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习题四 A1 用积分公式直接求下列不定积分。（1）（2）（3）（4）（5）（6）2用积分公式直接求下列不定积分。（1）（3）（5）（6）（7）（9）3 用第一类换元法求下列不定积分：（1）（4）（5）（8）（10）（11）5 用第二类换元法求不定积分：（3） 解：令则（4） 解：令，则原式=（6） 解：令则原式（9） 解：令则原式（11） 解；令 则原式6、用分步积分法求下列不定积分。（2） （4）（5）（8）（10）（13）（14）（16）习题4（B）1. 求下列不定积分（1） （2） 令 （3）（4） 令 （5） （6） （7） （8） 2（1） （2） （3） 3（1） （2） （3） 4（1）令 ， （2）令 ， （3）令， ， 5（1）令时， （2）令时， 习题五 (A)3. 根据定积分的几何意义，说明下列各式的正确性。(2) 解：表示图1中阴影部分的面积，它是图1中第一象限面积的2倍，而第一象限阴影部分的面积可以表示为，。(4) 解：表示图2所示的四分之一圆的面积，故。4.根据定积分的性质，比较下列各组定积分值的大小。(1) 解：因为，所以(等号成立的只有有限个)，又因为是连续函数从而可积，由定积分的性质可知。5. 利用定积分的性质，估计下列定积分值。(2) 解：令。令得而因此，故。(4) 解：令，则。令得。因为在上单调递减，所以 ， 即。6. 求下列函数的导数。(1) 解：(2) 解：(3) 解： 7. 求下列极限。(1) (2) (4) .8. 利用适当代换，证明下列各题。(2)若，证明。证明：令，从而(3)若在上连续，证明。证明：。9. 设连续，且，求。解：两边同时对求导得：，. 令。11. 用牛顿莱布尼兹公式计算下列定积分。(2) 。(4) (6) (8) (9) (10) (12) 12. 用变量代换法计算下列定积分。(2) (3) (6) (7) (9) (11) (12) (13) 13. 用分布积分法计算下列定积分。 (1) (2) (3) .从而。(5) (7) 14. 计算下列定积分。(1) (2) (4) 令故：。又22. 求下列曲线围成的平面图形的面积。(1);解：如图3所示，面积(3)解：如图4所示，面积(4)解：如图5所示，面积(5) 解：如图6所示，面积23. 求由抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积。解：。，过点（3，0）的切线为。当时交点为。如图7所示，面积24. 求之间所围成的图形的面积。解：如图8所示，面积25. 设，问为何值时，图中阴影部分的面积最小？最大？解：如图9所示面积。又29. 设某产品投放市场后都转化为商品，当销售量为(百台)时，其边际成本函数为(万元/百台)，其边际收益函数为(万元/百台)。求：(1) 总成本函数和总收益函数;(2) 问月销售量为多少台时，才能获得最大利润。并求出获得最大利润时的总收益和平均收益。假若固定成本(万元)。解：(1)由题意 (2) ,.又所以当取极大值也是最大值。即当月销售量为3.2台是才能获得最大利润。此时30. 生产某产品的固定成本万元，边际成本与边际收益分别为(万元/单位)，(万元/单位)，试求厂商的最大利润。解：利润。令得。为极大值点也是最大值点。所以当时厂商有最大利润。32. 计算下列广义积分。(2) (3) (5) 故。(6) 。令则同理 (7) 习题五(B)1. 证：由积分中值定理可知：至少存在一点，使得在上满足洛尔定理，至少存在一点使得2. 连续，故有最小值m最大值M, 由闭区间上连续函数的性质可知:至少存在一点使得: 3. 证：(1) (2)4. 解：令而，5. 解：令6. 解：7. 解：8. 解：9. 解：10. 解：11.解：两边对求导得：由此推出在内可导。两边对求导得12. 解：在左端令，则代入左端得：。两端对求导得：。令13. 解：(1)求焦点(2) ,14. (1) 如图1， (2) 如图2，(3) 如图3，(4) 如图4，(5) 如图5，15. 解：(1) 设切点则过的切线方程为。即，由命题可知(2) 切线方程为。(3) 如图6，.16. 解：设抛物线的方程为，它通过点和，故(1) (2) 依题意有：.17. 解：如图8，(1),.(2).18. 解：如图9，(1) (2)设曲线上所求点为，则过该点的切线方程为该切线与轴的交点为：19. 解：20. 解：原式=21. 解：，要使，取22. 解：如图10，(1)当时，(2)令得唯一驻点，又习题六（A）5求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（1）；解：（2）；解：9设，求。解：令13求下列函数的偏导数：（1）解：（2）解：（3）解：， （4）解：（5）解：（7）解：15设，试证：。证明：17求下列函数的二阶偏导数：（1）解： （2）解：（3）；解：，18求下列函数的全微分：、（2）解：因为，所以。（4）在点（2，1）处的全微分解：因为， ，。所以。