人教版八年级数学上册复习资料

第 1 页 共 40 页 初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点 1 基本定义 全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 对应顶点 全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点 对应边 全等三角形中互相重合的边叫做对应边 对应角 全等三角形中互相重合的角叫做对应角 2 基本性质 三角形的稳定性 三角形三边的长度确定了 这个三角形的形状 大小就全确定 这个性质叫做三角形的稳定性 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 3 全等三角形的判定定理 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 S 边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 A 角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 S 斜边 直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形HL 全等 4 角平分线 画法 性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等 性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 第 2 页 共 40 页 5 证明的基本方法 明确命题中的已知和求证 包括隐含条件 如公共边 公共角 对顶 角 角平分线 中线 高 等腰三角形等所隐含的边角关系 根据题意 画出图形 并用数字符号表示已知和求证 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习 含 答案解析 一 选择题 共 14 小题 1 2013 西宁 使两个直角三角形全等的条件是 A 一个锐角对应相等 B 两个锐角对应相等 C 一条边对应相等 D 两条边对应相等 解答 D 若一直角边对应相等 一斜边对应相等 可证全等 故 D 选项正确 故选 D 点评 HL 可全等 2 2013 安顺 如图 已知 AE CF AFD CEB 那么添加下列一个条件后 仍无 法判定 ADF CBE 的是 A A C B AD CB 第 3 页 共 40 页 C BE DF D AD BC 分析 求出 AF CE 再根据全等三角形的判定定理判断即可 解答 解 AE CF AE EF CF EF AF CE A 在 ADF 和 CBE 中 ADF CBE ASA 正确 故本选项错误 B 根据 AD CB AF CE AFD CEB 不能推出 ADF CBE 错误 故本选项正确 C 在 ADF 和 CBE 中 初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题 知识点 1 基本运算 同底数幂的乘法 mna 幂的乘方 n 积的乘方 b 2 整式的乘法 单项式 单项式 系数 系数 同字母 同字母 不同字母为积的因式 单项式 多项式 用单项式乘以多项式的每个项后相加 多项式 多项式 用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加 3 计算公式 平方差公式 2abab 第 4 页 共 40 页 完全平方公式 22abab 22ab 4 整式的除法 同底数幂的除法 mn 单项式 单项式 系数 系数 同字母 同字母 不同字母作为商的因式 多项式 单项式 用多项式每个项除以单项式后相加 多项式 多项式 用竖式 5 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个式 子因式分解 6 因式分解方法 提公因式法 找出最大公因式 公式法 平方差公式 2abab 完全平方公式 22 立方和 3 立方差 22abab 十字相乘法 2xpqxpxq 拆项法 添项法 初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题 一 选择题 1 2015 甘南州 下列运算中 结果正确的是 A x 3 x3 x6 B 3x 2 2x2 5x4 C x 2 3 x5 D x y 2 x2 y2 分析 A 利用同底数幂的乘法法则计算得到结果 即可做出判断 B 合并同类项得到结果 即可做出判断 C 利用幂的乘方运算法则计算得到结果 即可做出判断 D 利用完全平方公式展开得到结果 即可做出判断 解答 解 A x 3 x3 x6 本选项正确 B 3x 2 2x2 5x2 本选项错误 C x 2 3 x6 本选项错误 D x y 2 x2 2xy y2 本选项错误 故选 A 点评 此题考查了完全平方公式 合并同类项 同底数幂的乘法 以及幂的乘方 熟练掌握公式 及法则是解本题的关键 第 5 页 共 40 页 2 2008 南京 计算 ab 2 3的结果是 A ab 5 B ab 6 C a 3b5 D a 3b6 分析 根据积的乘方的性质进行计算 然后直接选取答案即可 解答 解 ab 2 3 a3 b 2 3 a3b6 故选 D 点评 本题考查积的乘方 把积中的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 3 2011 呼和浩特 计算 2x2 3x 3 的结果是 A 6x 5 B 6x 5 C 2x 6 D 2x 6 分析 根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘 底数不变 指数相加计算后选取答案 解答 解 2x 2 3x 3 2 3 x 2 x3 6x 5 故选 A 点评 本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质 4 2005 茂名 下列各式由左边到右边的变形中 是分解因式的为 A a x y ax ay B x 2 4x 4 x x 4 4 C 10 x 2 5x 5x 2x 1 D x 2 16 3x x 4 x 4 3x 分析 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式 利用排除法求解 解答 解 A 是多项式乘法 故 A 选项错误 B 右边不是积的形式 x 2 4x 4 x 2 2 故 B 选项错误 C 提公因式法 故 C 选项正确 D 右边不是积的形式 故 D 选项错误 故选 C 点评 这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断 5 2017 春 薛城区期末 