2018中考数学试题分类汇编一元二次方程

2018 中考数学试题分类汇编 考点 10 一元二次方程 一 选择题 共 18 小题 1 2018 泰州 已知 x1 x 2 是关于 x 的方程 x2 ax 2 0 的两根 下列结论一定 正确的是 A x 1 x 2 B x 1 x2 0 C x 1 x2 0 D x 1 0 x 2 0 分析 A 根据方程的系数结合根的判别式 可得出 0 由此即可得出 x1 x2 结论 A 正确 B 根据根与系数的关系可得出 x1 x2 a 结合 a 的值不确定 可得出 B 结论不 一定正确 C 根据根与系数的关系可得出 x1 x2 2 结论 C 错误 D 由 x1 x2 2 可得出 x1 x 2 异号 结论 D 错误 综上即可得出结论 解答 解 A a 2 4 1 2 a 2 8 0 x 1 x 2 结论 A 正确 B x 1 x 2 是关于 x 的方程 x2 ax 2 0 的两根 x 1 x2 a a 的值不确定 B 结论不一定正确 C x 1 x 2 是关于 x 的方程 x2 ax 2 0 的两根 x 1 x2 2 结论 C 错误 D x 1 x2 2 x 1 x 2 异号 结论 D 错误 故选 A 2 2018 包头 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个实数根 m 为正整数 且该方程的根都是整数 则符合条件的所有正整数 m 的和为 A 6 B 5 C 4 D 3 分析 根据方程的系数结合根的判别式 0 即可得出 m 3 由 m 为正整 数结合该方程的根都是整数 即可求出 m 的值 将其相加即可得出结论 解答 解 a 1 b 2 c m 2 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有实数 根 b 2 4ac 22 4 m 2 12 4m 0 m 3 m 为正整数 且该方程的根都是整数 m 2 或 3 2 3 5 故选 B 3 2018 宜宾 一元二次方程 x2 2x 0 的两根分别为 x1 和 x2 则 x1x2 为 A 2 B 1 C 2 D 0 分析 根据根与系数的关系可得出 x1x2 0 此题得解 解答 解 一元二次方程 x2 2x 0 的两根分别为 x1 和 x2 x 1x2 0 故选 D 4 2018 绵阳 在一次酒会上 每两人都只碰一次杯 如果一共碰杯 55 次 则参加酒会的人数为 A 9 人 B 10 人 C 11 人 D 12 人 分析 设参加酒会的人数为 x 人 根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯 55 次 即可得出关于 x 的一元二次方程 解之取其正值即可得出结论 解答 解 设参加酒会的人数为 x 人 根据题意得 x x 1 55 整理 得 x 2 x 110 0 解得 x 1 11 x2 10 不合题意 舍去 答 参加酒会的人数为 11 人 故选 C 5 2018 临沂 一元二次方程 y2 y 0 配方后可化为 A y 2 1 B y 2 1 C y 2 D y 2 分析 根据配方法即可求出答案 解答 解 y 2 y 0 y2 y y2 y 1 y 2 1 故选 B 6 2018 眉山 若 是一元二次方程 3x2 2x 9 0 的两根 则 的值 是 A B C D 分析 根据根与系数的关系可得出 3 将其代入 中即可求出结论 解答 解 是一元二次方程 3x2 2x 9 0 的两根 3 故选 C 7 2018 泰安 一元二次方程 x 1 x 3 2x 5 根的情况是 A 无实数根 B 有一个正根 一个负根 C 有两个正根 且都小于 3 D 有两个正根 且有一根大于 3 分析 直接整理原方程 进而解方程得出 x 的值 解答 解 x 1 x 3 2x 5 整理得 x 2 2x 3 2x 5 则 x2 4x 2 0 x 2 2 2 解得 x 1 2 3 x 2 2 故有两个正根 且有一根大于 3 故选 D 8 2018 宜宾 某市从 2017 年开始大力发展 竹文化 旅游产业 据统计 该 市 2017 年 竹文化 旅游收入约为 2 亿元 预计 2019 竹文化 旅游收入达到 2 88 亿元 据此估计该市 2018 年 2019 年 竹文化 旅游收入的年平均增长率约为 A 2 B 4 4 C 20 D 44 分析 设该市 2018 年 2019 年 竹文化 旅游收入的年平均增长率为 x 根据 2017 年及 2019 年 竹文化 旅游收入总额 即可得出关于 x 的一元二次方程 解 之取其正值即可得出结论 解答 解 设该市 