人教九年级数学第23章 旋转—旋转基础知识及专题(word版 含答案)

第 1 页 共 11 页 旋 转 及 综 合 专 题 一 旋转相关定 义 1 定 义 把 一 个 图 形绕 着 某 一 点 O 转 动 一个 角 度 的 图 形变 换 叫 做 旋转 点 O 叫 做 旋转 中 心 转 动的角叫做旋转角 2 如果图形上的点 P 经过旋转变为 P1 那么这两个点叫做这个旋转的对应点 3 1 对应点到旋转中心的距离相等 即旋转 中心 在对应 点所 连线段 的垂直 平分 线上 2 对应 点与 旋转中 心所 连线段 的夹角 等于 旋转角 3 旋转前 后图形全等 4 把 一 个 图 形 绕 着 某 一 点 旋 转 180 如果 它 能够 与 另一 个 图形 重 合 那 么就 说 这两 个 图形 关 于 这个点对称或中心对称 这个点叫做对称中心 这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点 5 1 关于中心对称的两个图形 对称点所连线段都经过对称中心 而且被对称中心平分 2 关于中心对称的两个图形是全等图形 6 把 一 个 图 形 绕 着 某 一 点 旋 转 180 如果 旋 转后 的图 形 能够 与 原来 的 图形 重合 那么 这 个图 形 叫做中心对称图形 这个点就是它的对称中心 二 旋转相 关结论 如 图 将 ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 角 到 AB1C1 点 B 和点 B1 为对应点 点 C 和 C1 为 对 应点 结 论 1 旋 转 中 心 为 对 应 点 所 连 线 段 垂 直 平 分 线 的 交 点 也 即 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线 均 经 过 旋 转 中 心 如 图 线 段 BB1 的 垂 直 平 分 线 l1 线段 CC1 的垂直平分线 l2 都经过旋转中 心 点 A 利 用 这 个 结 论 我 们 可 以 利 用 对 应 点 坐 标 求 出 旋 转 中 心 的 坐 标 由 于 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线 均 经 过 旋 转 中 心 因 此 只 需 求 出 两 组 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线 解 析 式 然 后 联立即可求出旋转中心坐标 结论 2 对应点与旋转中心所构成的三角形均为 等腰三角线 且等腰三角形顶角均等于旋转角 如图 ABB1 和 ACC1 均为等腰三角形 BAB1 CAC1 第 2 页 共 11 页 结论 3 对应点与旋转中心所构成的三角形均相似 如图 BAB1 CAC1 结论 4 旋转前 后图形全等 如图 ABC AB1C1 示例 1 已知 A 3 2 O 0 0 将线 段 OA 绕点 P 旋转得到线 段 O1 A1 其 中 O1 1 1 A1 3 4 O1 为 点 O 的对应点 A1 为点 A 的对应点 求点 P 的坐标 分 析 旋转 中心 为对 应 点所 连线 段垂 直平 分 线的 交点 因 此只 要 求出 线段 AA1 和 线段 OO1 的 解析 式 然后联立即可求出点 P 的坐标 解析 A 3 2 A1 3 4 直线 AA1 x 3 直线 AA1 的垂直平分线 l1 y 1 O 0 0 O1 1 1 直线 OO1 y x 直线 OO1 的垂直平分线 l2 y x 1 点 P 为 l1 与 l2 的交点 联立 可得 P 0 1 点 P 的坐标为 P 0 1 附 在直 角坐 标系中 求线 段的垂 直平分 线的 方法 必 须掌 握知识 点 已知点 A x1 y1 和点 B x2 y2 求线段 AB 的垂直平分线 l 处 理方法如下 第一步 根据点 A x1 y1 和点 B x2 y2 的坐标首先求出直线 AB 的解析式 l1 y k1 x b1 第 二 步 设 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 l 的 解 析 式 为 l y k2 x b2 以 为 l2 l1 所 以 k1 k2 1 从而求出 k 2 