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第八章第六节一、选择题1(文)(2013江西吉安模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y40的距离小2，则点P的轨迹方程为()Ay28xBy28xCx28yDx28y答案C解析由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y40的距离小2，因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y20的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y2为准线的抛物线，P的轨迹方程为x28y.选C(理)(2013东北三校模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|答案C解析抛物线的准线方程为x，由定义得|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，则|FP1|FP3|x1x3x1x3p,2|FP2|2x2p，由2x2x1x3，得2|FP2|FP1|FP3|，故选C2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2B3CD答案A解析直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2，故选A点评与抛物线有关的最值问题常见题型(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()AB3CD答案A解析抛物线y22x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离因此所求的最小值等于，选A(2013甘肃天水调研)已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|PM|的最小值是_答案1解析如图，抛物线yx2，即x24y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y1上的射影为P，根据抛物线的定义知，|PP|PF|，则|PP|PA|PF|PA|AF|.所以(|PA|PM|)min(|PA|PP|1)min1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值(2013河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x24y的图象上，F为其焦点，点A(1,3)，若使|PF|PA|最小，则相应P的坐标为_答案(1，)解析由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|PA|最小已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标分析抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|PF|的问题可转化为|PA|d的问题，运用三点共线可使问题得到解决解析将x3代入抛物线方程y22x，得y，2，点A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义，知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，即点P的坐标为(2,2)(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()ABC2D1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值(2014陕西质检)已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()AB3CD2答案C解析如图，|MQ|QF|MQ|QA|MA|NA|NQ|AQ|MQ|AQ|MQ|QF|.(其中l是抛物线的准线，QAl，垂足为A，QMl垂足为A，MNQN)，抛物线的准线方程为x，|QM|QF|xQ3|xQ|3，选C(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题(2014忻州联考)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_答案1解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.(6)与平面向量交汇命题已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_答案(0,0)解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)3(文)(2013安徽省级示范高中联考)设O是坐标原点，F是抛物线y24x的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60，则OAF的面积为()AB2CD1答案C解析由题意知，F(1,0)，过A作ADx轴于D令|FD|m，则|FA|2m，由抛物线的定义知|AF|p|FD|2m2m，即m2，所以|AD|2，SOAF|OF|AD|12.(理)(2014湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4答案C解析设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|x04，x03，代入抛物线的方程，得|y0|2，SPOF|y0|OF|2，选C4(文)(2014辽宁五校联考)已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2BCD答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x214，x1x23，即AB中点C的横坐标是.(理)(2014武昌模拟)直线yk(x2)交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为()A6B10C2D16答案B解析将yk(x2)代入y28x中消去y得，k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x26，k2，|AB|x1x2|10.5(文)设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2)B(1，2)C(1,2)D(2,2)答案B解析设点A的坐标为(x0，y0)，y4x0又F(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，4，x0xy4，解组成的方程组得或点评向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式(理)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x28y上一点，所以有x8y0.又点M(x0，y0)在圆x2(y2)2r2上所以x(y02)2r216，所以8y0(y02)216，即有y4y0120，解得y02或y02.故选C6(2013北京东城区统一检测)已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4B8C16 D32答案D解析由题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)作AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义知|AA|AF|，所以在AAK中，|AK|AA|，故KAA45，此时不妨认为直线AK的倾斜角为45，则直线AK的方程为yx4，代入抛物线方程y216x中，得y216(y4)，即y216y640，解得y8，点A的坐标为(4,8)，故AFK的面积为SAFK|FK|yA|8832.二、填空题7(2013辽宁大连一模)已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是_答案解析由y28x知2p8，p4，则点F的坐标为(2,0)由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x2)，点A，B的坐标分别为(8,8)，(xB，yB)又点A(8,8)在直线l上，8k(82)，解得k.直线l的方程为y(x2)将代入y28x，整理得2x217x80，则8xB，xB.线段AB的中点到准线的距离是2.解法探究求得xB后，进一步可得yB2，|AB|.AB的中点到准线距离d(|AF|BF|)|AB|.8(2014山东广饶一中期末)抛物线y28x的顶点为O，A(1,0)，过焦点且倾斜角为的直线l与抛物线交于M，N两点，则AMN的面积是_答案4解析焦点F(2,0)，直线l：xy2，代入抛物线y28x，消去x，得y28y160.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y28，y1y216.|y1y2|8.