初三数学竞赛辅导教程

1 1 因式分解 1 常用公式或变形方法 此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容 1 22222 1cbabcabca 2 1 b 3 在已知 和 时此公式 222 2cbacabca cba 22c 常变形为 4 bcacbaabca 2233 2 例题讲解 例 1 已知 a b c 是 ABC 的三条边 且满足 试判断 ABCbcacba 22 的形状 例 2 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍 求这三个素数 2015 大同杯第四题 例 3 已知实数 a b c 满足 求 的值 0 cb220 1abc 44abc 2003 年宇振杯第 3 题 例 4 已知 求证 0 cba033 cba055 cba 3 练习题 1 已知整数 a b 满足 求 的值 30196 baba 2 已知 求 的值 12 ma2b3 mc bcaba22 3 已知 a b c 是不全相等的实数 且 求 0 abcabc33 1 的值 2 的值 abcabca11 4 化简 2014 大同杯第 1 题 22 33ba 5 设非零实数 a b c 满足 求 的值 2013 年全国初中 0432cba22cba 数学联赛第一试第 1 题 6 已知正数 a b c 满足 求 的3 acbca 1 cb 值 7 已知 求5 cba1522 cba4733 cba 的值 2016 全国初中数学联赛第二试 B 组第 2 2222 cba 题 1 2 对称式与轮换对称式 一 定义 1 一个 元代数式 如果交换任意两个字母的位置后 代数式不变 那么 就称这个代数n 式为 元对称式 简称对称式 例如 都是22xyzxyz 对称式 2 如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数 那么称这个多项式为齐次多项式 3 一个 元代数式 如果交换任意两个字母的位置后 代数式均改变符号 那么就称这个n 代数式为 元交代式 例如 均是交代式 xyxyz 4 如果一个 元代数式 如果将字母 以 代 代 代n12nxA 2x132nxA 代 后代数式不变 那么称这个代数式为 元轮换对称式 简称轮换式 对称式1nx 一定是轮换式 但轮换式不一定是对称式 例如 是对称式也是轮换式 22 axyz 是轮换式 但不是对称式 22 bxyzx 二 例题讲解 例 1 已知 a b c 是 ABC 的边 且 求此三角形21ca 2ab21bc 的面积 例 2 满足方程 的非负整数解 有几组 2014 zyxzyxz zyx 2014 大同杯第 4 题 例 3 设 x y z 是三个互不相等的数 且 求 xyz 的值 xzyx11 例 4 x1 x 2 y 1 y 2 满足 x12 x22 2 x 2y1 x1y2 1 x 1y1 x2y2 3 求 y12 y22 的值 三 练习题 1 已知 求 的值 15 ba71c6 caacb 2 若数组 x y z 满足下列三个方程 求 xyz 的值 1 zyx23 zyx3 zyx 3 已知 b 0 且 a b c 1 b c d 2 c d a 3 求 a b c d 的最大值 4 不定方程 的整数 解共有几组 2015 大同杯第 7 题 22xyxy x 5 已知 bc a2 5 ca b 2 1 ab c2 7 求 6a 7b 8c 6 已知实数 a b c 且 若实数 x1 x 2 y 1 y 2 满足0 x12 ax22 b x 2y1 x1y2 a x 1y1 ax2y2 c 求 y12 ay22 的值 2007 新知杯第 5 题 1 3 高斯函数 1 定义 实数 x 用 x 表示不超过 x 的最大值整数 则 y x 称为高斯函数 二 例题讲解 例 1 表示不大于 的最大整数 求方程 的所有实数解 2006 新知 xx 27832 x 杯第 6 题 例 2 对于正整数 n 设 是最接近 的整数 求 2017 全国an203211aa 数学联赛第一试第 6 题 例 3 给定正实数 a 对任意一个正整数 n 记 这里 表示不超过 2naf x 实数 x 的最大整数 1 若 求 a 的取值范围 5 f 2 求证 2012 新知杯 11 题 1 nf 2 练习题 1 用 表示不超过 的最大整数 把 称为 的小数部分 已知 是 xx x 123t a 的小数部分 是 的小数部分 求 2016 全国数学联赛第一试第 1 题 tbt ab12 2 如果 a 为任意实数 用 a 表示不大于 a 的最大整数 例如 5 5 2 3 