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 A a 2 b 2 B 5m 2 20mn C x 2 y 2D x 2 9 分析 能用平方差公式分解因式的式子特点是 两项平方项 符号相反 解答 解 A a 2 b 2符号相同 不能用平方差公式分解因式 故 A 选项错误 B 5m 2 20mn 两项不都是平方项 不能用平方差公式分解因式 故 B 选项错误 C x 2 y 2符号相同 不能用平方差公式分解因式 故 C 选项错误 D x 2 9 x 2 32 两项符号相反 能用平方差公式分解因式 故 D 选项正确 故选 D 点评 本题考查用平方差公式分解因式的式子特点 两平方项的符号相反 6 2013 张家界 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 A x 2 x 1 B x 2 2x 1 C x 2 1 D x 2 6x 9 分析 根据完全平方公式的特点 两项平方项的符号相同 另一项是两底数积的 2 倍 对各选项 分析判断后利用排除法求解 解答 解 A x 2 x 1 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点 故 A 错误 B x 2 2x 1 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点 故 B 错误 C x 2 1 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点 故 C 错误 D x 2 6x 9 x 3 2 故 D 正确 第 6 页 共 40 页 故选 D 点评 本题考查了用公式法进行因式分解 能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记 7 2009 眉山 下列因式分解错误的是 A x 2 y 2 x y x y B x 2 6x 9 x 3 2 C x 2 xy x x y D x 2 y2 x y 2 分析 根据公式特点判断 然后利用排除法求解 解答 解 A 是平方差公式 故 A 选项正确 B 是完全平方公式 故 B 选项正确 C 是提公因式法 故 C 选项正确 D x y 2 x2 2xy y2 故 D 选项错误 故选 D 点评 本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解 需熟练掌握 8 2015 菏泽 把代数式 ax2 4ax 4a 分解因式 下列结果中正确的是 A a x 2 2 B a x 2 2 C a x 4 2 D a x 2 x 2 分析 先提取公因式 a 再利用完全平方公式分解即可 解答 解 ax 2 4ax 4a a x 2 4x 4 a x 2 2 故选 A 点评 本题先提取公因式 再利用完全平方公式分解 分解因式时一定要分解彻底 9 2016 秋 南漳县期末 如 x m 与 x 3 的乘积中不含 x 的一次项 则 m 的值为 A 3 B 3 C 0 D 1 分析 先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积 并且把 m 看作常数合并关于 x 的同类 项 令 x 的系数为 0 得出关于 m 的方程 求出 m 的值 解答 解 x m x 3 x 2 3x mx 3m x2 3 m x 3m 又 乘积中不含 x 的一次项 3 m 0 解得 m 3 故选 A 点评 本题主要考查了多项式乘多项式的运算 根据乘积中不含哪一项 则哪一项的系数等于 0 列式是解题的关键 10 2009 内江 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形 a b 如图甲 把余 下的部分拼成一个矩形 如图乙 根据两个图形中阴影部分的面积相等 可以验证 A a b 2 a2 2ab b2 B a b 2 a2 2ab b 2 C a 2 b 2 a b a b D a 2b a b a 2 ab 2b 2 第 7 页 共 40 页 分析 第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是 a 的正方形的面积减去边长是 b 的小正方 形的面积 等于 a2 b 2 第二个图形阴影部分是一个长是 a b 宽是 a b 的长方形 面积是 a b a b 这两个图形的阴影部分的面积相等 解答 解 图甲中阴影部分的面积 a 2 b 2 图乙中阴影部分的面积 a b a b 而两个图形中阴影部分的面积相等 阴影部分的面积 a 2 b 2 a b a b 故选 C 点评 此题主要考查了乘法的平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平 方差 这个公式就叫做平方差公式 11 2013 枣庄 图 1 是一个长为 2a 宽为 2b a b 的长方形 用剪刀沿图中虚线 对称轴 剪开 把它分成四块形状和大小都一样的小长方形 然后按图 2 那样拼成一个正方形 则中间空 的部分的面积是 A ab B a b 2 C a b 2 D a 2 b 2 分析 中间部分的四边形是正方形 表示出边长 则面积可以求得 解答 解 中间部分的四边形是正方形 边长是 a b 2b a b 则面积是 a b 2 故选 C 点评 本题考查了列代数式 正确表示出小正方形的边长是关键 12 2012 枣庄 如图 从边长为 a 4 cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 a 1 cm 的正方形 a 0 剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形 不重叠无缝隙 则矩形的面积为 A 2a 2 5a cm 2 B 6a 15 cm 2 C 6a 9 cm 2D 3a 15 cm 2 分析 大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积 据此即可求解 解答 解 矩形的面积是 a 4 2 a 1 2 a 4 a 1 a 4 a 1 3 2a 5 6a 15 cm 2 故选 B 点评 本题考查了平方差公式的几何背景 理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积 是关键 二 填空题 共 13 小题 13 2015 黄石 分解因式 3x2 27 3 x 3 x 3 第 8 页 共 40 页 分析 观察原式 3x2 27 找到公因式 3 提出公因式后发现 x2 9 符合平方差公式 利用平方差 公式继续分解 解答 解 3x 2 27 3 x 2 9 3 x 3 x 3 故答案为 3 x 3 x 3 点评 