2018年高考全国卷1理科数学(含答案)

第 1 页 共 28 页 2018 年全国统一高考数学试卷 理科 新课标 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 2018 新课标 设 z 2i 则 z A 0 B C 1 D 2 5 分 2018 新课标 已知集合 A x x2 x 2 0 则 RA A x 1 x 2 B x 1 x 2 C x x 1 x x 2 D x x 1 x x 2 3 5 分 2018 新课标 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入 增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况 统计 了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 5 分 2018 新课标 记 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和 若 3S3 S2 S4 a 1 2 则 a5 A 12 B 10 C 10 D 12 5 5 分 2018 新课标 设函数 f x x 3 a 1 x 2 ax 若 f x 为奇函 第 2 页 共 28 页 数 则曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2x B y x C y 2x D y x 6 5 分 2018 新课标 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中 点 则 A B C D 7 5 分 2018 新课标 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如 图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱表面上的点 N 在左视图 上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A 2 B 2 C 3 D 2 8 5 分 2018 新课标 设抛物线 C y 2 4x 的焦点为 F 过点 2 0 且 斜率为 的直线与 C 交于 M N 两点 则 A 5 B 6 C 7 D 8 9 5 分 2018 新课标 已知函数 f x g x f x x a 若 g x 存在 2 个零点 则 a 的取值范围是 A 1 0 B 0 C 1 D 1 10 5 分 2018 新课标 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何 图形 此图由三个半圆构成 三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC 直角边 AB AC ABC 的三边所围成的区域记为 I 黑色部分记为 其 余部分记为 在整个图形中随机取一点 此点取自 的概率分别记 为 p1 p 2 p 3 则 第 3 页 共 28 页 A p 1 p2 B p 1 p3 C p 2 p3 D p 1 p2 p3 11 5 分 2018 新课标 已知双曲线 C y2 1 O 为坐标原点 F 为 C 的右焦点 过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M N 若 OMN 为直 角三角形 则 MN A B 3 C 2 D 4 12 5 分 2018 新课标 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等 则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A B C D 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 5 分 2018 新课标 若 x y 满足约束条件 则 z 3x 2y 的最大值为 14 5 分 2018 新课标 记 Sn 为数列 a n 的前 n 项和 若 Sn 2an 1 则 S6 15 5 分 2018 新课标 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选法共有 种 用数字填写答案 16 5 分 2018 新课标 已知函数 f x 2sinx sin2x 则 f x 的最小值 是 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生 根据要求作答 一 必考题 共 60 分 第 4 页 共 28 页 17 12 分 2018 新课标 在平面四边形 ABCD 中 ADC 90 A 45 AB 2 BD 5 1 求 cos ADB 2 若 DC 2 求 BC 18 12 分 2018 新课标 如图 四边形 ABCD 为正方形 E F 分别为 AD BC 的中点 以 DF 为折痕把 DFC 折起 使点 C 到达点 P 的位置 且 PF BF 1 证明 平面 PEF 平面 ABFD 2 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 19 12 分 2018 新课标 设椭圆 C y2 1 的右焦点为 F 过 F 的直线 l 与 C 交于 A B 两点 点 M 的坐标为 2 0 1 当 l 与 x 轴垂直时 求直线 AM 