3 3 1 设 x y 满足方程 求 x y 16 2 3yx 3 用 表示不超过 的最大整数 求方程 的所有实数解 xx 25 x 4 设 表示不超过实数 的最大整数 xx 直至1234123456 2 3S 2016 项 其中分母为 的一段共有 项 只有最后一段可能不足kk k 项 求 的值 2016 大同杯第 6 题 2kS 5 设 表示不超过实数 的最大整数 正整数 n 小于 100 且满足 xx nn 632 这样的正整数 n 有几个 2000 年全国初中数学联赛第一试第 4 题 6 设 表示不超过 t 的最大整数 令 已知实数 x 满足 求 t tt 183 2014 全国初中数学联赛第 5 题 x1 7 设 表示不超过实数 的最大整数 求方程 8 x 7 0 的所有解的平方和 xx2x 8 求满足不等式 的最大正整数 其中 表示不超过实nn 1332 n x 数 的最大整数 2008 新知杯第五大题 x 1 4 概率 一 基本概念 1 排列 1 排列的定义 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 2 排列的计算公式 使用计算器时先 121 mmPn 输入 n 的值 然后按 P 按钮 再输入 m 的值 2 组合 1 组合的定义 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素并成一组 组合与排列的区 别是组合是无序的 而排列是有序的 2 组合的计算公式 使用计算器时先输入 n 的值 然后按 mnCmn C 按钮 再输入 m 的值 二 例题讲解 例 1 有编号分别为去 1 2 3 4 5 6 7 的 7 个大小相同的小球 从中任取 3 个小球 求取出的 3 个小球的编号和为奇数的概率 2015 大同杯第 2 题 例 2 从三边长均为整数且周长为 24 的三角形中任取一个 求它是直角三角形的概率 2015 全国初中数学联赛第一试填空第 2 题 例 3 三对夫妻排成一排照相 求仅有一对夫妻相邻的概率 三 练习题 1 同时投掷两颗骰子 P a 表示两颗骰子朝上一面的点数之和为 a 的概率 求 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 的值 2012 新知杯第 2 题 2 从编号分别为 的 张卡片中任意抽取 张 求抽出卡片的编号1234563 都大于等于 的概率 2011 新知杯第 3 题 3 6 张不同的卡片上分别写有数字 2 2 4 4 6 6 从中取出 3 张 求这 3 张卡片上所 写的数字可以作为三角形的三边长的概率 2014 全国初中联赛第一试第 4 题 4 从正 12 边形的顶点中取出 4 个顶点 求它们两两不相邻的概率 5 某校初三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛 其中一班有 3 位 二班有 2 位 其 它班有 5 位 若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序 则一班有 3 位同学恰好被排在一起 指演讲序号相连 且二班的 2 位同学没有被排在一起的概率是多少 6 已知 5 件产品中有 3 件合格品 2 件次品 每次任取一个检验 检验后不再放回 求恰 好经过 3 次检验找出 2 件次品的概率 1 5 单元测试一 一 填空题 1 从 1 到 9 这九个数字中任取两个数 它们的乘积是偶数的概率是 2 已知 则 的值为 1 cba acbcba 22 3 用 表示不大于 的最大整数 则方程 的解的个数为 xx2 30 x 4 若实数 a b c 满足 代数式 的最大值是922 cb 222acba 5 用 表示不超过 的最大整数 已知方程 x 3 那么满足方程的 x 是 xx143x 6 若实数 a b c d 满足 a2 b2 c2 d2 10 则 y a b 2 a c 2 a d 2 b c 2 b d 2 c d 2 的最大值是 7 设 表示不大于 的最大整数 如 若 xx 3 83 则 2221134 5S 8 已知 且 表示不超过 的最10 a 183029302 aa xx 大整数 则 二 解答题 9 已知 a b c 0 求证 a 3 b3 c3 3abc 10 设 a b c d 是四个整数 且使得 是一个非零 22241dcbacdabm 整数 求证 一定是合数 m 11 1 用 表示不超过 的最大整数 对于任意实数 求证 xxx x21 2 求 的值 210210210M 12 试确定一切有理数 r 使得关于 x 的方程 有根且只有整数根 0232 rxr 2 