阵逆运算解析：因为所以矩阵P可逆，于是由AP=PBP-1，又故 5、答案：考点：伯努力分布解析：则 又 即 故知参数，因此EX = 2。二、选择题7、答案：A考点：空间解析几何解析：本题重在理解直线的意义，设两条直线一过A3，平行于一过A1，平行于A2A3，因是满秩的，故A1、A2、A3不共线，由右面示意图即知道两直线相交。8、答案：B考点：变上限定积分求导和连续函数的性质解析：9、答案：D考点：多元函数求偏导解析：因为是由连续初等函数复合而成的，显然二阶混偏导数 均存在并且连续，故必有，因而选D。10、答案：D考点：级数收敛性解析：应选D。因为级数显然为正项级数，由根值差别法有由此得知级数发散，C也正确，故选D。11、答案：C考点：连续函数微分方程解析：求得驻点为此外，有（1）当时，驻点为，从而 于是 而，即驻点均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值。（2）当时，驻点为此时于是 即驻点为非极值点。综合上述，故选C。12、答案：D考点：矩阵乘法解析：由题设ABC=AE，可知A，B，C均可逆，且ABC=BCA=CAB,将ABCD与以上比较，可知D入选。13、答案：B考点：线性相关、线性无关解析：对于选项A，由于 则向量组线性相关，选项A不对。同样地，对于选项C，D，有 这两个向量组也线性相关，故选项C，D均不对。对于选项B，由于向量组线性无关，则向量组也线性无关，设有一组数使得由于线性无关，得线性方程组 系数先列式 方程组仅有零解，即所以，向量组线性无关，因此本题应选B。14、答案：B考点：样本空间概率分布解析：显然于是 则又 由于独立，从而相互独立。于是 可见Y服从自由度为n-1的t分布，故B入选。三、解答题15、考点：连续函数求导数解析：方程两边求导得 上式再求导 或解 将 代入上式得 16、考点：曲面积分解析：曲面积分应用题，由重心公式列出相应的积分式。解：以球心为原点，铅垂直径为Z，轴建立右手坐标系，则球面方程为任一点的密度是，且由对称性可知，半球壳的重心坐标中有只需求出其中S是上半球面，、因为 所以 其中D是S在xoy平面上的投影区域上述M的计算利用极坐标较方便，有 重心坐标为17、考点：级数求和解析：解方程得通解为代入得于是，18、考点：空间解析几何解析：设所求的直线方程为平衡的法矢量由直线与平面平行，所以 （*）因为两直线相交，故有 （*）解方程（*），（* *）得 令 故 所求直线为 19、考点：中值定理解析：上满足柯西值定理条件，于是，使 又 在a,b上满足拉格朗日中值定理， ，使得 由上面二式可得 20、考点：正交矩阵解析：由行列式乘法公式，得（1）如那么从而（2）如那么得到又因所以不论，总有21、考点：线性方程组求解解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换，有 （1）当时，即a=1且b=3时，方程组有解。（2）当a=1，且b=3时，有 原方程组的同解方程组为 （*） 导出组的同解方程组为 自由未知量分别取值（1，0，0）T，（0，1，0）T，（0，0，1）T，得导出组的一个基础解系 （3）在方程组（*）中，令得原方程组的一个特解 因此原方程组的全部解为其中k1, k2, k3为任意常数。22、考点：随机变量概率分布解析：随机变量的分布函数为 于是，随机变量的概率概率密度为 23、考点：无偏估计、样本均值、样本偏差解析：设为样本值，（1） 似然函数为 则 令 解得 从而得到a的极大似然估计量 （2） 以替换E（X），得解出a ，得到a的估计量 数学一（第九套）答案一、 填空题1、考点：e2解析：由于可导，故在x = 0处连续，因此又故 原式=2、答案：考点：定积分解析： 前一个积分中则所以 3、答案：考点：二阶线性常微方程解析：特征方程为解得原方程的通解为：由初始条件，有 故 4、答案：（1）n考点：矩阵变换解析：为n 个线性无关列向量，则矩阵可逆，即且满足注意到 （矩阵列互换）故 注：将已知条件转为 是关键5、答案：考点：重复试验解析：记事件分别表示甲、乙在第i次投篮中投中，i为甲、乙二人投篮的总次数；i =1,2,3,4,记事件A，B分别表示甲、乙取胜，则 是一个公比的几何级数求和问题。由于，该级数收敛，且 若要甲、乙胜率相同，则即 这种游戏规则，只有当时，甲、乙胜负概率相同。6、答案：考点：离散事件的数学期望解析：令X表示在取到正品之前已取出的废品数，则X是一随机变量，有三个可能取值：0，1, 2.X的概率分布为 数学期望 二、选择题考点：曲面切平面解析：设点的坐标为则曲面在P点处的法向量为，而平面的法向量为依题意，应与平行，故有 由此得因P点在曲面上，故故应选C。8、答案：D考点：函数连续性和极限解析：推得 （1）及 （2） 由于在处连续，所以由（1）得由（2）得 从而知存在在的一个空心领域内有9、答案：B考点：多元函数偏导，隐函数求偏导解析： 故 注：此题也可举特例验证，如10、答案：C考点：级数敛散性解析：设则A、B、D不正确又 发散。故C正确。11、答案：D考点：积分函数奇偶性，大小估计解析：由于M的被函数在上是奇函数，则M=0。 故D入选。12、答案：C考点：矩阵秩解析：因故，（或），故应有又因，故（若则矛盾）。