的方程 2 设 O 为坐标原点 证明 OMA OMB 20 12 分 2018 新课标 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每 一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验出不合格品 则更换为合格 品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作检验 再根据检验结果决定是否对余 下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 p 0 p 1 且各 件产品是否为不合格品相互独立 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f p 求 f p 的最大值点 p0 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的 p0 作为 p 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 第 5 页 共 28 页 为 X 求 EX 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所 有产品作检验 21 12 分 2018 新课标 已知函数 f x x alnx 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 存在两个极值点 x1 x 2 证明 a 2 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 22 10 分 2018 新课标 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 的方程为 y k x 2 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2 的极 坐标方程为 2 2 cos 3 0 1 求 C2 的直角坐标方程 2 若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点 求 C1 的方程 选修 4 5 不等式选讲 10 分 23 2018 新课标 已知 f x x 1 ax 1 1 当 a 1 时 求不等式 f x 1 的解集 2 若 x 0 1 时不等式 f x x 成立 求 a 的取值范围 第 6 页 共 28 页 2018 年全国统一高考数学试卷 理科 新课标 参考答案与试题解析 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 2018 新课标 设 z 2i 则 z A 0 B C 1 D 考点 A8 复数的模 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 49 综合法 5N 数系的扩充和复 数 分析 利用复数的代数形式的混合运算化简后 然后求解复数的模 解答 解 z 2i 2i i 2i i 则 z 1 故选 C 点评 本题考查复数的代数形式的混合运算 复数的模的求法 考查计算能 力 2 5 分 2018 新课标 已知集合 A x x2 x 2 0 则 RA A x 1 x 2 B x 1 x 2 C x x 1 x x 2 D x x 1 x x 2 考点 1F 补集及其运算 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 49 综合法 5J 集合 5T 不等 式 分析 通过求解不等式 得到集合 A 然后求解补集即可 解答 解 集合 A x x2 x 2 0 可得 A x x 1 或 x 2 第 7 页 共 28 页 则 RA x 1 x 2 故选 B 点评 本题考查不等式的解法 补集的运算 是基本知识的考查 3 5 分 2018 新课标 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入 增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况 统计 了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 考点 2K 命题的真假判断与应用 CS 概率的应用 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 49 综合法 5I 概率与统计 5L 简易逻辑 分析 设建设前经济收入为 a 建设后经济收入为 2a 通过选项逐一分析新 农村建设前后 经济收入情况 利用数据推出结果 解答 解 设建设前经济收入为 a 建设后经济收入为 2a A 项 种植收入 37 2a 60 a 14 a 0 故建设后 种植收入增加 故 A 项错误 B 项 建设后 其他收入为 5 2a 10 a 建设前 其他收入为 4 a 故 10 a 4 a 2 5 2 第 8 页 共 28 页 故 B 项正确 C 项 建设后 养殖收入为 30 2a 60 a 建设前 养殖收入为 30 a 故 60 a 30 a 2 故 C 项正确 D 项 建设后 养殖收入与第三产业收入总和为 30 28 2a 58 2a 经济收入为 2a 故 58 2a 2a 58 50 故 D 项正确 因为是选择不正确的一项 故选 A 点评 本题主要考查事件与概率 