2018 年 2019 年 竹文化 旅游收入的年平均增长率为 x 根据题意得 2 1 x 2 2 88 解得 x 1 0 2 20 x 2 2 2 不合题意 舍去 答 该市 2018 年 2019 年 竹文化 旅游收入的年平均增长率约为 20 故选 C 9 2018 湘潭 若一元二次方程 x2 2x m 0 有两个不相同的实数根 则实数 m 的取值范围是 A m 1 B m 1 C m 1 D m 1 分析 根据方程的系数结合根的判别式 0 即可得出关于 m 的一元一次 不等式 解之即可得出实数 m 的取值范围 解答 解 方程 x2 2x m 0 有两个不相同的实数根 2 2 4m 0 解得 m 1 故选 D 10 2018 盐城 已知一元二次方程 x2 k 3 0 有一个根为 1 则 k 的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 分析 根据一元二次方程的解的定义 把把 x 1 代入方程得关于 k 的一次方 程 1 3 k 0 然后解一次方程即可 解答 解 把 x 1 代入方程得 1 k 3 0 解得 k 2 故选 B 11 2018 嘉兴 欧几里得的 原本 记载 形如 x2 ax b2 的方程的图解法是 画 Rt ABC 使 ACB 90 BC AC b 再在斜边 AB 上截取 BD 则该方 程的一个正根是 A AC 的长 B AD 的长 C BC 的长 D CD 的长 分析 表示出 AD 的长 利用勾股定理求出即可 解答 解 欧几里得的 原本 记载 形如 x2 ax b2 的方程的图解法是 画 Rt ABC 使 ACB 90 BC AC b 再在斜边 AB 上截取 BD 设 AD x 根据勾股定理得 x 2 b2 2 整理得 x 2 ax b2 则该方程的一个正根是 AD 的长 故选 B 12 2018 铜仁市 关于 x 的一元二次方程 x2 4x 3 0 的解为 A x 1 1 x 2 3 B x 1 1 x 2 3 C x 1 1 x 2 3 D x 1 1 x 2 3 分析 利用因式分解法求出已知方程的解 解答 解 x 2 4x 3 0 分解因式得 x 1 x 3 0 解得 x 1 1 x2 3 故选 C 13 2018 台湾 若一元二次方程式 x2 8x 3 11 0 的两根为 a b 且 a b 则 a 2b 之值为何 A 25 B 19 C 5 D 17 分析 先利用因式分解法解方程得到 a 11 b 3 然后计算代数式 a 2b 的 值 解答 解 x 11 x 3 0 x 11 0 或 x 3 0 所以 x1 11 x2 3 即 a 11 b 3 所以 a 2b 11 2 3 11 6 17 故选 D 14 2018 安顺 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2 7x 10 0 的两根 则该等腰三角形的周长是 A 12 B 9 C 13 D 12 或 9 分析 求出方程的解 即可得出三角形的边长 再求出即可 解答 解 x 2 7x 10 0 x 2 x 5 0 x 2 0 x 5 0 x1 2 x 2 5 等腰三角形的三边是 2 2 5 2 2 5 不符合三角形三边关系定理 此时不符合题意 等腰三角形的三边是 2 5 5 此时符合三角形三边关系定理 三角形的周 长是 2 5 5 12 即等腰三角形的周长是 12 故选 A 15 2018 广西 某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨 预计 2018 年蔬菜产 量达到 100 吨 求蔬菜产量的年平均增长率 设蔬菜产量的年平均增长率为 x 则可列方程为 A 80 1 x 2 100 B 100 1 x 2 80 C 80 1 2x 100 D 80 1 x 2 100 分析 利用增长后的量 增长前的量 1 增长率 设平均每次增长的百分 率为 x 根据 从 80 吨增加到 100 吨 即可得出方程 解答 解 由题意知 蔬菜产量的年平均增长率为 x 根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨 则 2017 年蔬菜产量为 80 1 x 吨 2018 年蔬菜产量为 80 1 x 1 x 吨 预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨 即 80 1 x 1 x 100 或 80 1 x 2 100 故选 A 16 2018 乌鲁木齐 宾馆有 50 间房供游客居住 当毎间房毎天定价为 180 