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式 熟记公式是解题的关键 难点在于要进行二次分解因式 14 2013 上海 分解因式 a2 1 a 1 a 1 分析 符合平方差公式的特征 直接运用平方差公式分解因式 平方差公式 a 2 b 2 a b a b 解答 解 a 2 1 a 1 a 1 故答案为 a 1 a 1 点评 本题主要考查平方差公式分解因式 熟记公式是解题的关键 15 2013 邵阳 因式分解 x2 9y 2 x 3y x 3y 分析 直接利用平方差公式分解即可 解答 解 x 2 9y 2 x 3y x 3y 点评 本题主要考查利用平方差公式分解因式 熟记公式结构是解题的关键 16 2017 大庆 分解因式 x3 4x x x 2 x 2 分析 应先提取公因式 x 再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解答 解 x 3 4x x x 2 4 x x 2 x 2 故答案为 x x 2 x 2 点评 本题考查了提公因式法 公式法分解因式 提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分 解 分解因式一定要彻底 直到不能再分解为止 17 2016 乐山 因式分解 a3 ab 2 a a b a b 分析 观察原式 a3 ab 2 找到公因式 a 提出公因式后发现 a2 b 2是平方差公式 利用平方差公 式继续分解可得 解答 解 a 3 ab 2 a a 2 b 2 a a b a b 点评 本题是一道典型的中考题型的因式分解 先提取公因式 然后再应用一次公式 本题考点 因式分解 提取公因式法 应用公式法 18 2013 三明 分解因式 x2 6x 9 x 3 2 分析 直接用完全平方公式分解即可 解答 解 x 2 6x 9 x 3 2 点评 本题考查了公式法分解因式 熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键 19 2017 咸宁 分解因式 2a2 4a 2 2 a 1 2 分析 原式提取 2 再利用完全平方公式分解即可 解答 解 原式 2 a 2 2a 1 第 9 页 共 40 页 2 a 1 2 故答案为 2 a 1 2 点评 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 20 2015 西藏 分解因式 x3 6x 2 9x x x 3 2 分析 先提取公因式 x 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 解答 解 x 3 6x 2 9x x x 2 6x 9 x x 3 2 故答案为 x x 3 2 点评 本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式 关键在于需要进行二次分解 因式 21 2008 大庆 分解因式 ab2 2ab a a b 1 2 分析 先提取公因式 a 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 解答 解 ab 2 2ab a a b 2 2b 1 a b 1 2 点评 考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式 难点在于提取公因式后利用完全 平方公式进行二次因式分解 22 2013 安顺 分解因式 2a3 8a 2 8a 2a a 2 2 分析 先提取公因式 2a 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 解答 解 2a 3 8a 2 8a 2a a 2 4a 4 2a a 2 2 故答案为 2a a 2 2 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 一个多项式有公因式首先提取公因式 然后再用其他方法进行因式分解 同时因式分解要彻底 直到不能分解为止 23 2013 菏泽 分解因式 3a2 12ab 12b 2 3 a 2b 2 分析 先提取公因式 3 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案 解答 解 3a 2 12ab 12b 2 3 a 2 4ab 4b 2 3 a 2b 2 故答案为 3 a 2b 2 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识 一个多项式有公因式首先提取公 因式 然后再用其他方法进行因式分解 注意因式分解要彻底 24 2013 内江 若 m2 n 2 6 且 m n 2 则 m n 3 分析 将 m2 n 2按平方差公式展开 再将 m n 的值整体代入 即可求出 m n 的值 解答 解 m 2 n 2 m n m n m n 2 6 故 m n 3 故答案为 3 点评 本题考查了平方差公式 比较简单 关键是要熟悉平方差公式 a b a b a 2 b 2 25 2014 西宁 如图 边长为 a b 的矩形 它的周长为 14 面积为 10 则 a2b ab2的值为 70 第 10 页 共 40 页 分析 应把所给式子进行因式分解 整理为与所给周长和面积相关的式子 代入求值即可 解答 解 a b 7 ab 10 a 2b ab2 ab a b 70 故答案为 70 点评 本题既考查了对因式分解方法的掌握 又考查了代数式求值的方法 同时还隐含了整体的 数学思想和正确运算的能力 三 解答题 共 15 小题 26 2006 江西 计算 x y 2 y 2x y 2x 分析 利用完全平方公式 平方差公式展开 再合并同类项 解答 解 x y 2 y 2x y 2x x2 2xy y 2 y 2 4x 2 x2 2xy y 2 y 2 4x2 5x2 2xy 点评 本题考查完全平方公式 平方差公式 属于基础题 熟记公式是解题的关键 去括号时要 注意符号的变化 27 2013 春 苏州期末 若 2x 5y 3 0 求 4x 32y的值 分析 由方程可得 2x 5y 3 再把所求的代数式化为同为 2 的底数的代数式 运用同底数幂的乘 法的性质计算 最后运用整体代入法求解即可 解答 解 4 x 32y 22x 25y 22x 5y 2x 5y 3 0 即 2x 5y 3 原式 2 3 8 点评 本题考查了同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 理清指数的变化是解题的关键 28 2009 十堰 已知 a b 3 ab 2 求下列各式的值 1 a 2b ab2 2 a 2 b2 分析 1 把代数式提取公因式 ab 后把 a b 3 ab 2 整体代入求解 2 