20，求下列复合函数的偏导数或导数：（1），求，；解： （2），求，；解：。（3），有连续的二阶偏导数，求，；解：设，则 21求下列方程所确定的隐函数的全微分：（1）解： 有所以（2）；解： 有 所以22求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值：（1）解：解方程组得驻点， 由 由于 不是极值点。而 当 时， 函数在取极大值；当 时， 函数在取极小值；（3），x0，y0；解：解方程组得驻点（由于） 为极小值。24某工厂生产甲，乙两种产品的产量各为x，y，其成本函数为，由 市场调查调查得知，其单价与产量分别有如下关系：，试求甲，乙两种产品产量各为多少时总利润最大？并求出最大利润。解：总利润函数 解方程组得唯一驻点根据问题的实际意义。必为可取得最大值。因此总利润最大。且25，某厂家生产某种产品的成本是每件2元，另外每月再花广告费A元，则每月的销售量为，其中P为产品销售价格，求最合理的P和A值，使得工厂的纯利润最大。解：设纯利润为。则解方程组 得驻点由问题的实际意义。必可取最大值。 时，工厂的纯利润最大。27，比较二重积分的大小：、（1）与，其中D是正方形；解：时 。且等号不同时成立 28估计积分的上下界：（1），其中D是单位圆解：由 知 （2），其中D是矩形；解：由 得29，分别对下列区域将二重积分按两种次序化为累次积分：（1）D由与所围成；解： （3）D由，及所围成；解： 得交点 得交点 （4）D由，及所围成；解：得交点 30交换下列积分次序：（1）解：（2）解：原式（3）解：原式31，计算下列二重积分：（1），其中D由x0，x2及y0，y2所围成；解 （2），其中D由y2x-1，x0及yx所围成；解： （4），其中D是区域；解：。（5）,其中D由yx，x1及x轴所围成；解：（7）解：交换积分次序得， 。32，计算二重积分：（1）,其中D为圆环；解：令，。（2），其中D为区域，解：令，（4），其中D为第一象限中圆周与心脏线围成的区域解：令， 34计算下列各题：（1）求曲线所围成区域的面积解法一：令，J此时曲线化为令， 解法二：令，就有所以（2）求所围成区域的面积解：令， 。 习题6 (B)1. 已知为某一函数的全微分，试求之值。解： 由比较有关系数得到 ，。2. 设函数有，, 求：解： 因为 ，连续对y积分两次得， 3. 设 ,t是方程所确定的函数. 求.解: 两边对x求导. (1) (2)由(1),(2)解得= 4. 已知且其中可微连续且.P(t)连续. 试求.解: , 两边分别对x求导得. 两边分别对y求导得. 5. u=f(x,y,z)有连续编导, y=y(x), z=z(x), 分别由方程和 确定求: 解:由得 由得 6. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中和分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨）。和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即。（1） 如果该企业实行价格判别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2） 如果该企业实行价格无判别策略，试确定两个市场该产品的销售量及其统一的价格，使企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。解：（1） ,（2）所以,此时，72-2349。7，估计积分的上界与下界，其中是由及所围成的区域。解：由于又所以即，且的面积为所以。8，分别对下列区域将二重积分按两种次序化为累次积分（1）是由轴，曲线及其过点的切线围成的区域解：设过原点的切线为由 设切点为，就有得，切点所以 或者（2）是由曲线，围成的包含点的区域解：由图 9（1），由及围成解：（2） ，由轴及曲线所围成的不包含的区域。解： （3），由围成解： （4），；解：令 则 。(5) I=,其中是区域：；解： =(6) 设是由直线，及围成的平面区域，求二重积分的值。解：=(7) ，其中；解： 将分成和两部分 （8），为连续函数，由曲线，直线所围成。解：？10设计算。解：令 则11. 设表示全平面，求二重积分解：依题意，因此12. 设连续，且满足方程其中是由曲线直线围成的区域，求。解：令 ，则 ，因此， ，由得 所以13. 设连续，计算极限解：在闭区域连续D:上连续，有二重积分中值定理得，至少存在，使得，当时，所以14计算下列二重积分：(1) 其中D是由曲线和直线围成的区域。解：令 则。（令）(2) ,其中。解：令 则，=+=所以，因此16 。证明： 又交换积分次序有（与互换）所以即17. 设在0,a上连续，证明.解：(交换积分次序)=所以=18. 计算下列各题：(1) 求由2曲线及围成的区域的面积解：令 由则（参见附图），（2）设立体由围成，求其体积。解：该立体是由顶为，底为平面上以为半径的圆的第一象限部分（如附图）令 则所以 。
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