元时 宾馆会住满 当毎间房毎天的定价每增加 10 元时 就会空闲一间房 如 果有游客居住 宾馆需对居住的毎间房毎天支出 20 元的费用 当房价定为多少 元时 宾馆当天的利润为 10890 元 设房价定为 x 元 则有 A 180 x 20 50 10890 B x 20 50 10890 C x 50 50 20 10890 D x 180 50 50 20 10890 分析 设房价定为 x 元 根据利润 房价的净利润 入住的房间数可得 解答 解 设房价定为 x 元 根据题意 得 x 20 50 10890 故选 B 17 2018 黑龙江 某中学组织初三学生篮球比赛 以班为单位 每两班之间 都比赛一场 计划安排 15 场比赛 则共有多少个班级参赛 A 4 B 5 C 6 D 7 分析 设共有 x 个班级参赛 根据第一个球队和其他球队打 x 1 场球 第 二个球队和其他球队打 x 2 场 以此类推可以知道共打 1 2 3 x 1 场球 然后根据计划安排 15 场比赛即可列出方程求解 解答 解 设共有 x 个班级参赛 根据题意得 15 解得 x 1 6 x2 5 不合题意 舍去 则共有 6 个班级参赛 故选 C 18 2018 眉山 我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售 由于国 务院有关房地产的新政策出台后 购房者持币观望 为了加快资金周转 房地 产开发商对价格经过连续两次下调后 决定以每平方 4860 元的均价开盘销售 则平均每次下调的百分率是 A 8 B 9 C 10 D 11 分析 设平均每次下调的百分率为 x 则两次降价后的价格为 6000 1 x 2 根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可 解答 解 设平均每次下调的百分率为 x 由题意 得 6000 1 x 2 4860 解得 x 1 0 1 x 2 1 9 舍去 答 平均每次下调的百分率为 10 故选 C 二 填空题 共 14 小题 19 2018 扬州 若 m 是方程 2x2 3x 1 0 的一个根 则 6m2 9m 2015 的值为 2018 分析 根据一元二次方程的解的定义即可求出答案 解答 解 由题意可知 2m 2 3m 1 0 2m 2 3m 1 原式 3 2m 2 3m 2015 2018 故答案为 2018 20 2018 苏州 若关于 x 的一元二次方程 x2 mx 2n 0 有一个根是 2 则 m n 2 分析 根据一元二次方程的解的定义把 x 2 代入 x2 mx 2n 0 得到 4 2m 2n 0 得 n m 2 然后利用整体代入的方法进行计算 解答 解 2 n 0 是关于 x 的一元二次方程 x2 mx 2n 0 的一个根 4 2m 2n 0 n m 2 故答案为 2 21 2018 荆门 已知 x 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 k 2 2 x 2k 4 0 的 一个根 则 k 的值为 3 分析 把 x 2 代入 kx2 k 2 2 x 2k 4 0 得 4k 2k2 4 2k 4 0 再解关于 k 的 方程 然后根据一元二次方程的定义确定 k 的值 解答 解 把 x 2 代入 kx2 k 2 2 x 2k 4 0 得 4k 2k2 4 2k 4 0 整理得 k2 3k 0 解得 k1 0 k 2 3 因为 k 0 所以 k 的值为 3 故答案为 3 22 2018 资阳 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 5x m2 2m 0 有一个根为 0 则 m 2 分析 根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m 的 方程 通过解关于 m 的方程求得 m 的值即可 解答 解 关于 x 的一元二次方程 mx2 5x m2 2m 0 有一个根为 0 m 2 2m 0 且 m 0 解得 m 2 故答案是 2 23 2018 南充 若 2n n 0 是关于 x 的方程 x2 2mx 2n 0 的根 则 m n 的 值为 分析 根据一元二次方程的解的定义 把 x 2n 代入方程得到 x2 2mx 2n 0 然后把等式两边除以 n 即可 解答 解 2n n 0 是关于 x 的方程 x2 2mx 2n 0 的根 4n 2 4mn 2n 0 4n 4m 2 0 m n 故答案是 24 2018 柳州 一元二次方程 x2 9 0 的解是 x 1 3 x 2 3 分析 