利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解 解答 解 1 a 2b ab2 ab a b 2 3 6 2 a b 2 a2 2ab b2 a 2 b2 a b 2 2ab 32 2 2 5 点评 本题考查了提公因式法分解因式 完全平方公式 关键是将原式整理成已知条件的形式 即转化为两数和与两数积的形式 将 a b 3 ab 2 整体代入解答 第 11 页 共 40 页 29 2015 张家港市模拟 若 x y 3 且 x 2 y 2 12 1 求 xy 的值 2 求 x2 3xy y2的值 分析 1 先去括号 再整体代入即可求出答案 2 先变形 再整体代入 即可求出答案 解答 解 1 x y 3 x 2 y 2 12 xy 2x 2y 4 12 xy 2 x y 8 xy 2 3 8 xy 2 2 x y 3 xy 2 x 2 3xy y2 x y 2 xy 32 2 11 点评 本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用 题目是一道比较典型的题目 难度适 中 30 2014 秋 德惠市期末 先化简 再求值 3a 2a 2 4a 3 2a 2 3a 4 其中 a 2 分析 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号 然后合并同类项 最后代入已知的数值计 算即可 解答 解 3a 2a 2 4a 3 2a 2 3a 4 6a3 12a 2 9a 6a 3 8a 2 20a 2 9a 当 a 2 时 原式 20 4 9 2 98 点评 本题考查了整式的化简 整式的加减运算实际上就是去括号 合并同类项 这是各地中考 的常考点 31 2007 天水 若 a2 2a 1 0 求代数式 的值 分析 根据完全平方公式先求出 a 的值 再代入求出代数式的值 解答 解 由 a2 2a 1 0 得 a 1 2 0 a 1 把 a 1 代入 1 1 2 故答案为 2 点评 本题考查了完全平方公式 灵活运用完全平方公式先求出 a 的值 是解决本题的关键 32 2012 春 郯城县期末 分解因式 1 2x 2 x 2 16x 2 1 3 6xy 2 9x 2y y 3 4 4 12 x y 9 x y 2 分析 1 直接提取公因式 x 即可 第 12 页 共 40 页 2 利用平方差公式进行因式分解 3 先提取公因式 y 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 4 把 x y 看作整体 利用完全平方公式分解因式即可 解答 解 1 2x 2 x x 2x 1 2 16x 2 1 4x 1 4x 1 3 6xy 2 9x 2y y 3 y 9x 2 6xy y 2 y 3x y 2 4 4 12 x y 9 x y 2 2 3 x y 2 3x 3y 2 2 点评 本题考查了提公因式法与公式法分解因式 是因式分解的常用方法 难点在 3 提取公 因式 y 后 需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解 33 2011 春 乐平市期中 2a b 1 2a b 1 分析 把 2a b 看成整体 利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可 解答 解 2a b 1 2a b 1 2a b 2 1 4a2 4ab b2 1 点评 本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用 构造成公式结构是利用公式的关键 需要 熟练掌握并灵活运用 34 2009 贺州 分解因式 x3 2x 2y xy2 分析 先提取公因式 x 再利用完全平方公式分解因式 完全平方公式 a 2 2ab b2 a b 2 解答 解 x 3 2x 2y xy2 x x 2 2xy y 2 x x y 2 点评 主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式 本题难点在于要进行二次分 解 35 2011 雷州市校级一模 分解因式 1 a 4 16 2 x 2 2xy y 2 9 分析 1 两次运用平方差公式分解因式 2 前三项一组 先用完全平方公式分解因式 再与第四项利用平方差公式进行分解 解答 解 1 a 4 16 a 2 2 4 2 a 2 4 a 2 4 a 2 4 a 2 a 2 2 x 2 2xy y 2 9 x 2 2xy y 2 9 x y 2 3 2 第 13 页 共 40 页 x y 3 x y 3 点评 1 关键在于需要两次运用平方差公式分解因式 2 主要考查分组分解法分解因式 分组的关键是两组之间可以继续分解因式 36 2008 春 利川市期末 分解因式 x2 x y y x 分析 显然只需将 y x x y 变形后 即可提取公因式 x y 然后再运用平方差公式 继续分解因式 解答 解 x 2 x y y x x2 x y x y x y x 2 1 x y x 1 x 1 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 一个多项式有公因式首先提取公因式 然后再用其他方法进行因式分解 同时因式分解要彻底 直到不能分解为止 37 2009 秋 三台县校级期末 分解因式 1 a 2 x y 16 y x 2 x 2 y2 2 4x 2y2 分析 1 先提取公因式 x y 再利用平方差公式继续分解 2 先利用平方差公式 再利用完全平方公式继续分解 解答 解 1 a 2 x y 16 y x x y a 2 16 x y a 4 a 4 2 x 2 y2 2 4x 2y2 x 2 2xy y2 x 2 2xy y 2 x y 2 x y 2 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 一个多项式有公因式首先提取公因式 然后再用其他方法进行因式分解 同时因式分解要彻底 直到不能分解为止 38 2009 春 扶沟县期中 因式分解 1 8ax 2 16axy 8ay 2 2 a 2 1 2 4a 2 分析 1 先提取公因式 8a 再用完全平方公式继续分解 2 先用平方差公式分解 再利用完全平方公式继续分解 解答 解 1 8ax 2 16axy 8ay 2 8a x 2 2xy y 2 8a x y 2 2 a 2 1 2 4a 2 a 2 1 2a a 2 1 2a a 1 2 a 1 2 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 一个多项式有公因式首先提取公因式 然后再用其他方法进行因式分解 同时因式分解要彻底 直到不能分解为止 39 2011 秋 桐梓县期末 因式分解 第 14 页 共 40 