13、答案：C考点：线性相关解析：将一个分量均变为0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关，A， B属初等（行）变换不改变矩阵的秩，并未改变换列向量组的线性无关性，D增加向量分量也不改变线性无关性。14、答案：B考点：正态分布解析：的概率密度函数为因而 三、解答题15、考点：积分变换连续解析：对第一个积分取，对第二个积分取，则上式右边为其中在之间。令时，有16、考点：曲面积分解析：由得投影区域D的边界为 由方程，得 于是原式17、考点：级数求和解析：取为绝对收敛级数 再取为的泰勒级数 两级数相乘得 故 注：如果级数都收敛，作这两个级数乘积，其中如也收敛，则必有18、考点：微分方程应用解析：设为子弹在木板内的运动规律，阻力为，按题意其中即 由 得 设子弹穿过木板所用的时间为T，则有从而 又 即 又 故 由 得所求时间为T。19、考点：中值定理解析： 又 故 即 其中 20、考点：方程组求通解解析：由已知有是相应的齐次方程组的两个线性无关解，系数矩阵的秩又 系数矩阵有二阶子式 系数矩阵的秩， 系数矩阵的秩为2。 齐次方程组的基础解系包含2个解向量，即 是齐次方程组的基础解系。 该方程组的通解为 21、考点：矩阵特征值解析：因为A有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征值，所以A的对应于的线性无关的特征向量有两个，故秩经过行的初等变换 于是，解得 矩阵 其特征多项式 由此得到特征值：解得对应的特征向量为 解得对应的特征向量为 22、考点：条件概率解析：由题设条件知，的密度函数皆为 于是 因此 故 23、考点：极大似然估计解析：设的分布密度为 因此a , b的似然函数为 因为由似然方程组 求不出a , b，故不能用解似然方程组的方法求出a 和b的极大似然估计量，为此，令 因为当时，似然函数取最大值，所以为的极大似然估计。数学一（第十套）答案一、 填空题1、答案：3考点：求极限解析：这是“”型，数列极限，不能直接用洛必达法则，可以利用连续变量的极限，即得用求得原式当时，于是也可由原式2、答案：考点：分部积分解析：由于被积函数为应联想分部积分法 3、答案：考点：微分方程解析：特征方程有相异的实根设原方程的一个特解为代入原方程，得故原方程组的通解为4、答案：考点：矩阵运算，伴随矩阵解析：由得 故应填 5、答案：考点：概率分布 Z 0 1P 解析： X 0 0 1 1Y 0 1 0 10 1 1 1 1由可知 6、答案：考点：数学期望望应用解析：由题设可知X的分布密度为 =二、选择题7、答案：B考点：空间解析几何、向量运算解析：若两边同时数乘c，则得共面，以共面是的必要条件，设共面，例如故共面不是成立的充分条件。注：对于不好确定的定义，采用反例推理是一种可行方法。8、答案：C考点：函数连续性、可导性解析：令显然当时，恒有可见A，B，D不入选，故C入选。9、答案：C考点：偏导、全微分解析：当时，在点（0，0）连续，又但不是时的高阶无穷小，故不可微。10、答案：C考点：级数收敛性解析：由于而且级数均收敛，所以原级数绝对收敛，即C正确。11、答案：D考点：偏导数、多元函数求极值解析： 因为在处连续，又不妨设在的邻域内当 n 为偶数时，（的空心邻域），即是极小值。当n 为奇数时，不是极值，选D。还可举特例进行难证12、答案：C考点：先将行列式拆分为两个行列式之和，得到再利用两列一调，行列式变号的性质，得到因而C对，其余的都不对。13、答案：D考点：线性相关线性无关解析：显然A，B都不对，例如它们都不是零向量，且任意两个向量的分量不成比例，它们线性相关，故A，B不是线必无关的充分条件，显然也不是必要条件。若线性无关，则其个数m不超过向量的维数n 即这是向量组线性无关的必要条件，但不是充分条件，例如有但线性相关。可知只有D成立。14、答案：C考点：正态分布性质解析：对任意为常数。因为 三、解答题15、考点：复合函数、导数连续性解析： 当时，当时，当时，故在处可导，且综合以上有 显然6因此处连续，进而易知上连续。16、考点：曲面积分解析：旋转面方程：该曲面在xz平面上的投影域 无论从Dxz的表达式，还是故 17、考点：级数收敛性解析：使用比较判别法，由级数收敛，得出的有界性，于是由比较判别法知收敛。证明： 级数收敛其部分和为常数。级数由比较判别法知收敛。18、考点：解析几何解析：只要确定出直线l及投影直线所的平面，则投影直线为原平面的交线，平面垂直于平面，则法向量因此解：将所求直线作两平面的交线，因而只需求出过直线与已知平面垂直的平面即可。平面为 所求直线为19、考点：泰勒级数的展开，中值定理解析：将处展开（在x , b之间）令由题设，则 其中在之间。注意泰勒级数的应用。20、考点：正交矩阵性质解析：要证为正交矩阵，按定义只需证证明：因为故为正交矩阵。21、考点：线性方程组求解解析：对方程组增广矩阵作初等行交换可见，当b = 0 时，方程组无解。 当时，继续作初等行变换。于是，当时，方程组有惟一解 当即时，方程组无解当时，方程组变为方程组有无穷多解其中为任意常数。22、考点：随机变量概率分布解析：（1）由分布函数的定义 即 即 于是，可解出 故 （2）（3） （4）由于 即不绝对收敛故的的期望不存在。注：级数收敛但不绝对收敛与之相对应，期望是不存在的，虽然23、考点：最大似然函数解析：似然函数为 对数，得对数似然函数对求导，得似然方程 其惟一解为 它显然使达到最大值，从而是的极大似然估计。