1 不定方程 一 例题讲解 例 1 求满足方程 的所有实数对 2010 新知杯第 2 题 3322 yxx yx 例 2 不定方程 的整数 解共有多少组 2015 大同杯第 7 题 22xyxy x 例 3 求方程 的整数解 2000 弘晟杯第 8 题 4312 xy yx 二 练习题 1 求不定方程 的整数解025 yx 2 方程 xyz 2009 的所有整数解有多少组 2009 新知杯第 8 题 3 方程 都是正整数 求该方程的正整数解 412 ba 4 已知正整数 满足 求 2015 全国初 abc1abc 1 2bac 中数学联赛填空第 4 题 5 已知三整数 之和为 13 且 求 的最大值和最小值 并求出此时相应abcbca 的 与 的值 bc 6 已知 为整数 若关于 的二次方程 有有理根 求 值 kx 0132 xkxk 7 已知正整数 a b c 满足 求 的最大值 20 bc2380 abcabc 2013 全国数学联赛第一试填空第 8 题 2 2 特殊方程 组 的解法 一 例题讲解 例 1 已知 是不为 0 的实数 求解方程组 2013 新知杯第 10 题 a axy1 例 2 设 均为非零数 解方程组 abc cab432 例 3 关于 的方程组 有实数解 求正实数 的最小zyx 632 zxyxa zyxa 值 2006 新知杯第三题 例 4 解方程 xxx317272 例 5 解方程 65745321 xxx 二 练习题 1 已知实数 满足如下方程组 fedcba 6402 31 8402 2fedcbaffedcba 求 的值 2006 新知杯第 2 题 abcdef 2 解方程 0134612052 yxyx 3 解关于 x 的方程 2014 大同杯第 9 题 xaxx 1 4 解方程组 2012 新知杯第 10 题 6253cbda 5 解方程 xxx71357139722 6 解方程组 12314xyzzxy 2 3 韦达定理 一 例题讲解 例 1 已知二次函数 的图像与 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超axy 2x 过 5 则 的取值范围 2006 新知杯第 4 题 a 例 2 已知 a b c d 四个不相等的实数 满足 c d 是方程 的两实0982 bax 根 a b 是 的两实根 求 a b c d 2017 大同杯第 8 题 0982 x 例 3 整数 满足 且关于 的一元二次方程 的两个qp 201 x0672 qpx 根均为正整数 求 2010 新知杯第 7 题 例 4 已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a b 是否存在另一个矩形 A B C D 使它的周长 和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的 证明你的结认论 2005 宇振杯第二题 31 例 5 设实数 满足 求 的 ab2 1 2 40ba 1 8b 21ab 值 2014 全国数学联赛第三题 二 练习题 1 在 ABC 中 C 90 A B C 的对边顺次为 a b c 若关于 x 的方程 的两根平方和为 10 求 的值 2007 新知杯第 3 题 012122 xabxc 2 已知关于 x 的方程 有实根 并且所有实根的 023224 kxkx 乘积为 2 求所有实根的平方和 2009 新知杯第 4 题 3 设 a b 是方程 的两个根 c d 是方程 的两个根 01682 x 01862 x 求 的值 2009 新知杯第 6 题 dc 4 已知 a b c d 四个不相等的实数 满足 a b 是 的两实根 012 dcx c d 是方程 的两实根 求 a b c d 2017 大同杯静安区初赛第 9012 bx 题 5 设二次函数 的图象过两点 P Q 且与 轴的交点为 A B 2yxbc 1 a 2 0 x 与 轴的交点为 C 如果关于 的方程 的两个根都是整数 求 ABC 的面积 y2xbc 2010 全国数学联赛第二试第三题 2 4 单元测试二 一 填空题 1 实数 满足方程组 其中 是实常数 且54321 xx 521544332211axax54321 a 用 号连接 54321aa 43 2 如果方程 的两根之差等于 1 那么 p 012 px 3 如果 那么 y2z3 xzyx 4 实数 x y 满足 且 则 x y 1 045 y 5 已知 x y 是正整数 并且 则23120 xy 2 6 在直角坐标系中 坐标都是整数的点称为整点 设 为整数 当直线k 的交点为整数时 可以取的值有 