利用直接开平方法解方程得出即可 解答 解 x 2 9 0 x 2 9 解得 x 1 3 x2 3 故答案为 x 1 3 x 2 3 25 2018 绵阳 已知 a b 0 且 0 则 分析 先整理 再把等式转化成关于 的方程 解方程即可 解答 解 由题意得 2b b a a b a 3ab 0 整理得 2 2 1 0 解得 a b 0 故答案为 26 2018 十堰 对于实数 a b 定义运算 如下 a b a 2 ab 例如 5 3 5 2 5 3 10 若 x 1 x 2 6 则 x 的值为 1 分析 根据题意列出方程 解方程即可 解答 解 由题意得 x 1 2 x 1 x 2 6 整理得 3x 3 6 解得 x 1 故答案为 1 27 2018 淮安 一元二次方程 x2 x 0 的根是 x 1 0 x 2 1 分析 方程左边分解因式后 利用两数相乘积为 0 两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 解答 解 方程变形得 x x 1 0 可得 x 0 或 x 1 0 解得 x 1 0 x2 1 故答案为 x 1 0 x 2 1 28 2018 黄冈 一个三角形的两边长分别为 3 和 6 第三边长是方程 x2 10 x 21 0 的根 则三角形的周长为 16 分析 首先求出方程的根 再根据三角形三边关系定理 确定第三边的长 进而求其周长 解答 解 解方程 x2 10 x 21 0 得 x1 3 x 2 7 3 第三边的边长 9 第三边的边长为 7 这个三角形的周长是 3 6 7 16 故答案为 16 29 2018 黔南州 三角形的两边长分别为 3 和 6 第三边的长是方程 x2 6x 8 0 的解 则此三角形周长是 13 分析 求出方程的解 有两种情况 x 2 时 看看是否符合三角形三边关系 定理 x 4 时 看看是否符合三角形三边关系定理 求出即可 解答 解 x 2 6x 8 0 x 2 x 4 0 x 2 0 x 4 0 x1 2 x 2 4 当 x 2 时 2 3 6 不符合三角形的三边关系定理 所以 x 2 舍去 当 x 4 时 符合三角形的三边关系定理 三角形的周长是 3 6 4 13 故答案为 13 30 2018 通辽 为增强学生身体素质 提高学生足球运动竞技水平 我市开 展 市长杯 足球比赛 赛制为单循环形式 每两队之间赛一场 现计划安排 21 场比赛 应邀请多少个球队参赛 设邀请 x 个球队参赛 根据题意 可列方 程为 x x 1 21 分析 赛制为单循环形式 每两队之间都赛一场 x 个球队比赛总场数为 x x 1 即可列方程 解答 解 设有 x 个队 每个队都要赛 x 1 场 但两队之间只有一场比赛 由题意得 x x 1 21 故答案为 x x 1 21 31 2018 南通模拟 某厂一月份生产某机器 100 台 计划三月份生产 160 台 设二 三月份每月的平均增长率为 x 根据题意列出的方程是 100 1 x 2 160 分析 设二 三月份每月平均增长率为 x 根据一月份生产机器 100 台 三 月份生产机器 160 台 可列出方程 解答 解 设二 三月份每月平均增长率为 x 100 1 x 2 160 故答案为 100 1 x 2 160 32 2018 泰州 已知 3x y 3a2 6a 9 x y a2 6a 9 若 x y 则实数 a 的值为 3 分析 根据题意列出关于 x y 的方程组 然后求得 x y 的值 结合已知条 件 x y 来求 a 的取值 解答 解 依题意得 解得 x y a 2 6a 9 整理 得 a 3 2 0 故 a 3 0 解得 a 3 故答案是 3 三 解答题 共 11 小题 33 2018 绍兴 1 计算 2tan60 2 0 1 2 解方程 x 2 2x 1 0 分析 1 首先计算特殊角的三角函数 二次根式的化简 零次幂 负整数 指数幂 然后再计算加减即可 2 首先计算 然后再利用求根公式进行计算即可 解答 解 1 原式 2 2 1 3 2 2 a 1 b 2 c 1 b 2 4ac 4 4 8 0 方程有两个不相等的实数根 x 1 则 x1 1 x 2 1 34 2018 齐齐哈尔 解方程 2 x 3 3x x 3 分析 移项后提取公因式 x 3 后利用因式分解法求得一元二次方程的解即 可 解答 解 2 x 3 3x x 3 移项得 2 x 3 3x x 3 0 整理得 x 3 2 3x 0 x 3 0 或 2 3x 0 解得 x 1 3 或 x2 35 2018 遵义 在水果销售旺季 某水果店购进一优质水果 进价为 20 元 千克 售价不低于 20 