概率的应用 命题的真假的判断 考查发 现问题解决问题的能力 4 5 分 2018 新课标 记 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和 若 3S3 S2 S4 a 1 2 则 a5 A 12 B 10 C 10 D 12 考点 83 等差数列的性质 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 4O 定义法 54 等差数列与等比 数列 分析 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程 能求出 a5 的值 解答 解 S n 为等差数列 an 的前 n 项和 3S 3 S2 S4 a 1 2 a1 a1 d 4a1 d 把 a1 2 代入得 d 3 a 5 2 4 3 10 故选 B 点评 本题考查等差数列的第五项的求法 考查等差数列的性质等基础知识 第 9 页 共 28 页 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 5 5 分 2018 新课标 设函数 f x x 3 a 1 x 2 ax 若 f x 为奇函 数 则曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2x B y x C y 2x D y x 考点 6H 利用导数研究曲线上某点切线方程 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 49 综合法 53 导数的综合应 用 分析 利用函数的奇偶性求出 a 求出函数的导数 求出切线的向量然后求 解切线方程 解答 解 函数 f x x3 a 1 x 2 ax 若 f x 为奇函数 可得 a 1 所以函数 f x x 3 x 可得 f x 3x 2 1 曲线 y f x 在点 0 0 处的切线的斜率为 1 则曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方程为 y x 故选 D 点评 本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法 考查计算能力 6 5 分 2018 新课标 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中 点 则 A B C D 考点 9H 平面向量的基本定理 菁优网版权所有 专题 34 方程思想 41 向量法 5A 平面向量及应用 分析 运用向量的加减运算和向量中点的表示 计算可得所求向量 解答 解 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 第 10 页 共 28 页 故选 A 点评 本题考查向量的加减运算和向量中点表示 考查运算能力 属于基础 题 7 5 分 2018 新课标 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如 图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱表面上的点 N 在左视图 上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A 2 B 2 C 3 D 2 考点 L 由三视图求面积 体积 菁优网版权所有 专题 11 计算题 31 数形结合 49 综合法 5F 空间位置关系与 距离 分析 判断三视图对应的几何体的形状 利用侧面展开图 转化求解即可 解答 解 由题意可知几何体是圆柱 底面周长 16 高为 2 直观图以及侧面展开图如图 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的 路径中 最短路径的长度 2 故选 B 点评 本题考查三视图与几何体的直观图的关系 侧面展开图的应用 考查 计算能力 第 11 页 共 28 页 8 5 分 2018 新课标 设抛物线 C y 2 4x 的焦点为 F 过点 2 0 且 斜率为 的直线与 C 交于 M N 两点 则 A 5 B 6 C 7 D 8 考点 K8 抛物线的性质 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 49 综合法 5A 平面向量及应用 5D 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 求出抛物线的焦点坐标 直线方程 求出 M N 的坐标 然后求解向 量的数量积即可 解答 解 抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 1 0 过点 2 0 且斜率为 的 直线为 3y 2x 4 联立直线与抛物线 C y 2 4x 消去 x 可得 y 2 6y 8 0 解得 y1 2 y 2 4 不妨 M 1 2 N 4 4 则 0 2 3 4 8 故选 D 点评 本题考查抛物线的简单性质的应用 向量的数量积的应用 考查计算 能力 9 5 分 2018 新课标 已知函数 f x g x f x x a 若 g x 存在 2 个零点 则 a 的取值范围是 A 1 0 B 0 C 1 D 1 考点 5B 分段函数的应用 菁优网版权所有 专题 31 数形结合 4R 转化法 51 函数的性质及应用 分析 由 g x 0 得 f x x a 分别作出两个函数的图象 