个kxy 和3k 7 若实数 x y 满足 则 x y 16343 y165433 yx 8 已知 是正整数 且满足 是整数 则这样的有序数对 共有 ab52 ab ab 对 3 解答题 9 已知 a b c 满足方程组 求方程 的根 482cab 02 acxb 10 设关于 x 的二次方程 的两根都是整数 求 4628622 kxkxk 满足条件的所有实数 k 的值 11 已知 是正整数 如果关于 的方程 的根都是整ax 321738560axax 数 求 的值 12 已知实数 m n 满足 和 求 的值 0523 032 nnm1 3 1 基本不等式 一 基本概念与公式 1 基本不等式 当 a 0 b 0 时 当且仅当 a b 时取等号 ab 2 2 文字描述 设 a 0 b 0 则 a b 的算术平均数为 几何平均数为 基本2 ab 不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数 3 公式变形 1 实数 a b a2 b 2 2ab 当且仅当 a b 时取等号 2 实数 a b 同号时 2 当且仅当 a b 时取等号 ba ab 3 实数 a b 当且仅当 a b 时取等号 4 实数 a b 当且仅当 a b 时取等号 22 aa2 b22 4 注意点 1 当两个正数的积为定植时 可以求它们的和的最小值 当两个正数的和为定植时 可 以求它们的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的条件 一正 二定 三取等 2 例题讲解 例 1 若正数 x y z 满足 xyz x y z 4 求 x y y z 的最小可能值 2002 宇振杯第 9 题 例 2 已知 x y 为非负实数 满足 求 xy 的最大值 2017 大同23164 2 yx 杯第 10 题 例 3 设 是给定的正实数 是给定的大于 1 的整数 实数 满足an123 nxx 求22213nxxa 的最2222113 n nxx 21 nx 大值 2015 大同杯第 8 题 例 4 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 2 AC x 点 F 在边 AB 上 点 G H 在边 BC 上 四边形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形 且 AE AC 1 求 y 关于 x 的函数关系式 2 当 x 取何值时 y 取得最大值 并求出 y 的最大值 2007 新知杯第二题 3 练习题 1 已知 x 0 y 0 且 2x y 1 求 的最小值 1x 1y 2 设 a b 0 求 a2 的最小值 1ab 1a a b 3 已知 四边形 是正方形且边长为 1 求 的最大值 90BACADEFCAB1 2013 新知杯第 9 题 4 若正数 a b 满足 求 的最小值 2015 全国数学联赛第二试1 baM21 B 组第一题 5 设实数 且满足 求 的最大值 1 a0b1 ba2ba 3 2 函数的最值 一 例题讲解 例 1 将 个数 排列为 87 532 4613a 使得 的值最小 求这个bcdefgh 2hgfedcba 最小值 2011 新知杯第 4 题 例 2 已知实数 x 求 的最小值 2017 大同杯第二题 12 例 3 已知实数 x y 满足 xy x y 1 求 的最小值 2015 全国数学联赛 A 组第一试2yx 第 5 题 例 4 已知非负实数 满足 求 的最大值 2014 全国 xyz1yz 2txyz 数学联赛第一试第 2 题 二 练习题 1 不等式 对于一切实数 都成立 则实数 的最大值 2008 新知杯第 2ax 62xa 题 2 已知实数 x y 满足 求 的最大值 2015 全国数学联赛 B 组第122 yx 2yx 一试第 4 题 3 已知实系数一元二次方程 ax2 2bx c O 有两个实根 x1 x 2 若 a b c 且 a b c 0 求 d x1 x2 的取值范围 2004 宇振杯第 9 题 4 设实数 满足 1 求则 的最大值 2016 全国数学 xyz yz 23Mxyz 联赛第一试第 6 题 3 3 二次函数 一 例题讲解 例 1 若实数 使得二次函数 当 时 恒有 求 abc2 fxabc 01x 1fx 的最大值 2016 大同杯第 7 题 例 2 已知 为四个正的常数 则当实数 满足 时 求 的最 abcd xy21aby 2cxdy 小值 2016 大同杯第 8 题 例 3 已知二次函数 的图像与 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超axy 