页 1 3x 12x 3 2 6xy 2 9x2y y3 分析 1 先提取公因式 3x 再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 2 先提取公因式 y 再根据完全平方公式进行二次分解 完全平方公式 a 2 2ab b2 a b 2 解答 解 1 3x 12x 3 3x 1 4x 2 3x 1 2x 1 2x 2 6xy 2 9x2y y3 y 6xy 9x 2 y2 y 3x y 2 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 一个多项式有公因式首先提取公因式 然后再用其他方法进行因式分解 同时因式分解要彻底 直到不能分解为止 40 2003 黄石 若 x2 2xy y2 a x y 25 是完全平方式 求 a 的值 分析 先把前三项根据完全平方公式的逆用整理 再根据两平方项确定出这两个数 利用乘积二 倍项列式求解即可 解答 解 原式 x y 2 a x y 5 2 原式为完全平方式 a x y 2 5 x y 解得 a 10 点评 本题考查了完全平方式 需要二次运用完全平方式 熟记公式结构是求解的关键 把 x y 看成一个整体参与运算也比较重要 ADF CBE SAS 正确 故本选项错误 D AD BC A C 在 ADF 和 CBE 中 ADF CBE ASA 正确 故本选项错误 故选 B 点评 本题考查了平行线性质 全等三角形的判定的应用 注意 全等三角形的判定定理有 SAS ASA AAS SSS 3 2009 鸡西 尺规作图作 AOB 的平分线方法如下 以 O 为圆心 任意长为半径画弧交 OA OB 于 C D 再分别以点 C D 为圆心 以大于 CD 长为半径画弧 两弧交于点 P 作射线 OP 由作法得 OCP ODP 的根据是 第 15 页 共 40 页 A SAS B ASA C AAS D SSS 分析 认真阅读作法 从角平分线的作法得出 OCP 与 ODP 的两边分别相等 加上公共边相等 于是两个三角形符合 SSS 判定方法要求的条件 答案可得 解答 解 以 O 为圆心 任意长为半径画弧交 OA OB 于 C D 即 OC OD 以点 C D 为圆心 以大于 CD 长为半径画弧 两弧交于点 P 即 CP DP 在 OCP 和 ODP 中 OCP ODP SSS 故选 D 点评 本题考查三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等的一般方法有 SSS SAS ASA AAS HL 注意 AAA SSA 不能判定两个三角形全等 判定两个三角形全等时 必须有边的参与 若有两边一 角对应相等时 角必须是两边的夹角 4 2011 呼伦贝尔 如图 ACB A CB BCB 30 则 ACA 的度数为 A 20 B 30 C 35 D 40 分析 本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可 解答 解 ACB A CB ACB A CB 即 ACA A CB B CB A CB ACA B CB 又 B CB 30 ACA 30 故选 B 点评 本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用 利用全等三角形的性质求解 5 2014 遂宁 如图 AD 是 ABC 中 BAC 的角平分线 DE AB 于点 E S ABC 7 DE 2 AB 4 则 AC 长是 第 16 页 共 40 页 A 3 B 4 C 6 D 5 分析 过点 D 作 DF AC 于 F 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE DF 再根据 S ABC S ABD S ACD 列出方程求解即可 解答 解 如图 过点 D 作 DF AC 于 F AD 是 ABC 中 BAC 的角平分线 DE AB DE DF 由图可知 S ABC S ABD S ACD 4 2 AC 2 7 解得 AC 3 故选 A 点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质 熟记性质是解题的关键 6 2017 石家庄模拟 如图 ABC 的三边 AB BC CA 长分别是 20 30 40 其三条角平分线将 ABC 分为三个三角形 则 S ABO S BCO S CAO 等于 A 1 1 1 B 1 2 3 C 2 3 4 D 3 4 5 分析 利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质 可知三个三角形高相等 底分别是 20 30 40 所以面积之比就是 2 3 4 解答 解 利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选 C 故选 C 点评 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式 做题时 应用了三个三角形的高时相等的 这点式非常重要的 7 2000 安徽 如图 直线 l1 l 2 l 3表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求 它到三条公路的距离相等 则供选择的地址有 第 17 页 共 40 页 A 1 处 B 2 处 C 3 处 D 4 处 分析 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点 把三条公路的中心部位 看作三角形 那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求 解答 解 满足条件的有 1 三角形两个内角平分线的交点 共一处 2 三个外角两两平分线的交点 共三处 故选 D 点评 本题考查了角平分线的性质 这是一道生活联系实际的问题 解答此类题目时最直接的判 断就是三角形的角平分线 很容易漏掉外角平分线 解答时一定要注意 不要漏解 二 填空题 共 11 小题 1 2015 秋 西区期末 如图 已知 AB CF E 为 DF 的中点 若 AB 9cm CF 5cm 则 BD 4 cm 分析 先根据平行线的性质求出 ADE EFC 再由 ASA 可求出 ADE CFE 根据全等三角形的 性质即可求出 AD 的长 再由 AB 9cm 即可求出 BD 的长 解答 解 AB CF ADE EFC AED FEC E 为 DF 的中点 ADE CFE AD CF 5cm AB 9cm BD 9 5 4cm 第 18 页 共 40 页 故填 4 点评 本题考查的是平行线的性质 全等三角形的判定定理及性质 比较简单 2 2012 秋 合肥期末 如图 ABC ADE B 100 BAC 30 那么 AED 50 度 分析 