2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法.ppt

第二节一元二次不等式及其解法 1 一元二次不等式的定义只含有一个未知数且未知数的最高次数是 的不等式叫做一元二次不等式 2 2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 x xx2 x R x x x1 x x2 R 在不等式ax2 bx c 0 a 0 中 如果二次项系数a 0 则可先根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解 1 不等式 x 2 x 1 4的解集为 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 2 2013 广东高考 不等式x2 x 2 0的解集为 考向1一元二次不等式的解法 2 函数f x 的定义域为 A 0 3 B 0 3 C 0 3 D 0 3 解析 选A 依题意有3x x2 0 解得0 x 3 即定义域为 0 3 3 关于x的不等式ax2 bx 2 0的解集是则a b A 10 B 10 C 14 D 14 解析 选D 由题意是方程ax2 bx 2 0的两个根 所以解得a 12 b 2 故a b 14 选D 典例1 1 2013 大连模拟 已知函数f x ax 1 x b 如果不等式f x 0的解集是 1 3 则不等式f 2x 0的解集是 A B C D 4 不等式4x2 mx 1 0对一切x R恒成立 则实数m的取值范围是 解析 依题意 应有 m 2 4 4 1 0 即m2 16 0 解得 4 m 4 答案 4 4 3 解关于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 思路点拨 1 根据不等式解集的端点与相应方程的两根之间的关系 建立方程组求得a b的值 再解不等式f 2x 0 2 本题考查二次不等式的解法 注意应用口诀 小于取中间 3 首先对a的符号进行分类讨论 在每一种情况中 如果有必要再按照根的大小进行讨论 规范解答 1 选A 不等式f x 0 即 ax 1 x b 0 其解集是 1 3 所以解得于是f x x 1 x 3 所以不等式f 2x 0即为 2x 1 2x 3 0 解得或 2 x2 x 2 x 1 x 2 0 解得 2 x 1 解集为 x 2 x 1 答案 x 2 x 1 3 当a 0时 原不等式变为 x 11 当a 0时 原不等式可化为若a1或 若a 0 则上式即为 当即a 1时 原不等式的解集为 当即a 1时 原不等式的解集为 当即0 a 1时 原不等式的解集为 综上所述 原不等式解集为 当a1 当a 0时 x x 1 当01时 规律方法 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 1 二次项中若含有参数应讨论是小于0 还是大于0 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 2 当不等式对应方程的根的个数不确定时 讨论判别式 与0的关系 3 确定无根时可直接写出解集 确定方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时 不要忘记讨论其等于0的情况 变式训练 1 2013 绍兴模拟 不等式ax2 bx c 0的解集为 2 1 则不等式ax2 a b x c a 0的解集为 A B 3 1 C 1 3 D 3 1 解析 选D 由题意 不等式ax2 bx c 0的解集为 2 1 a0 x 3 x 1 0 x1 2 解关于x的不等式 1 ax 2 1 解析 由 1 ax 2 1 得a2x2 2ax 0 即ax ax 2 0 当a 0时 x 当a 0时 由ax ax 2 0 得即当a 0时 综上所述 当a 0时 不等式解集为空集 当a 0时 不等式解集为当a 0时 不等式解集为 考向2一元二次不等式的恒成立问题 2 已知函数f x x2 ax 3 当x R时 f x a恒成立 求a的范围 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的范围 思路点拨 1 因为不等式恒成立 所以判别式小于等于零 直接求解即可 2 可直接利用判别式 0求解 可转化为求f x a在 2 2 上的最小值 令其最小值大于或等于0即可 2 f x a即x2 ax 3 a 0 要使x R时 x2 ax 3 a 0恒成立 应有 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 解得 6 a 2 当x 2 2 时 设g x x2 ax 3 a 分以下三种情况讨论 当即a 4时 g x 