2x 过 5 求 的取值范围 2006 新知杯第 4 题 a 例 4 某学生为了描点作出函数 y ax2 bx c a 0 的图象 取自变量的 7 个值 且 分别算出对应的 的值 列出下表 127xx 213276xx y x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个 y 值 请指出算错的是哪一个值 正确的值是多少 并说明理 由 2003 宇振杯第四题 二 练习题 1 已知点 在二次函数 的 0 8 4132 1948 2 39ABC 2yaxbc 图像上 则当图像上的点 的横坐标 时 求它的纵坐标 的值 2016 大同杯第 3Dx 题 2 已知二次函数 的图象的顶点在第二象限 且过点 当21 0 yaxb 1 0 为整数时 求 的值 2016 全国数学联赛 B 组第一试第 3 题 ab 3 已知关于正整数 n 的二次式 y n2 an a 为实常数 若当且仅当 n 5 时 y 有最小值 求 实数 a 的取值范围 2002 宇振杯第 4 题 4 抛物线顶点 A 在 x 轴上交 y 轴于 C AC 有 2cbxay 2 02 ac 过点 A 且交抛物线于另一点 B 求 B 点坐标 2017 大同杯徐汇区初赛第 6 题 txy 3 4 单元测试三 一 填空题 1 若 a 0 b 0 且 a 2b 2 0 则 ab 的最大值为 2 抛物线 与 x 轴的两个交点分别位于点 2 0 的两旁 那么 a 51 xxy 的取值范围是 3 设 a b 都是实数 函数 若对任意实数 b 方程 12 xbaxf 有两个相异的实根 则实数 a 的取值范围为 xbax 212 4 当 x 0 时 则 f x 的最大值为 2xx2 1 5 若 则 的最大值是 44 6 当 时 函数 的最大值是 61 x12 xy 7 设 x 为正数 则函数 的最小值是 8 二次函数 的图象与 轴正方向交于 A B 两点 与 轴正方向交于点cbxy 2xy C 已知 则 ACB3 30Oc 二 解答题 9 直角三角形斜边为 c 直角边为 a b 求证 cba2 10 设 A B 是抛物线 上的点 原点是线段 AB 的中点 求 A B 两点的坐242 xy 标 11 a b c 为实数 且 证明 关于 x 的方程0 ac0532 cba 有大于 而小于 1 的根 02 xa43 12 如图 抛物线 顶点为 E 该抛物线与 轴交于 A B 两点 与 轴y 23axb xy 交于点 C 且 OB OC 3OA 直线 与 轴交于点 D 求 DBC CBE 1yx y 4 1 相似三角形 一 例题讲解 例 1 如图 在凸四边形 ABCD 中 已知 ABC CDA 300 求ADBCA 证 2014 大同杯第 10 题 BDAC 例 2 如图 在正 的边 上分别有点 且满足 ABCAEFBECFa 当 平分 时 求 的值为 2011 新知杯虹口区初赛 ECFb a Fab 例 3 如图 梯形 ABCD 中 AB CD AC BD 相交于点 O P Q 分别是 AD BC 上的点 且 APB CPD AQB CQD 求证 OP OQ 2012 全国数学联赛第 13 题 二 练习题 1 已知 在 上且 过点 作 的平FEACBA 8 690 AB3 2 FEEAC 行线交 于 的延长线交 的延长线于 求 2013 新知杯第 3 题 CDFG 2 已知梯形 中 ABCD 求梯形 的面积 ABCD 90ADB 5 C13B 2011 年新知杯第 2 题 3 直角三角形斜边 上的高 延长 到 使得 过 作 交AB3 CDP2 CBAPF 于 交 于 求 2013 新知杯第 8 题 CDEPFE 4 如图 在四边形 中 对角ABCD09BDC 5AC 1D 线的交点为 求 的长 2016 全国数学联赛第一试第 5 题 M 4 2 梅涅劳斯定理 1 定理 梅涅劳斯 Menelaus 定理 一直线分别截 ABC 的边 BC CA AB 或其延长线 于 D E F 则 1FBAEC 二 例题讲解 例 1 如图 在四边形 ABCD 中 ABD BCD ABC 的面积之比是 3 4 1 点 M N 分别在 AC CD 上 满足 AM AC CN CD 且 B M N 三点共线 求证 M 与 N 分别是 AC 和 CD 的中点 例 2 直角 ABC 中 CK 是斜边上的高 CE 是 ACK 的平分线 E 点在 AK 上 D 是 AC 的 中点 F 是 DE 与 CK 的交点 求证 BFC 三 练习题 1 过 ABC 的重心 G 的直线分别交 AB AC 于 E F 交 CB 延长线于 D 