2018年高考理科数学试卷及答案(清晰word版)

理科数学试题 第 1 页 共 9 页 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写 在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设 则i2z z A B C D 01212 2 已知集合 则2 0 x A R A B 1 x C D U1 2x 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地 了解该地区农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济 收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 理科数学试题 第 2 页 共 9 页 4 记 为等差数列 的前 项和 若 则nS na324S 12a 5 A B C D 12 10 01 5 设函数 若 为奇函数 则曲线 在点 处32 fxx fx yfx 0 的切线方程为 A B C D 2yy 2y 6 在 中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 则C EBur A B 314 ur 134A r C D B 7 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱 表 面上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱 侧 面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A B 217 25 C D 3 8 设抛物线 的焦点为 过点 且斜率为 的直线与 C 交于 M N24yx F 0 3 两点 则 FN ur A B C D 5678 9 已知函数 若 存在 2 个零点 则 的e 0 lnxf gxfxa gxa 取值范围是 A B C D 1 0 1 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三 个 半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC 直角边 AB AC 的三边ABC 所围成的区域记为 黑色部分记为 其余部分记为 在整个图形中随机取 一点 此点取自 的概率分别记为 则1p23 理科数学试题 第 3 页 共 9 页 A B C D 12p 13p 23p 123p 11 已知双曲线 O 为坐标原点 F 为 C 的右焦点 过 F 的直线与 C 的23xCy 两条渐近线的交点分别为 M N 若 为直角三角形 则 MN A B C D 2 234 12 已知正方体的棱长为 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等 则 截此正方1 体所得截面面积的最大值为 A B C D 342332432 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 xy20 1 xy 32zxy 14 记 为数列 的前 n 项和 若 则 nS nanSa6S 15 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的 选法共有 种 用数字填写答案 16 已知函数 则 的最小值是 2sin fxx f 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为 必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 在平面四边形 中 ABCD90 45A 2B 5D 1 求 cos 2 若 求 2 理科数学试题 第 4 页 共 9 页 18 12 分 如图 四边形 为正方形 分ABCDEF 别为 的中点 以 为折痕把 折起 使点 到达点 的位置 且DF P P 1 证明 平面 平面 EF AB 2 求 与平面 所成角的正弦值 D 19 12 分 设椭圆 的右焦点为 过 的直线 与 交于 两点 点 21xCy FlCAB 的坐标为 M 0 1 当 与 轴垂直时 求直线 的方程 l AM 2 设 为坐标原点 证明 OOB 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品 作检验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作 检验 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概 率都为 且各件产品是否为不合格品相互独立 01 p 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 求 的最大值点 fp f0p 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的 作 为 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要 对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 为 X 求 EX 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有 产品作检验 21 12 分 已知函数 1 lnfxax 1 讨论 的单调性 2 若 存在两个极值点 证明 f 1212 fxfa 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所 做的第一题计分 理科数学试题 第 5 页 共 9 页 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系 中 曲线 的方程为 以坐标原点为极点 轴正xOy1C 2ykx x 半轴为极轴建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为 2 cos30 1 求 的直角坐标方程 2C 2 若 与 有且仅有三个公共点 求 的方程 1 1 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 1 fxax 1 当 时 求不等式 的解集 f 2 若 时不等式 成立 求 的取值范围 0 xa 理科数学试题参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C 10 A 11 B 12 A 二 填空题 13 14 15 16 663 1632 三 解答题 17 解 1 在 中 由正弦定理得 ABD siniBDAB 由题设知 所以 52 sin4i 25 由题设知 所以 90AB 3cos1A 2 由题设及 1 知 2in5DCB 在 中 由余弦定理得CD 理科数学试题 第 6 页 共 9 页 22cos585 BCDBDC 所以 18 解 1 由已知可得 所以 平面 BFP EFB PEF 又 平面 所以平面 平面 BF ADAD 2 作 垂足为 由 1 得 PHEH 平面 以 为坐标原点 的方向为 y 轴正方F ur 向 为单位长 建立如图所示的空间直角 BFur 坐标系 Hxyz 由 1 可得 又 DEP 2D 所以 又 故 DE 3 1FEPF 可得 2P 则 为 平面 0 H3 0 3 1 0 2D 3 1 2 ur 3 0 2HP ur 的 法 向 量 ABFD 设 与平面 所成角为 则 PABF 34sin DP ru 所以 与平面 所成角的正弦值为 D34 19 解 1 由已知得 的方程为 1 0 Fl1x 由已知可得 点 A 的坐标为 或 2 理科数学试题 第 7 页 共 9 页 所以 AM 的方程为 或 2yx 2yx 2 当 l 与 x 轴重合时 0OMAB 当 l 与 x 轴垂直时 OM 为 AB 的垂直平分线 所以 OMAB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时 设 l 的方程为 1 0ykx 1 xy 则 直线 MA MB 的斜率之和为2 By12 x 12MAykx 由 得ykkx 12123 4MABxkxk 将 代入 得 1 ykx 2y 22 1 40kxk 所以 1224 x 则 3321843 0kkkk 从而 故 MA MB 的倾斜角互补 所以 0MAB OMAB 综上 O 20 解 1 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 因此2180 C fpp 2182172170 0 C fpp 令 得 当 时 当 时 0 f 0fp 所以 的最大值点为 f0 2 由 1 知 1p 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 依题意知 180 YB 即 05X 4025XY 所以 490EE 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于 故应该对余下的产品作检验 理科数学试题 第 8 页 共 9 页 21 解 1 的定义域为 fx 0 2211 axfx 若 则 当且仅当 时 所以 在2a fx 0f fx 单调递减 0 若 令 得 或 0f 24a 24ax 当 时 2244 0 aax U 0f 当 时 所以 在 22 fx fx240 a 单调递减 在 单调递增 24 a 2244 aa 2 由 1 知 存在两个极值点当且仅当 fx 由于 的两个极值点 满足 所以 不妨设 fx12210 x 12x 12x 则 由于2 121212212 lnlnlnffaaaxxxxx 所以 等价于 12 ff 22l0 设函数 由 1 知 在 单调递减 又 从 lngxx gx 1 0g 而当 时 1 0 所以 即 22lx 12 ffax 22 解 1 由 得 的直角坐标方程为cosx siny 2C 2 1 4x 2 由 1 知 是圆心为 半径为 的圆 2C 0A 由题设知 是过点 且关于 轴对称的两条射线 记 轴右边的射线为 1 Byy1l 轴左边的射线为 由于 在圆 的外面 故 与 有且仅有三个公共点等价于y2l21C2 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点 或 与 只有一个公共点且 与1l22l l 1l 理科数学试题 第 9 页 共 9 页 有两个公共点 2C 当 与 只有一个公共点时 到 所在直线的距离为 所以 故1l2 A1l22 1k 或 经检验 当 时 与 没有公共点 当 时 与 只有43k 00k 1l2C43l2C 一个公共点 与 有两个公共点 2lC 当 与 只有一个公共点时 到 所在直线的距离为 所以 故l A2l22 1k 或 经检验 当 时 与 没有公共点 当 时 与 没有公0k 430k 1l2C43 lC 共点 综上 所求 的方程为 1C4 3yx 23 解 1 当 时 即a 1 fxx 2 1 xfx 故不等式 的解集为 f 2 2 当 时 成立等价于当 时 成立 0 1x 1 xax 0 1 x 1ax 若 则当 时 a 若 的解集为 所以 故 x 20 xa 2 综上 的取值范围为 a 2