元 千克 且不超过 32 元 千克 根据销售情况 发现该 水果一天的销售量 y 千克 与该天的售价 x 元 千克 满足如下表所示的一 次函数关系 销售量 y 千克 34 8 32 29 6 28 售价 x 元 千克 22 6 24 25 2 26 1 某天这种水果的售价为 23 5 元 千克 求当天该水果的销售量 2 如果某天销售这种水果获利 150 元 那么该天水果的售价为多少元 分析 1 根据表格内的数据 利用待定系数法可求出 y 与 x 之间的函数关 系式 再代入 x 23 5 即可求出结论 2 根据总利润 每千克利润 销售数量 即可得出关于 x 的一元二次方程 解之取其较小值即可得出结论 解答 解 1 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b 将 22 6 34 8 24 32 代入 y kx b 解得 y 与 x 之间的函数关系式为 y 2x 80 当 x 23 5 时 y 2x 80 33 答 当天该水果的销售量为 33 千克 2 根据题意得 x 20 2x 80 150 解得 x 1 35 x2 25 20 x 32 x 25 答 如果某天销售这种水果获利 150 元 那么该天水果的售价为 25 元 36 2018 德州 为积极响应新旧动能转换 提高公司经济效益 某科技公司 近期研发出一种新型高科技设备 每台设备成本价为 30 万元 经过市场调研发 现 每台售价为 40 万元时 年销售量为 600 台 每台售价为 45 万元时 年销 售量为 550 台 假定该设备的年销售量 y 单位 台 和销售单价 x 单位 万 元 成一次函数关系 1 求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式 2 根据相关规定 此设备的销售单价不得高于 70 万元 如果该公司想获得 10000 万元的年利润 则该设备的销售单价应是多少万元 分析 1 根据点的坐标 利用待定系数法即可求出年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式 2 设此设备的销售单价为 x 万元 台 则每台设备的利润为 x 30 万元 销 售数量为 10 x 1000 台 根据总利润 单台利润 销售数量 即可得出关于 x 的一元二次方程 解之取其小于 70 的值即可得出结论 解答 解 1 设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y kx b k 0 将 40 600 45 550 代入 y kx b 得 解得 年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y 10 x 1000 2 设此设备的销售单价为 x 万元 台 则每台设备的利润为 x 30 万元 销 售数量为 10 x 1000 台 根据题意得 x 30 10 x 1000 10000 整理 得 x 2 130 x 4000 0 解得 x 1 50 x2 80 此设备的销售单价不得高于 70 万元 x 50 答 该设备的销售单价应是 50 万元 台 37 2018 沈阳 某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元 由于改进技术 生产成本逐月下降 3 月份的生产成本是 361 万元 假设该公司 2 3 4 月每个月生产成本的下降率都相同 1 求每个月生产成本的下降率 2 请你预测 4 月份该公司的生产成本 分析 1 设每个月生产成本的下降率为 x 根据 2 月份 3 月份的生产成 本 即可得出关于 x 的一元二次方程 解之取其较小值即可得出结论 2 由 4 月份该公司的生产成本 3 月份该公司的生产成本 1 下降率 即 可得出结论 解答 解 1 设每个月生产成本的下降率为 x 根据题意得 400 1 x 2 361 解得 x 1 0 05 5 x 2 1 95 不合题意 舍去 答 每个月生产成本的下降率为 5 2 361 1 5 342 95 万元 答 预测 4 月份该公司的生产成本为 342 95 万元 38 2018 重庆 在美丽乡村建设中 某县政府投入专项资金 用于乡村沼气 池和垃圾集中处理点建设 该县政府计划 2018 年前 5 个月 新建沼气池和垃 圾集中处理点共计 50 个 且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍 1 按计划 2018 年前 5 个月至少要修建多少个沼气池 2 到 2018 年 5 