故AMN的面积S1|y1y2|4.9(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m时，测量水面宽为8m，当水面上升m后，水面的宽度是_m.答案4解析建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，2)，故可求得抛物线的方程为yx2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为，代入抛物线方程yx2可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为4m.(理)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽_m.答案2解析本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用如图建立坐标系设方程x22py(p0)，由题意知点(2，2)在抛物线上，可得p1，则方程为x22y，当y3时，x，所以水面宽2m.点评抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义三、解答题10(2013长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M(2，)，点F为抛物线C：ymx2(m0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分(1)求m的值；(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由解析(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，)在抛物线C上，m,8m22m10，m(m舍去)(2)由(1)知抛物线C：x24y，F(0,1)设直线l的方程为yk(x2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得x24kx8k20，16k24(8k2)0，k.假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1k32k2.而k1k3，k2，8k210k30，解得k(符合题意)或k(不合题意，舍去)直线l的方程为y(x2)，即x2y10.k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x2y10.一、选择题11(文)若抛物线y24x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有()A0个B1个C2个D3个答案C解析经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y24x上故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆(理)(2013乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D是由双曲线y21的两条渐近线和抛物线y28x的准线所围成的三角形(含边界与内部)若点(x，y)D，则xy的最小值为()A1 B0C1D3答案B解析由题意知，双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的准线方程为x2，设zxy，得yxz，平移直线yx过点O(0,0)时，直线yxz的纵截距最小，故zmin0.12(2014山东淄博一模)过抛物线y24x焦点F的直线交其于A，B两点，A在第一象限，B在第四象限，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()ABCD2答案C解析设A(x0，y0)，由|AF|1x03，得x02，A(2,2)，直线AB的方程为y2(x1)，与y24x联立，解得B(，)SAOB1|2()|.13(2014课标全国理)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()ABCD答案D解析由已知得F(，0)，故直线AB的方程为ytan30(x)，即yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得x2x0，x1x2，线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.14(2014课标全国理)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()ABC3D2答案C解析抛物线的焦点是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为4，由于QAPFGP，所以可得，所以|QA|3，所以|QF|3.二、填空题15已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是_答案解析根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x4，则抛物线方程为y216x.把M(1，m)代入y216x得m4，即M(1,4)在双曲线y21中，A(，0)，则kAM.解得a.16(文)(2013辽宁五校联考)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_.答案8解析分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8.(理)(2014湖南理)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a0)经过C、F两点，则_.答案1解析由题可得C(，a)，F(b，b)，C、F在抛物线y22px上，b22aba20，1，故填1.三、解答题17(2014开封摸底考试)已知圆(xa)2(y1r)2r2(r0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C(1)求轨迹C的方程；(2)设P为直线l：xy20上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解析(1)依题意，由圆过定点F可知C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为yx2，求导得yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程，消去x整理得y2(2y0x)yy0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y，所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以yx2y012y2y052(y0)2，所以当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.18(文)若椭圆C1：1(0b0)的焦点在椭圆C1的顶点上(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距c，由离心率e得，b21.椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，p2，抛物线的方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，yx2，yx，切线l1、l2的斜率分别为x1、x2，当l1l2时，x1x21，即x1x24，由得x24kx4k0，由(4k)24(4k)0，解得k0.又x1x24k4，得k1.直线l的方程为yx1.(理)已知点C(1,0)，点A、B是O：x2y29上任意两个不同的点，且满足0，设P为弦AB的中点(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由解析(1)法一：连接CP，由0知，ACBC，|CP|AP|BP|AB|，由垂径定理知|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，设点P(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化简得，x2xy24.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，根据题意知，xy9，xy9,2xx1x2,2yy1y2，4x2x2x1x2x，4y2y2y1y2y，故4x24y2(xy)(2x1x22y1y2)(xy)182(x1x2y1y2)，又0，(1x1，y1)(1x2，y2)0，(1x1)(1x2)y1y20，故x1x2y1y2(x1x2)12x1，代入式得，4x24y2182(2x1)，化简得，x2xy24.(2)根据抛物线的定义，到直线x1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y22px上，其中1，p2，故抛物线方程为y24x，由方程组得，x23x40，解得x11，x24，由于x0，故取x1，此时y2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2)
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