求证 1FACEB 2 在 ABC 中 点 M 和 N 顺次三等分 AC 点 X 和 Y 顺次三等分 BC AY 与 BM BN 分别交于 点 S R 求四边形 SRNM 与 ABC 的面积之比 3 已知 ABC 的重心为 G M 是 BC 边的中点 过 G 作 BC 边的平行线交 AB 边于 X 交 AC 边于 Y 且 XC 与 GB 交于点 Q YB 与 GC 交于点 P 证明 MPQ ABC 4 3 正 余弦定理 1 定理 1 正弦定理 R 为外接圆半径 CcBbAa2sinisin 面积公式 S21 诱导公式 sinsi 2 余弦定理 Cabcco22 变形 Cos 2 例题讲解 例 1 已知 ABC 中 AB 2 AC 3 点 D E 在边 AC AB 上 且 ABD 4 DBC ACE 4 ECB 求 ABC 的面积 2017 大同杯第 6 题 CAB 例 2 在等腰直角三角形 中 是 内一点 使得 ABC 90PABC 1 PA 求边 的长 2011 新知杯第 6 题 7 PB6 例 3 已知点 是 内一点 使得 PABC PABCPA 求证 222211sinisini 3 练习题 1 设 是正方形内部一点 到顶点 的距离分别是 2 3 求正方形的面积 PPABC1 2 在 的 及 边上分别取点 使 ABC XYABXYC ABXC 求证 为正三角形 XY 3 ABC 中 B 60 A 20 求 2017 大同杯徐汇区初赛第 8 题 BCA1 4 4 单元测试四 1 填空题 1 如下左图 AB EF CD 已知 AB 20 CD 80 那么 EF 的值是 2 如上右图 正方形 OPQR 内接于 ABC 已知 AOR BOP 和 CRQ 的面积分别是 和 那么 正方形 OPQR 的边长是 1 S321 S 3 在 ABC 中 已知 b c c a a b 4 5 6 则 sin A sin B sin C 等于 4 在 ABC 中 最大角 A 是最小角 C 的两倍 且 AB 7 AC 8 则 BC 5 在 ABC 中 已知面积 S a2 b 2 c 2 则角 C 的度数为 14 6 AC CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线 点 M N 分别在 AC CE 上 使 AM AC CN CE r 如果 B M 和 N 三点共线 那么 r 7 如下左图 一个边长为 3 4 5 厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点 B 重合 另两个顶点分别在正方形的两条边 AD DC 上 那么这个正方形的面积是 厘米 2 A E2 F2 E 1 F1 B P1 2 G2 1 C 8 如上右图 在 ABC 中 在 BC 上有 100 个不同的点ABC 5 过这 100 个点分别作 ABC 的内接矩形 P12310 EF122 设每个内接矩形的周长分别为 则EFG0 L120 LL1210 2 解答题 9 在 ABCD 中 E F 分别是 AB BC 的中点 AF 与 CE 相交于 G AF 与 DE 交于 H 求 AH HG GF 10 证明余弦定理的一种四边形推广 即设凸四边形 的对角线交于 又设ABCDP 则 APB 22cosADBCD AB D CP 11 过 ABC 三条角平分线的交点 I 作 AI 的垂线与 AB AC 分别交于 D E 求证 BID IEC 12 已知 中 延长 到点 连结 若 且ABC 90 ACDB30CD 求 的长 1ABD A B CD 30 5 1 几何不等式与最值 1 例题讲解 例1 如图所示 在平面直角坐标系xOy 中 MON 的两边分别是射线 y x x 0 与x轴正 半轴 点A 6 5 B 10 2 是 MON 内的两个定点 点P Q分别是 MON 两边上的动点 求 四边形ABQP 周长的最小值 2015大同杯第6题 例 2 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 4 BC 5 现点 A B 分别在 y 轴 x 轴正半轴上 运动 求点 C 的运动轨迹的长度 2017 大同杯第 3 题 例 3 已知面积为 4 的 的边长分别为 AD 是ABC bcABbCaB 的角平分线 点 是点 C 关于直线 AD 的对称点 若 与 相似 求A D 的周长的最小值 2010 新知杯第 11 题 BC 2 练习题 1 如图 直角三角形 ABC 中 AC 1 BC 2 P 为斜边 AB 上一动点 PE BC C CDB A PF CA 求线段 EF 长的最小值 2009 新知杯第 5 题 2 如图 