先运用三角形内角和定理求出 C 再运用全等三角形的对应角相等来求 AED 解答 解 在 ABC 中 C 180 B BAC 50 又 ABC ADE AED C 50 AED 50 度 故填 50 点评 本题考查的是全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 是需要识记的 内容 3 2013 邵东县模拟 如图 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC AB 5 CD 2 则 ABD 的面积 是 5 分析 要求 ABD 的面积 有 AB 5 可为三角形的底 只求出底边上的高即可 利用角的平分线 上的点到角的两边的距离相等可知 ABD 的高就是 CD 的长度 所以高是 2 则可求得面积 解答 解 C 90 AD 平分 BAC 点 D 到 AB 的距离 CD 2 ABD 的面积是 5 2 2 5 故答案为 5 点评 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质 注意分析思路 培养自己的 分析能力 4 2009 杨浦区二模 如图所示 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块 现在要到玻璃店去 配一块完全一样的玻璃 那么最省事的办法是带 去玻璃店 第 19 页 共 40 页 分析 本题就是已知三角形破损部分的边角 得到原来三角形的边角 根据三角形全等的判定方 法 即可求解 解答 解 第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边 根据这两块中的任一块均不能 配一块与原来完全一样的 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边 则可以根据 ASA 来配一块一样的玻璃 应带 去 故答案为 点评 这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题 要求学生将所学的知识运用于实际生 活中 要认真观察图形 根据已知选择方法 三 解答题 共 15 小题 1 2007 北京 已知 如图 OP 是 AOC 和 BOD 的平分线 OA OC OB OD 求证 AB CD 分析 根据角平分线的性质得出 AOP COP BOP DOP 从而推出 AOB COD 再利用 SAS 判定其全等从而得到 AB CD 解答 证明 OP 是 AOC 和 BOD 的平分线 AOP COP BOP DOP AOB COD 在 AOB 和 COD 中 AOB COD AB CD 点评 本题考查三角形全等的判定方法 以及全等三角形的性质 判定两个三角形全等的一般方 法有 SSS SAS ASA AAS HL 本题比较简单 读已知时就能想到要用全等来证明线段相等 2 2014 黄冈 已知 如图所示 AB AC BD CD DE AB 于点 E DF AC 于点 F 求证 DE DF 分析 连接 AD 利用 SSS 得到三角形 ABD 与三角形 ACD 全等 利用全等三角形对应角相等得到 EAD FAD 即 AD 为角平分线 再由 DE AB DF AC 利用角平分线定理即可得证 解答 证明 连接 AD 在 ACD 和 ABD 中 第 20 页 共 40 页 ACD ABD SSS EAD FAD 即 AD 平分 EAF DE AE DF AF DE DF 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质 以及角平分线定理 熟练掌握全等三角形的判定与 性质是解本题的关键 3 2008 重庆 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC BC DC CF 平分 BCD DF AB BF 的延 长线交 DC 于点 E 求证 1 BFC DFC 2 AD DE 分析 1 由 CF 平分 BCD 可知 BCF DCF 然后通过 SAS 就能证出 BFC DFC 2 要证明 AD DE 连接 BD 证明 BAD BED 则可 AB DF ABD BDF 又 BF DF DBF BDF ABD EBD BD BD 再证明 BDA BDC 则可 容易推理 BDA DBC BDC 解答 证明 1 CF 平分 BCD BCF DCF 在 BFC 和 DFC 中 BFC DFC SAS 2 连接 BD BFC DFC BF DF FBD FDB DF AB ABD FDB ABD FBD AD BC 第 21 页 共 40 页 BDA DBC BC DC DBC BDC BDA BDC 又 BD 是公共边 BAD BED ASA AD DE 点评 这道题是主要考查全等三角形的判定和性质 涉及的知识比较多 有点难度 4 2014 内江 如图 点 M N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC CD 上的点 且 BM CN AM 交 BN 于 点 P 1 求证 ABM BCN 2 求 APN 的度数 分析 1 利用正五边形的性质得出 AB BC ABM C 再利用全等三角形的判定得出即可 2 利用全等三角形的性质得出 BAM ABP APN 进而得出 CBN ABP APN ABC 即可得 出答案 解答 1 证明 正五边形 ABCDE AB BC ABM C 在 ABM 和 BCN 中 ABM BCN SAS 2 解 ABM BCN BAM CBN BAM ABP APN CBN ABP APN ABC 108 即 APN 的度数为 108 第 22 页 共 40 页 点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识 熟练掌握全等三角 形的判定方法是解题关键 第十三章 轴对称 一 知识框架 二 知识概念 1 基本概念 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫做轴对称图形 两个图形成轴对称 把一个图形沿某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关 于这条直线对称 4 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 5 等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边 两腰所夹 的角叫做顶角 底边与腰的夹角叫做底角 6 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2 基本性质 对称的性质 不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称 