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为 1 21k 第三步 根据中点坐标公式直接写出线段 AB 中点 M 1212 分析 既然直线 l 为线段 AB 的垂直平分线 所以直 线 l 经过线段 AB 的中点 也即线段 AB 的 中点在直线 l 上 第四步 将线段 AB 的中点 M 代入 l 中求出 b2 的值 12x 12y21yxk 最后将 b2 的值代入 中即可求出线段 AB 的垂直平分线的解析式 21ybk 示例 已知点 A 2 4 和点 B 2 2 求线段 AB 的垂直平分线 l 处理方式如下 第一步 由点 A 2 4 和点 B 2 2 可得直线 AB 的解析式 l1 y x 3 2 第 二 步 设 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 l 的 解 析 式 为 l y k2 x b2 以 为 l2 l1 所 以 k1 k2 1 从而求出 k 2 2 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为 l y 2 x b2 第 3 页 共 11 页 第三步 由点 A 2 4 和点 B 2 2 可得线段 AB 的中点 M 0 3 第四步 将点 M 0 3 代入 l y 2 x b2 中可得 b2 3 因此 最终可得线段 AB 的垂直平分线为 l y 2x 3 提醒 处理方法需要牢记 另外计算的时候要格外细心 千万不要算错了 三 点绕点旋 转 90 问题 此种问题通过构造两个直角三角形全等 然后利用对应直角边线段长度相等 从而求出对应 点坐标 示例 将点 A 3 4 绕点 P 1 1 逆时针旋 转 90 求点 A 的对应点 A1 的坐标 分 析 旋转 不 改 变图 形 线 段长 度 及 图形 线 段 的夹角 因此有 PA PA1 由于旋转角 为 90 即 APA1 90 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 PA PA1 以 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段 构 造 两 个 直 角三 角 形 很 显 然 这 两 个 直角 三 角 形时 全 等三 角 形 然 后 利 用直 角 边 线段 长 度 关系 即可求出点 A1 的坐标 解析 如图 过点 P 作直线 l 平行于 x 轴交 y 轴于点 B 过点 A 作 AM l 于 M 过点 A1 作 A1 N l 于 N 易证 AMP PNA1 ASA 则有 AM PN PM A1 N A 3 4 P 1 1 AM 3 PM 2 PB 1 N 2 1 A1 2 3 四 旋转示 例解析 理解如何 利用线段旋转带动 线段所在三角形旋 转 在解决旋转相关题型时 最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合 从而利用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动 进而构造全等三角形 再利用旋转知识 解决 相关 问 题 因 此 在 处理 此 类 题型 时 同 学们 尤 其 要注 意 题 干中 是 否说 明 某 某三 角 形 为等 腰 三 角 形 尤 其 注意 等 腰 直角 三 角 形 等 边 三角 形 正 方 形 顶 角 为特 殊 角 的等 腰 三 角形 遇 到 以 上三 角形 时 同 学可 以考虑 以下利 用旋 转来解 题 以 下 通 过 一 些 实 例 来 帮 助 同 学 们 理 解 如 何 利 用 等 腰 三 角 形 的 腰 转 动 带 动 等 腰 三 角 形 腰 所 在 的三 角形转动 从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题 第 4 页 共 11 页 例 1 已知如图 ACB ACB 90 AC AB PA 3 PC 2 PB 1 求 BPC 的度数 分 析 这里明 显可以判断 ACB 为等腰直 角三角形 因此可 以利用将其中一腰 旋转至与另一腰重 合 构造全等三角形 图 1 图 2 解析 图 1 中是将等腰直角三角形 ACB 的一腰 