月底 该县按原计划刚好完成了任务 共花费资金 78 万元 且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值 据核算 前 5 个月 修建每个沼 气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为 1 2 为加大美丽乡村建设的力度 政府计划加大投入 今年后 7 个月 在前 5 个月花费资金的基础上增加投入 10a 全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设 经测算 从今年 6 月起 修建 每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在 2018 年前 5 个月的基础上分别增加 a 5a 新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018 年前 5 个月的基础 上分别增加 5a 8a 求 a 的值 分析 1 设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池 则 2018 年前 5 个月要修 建 50 x 个垃圾集中处理点 根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数 的 4 倍 即可得出关于 x 的一元一次不等式 解之取其最小值即可得出结论 2 根据单价 总价 数量可求出修建每个沼气池的平均费用 进而可求出修 建每个垃圾集中点的平均费用 设 y a 结合总价 单价 数量即可得出关于 y 的一元二次方程 解之即可得出 y 值 进而可得出 a 的值 解答 解 1 设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池 则 2018 年前 5 个月 要修建 50 x 个垃圾集中处理点 根据题意得 x 4 50 x 解得 x 40 答 按计划 2018 年前 5 个月至少要修建 40 个沼气池 2 修建每个沼气池的平均费用为 78 40 50 40 2 1 3 万元 修建每个垃圾处理点的平均费用为 1 3 2 2 6 万元 根据题意得 1 3 1 a 40 1 5a 2 6 1 5a 10 1 8a 78 1 10a 设 y a 整理得 50y 2 5y 0 解得 y 1 0 不合题意 舍去 y 2 0 1 a 的值为 10 39 2018 盐城 一商店销售某种商品 平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为了扩大销售 增加盈利 该店采取了降价措施 在每件盈利不少于 25 元 的前提下 经过一段时间销售 发现销售单价每降低 1 元 平均每天可多售出 2 件 1 若降价 3 元 则平均每天销售数量为 26 件 2 当每件商品降价多少元时 该商店每天销售利润为 1200 元 分析 1 根据销售单价每降低 1 元 平均每天可多售出 2 件 可得若降价 3 元 则平均每天可多售出 2 3 6 件 即平均每天销售数量为 20 6 26 件 2 利用商品平均每天售出的件数 每件盈利 每天销售这种商品利润列出方 程解答即可 解答 解 1 若降价 3 元 则平均每天销售数量为 20 2 3 26 件 故答案为 26 2 设每件商品应降价 x 元时 该商店每天销售利润为 1200 元 根据题意 得 40 x 20 2x 1200 整理 得 x2 30 x 200 0 解得 x 1 10 x2 20 要求每件盈利不少于 25 元 x 2 20 应舍去 解得 x 10 答 每件商品应降价 10 元时 该商店每天销售利润为 1200 元 40 2018 宜昌 某市创建 绿色发展模范城市 针对境内长江段两种主要污 染源 生活污水和沿江工厂污染物排放 分别用 生活污水集中处理 下称甲 方案 和 沿江工厂转型升级 下称乙方案 进行治理 若江水污染指数记为 Q 沿江工厂用乙方案进行一次性治理 当年完工 从当年开始 所治理的 每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算 第一年有 40 家工厂用乙方案治 理 共使 Q 值降低了 12 经过三年治理 境内长江水质明显改善 1 求 n 的值 2 从第二年起 每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分 数 m 三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家 