对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 对称的图形都全等 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 两个图形关于某条直线成轴对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 线段垂直平分线的性质 第 23 页 共 40 页 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 关于坐标轴对称的点的坐标性质 点 x y 关于 x 轴对称的点的坐标为 x y 点 x y 关于 y 轴对称的点的坐标为 x y 点 x y 关于 原点 对称的点的坐标为 x y 等腰三角形的性质 等腰三角形两腰相等 等腰三角形两底角相等 等边对等角 等腰三角形的顶角角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 等腰三角形是轴对称图形 对称轴是三线合一 1 条 等边三角形的性质 等边三角形三边都相等 等边三角形三个内角都相等 都等于 60 等边三角形每条边上都存在三线合一 等边三角形是轴对称图形 对称轴是三线合一 3 条 6 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 这个点到三角形三个顶点的距离相等 3 基本判定 等腰三角形的判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对 等边 等边三角形的判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 4 基本方法 做已知直线的垂线 做已知线段的垂直平分线 作对称轴 连接两个对应点 作所连线段的垂直平分线 作已知图形关于某直线的对称图形 在直线上做一点 使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短 选择题 1 2015 三明中考 下列图形中 不是轴对称图形的是 2 2015 凉山州中考 如图 3 30 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中 那么击打白球 时 必须保证 1 的度数为 第 24 页 共 40 页 A 30 B 45 C 60 D 75 3 2015 南充中考 如图 ABC 中 AB AC B 70 则 A 的度数是 A 70 B 55 C 50 D 40 4 2015 玉溪中考 若等腰三角形的两边长分别为 4 和 8 则它的周长为 A 12 B 16 C 20 D 16 或 20 5 2014 海门模拟 如图 在边长为 1 的正方形网格中 将 ABC 向右平移两个单位长度得到 A B C 则与点 B 关于 x 轴对称的点的坐标是 A 0 1 B 1 1 C 2 1 D 1 1 选做 6 如图 已知 S ABC 12 AD 平分 BAC 且 AD BD 于点 D 则 S ADC 的值是 A 10 B 8 C 6 D 4 第 6 题图 填空题 1 2015 绵阳中考 如图 AC BD 相交于 O AB DC AB BC D 40 ACB 35 则 AOD 第 25 页 共 40 页 2 如图 在 3 3 的正方形网格中 已有两个小正方形被涂黑 再将图中其余小正方形任意涂黑一 个 使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种 第 2 题图 3 如图 ABC 中 D E 分别是 AC AB 上的点 BD 与 CE 交于点 O 给出下列三个条件 EBO DCO BEO CDO BE CD 上述三个条件中 哪两个条件可判定 ABC 是等腰三 角形 用序号写出一种情形 第 3 题图 选做题 4 如图 已知 AOB 30 OC 平分 AOB 在 OA 上有一点 M OM 10 cm 现要在 OC OA 上分别找点 Q N 使 QM QN 最小 则其最小值为 第 4 题图 知识点 1 分式 形如 是整式 中含有字母且 不等于 0 的整式叫做分式 其中 叫做分式的分AB BBA 子 叫做分式的分母 2 分式有意义的条件 分母不等于 0 3 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以 或除以 同一个不为 0 的整式 分式的值不变 4 约分 把一个分式的分子和分母的公因式 不为 1 的数 约去 这种变形称为约分 5 通分 异分母的分式可以化成同分母的分式 这一过程叫做通分 6 最简分式 一个分式的分子和分母没有公因式时 这个分式称为最简分式 约分时 一般将一个分 式化为最简分式 7 分式的四则运算 同分母分式加减法则 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 用字母表示为 abc 异分母分式加减法则 异分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分 第 26 页 共 40 页 式 然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 用字母表示为 acdbb 分式的乘法法则 两个分式相乘 把分子相乘的积作为积的分子 把分 母相乘的积作为积的分母 用字母表示为 acbd 分式的除法法则 两个分式相除 把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘 用字母表示为 acbdc 分式的乘方法则 分子 分母分别乘方 用字母表示为 nab 8 整数指数幂 是正整数 mna n 是正整数 是正整数 nb 是正整数 mna 0a mn n 是正整数 nb n 是正整数 1na 0 9 分式方程的意义 分 母 中 含 有 未 知 数 的 方 程 叫 做 分 式 方 程 10 分 式 方 程 的 解 法 去 分 母 方 程 两 边 同 时 乘 以 最 简 公 分 母 将 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 按 解 整 式 方 程 的 步 骤 求 出 未 知 数 的 值 验 根 求 出 未 知 数 的 值 后 必 须 验 根 因 为 在 把 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 的 过 程 中 扩 大 了 未 知 数 的 取 值 范 围 可 能 产 生 增根 常考题 初二分式所有知识点总结和常考题 一 选择题 共 14 小题 1 2012 春 潜江期末 在式子 中 分式的个数有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 