AC 绕点 C 逆时针旋 转 90 与另一腰 BC 重合 从而带动 CAP 逆时针旋 转 90 至 CBH 可得 CAP CBH CP CH HCP 90 PA BH 3 CPH 45 PH 2PC 2 PH 2 PB 2 BH 2 HPB 90 BPC 135 图 2 中 是 将 等 腰 直 角 三 角 形 ACB 的 一 腰 BC 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 90 与 另 一 腰 AC 重 合 从 而 带动 CPB 逆时针旋 转 90 至 CHA 可得 CPB CHA 可得 CHP 45 再利用勾股定理证 PHA 90 即可 例 2 已知 如图所示 等腰 Rt ACB ACB 90 D 为 ACB 外一点 且满 足 ADC 45 AD 3 CD 4 求 BD 的值 分析 这里已知等腰 Rt ACB 可以将 等腰 Rt ACB 的一腰 BC 顺时针旋 转 90 与 另一腰 AC 重合 从而带动 DCB 顺时针旋转 90 至 HCA 解析 将 DCB 绕点 C 顺时针旋 转 90 至 HCA 则有 DCB HCA DC HC DCH 90 HDC 45 DH DC 42 又 ADC 45 HDA 90 最后利用勾股定理可以求出 AH 的值 也即 BD 的值 第 5 页 共 11 页 例 3 已知如图 ABC 为等边三角形 PA PB 3 PC 求 APC 的度数 72 分析 这里已知 ABC 为等边三角形 符合旋转条件 可以将 ABC 一边 AC 顺时针旋转 60 与另一边 AB 重合 解析 将 APC 绕点 A 顺时针旋转 60 至 AHB 则 APC AHB AP AH HAP 60 PC HB 2 AHP 为等边三角形 HP PA 7 HB 2 HP 2 PB 2 BHP 90 APC AHB 150 例 4 已知如图 四边形 ABCD ADC 60 ABC 30 且 AD AC 求证 AB 2 BC 2 BD 2 分析 这里实际可知 ADC 为等边三角形 满足旋转条件 解析 将 ADB 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 可得 ABH 为等边三角形 又 ABC 30 从而 可得 CBH 90 直角三角形就 可以使用勾股 定理了 例 5 如图 已知等边 ABC 点 D 为 ABC 外一点 且满足 BDC 120 试问 BD DA DC 是否有确定的数量关系 分析 这里 ABC 为等边三角形 满足旋转条件 解析 将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 则有 ABD ACH ABD ACH ADH 为等边三角形 DA DH BDC 120 BAC 60 ABD ACD 180 ACH ACD 180 第 6 页 共 11 页 D C H 三点共线 必须证三点共线 否则扣分 DA DC DB 变式 拓展 如图已知等边 ABC 点 D 为 ABC 外一点 但 BDC 大小不确定 BD 3 DC 4 试问 DA 的最大值为多少 分析 这里 ABC 为等边三角形 满足旋转条件 解析 将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 则有 ABD ACH ADH 为等边三角形 CH BD 3 DA DH DH DC CH DA 7 DA DC CH 例 6 如图 已知正方形 ABCD E 为正方形 ABCD 外一点 AE 2 DE 1 求 CE 的最大 值 分析 这里出现了正方形 ABCD 正方向可以看成是两个 等腰直角三角形组合而成 符合旋转条件 解析 将 EDC 绕点 D 顺时针旋 转 90 至 HDA 则有 EDC HDA CE AH DE DH EDH 90 EH 2DE AH AE EH 2 3 2 CE 3 第 7 页 共 11 页 五 旋转相似 旋转相似是比较难的一种变换模式 难就难在不易发觉更不易构造 掌握起来比较难 两个相似三角形绕某一点旋转 必然出现一对新的相似三角形 如图 ABC AB1C1 则有 ABB1 ACC1 证 明 ABC AB1C1 BAC B1 AC1 BAB1 CAC1 ABC AB1C1 