四边形辅助线练习题

特殊四边形主要包括平行四边形 矩形 菱形 正方形和梯形 在解决一些和四边形有关的问题时往 往需要添加辅助线 下面介绍一些辅助线的添加方法 一 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一 它有许多可以利用性质 为了利用这些性质往往需要添加辅助线 构造平行四边形 1 利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例 1 如图 1 已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点 四边形 OCDE 是平行四边形 求证 OE 与 AD 互相平分 说明 当已知条件中涉及到平行 且要求证的结论中和平行四边形的性质有关 可试通过添加辅助线构造 平行四边形 2 利用两组对边平行构造平行四边形 例 2 如图 2 在 ABC 中 E F 为 AB 上两点 AE BF ED AC FG AC 交 BC 分别为 D G 求证 ED FG AC 说明 当图形中涉及到一组对边平行时 可通过作平行线构造另一组对边平行 得到平行四边形解决问题 3 利用对角线互相平分构造平行四边形 例 3 如图 3 已知 AD 是 ABC 的中线 BE 交 AC 于 E 交 AD 于 F 且 AE EF 求证 BF AC 图 3 图 4 说明 本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形 实际上是采用了平移法构造平行四边形 当已知 中点或中线应思考这种方法 二 和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线 借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题 例 4 如图 5 在 ABC 中 ACB 90 BAC 的平分线交 BC 于点 D E 是 AB 上一点 且 AE AC EF BC 交 AD 于点 F 求证 四边形 CDEF 是菱形 例 5 如图 6 四边形 ABCD 是菱形 E 为边 AB 上一个定点 F 是 AC 上一个动点 求证 EF BF 的最小值等 于 DE 长 图 6 说明 菱形是一种特殊的平行四边形 和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多 常见的几种辅 助线的方法有 1 作菱形的高 2 连结菱形的对角线 三 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种 1 计算型题 一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问 题 2 证明或探索题 一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题 和矩形有关的试题的 辅助线的作法较少 例 6 如图 7 已知矩形 ABCD 内一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 PD 的长 图 7 四 与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形 它既是轴对称图形 又是中心对称图形 有关正方形的试题较多 解决 正方形的问题有时需要作辅助线 作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线 例 7 如图 8 过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE AC 且 AE AC 又 CF AE 求证 BCF 2 1 AEB 说明 本题是一道综合题 既涉及正方形的性质 又涉及到菱形的性质 通过连接正方形的对角线构造正 方形 AHBO 进一步得到菱形 借助菱形的性质解决问题 与中点有关的辅助线作法 一 有中线时可倍长中线 构造全等三角形或平行四边形 例 1 已知 如图 AD 为 中线 求证 ABC ADCB2 类题 1 已知 如图 AD 为 的中线 AE EF 求证 BF AC ABC 二 有以线段中点为端点的线段时 常加倍此线段 构造全等三角形或平行四边形 例 2 已知 如图 在 中 M 为 AB 中点 P Q 分别在 AC BC 上 且ABC 90 于 M 求证 QMP 22P 类题 2 已知 的边 BC 的中点为 N 过 A 的任一直线 于 D 于 E 求证 ABC B ACE NE ND A B D C A B D C E F A P M Q B C 三 有中点时 可连结中位线 例 3 如图 中 D E 分别为 AB AC 上点 且 BD CE M N 为 BE CD 中点 连 MN 交 AB AC 于ABC P Q 求证 AP AQ 类题 3 已知 如图 E F 分别为四边形 ABCD 的对角线中点 AB CD 求证 CDABEF 21 类题 4 如图 中 AD 是高 CE 为中线 G 为垂足 DC BE 求证 1 G 是 CEABC CED 的中点 2 E 2 A E D G CB A D P B C Q E M N A D F E B C 四 有底边中点 连中线 利用等腰三角形 三线合一 性质证题 例 4 已知 如图 在 中 AB AC D 为 BC 边中点 P 为 BC 上一点 ABCRt 90 于 F 于 E 求证 DF DE P E 类题 5 已知 如图 矩形 ABCD E 为 CB 延长线上一点 且 AC CE F 为 AE 中点 求证 FDB 六 与梯形中点有关的辅助线 有腰中点时 常见以下三种引辅助线法 例 5 已知 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC M 为 CD 的中点 求证 AM MB BCA 类题 6 已知 梯形 ABCD 中 AB CD E 为 BC 中点 于 F 求证 ADEF ADEFSABC 梯 形A DF B C 1 E A DB C 2 E G A DB C 3 EEAB D M C A F E D P CB B D C F E A 作业 1 已知 ABC 和 DBE 为等腰直角三角形 ABC DBE 90 A B D 在同一直线上 M N P 分别是 AD AC DE 边上的中点 试说明 MP 与 MN 的关系并证明 2 如果上题中 A B D 不在同一直线上 其余条件不变 上述结论是否发生变化 证明结论 3 平行四边形 ABCD 对角线相交于点 O P E F 分别是 AD OB OC 的中点 AC 2AB 求证 PE EF N M P E D C BA N M P E D C B A A B C D O E P F A B C D E M N 4 等腰梯形 ABCD 中 DC AB AOB 