求 m 的值 并计算第二年用 乙方案新治理的工厂数量 3 该市生活污水用甲方案治理 从第二年起 每年因此降低的 Q 值比上一 年都增加个相同的数值 a 在 2 的情况下 第二年 用乙方案所治理的工厂 合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等 第三年 用甲方案使 Q 值降低了 39 5 求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值 分析 1 直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理 共使 Q 值降低了 12 得出等式求出答案 2 利用从第二年起 每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的 百分数 m 三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案 3 利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案 解答 解 1 由题意可得 40n 12 解得 n 0 3 2 由题意可得 40 40 1 m 40 1 m 2 190 解得 m 1 m 2 舍去 第二年用乙方案新治理的工厂数量为 40 1 m 40 1 50 60 家 3 设第一年用乙方案治理降低了 100n 100 0 3 30 则 30 a 2a 39 5 解得 a 9 5 则 Q 20 5 设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x 第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n 100 0 3 30 解法一 30 a 2a 39 5 a 9 5 x 20 5 解法二 解得 41 2018 安顺 某地 2015 年为做好 精准扶贫 投入资金 1280 万元用于异 地安置 并规划投入资金逐年增加 2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金 1600 万元 1 从 2015 年到 2017 年 该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少 2 在 2017 年异地安置的具体实施中 该地计划投入资金不低于 500 万元用 于优先搬迁租房奖励 规定前 1000 户 含第 1000 户 每户每天奖励 8 元 1000 户以后每户每天奖励 5 元 按租房 400 天计算 求 2017 年该地至少有多 少户享受到优先搬迁租房奖励 分析 1 设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x 根据 2015 年及 2017 年该地投入异地安置资金 即可得出关于 x 的一元二次方程 解之取其正 值即可得出结论 2 设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励 根据投入的总资金 前 1000 户奖励的资金 超出 1000 户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于 500 万元 即可得出关于 a 的一元一次不等式 解之取其中的最小值即可得出 结论 解答 解 1 设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x 根据题意得 1280 1 x 2 1280 1600 解得 x 1 0 5 50 x 2 2 5 舍去 答 从 2015 年到 2017 年 该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50 2 设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励 根据题意得 8 1000 400 5 400 a 1000 5000000 解得 a 1900 答 2017 年该地至少有 1900 户享受到优先搬迁租房奖励 42 2018 内江 对于三个数 a b c 用 M a b c 表示这三个数的中位 数 用 max a b c 表示这三个数中最大数 例如 M 2 1 0 1 max 2 1 0 0 max 2 1 a 解决问题 1 填空 M sin45 cos60 tan60 如果 max 3 5 3x 