在 2 2 上单调递增 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 3a 因此a无解 当即a 4时 g x 在 2 2 上单调递减 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 a 因此解得 7 a 4 即 4 a 4时 g x 在 2 2 上的最小值为因此解得 4 a 2 综上所述 实数a的取值范围是 7 a 2 互动探究 本例 2 中 若对一切a 3 3 不等式f x a恒成立 那么实数x的取值范围是什么 解析 不等式f x a即x2 ax 3 a 0 令g a x 1 a x2 3 要使g a 0在 3 3 上恒成立 只需即解得x 0或x 3 规律方法 恒成立问题的两种解法 1 更换主元法如果不等式中含有多个变量 这时选准 主元 往往是解题的关键 即需要确定合适的变量或参数 能使函数关系更加清晰明朗 一般思路为 将已知范围的量视为变量 而待求范围的量看作是参数 然后借助函数的单调性或其他方法进行求解 2 分离参数法如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边 那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值 或范围 来得到不等式恒成立时参数的取值范围 一般地 a f x 恒成立时 应有a f x max a f x 恒成立时 应有a f x min 加固训练 若函数f x 的定义域为R 则实数m的取值范围是 A B 0 C D 解析 选B 依题意mx2 4mx 3 0对一切x R恒成立 当m 0时显然成立 当m 0时应有 16m2 12m 0 解得综上 实数m的取值范围是 易错误区15 分段函数解不等式问题的易错点 典例 2013 江苏高考 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 4x 则不等式f x x的解集用区间表示为 解析 因为f x 是定义在R上的奇函数 所以f 0 0 又当x0 所以f x x2 4x 又f x 为奇函数 所以f x f x 所以f x x2 4x x 0 所以f x 1 当x 0时 由f x x 得x2 4x x 解得x 5 2 当x 0时 f x x无解 3 当xx 得 x2 4x x 解得 5x的解集用区间表示为 5 0 5 答案 5 0 5 误区警示 1 处对于x 0时的情况漏掉分析而导致不全面 2 处利用奇函数求x 0的解析式时求解错误 规避策略 1 利用奇偶性求函数的解析式时一定要看清函数的定义域 若在0处有定义 则奇函数中必有f 0 0 2 利用奇偶性解不等式一般需要求解f x 的解析式 因此要正确利用奇偶性转化求解析式 类题试解 2013 四川高考 已知f x 是定义域为R的偶函数 当x 0时 f x x2 4x 那么 不等式f x 2 5的解集是 解析 依据已知条件求出y f x x R的解析式 再借助y f x 的图象求解 设x0 当x 0时 f x x2 4x 所以f x x 2 4 x 因为f x 是定义在R上的偶函数 得f x f x 所以f x x2 4x x 0 故f x 由f x 5得得x 5或x 5 观察图象可知由f x 5 得 5 x 5 所以由f x 2 5 得 5 x 2 5 所以 7 x 3 故不等式f x 2 5的解集是 x 7 x 3 答案 x 7 x 3 1 2013 宁波模拟 函数的定义域是 A 0 1 B 0 1 C 0 4 D 4 解析 选A 依题意有解得所以0 x 1 即函数定义域是 0 1 2 2013 温州模拟 若函数f x x2 ax 3a 9对任意x R恒有f x 0 则f 1 等于 A 6 B 5 C 4 D 3 解析 选C 依题意得a2 4 3a 9 0 即a2 12a 36 0 所以 a 6 2 0 必有a 6 这时f x x2 6x 9 故f 1 4 故选C 3 2013 绍兴模拟 已知函数若f x 1 则x的取值范围是 A 1 B 1 C 0 1 D 1 1 解析 选D 当x 0时 由x2 1 得x 1 当x 0时 由2x 1 1 得x 1 综上可知 x 1 1 4 2013 衢州模拟 已知不等式ax2 4x a 1 2x2对一切实数x恒成立 则实数a的取值范围是 A 2 B 2 C 3 D 3 2 解析 选A 原不等式等价于 a 2 x2 4x a 1 0对一切实数恒成立 显然a 2时 解集不是R 不合题意 从而有解得所以解得a 2 故a的取值范围是 2 6 2013 湖州模拟 已知函数则满足不等式f 3 x2 f 2x 的x的取值范围为 A 3 0 B 3 0 C 3 1 D 解析 选B 由函数图象可知 不等式的解为或解得或即x 3 0 故选B