根据图象交点 个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可 解答 解 由 g x 0 得 f x x a 第 12 页 共 28 页 作出函数 f x 和 y x a 的图象如图 当直线 y x a 的截距 a 1 即 a 1 时 两个函数的图象都有 2 个交点 即函数 g x 存在 2 个零点 故实数 a 的取值范围是 1 故选 C 点评 本题主要考查分段函数的应用 利用函数与零点之间的关系转化为两 个函数的图象的交点问题是解决本题的关键 10 5 分 2018 新课标 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何 图形 此图由三个半圆构成 三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC 直角边 AB AC ABC 的三边所围成的区域记为 I 黑色部分记为 其 余部分记为 在整个图形中随机取一点 此点取自 的概率分别记 为 p1 p 2 p 3 则 A p 1 p2 B p 1 p3 C p 2 p3 D p 1 p2 p3 考点 CF 几何概型 菁优网版权所有 第 13 页 共 28 页 专题 11 计算题 38 对应思想 4O 定义法 5I 概率与统计 分析 如图 设 BC 2r1 AB 2r 2 AC 2r 3 分别求出 所对应的面 积 即可得到答案 解答 解 如图 设 BC 2r1 AB 2r 2 AC 2r 3 r 12 r22 r32 S 4r2r3 2r2r3 S r12 2r2r3 S r32 r22 S r32 r22 r12 2r2r3 2r2r3 S S P 1 P2 故选 A 点评 本题考查了几何概型的概率问题 关键是求出对应的面积 属于基础 题 11 5 分 2018 新课标 已知双曲线 C y2 1 O 为坐标原点 F 为 C 的右焦点 过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M N 若 OMN 为直 角三角形 则 MN A B 3 C 2 D 4 考点 KC 双曲线的性质 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 4 解题方法 5D 圆锥曲线的定 义 性质与方程 分析 求出双曲线的渐近线方程 求出直线方程 求出 MN 的坐标 然后求 解 MN 解答 解 双曲线 C y2 1 的渐近线方程为 y 渐近线的夹角为 60 不妨设过 F 2 0 的直线为 y 则 解得 M 第 14 页 共 28 页 解得 N 则 MN 3 故选 B 点评 本题考查双曲线的简单性质的应用 考查计算能力 12 5 分 2018 新课标 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等 则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A B C D 考点 MI 直线与平面所成的角 菁优网版权所有 专题 11 计算题 31 数形结合 49 综合法 5F 空间位置关系与 距离 5G 空间角 分析 利用正方体棱的关系 判断平面 所成的角都相等的位置 然后求解 截此正方体所得截面面积的最大值 解答 解 正方体的所有棱中 实际上是 3 组平行的棱 每条棱所在直线与 平面 所成的角都相等 如图 所示的正六边形平行的平面 并且正六边形时 截此正方体所得截面面积的最大 此时正六边形的边长 截此正方体所得截面最大值为 6 故选 A 点评 本题考查直线与平面所成角的大小关系 考查空间想象能力以及计算 能力 有一定的难度 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 第 15 页 共 28 页 13 5 分 2018 新课标 若 x y 满足约束条件 则 z 3x 2y 的最大值为 6 考点 7C 简单线性规划 菁优网版权所有 专题 31 数形结合 4R 转化法 59 不等式的解法及应用 分析 作出不等式组对应的平面区域 利用目标函数的几何意义进行求解即 可 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如图 由 z 3x 2y 得 y x z 平移直线 y x z 由图象知当直线 y x z 经过点 A 2 0 时 直线的截距最大 此时 z 最大 最大值为 z 3 2 6 故答案为 6 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用目标函数的几何意义以及数形结 合是解决本题的关键 第 16 页 共 28 页 14 5 分 2018 新课标 记 Sn 为数列 a n 的前 n 项和 若 Sn 2an 1 则 S6 63 考点 8H 数列递推式 8E 数列的求和 菁优网版权所有 专题 11 计算题 38 对应思想 4R 转化法 54 等差数列与等比数 列 分析 先根据数列的递推公式可得 a n 是以 1 为首项 以 2 为公比的等比数 列 再根据求和公式计算即可 解答 解 S n 为数列 a n 的前 n 项和 S n 2an 1 当 n 1 时 a 1 2a1 1 解得 a1 1 当 n 2 时 S n 1 2an 1 1 由 可得 an 2an 2an 1 a n 2an 1 a n 是以 1 为首项 以 2 为公比的等比数列 S 6 63 故答案为 63 点评 