ABC 的面积为 1 点 D G E 和 F 分别在边 AB AC BC 上 BD DA DG BC DE AC GF AB 求梯形 DEFG 面积的最大可能值 2017 新知杯第 7 题 3 已知 ABC 的两条高分别为 5 和 20 若第三条高也是整数 求第三条高的最大值 2011 全国初中数学联赛第 2 题 4 两个直角梯形的斜腰与上底都等于 1 且两个锐角互余 它们的面积分别为 S1 和 S2 求证 1 S 1 S2 2 F E C B A P 5 2 三角形的 五心 1 例题讲解 例 1 设 ABC 的内心为 I A 内的旁心为 J AI 的延长线交三角形外接圆于 K 则 KI KJ KB KC 鸡爪定理 例 2 设三角形的外接圆半径为 R 内切圆半径为 r 外心与内心的距离为 d 则 欧拉定理 Rrd22 例3 如图 在 ABC中 BC a CA b ACB 60 ABD是正三角形 P是其中 心 求 CP 的长度 2015 大同杯第 9 题 例 4 如图 为 的垂心 圆 为 的外接圆 点 为以 为圆心 HABC OABC EFC 长为半径的圆与圆 的交点 为线段 的垂直平分线与圆 的交点 求证 CDEFO 1 垂直平分线段 2 E 二 练习题 1 已知四边形 的面积为 2013 为 上一点 的重心分ABCDEADCDEAB 别为 求 的面积为 2013 新知杯第 7 题 321 G321 FDEHOBCA GI C A B 2 已知 为等腰 内一点 为 的中点 PABCBC 108P DAC 与 交于点 如果点 为 的内心 求 的度数 2014 全国初中数BDCEEA 学联赛填空第 3 题 3 设 的外心 垂心分别为 若 共圆 对于所有的 ABCOH BCO ABC 求 所有可能的度数 2013全国初中数学联赛12题 4 已知 ABC的三边长均为正整数 周长为 35 G 和I 分别为 ABC 的重心和内心 且 GIC 90 求边AB 的长度 2015大同杯第11题 5 3 圆幂定理与四点共圆 1 例题讲解 例 1 设 PO 是边长为 1 的正 ABC 的外接圆的一条弦 已知 AB 和 AC 的中点都在 PQ 上 求 PQ 的长 例 2 如图 在平行四边形 中 为对角线 上一点 且满足 ABCDEBDECDAB 的延长线与 的外接圆交于点 证明 2014 全国初中ACFFAB 数学联赛第四题 例 3 如图 若 PA PA APB 2 ACB AC 与 PB 交于点 D 且 PB 4 PD 3 求 AD DC 的值 例 4 如图 已知 与 外切于点 和 的半径依次为 和 直线MAOCMAOrR 切 于点 与 相交于点 求 的值 2016 大同杯第 9 题 TPQAT PQP F CABE QPMCOT 2 练习题 1 已知AB为圆O 的直径 AB 1 延长AB到点C 使得BC 1 CD是圆O的切线 D 是切点 则 的面积 2015大同杯第1题 ABD 2 如图 圆 与圆 外切于点P 从圆 上点A 作圆 的切线AB B 是切点 连1O21O2 结AP 并延长 与圆 交于点C 已知圆 圆 的半径分别为2 1 求 的值 AC 2015大同杯第5题 3 凸四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 E 已知 ABD 35 ADB 20 ACB 40 ACD 70 求 AEB 的度数 4 如图 在等腰 中 为 边上异于中点的点 点 关于直线ABC 5 DBCC 的对称点为点 的延长线与 的延长线交于点 求 的值 2016 全ADEA FAD 国初中数学联赛 B 组第三题 5 4 单元测试五 1 填空题 1 不等边三角形 如果一条边长等于另两条边长的平均值 则最大边上的高于最小边上的 高的比值 K 的取值范围是 2 ABC 中 AB AC B 的平分线交 AC 于 D 且 BC AD BD 则 BAC 3 在长为 32 宽为 3 的长方形内部最多可以不重叠地放置 个半径为 1 的圆 4 如下左图 在 中 为 的内心 连接ABC 6 3C7A IBC 并延长交 于点 记 的面积为 的面积为 则CIDI m n mn ABCDI 5 如上右图在钝角 ABC 中 BC 1 A 30 D 为 BC 中点 G 为 ABC 重心 若 B C 为定点 当点 A 运动时 线段 GD 长度的取值范围是 6 已知 为等腰 内一点 为 的中点 与PBCBC 108P DACBD 交于点 如果点 为 的内心 则 EEA 7 已知四边形 ABCD 的面积为 32 边 AB CD 和对角线 AC 的长都是整数 且它们的和为 16 则该四边形的边长的平方和的最小值为 8 如图正方形 ABCD 