2016高考数学总复习课时作业堂堂清概率与统计.ppt

第二节离散型随机变量的期望与方差 1 期望 1 概念若离散型随机变量 的概率分布为则称E 为 的数学期望或平均数 均值 数学期望又简称期望 它反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xnpn 平均水平 2 性质 E C C为常数 若 是随机变量 a b 则E a b 3 E 是一个实数 由 的分布列唯一确定 即作为随机变量的 是可变的 可取不同的值 而E 是不变的 它描述 取值的平均状态 aE b C 2 方差 1 概念如果离散型随机变量 所有可能取的值是x1 x2 xn 且取这些值的概率分别是p1 p2 pn 设E 是随机变量 的期望 那么把D 叫做随机变量 的均方差 简称 的算术平方根叫做随机变量 的 记作 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的的程度 其中标准差与随机变量本身有 x1 E 2 p1 x2 E 2 p2 xn E 2 pn 方差 标准差 稳定与波动 集中与离散 相同的单位 2 性质 D C 0 C为常数 D a b 3 二项分布与几何分布的期望与方差 1 二项分布若 B n p 则E D 2 几何分布若 服从几何分布 则P k g k p a2D np np 1 p E D 1 随机变量 的分布列如下表 则 的数学期望是 A 2 0B 2 1C 2 2D 随m的变化而变化 解析 0 2 0 5 m 1 m 0 3 E 1 0 2 2 0 5 3 0 3 2 1 故选B 答案 B 2 今有两台独立工作在两地的雷达 每台雷达发现飞行目标的概率分别为0 9和0 85 设发现目标的雷达台数为 则E 等于 A 0 765B 1 75C 1 765D 0 22解析 的可能取值为0 1 2 P 0 0 1 0 15 0 015 P 1 0 9 0 15 0 1 0 85 0 22 P 2 0 9 0 85 0 765 E 0 22 1 0 765 2 1 75 答案 B 3 某网络公司拥有100台电脑 每台电脑每天出现故障的概率均为0 015 且电脑之间的工作是相互独立的 则一天该公司出现故障的电脑台数 的期望与方差分别为 解析 电脑台数 服从二项分布 B 100 0 015 的期望为E 100 0 015 1 5 方差D 100 0 015 1 0 015 1 4775 答案 1 51 4775 4 一射手打靶射击 直到第一次中靶为止 他每次射击中靶的概率是0 9 他有3颗子弹 射击结束后剩余子弹数目 的数学期望E 解析 P 2 0 9 P 1 0 1 0 9 0 09 P 0 0 13 0 12 0 9 0 01 由此可得E 2 0 9 1 0 09 0 0 01 1 89 答案 1 89 例1 2009 广东高考 已知离散型随机变量X的分布列如下表 若EX 0 DX 1 则a b 分析 根据随机变量概率分布列的性质 期望和方差的计算公式 通过建立方程组解答 拓展提升 解本题要使用概率分布列的性质 期望和方差的计算公式 在解题时一定要保证所使用的知识准确 这是正确解题的前提 解本题三个方程得出结果后要注意检验 例2 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数 的分布列为 12345P0 40 20 20 10 1商场经销一件该商品 采用1期付款 其利润为200元 分2期或3期付款 其利润为250元 分4期或5期付款 其利润为300元 表示经销一件该商品的利润 求事件A 购买该商品的3位顾客中 至少有1位采用1期付款 的概率P A 求 的分布列及期望E 分析 1 先求对立事件的概率P 2 的可能取值200 250 300 利用互斥事件的概率加法公式求概率 2 的可能取值为200元 250元 300元 P 200 P 1 0 4 P 250 P 2 P 3 0 2 0 2 0 4 P 300 1 P 200 P 250 1 0 4 0 4 0 2 的分布列为 E 200 0 4 250 0 4 300 0 2 240 元 拓展提升 1 利用对立事件的概率求原事件的概率是求概率的常用方法之一 间接法 2 求数学期望的关键是求分布列 求分布列的关键是求概率 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下 现进行两次射击 以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩 记为 1 求该运动员两次都命中7环的概率 2 求 的分布列 3 求 的数学期望E 解 1 该运动员两次都命中7环的概率为 p P 两次都命中7环 0 2 0 2 0 04 2 P m P 一次命中m环 另一次命中的环数小于m P 两次命中m环 P 0 6 2 0 0 0 0 0 P 7 2 0 2 0 0 2 0 2 0 04 P 8 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 21 P 9 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 3 0 39 P 10 2 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 36 故 的分布列为 3 的数学期望E 7 0 04 8 0 21 9 0 39 10 0 36 9 07 例3 某一大学毕业生参加某一公司的笔试 共有5个问题需要解答 如该同学答对每个问题的概率均为 且每个问题的解答互不影响 1 求该同学答对问题的个数 的期望与方差 2 设答对一个题目得10分 否则扣一分 求该同学得分 的期望与方差 分析 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验 答对问题的个数 服从二项分布 求 的期望与方差可通过 与 的线性关系间接求出 拓展提升 1 当求随机变量 的期望与方差时 可首先分析 是否服从二项分布 如果服从 则用公式求解 可大大减少运算量 2 注意利用E a b aE b及D a b a2D 求期望与方差 某陶瓷厂准备烧制甲 乙 丙三件不同的工艺品 制作过程必须先后经过两次烧制 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制 两次烧制过程相互独立 根据该厂现有的技术水平 经过第一次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 5 0 6 0 4 经过第二次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率为0 6 0 5 0 75 1 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 2 经过前后两次烧制后 合格工艺品的个数为 求随机变量 的期望 从做对题数的数学期望考察 两人水平相当 从方差考察甲较稳定 从至少完成2题的概率考察 甲通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 2 设 表示10万元投资乙项目的收益 则 的分布列为 1 离散型随机变量的期望和方差求离散型随机变量期望和方差的方法 1 定义法 写出随机变量的分布列 用期望和方差的定义求解 2 性质法 利用性质 E a b aE bD a b a2D 求解 3 公式法 利用两点分布 二项分布的期望和方差公式求解 2 期望和方差的性质E a b aE bE E E D a b a2D 3 二项分布的期望和方差若 B n p 则E np D np 1 p 4 对于应用问题 首先要审好题 把实际问题转化为数学问题 设出随机变量 求出分布列 利用定义计算随机变量的期望和方差