1 ABB ACC 例 1 如图 已知 ABC 为等边三角形 D 为 AB 的中点 DE 1 EA 2 求 CE 的最大值 分析 ABC 为等边三角形 D 为 AB 的中点 则 ACD 30 ADC 为直角三角形 可以利用这个 ACD 30 特殊角进行构造相似三角形 解 析 连 CD 则 CD AD 且 AC 2 AD 即 构造 Rt AEH 使得2 则 Rt ADC Rt AEH DAC EAH 60 EAD HAC 又 2 AHC AED CH 2DE 2 EAH 60 AEH 90 EH AE 23 CE EH CH CE 2 2 小结 这里可以看出 Rt ADC Rt AEH 则 AHC AED 第 8 页 共 11 页 例 2 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CD 3 AD 求 BD 的最大值 12BA5 分析 这里 ACB 为直角三角形 可以利用这个 C 直角三角形直角边的比构造相似三角形 解析 过点 C 作 CH CD 且满足 连 DA AH 12H 则有 Rt ACB Rt HCD ACH BCD 又 12 DCB HCA BD AH 12 又 AH DH DA DH CD 35 AH 4 5 BD 2 小结 这里 ACB HCD 则有 DCB HCA 第 9 页 共 11 页 第 11 页 共 11 页 六 旋转的 四种模型 仅作了 解 1 绕 点模 型 普通绕点模型很容易看出旋转中心 一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形 中可以绕顶 点进行旋转 使两腰重合 从而构造三角形全等来解题 AB AC 则有 BC CD 则有 CB CA CD 则有 BAM BCN BCM DCN CBE CAF 示例 如图 正方形 ABCD 内有一点 P PA 1 PA 2 PC 3 1 求 PD 的长 2 求 APB 的大小 3 求正方形的边长 分析 此题中出现了正方形 由于正方形四条边 长度相等 四个角均为直角 很适合利用旋转来 作答 解析 1 过点 P 作 MN AB 交 AD 于 M 交 BC 于 N 则有四边形 ABNM 四边形 DCNM 均为矩 形 AM BN DM CN 在 Rt PAM 中有 PA 2 AM 2 PM 2 在 Rt PNC 中有 PC 2 CN 2 PN 2 在 Rt PBN 中有 PB 2 BN 2 PN 2 在 Rt PDM 中有 PD 2 DM 2 PM 2 PA 2 PC 2 PB 2 PD 2 又 PA 1 PA 2 PC 3 PD 6 2 将 PBC 绕点 B 逆时针旋 转 90 得 EBA 则有 PBC EBA BE BP BE BP AE PC 3 PE PB 2 BPE 45 PA 2 PE 2 12 2 2 9 AE 2 APE 为直角三角形 APE 90 APB APE BPE 135 APB 135 3 过点 B 作 BF AP 于 F APB 135 BPF 45 BF PF PB AF PA PF 1 22 在 Rt AFB 中有 AB 2 BF 2 AF 2 5 2 AB 即正方形的边长为 在遇 到等 腰三角 形时 可以利 用旋转 使腰 刚好重 合 构造全 等三 角形解 题 第 12 页 共 11 页 2 空翻模型 空翻与普通绕点的区别在于普通绕点可以一眼看出旋转中心 而空翻则不能 AM CE AE NE 且 AE NE 则有 AME ECN AMD DCF BD CA BD CA CF AB 作 AG AD 则有 ABD GCA 3 弦 图 模型 弦图也叫三垂直结构 属于极为特殊的空翻 形式上分为内弦图 外弦图 应用上可以分为 全等弦图 相似弦图 其基本模型有如下三种 外弦 图 内弦 图 半弦 图 第 13 页 共 11 页 4 半 角模 型 半角属于绕点 不属于空翻 是一种极为特殊的绕点 凡涉及到等腰直角三角形 等边三角 形 特殊等腰三角形 正方形的图形都可能出现半角模型 DAE BAC 45 AB AC EAF BAD 45 则 有 12 12 则有 ACD ABF FBE 90 ABF ADG AGE AFE AFE ADE EAD BAC 则有 12 ACD ABF AFE ADE