内接于 O 点 P 在劣弧 AB 上 连结 DP 交 AC 于点 Q 若 QP QO 则 的值为 QAC 2 解答题 9 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 CD 是 AB 边上的高 E F 分别是 ADC 和 BDC 的内心 连 接 EF 交 CD 于点 G 试求 CG 的长 10 梯形 ABCD 的面积为 1 上底为 m 下底为 n 点 P Q 分别是上底和下底上的动点 假设 AQ BP 交于点 R CP DQ 交于点 S 则阴影部分面积的最大值是多少 11 等腰 Rt ABC 与等腰 Rt A 1B1C1 满足 A1 B 1 C 1 分别在 ABC 的三条不同边上 求 的最小值 ABCS 1 12 如图 点 P 为 O 外一点 过点 P 作 O 的两条切线 切点分别为 A B 过点 A 作 PB 的平行线 交 O 于点 C 连结 PC 交 O 于点 E 连结 AE 并延长 AE 交 PB 于点 K 求 证 PE AC CE KB 6 1 数论 一 例题讲解 例 1 设 是正整数 不是 4 的倍数 求证 不是完全平方 ab2ab 3 57 ab 数 2015 大同杯第 12 题 例 2 称具有 形式的数为 好数 其中 都是整数 证明 存在正整数2216ba ba 使得 是 好数 而 不是 好数 2010 年新知杯 14 题 yx 16yxyx 例 3 已知 为正整数 求 能取到的最小正整数的值 2016 全ba 4232 baM 国初中数学联赛第二试 A 组第一题 例 4 已知 P 为素数 问 是否存在 p 使 a b b c a c 的最小公倍数能整除 pc a b c 为两两不同的正整数 若存在 请求出素数 p 的最小值 若不存在请说明理由 2017 大同杯第 12 题 二 练习题 1 已知正整数 使 也是正整数 求证 为完全平方数 2016 大同杯n21tn t 第 11 题 2 对于整数 用 表示所有小于 的素数的乘积 求满足条件3n n 的所有正整数 23n 3 对每一个大于 的整数 设它的所有不同的素因数为 对于每个1n1p2 kp 存在正整数 使得 记 kipi 1ia1 iiaap kaan 2 例如 证明 存在无穷多个正整数 使得 2011 年新895206 n 知杯第 12 题 4 已知有 6 个互不相同的正整数 且 从 621 a 621aa 这 6 个数中任意取出 3 个数 分别设为 其 记kji kji 证明 一定存在 3 个不同的数组 i j k 其中 kjiakjif21 使得对应着的 3 个 两两之差的绝对值都小于 0 5 6 ji kjif 6 2 组合数学 一 例题讲解 例1 在1 2 2015 这2015 个正整数中选出 个数 使得其中任意两个不同的数的k 和 都不是50 的倍数 求k 的最大值 2015年大同杯第10题 例 2 已知 为整数且 1 nna 32 求 的最小值 2013 年新知杯第 11 题 20131321 a n 例 3 如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧 所得到的新数可被 7 整除 那么称 M 为 m 的 魔术数 例如 把 86 放在 415 的左侧 得到的数 86415 能被 7 整除 所以称 86 为 415 的魔术数 求正整数 n 的最小值 使得存在互不相同的正整数 满12naa 足对任意一个正整数 m 在 中都至少有一个为 m 的魔术数 2013 全国12naa 初中数学联赛第 14 题 例 4 证明 将全体正整数任意分成 4 组 A1 A2 A3 A4 则存在整数 n 15 在 A1 A2 A3 A4 中一定有一组 Ai 在 Ai 中不存在两个不同的数 它们的和为 n 2014 年 大同杯第 12 题 二 练习题 1 从 1 2 3 2017 中选取 n 个数 使得这 n 个数中的任意两数的差的绝对值既不等于 4 也不等于 5 求 n 的最大值 2017 大同杯静安区预赛第 12 题 2 将 n 2 任意分成两组 如果总可以在其中一组中找到数 23 abc 可以相同 使得 求 的最小值 bac 3 正整数 n 满足以下条件 任意 n 个大于 1 且不超过 2009 的两两互素的正整数中 至少 有一个素数 求最小的 n 2009 新知杯第四题 4 在一个盒子里有红 黄 黑三种颜色的小球共 88 个 已知从中任意取出 24 个 就可以 保证至少有 10 个小球是同色的 在满足上述条件的情况下 无论各种颜色的小球如何分配 至少要从盒子中任意取出多少个小球 才能保证至少有 20 个小球是同色的 2007 年新 知杯第四题