分析 判断分式的依据是看分母中是否含有字母 如果含有字母则是分式 如果不含有字母则不 是分式 解答 解 9x 这 3 个式子的分母中含有字母 因此是分式 其它式子分母中均不含有字母 是整式 而不是分式 故选 B 第 27 页 共 40 页 点评 本题考查的是分式的定义 在解答此题时要注意分式是形式定义 只要是分母中含有未知 数的式子即为分式 2 2014 南通 化简 的结果是 A x 1 B x 1 C x D x 分析 将分母化为同分母 通分 再将分子因式分解 约分 解答 解 x 故选 D 点评 本题考查了分式的加减运算 分式的加减运算中 如果是同分母分式 那么分母不变 把 分子直接相加减即可 如果是异分母分式 则必须先通分 把异分母分式化为同分母分式 然后再 相加减 3 2012 岳麓区校级自主招生 如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍 则分式的值 A 扩大 4 倍 B 扩大 2 倍 C 不变 D 缩小 2 倍 分析 把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍 分别用 2x 和 2y 去代换原分式中的 x 和 y 利用分式的 基本性质化简即可 解答 解 把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍后得 2 即分式的值扩大 2 倍 故选 B 点评 根据分式的基本性质 无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数 都不要漏乘 除 分子 分母中的任何一项 4 2005 扬州 把分式方程 的两边同时乘以 x 2 约去分母 得 A 1 1 x 1 B 1 1 x 1 C 1 1 x x 2 D 1 1 x x 2 分析 分母中 x 2 与 2 x 互为相反数 那么最简公分母为 x 2 乘以最简公分母 可以把 分式方程转化成整式方程 解答 解 方程两边都乘 x 2 得 1 1 x x 2 故选 D 点评 找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步 注意单独的一个数也要乘最简公分母 互 为相反数的两个数为分母 最简公分母为其中的一个 另一个乘以最简公分母后 结果为 1 5 2013 临沂 化简 1 的结果是 第 28 页 共 40 页 A B C D 分析 首先对括号内的式子通分相加 然后把除法转化成乘法 进行约分即可 解答 解 原式 故选 A 点评 本题主要考查分式的混合运算 通分 因式分解和约分是解答的关键 6 2008 黄冈 计算 的结果为 A B C D 分析 先算小括号里的 再把除法统一成乘法 约分化为最简 解答 解 故选 A 点评 分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展 在计算时 首先要弄清楚运算顺序 先去 括号 再进行分式的乘除 7 2014 黑龙江 已知关于 x 的分式方程 1 的解是非负数 则 m 的取值范围是 A m 2 B m 2 C m 2 且 m 3 D m 2 且 m 3 分析 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解表示出 x 根据方程的解为非负数求 出 m 的范围即可 解答 解 分式方程去分母得 m 3 x 1 解得 x m 2 由方程的解为非负数 得到 m 2 0 且 m 2 1 解得 m 2 且 m 3 故选 C 点评 此题考查了分式方程的解 时刻注意分母不为 0 这个条件 8 2009 潍坊 下列运算正确的是 A a 2 a3 a6 B 1 2 C 4D 6 6 分析 幂运算的性质 同底数的幂相乘 底数不变 指数相加 一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数 算术平方根的概念 一个正数的正的平方根叫它的算术平方根 0 的算术平方根是 0 绝对值的性质 正数的绝对值等于它本身 负数的绝对值等于它的相反数 0 的绝对值是 0 解答 解 A a 2 a3 a5 故 A 错误 B 1 2 故 B 错误 第 29 页 共 40 页 C 4 故 C 错误 D 根据负数的绝对值等于它的相反数 故 D 正确 故选 D 点评 本题涉及知识 负指数为正指数的倒数 任何非 0 数的 0 次幂等于 1 绝对值的化简 二 次根式的化简 9 2013 本溪 某服装加工厂计划加工 400 套运动服 在加工完 160 套后 采用了新技术 工作 效率比原计划提高了 20 结果共用了 18 天完成全部任务 设原计划每天加工 x 套运动服 根据题 意可列方程为 A B C D 分析 关键描述语为 共用了 18 天完成任务 等量关系为 采用新技术前用的时间 采用新 技术后所用的时间 18 解答 解 采用新技术前用的时间可表示为 天 采用新技术后所用的时间可表示为 天 方程可表示为 故选 B 点评 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系 找到关键描述语 找到等量关系是解决问题 的关键 本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化 10 2014 黔南州 货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同 已知小车每小时比货车多 行驶 20 千米 求两车的速度各为多少 设货车的速度为 x 千米 小时 依题意列方程正确的是 A B C D 分析 题中等量关系 货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同 列出关系式 解答 解 根据题意 得 故选 C 点评 理解题意是解答应用题的关键 找出题中的等量关系 列出关系式 11 2013 杭州 如图 设 k a b 0 则有 第 30 页 共 40 页 A k 2 B 1 k 2 C D 分析 分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积 然后计算比值即可 解答 解 甲图中阴影部分面积为 a2 b 2 乙图中阴影部分面积为 a a b 则 k 1 a b 0 0 1 1 1 2 1 k 2 故选 B 点评 本题考查了分式的乘除法 会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键 12 2016 本溪一模 A B 两地相距 48 千米 一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地 又立即从 B 地逆 流返回 A 地 共用去 9 小时 已知水流速度为 4 千米 时 若设该轮船在静水中的速度为 x 千米