60 E F M 分别是 OD OA BC 的中点 求证 EFM 是等边三角形 5 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD M N P Q 分别是 AD BC BD AC 的中点 求证 MN 与 PQ 互相垂 直平分 6 如图 在 ABC 中 E 是 AB 的中点 CD 平分 ACB AD CD 垂足为点 D 求证 2DE BC AC 7 BD CE 分别为 ABC 外角平分线 AM BD 于 M AN CE 于 N 探究 MN 与 AB BC AC 的关系 A B CD E F M O A B C DM N P Q 附加题 1 若将上题中 BD 改为 ABC 的平分线 其它条件不变 则上题结论是否成立 2 若 BD CE 分别为 ABC 和 ACB 的平分线 其它条件不变 以上结论是否成立 画图 证明 8 ABC 中 AB AC BAC 在 AB AC 上截取 AD AE 且 AD AE 连结 DE 如图 1 所示 则易证 BD CE 如图 2 所示 将 ADE 逆时针针旋转到如图所示位置 连结 BD CE 1 判断 BD 与 CE 的数量关系及 BD CE 延长线所夹锐角的度数 2 点 G F 分别是等腰 ABC 等腰 ADE 底边的中点 BAC DAE 点 P 是线段 CD 的中点 试探 索 GPF 与 的关系 并加以证明 A B C D E B C D E A B C D E A CB A CB A B C D E A P G F 9 我们给出如下定义 有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形 请解答下列问题 1 写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称 2 如图 1 在 ABC 中 AB AC 点 D 在 BC 上 且 CD CA 点 E F 分别为 BC AD 的中点 连接 EF 并 延长交 AB 于点 G 求证 四边形 AGEC 是等邻角四边形 3 如图 2 若点 D 在 ABC 的内部 2 中的其他条件不变 EF 与 CD 交于点 H 图中是否存在等邻角 四边形 若存在 指出是哪个四边形 不必证明 若不存在 请说明理由 1 在四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 顺次连结 EF FG GH HE 1 请判断四边形 EFGH 的形状 并给予证明 2 试添加一个条件 使四边形 EFGH 是菱形 并说明理由 2 如图 在四边形 ABC 中 AB AD CB CD 点 M N P Q 分别是 AB BC CD DA 的中点 求证 四边形 MNPQ 是矩 形 小结 中点四边形 对角线 的四边形的中点四边形是菱形 对角线 的四边形的中点四边形是矩形 对角线 的四边形的中点四边形是正方形 对角线 的四边形的中点四边形是平行四边形 1 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 2 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 3 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 4 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 5 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 练习题 1 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点 所得图形一定是 A 矩形 B 直角梯形 C 菱形 D 正方形 2 如图 小区的一角有一块形状为等梯形的空地 为了美化小区 社区居委会计划在空地上建一个四边 形的水池 使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上 则水池的形状一定是 A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 3 顺次连接一个四边形的各边中点 得到了一个矩形 则下列四边形满足条件的是 平行四边形 菱形 等腰梯形 对角线互相垂直的四边形 A B C D 4 顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形 则四边形 ABCD 一定是 A 菱形 B 对角线互相垂直的四边形 C 矩形 D 对角线相等的四边形 PDA B CQM N 5 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AD BC 点 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 则下列结论一定 正确的是 A HGF GHE B GHE HEF C HEF EFG D HGF HEF 6 如图 依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形 再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形 按照此方法继续下去 已知第一个矩形的面积为 1 则第 n 个矩形的面积为 7 我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 若一个四边形 的中ABCD 点四边形是一个矩形 则四边形 可以是 ABCD 8 如图 点 E F G H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD BD BC CA 的中点 当四边形 ABCD 的边至少满 足 条件时 四边形 EFGH 是菱形 A B C DE F G H 9 如图 四边形 ABCD 中 AC a BD b 且 AC BD 顺次连接四边形 ABCD 各边中点 得到四边形 A1B1C1D1 再顺 次连接四边形 A1B1C1D1各边中点 得到四边形 A2B2C2D2 如此进行下去 得到四边形 AnBnCnDn 1 证 明 四 边 形 A1B1C1D1是 矩 形 2 写 出 四 边 形 A1B1C1D1和 四 边 形 A2B2C2D2的 面 积 3 写 出 四 边 形 AnBnCnDn的 面 积 4 求 四 边 形 A5B5C5D5的 周 长 10 如图 在四边形 ABCD 中 E 为 AB 上一点 ADE 和 BCE 都是等边三角形 AB BC CD DA 的中点 分别为 P Q M N 试判断四边形 PQMN 为怎样的四边形 并证明你的结论 A1 A A2 A3 B B1 B2 B3 C C2 C1 C3 D D2 D1 D3 第 9 题图