2x 6 3 则 x 的取值范围为 2 如果 2 M 2 x 2 x 4 max 2 x 2 x 4 求 x 的值 3 如果 M 9 x 2 3x 2 max 9 x 2 3x 2 求 x 的值 分析 1 根据定义写出 sin45 cos60 tan60 的值 确定其中位数 根 据 max a b c 表示这三个数中最大数 对于 max 3 5 3x 2x 6 3 可得不 等式组 则 可得结论 2 根据新定义和已知分情况讨论 2 最大时 x 4 2 时 2 是中间的数 时 x 2 2 x 4 2 最小时 x 2 2 分别解出即可 3 不妨设 y1 9 y 2 x2 y 3 3x 2 画出图象 根据 M 9 x 2 3x 2 max 9 x 2 3x 2 可知 三个函数的中间的值与最大值相等 即有两个函数 相交时对应的 x 的值符合条件 结合图象可得结论 解答 解 1 sin45 cos60 tan60 M sin45 cos60 tan60 max 3 5 3x 2x 6 3 则 x 的取值范围为 故答案为 2 2 M 2 x 2 x 4 max 2 x 2 x 4 分三种情况 当 x 4 2 时 即 x 2 原等式变为 2 x 4 2 x 3 x 2 2 x 4 时 即 2 x 0 原等式变为 2 2 x 4 x 0 当 x 2 2 时 即 x 0 原等式变为 2 x 2 x 4 x 0 综上所述 x 的值为 3 或 0 3 不妨设 y1 9 y 2 x2 y 3 3x 2 画出图象 如图所示 结合图象 不难得出 在图象中的交点 A B 点时 满足条件且 M 9 x 2 3x 2 max 9 x 2 3x 2 yA yB 此时 x2 9 解得 x 3 或 3 43 2018 重庆 在美丽乡村建设中 某县通过政府投入进行村级道路硬化和 道路拓宽改造 1 原计划今年 1 至 5 月 村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米 其 中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍 那么 原计划今年 1 至 5 月 道路硬化的里程数至少是多少千米 2 到今年 5 月底 道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成 且道路 硬化的里程数正好是原计划的最小值 2017 年通过政府投人 780 万元进行村级 道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米 每千米的道路硬化和道路拓宽的经费 之比为 1 2 且里程数之比为 2 1 为加快美丽乡村建设 政府决定加大投 入 经测算 从今年 6 月起至年底 如果政府投入经费在 2017 年的基础上增加 10a a 0 并全部用于道路硬化和道路拓宽 而每千米道路硬化 道路拓 宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a 5a 那么道路硬化和道路拓宽 的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a 8a 求 a 的值 分析 1 根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍 列不等 式可得结论 2 先根据道路硬化和道路拓宽的里程数之比为 2 1 设未知数为 2x 千米 x 千米 列方程可得各自的里程数 同理可求得每千米的道路硬化和道路拓宽 的经费 最后根据题意列方程 并利用换元法解方程可得结论 解答 解 1 设道路硬化的里程数是 x 千米 则道路拓宽的里程数是 50 x 千米 根据题意得 x 4 50 x 解得 x 40 答 原计划今年 1 至 5 月 道路硬化的里程数至少是 40 千米 2 设 2017 年通过政府投人 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数 分别为 2x 千米 x 千米 2x x 45 x 15 2x 30 设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为 y 千米 2y 千米 30y 15 2y 780 y 13 2y 26 由题意得 13 1 a 40 1 5a 26 1 5a 10 1 8a 780 1 10a 设 a m 则 520 1 m 1 5m 260 1 5m 1 8m 780 1 10m 10m2 m 0 m1 0 1 m 2 0 舍 a 10