本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式 属于基础题 15 5 分 2018 新课标 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选法共有 16 种 用数字填写答案 考点 D9 排列 组合及简单计数问题 菁优网版权所有 专题 11 计算题 38 对应思想 4O 定义法 5O 排列组合 分析 方法一 直接法 分类即可求出 方法二 间接法 先求出没有限制的种数 再排除全是男生的种数 解答 解 方法一 直接法 1 女 2 男 有 C21C42 12 2 女 1 男 有 C22C41 4 根据分类计数原理可得 共有 12 4 16 种 方法二 间接法 C 63 C43 20 4 16 种 第 17 页 共 28 页 故答案为 16 点评 本题考查了分类计数原理 属于基础题 16 5 分 2018 新课标 已知函数 f x 2sinx sin2x 则 f x 的最小值 是 考点 6E 利用导数研究函数的最值 HW 三角函数的最值 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 49 综合法 53 导数的综合应用 56 三角函数的求值 分析 由题意可得 T 2 是 f x 的一个周期 问题转化为 f x 在 0 2 上的最小值 求导数计算极值和端点值 比较可得 解答 解 由题意可得 T 2 是 f x 2sinx sin2x 的一个周期 故只需考虑 f x 2sinx sin2x 在 0 2 上的值域 先来求该函数在 0 2 上的极值点 求导数可得 f x 2cosx 2cos2x 2cosx 2 2cos 2x 1 2 2cosx 1 cosx 1 令 f x 0 可解得 cosx 或 cosx 1 可得此时 x 或 y 2sinx sin2x 的最小值只能在点 x 或 和边界点 x 0 中取到 计算可得 f f 0 f f 0 0 函数的最小值为 故答案为 点评 本题考查三角函数恒等变换 涉及导数法求函数区间的最值 属中档 题 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生 根据要求作答 一 必考题 共 60 分 第 18 页 共 28 页 17 12 分 2018 新课标 在平面四边形 ABCD 中 ADC 90 A 45 AB 2 BD 5 1 求 cos ADB 2 若 DC 2 求 BC 考点 HT 三角形中的几何计算 菁优网版权所有 专题 11 计算题 31 数形结合 49 综合法 58 解三角形 分析 1 由正弦定理得 求出 sin ADB 由此能 求出 cos ADB 2 由 ADC 90 得 cos BDC sin ADB 再由 DC 2 利用余弦定理 能求出 BC 解答 解 1 ADC 90 A 45 AB 2 BD 5 由正弦定理得 即 sin ADB AB BD ADB A cos ADB 2 ADC 90 cos BDC sin ADB DC 2 BC 5 点评 本题考查三角函数中角的余弦值 线段长的求法 考查正弦定理 余 第 19 页 共 28 页 弦定理等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是中档题 18 12 分 2018 新课标 如图 四边形 ABCD 为正方形 E F 分别为 AD BC 的中点 以 DF 为折痕把 DFC 折起 使点 C 到达点 P 的位置 且 PF BF 1 证明 平面 PEF 平面 ABFD 2 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 考点 MI 直线与平面所成的角 LY 平面与平面垂直 菁优网版权所有 专题 11 计算题 31 数形结合 35 转化思想 49 综合法 5F 空间位置关系与距离 5G 空间角 分析 1 利用正方形的性质可得 BF 垂直于面 PEF 然后利用平面与平面垂 直的判断定理证明即可 2 利用等体积法可求出点 P 到面 ABCD 的距离 进而求出线面角 解答 1 证明 由题意 点 E F 分别是 AD BC 的中点 则 由于四边形 ABCD 为正方形 所以 EF BC 由于 PF BF EF PF F 则 BF 平面 PEF 又因为 BF 平面 ABFD 所以 平面 PEF 平面 ABFD 2 在平面 DEF 中 过 P 作 PH EF 于点 H 联结 DH 由于 EF 为面 ABCD 和面 PEF 的交线 PH EF 则 PH 面 ABFD 故 PH DH 在三棱锥 P DEF 中 可以利用等体积法求 PH 因为 DE BF 且 PF BF 所以 PF DE 第 20 页 共 28 页 又因为 PDF CDF 所以 FPD FCD 90 所以 PF PD 由于 DE PD D 则 PF 平面 PDE 故 VF PDE 因为 BF DA 且 BF 面 PEF 所以 DA 面 PEF 所以 DE EP 设正方形边长为 2a 则 PD 2a DE a 在 PDE 中 所以 故 VF PDE 又因为 所以 PH 所以在 PHD 中 sin PDH 即 PDH 为 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 点评 本题主要考查点 直线 平面的位置关系 直线与平面所成角的求 法 几何法的应用 考查转化思想以及计算能力 19 12 分 2018 新课标 设椭圆 C y2 1 的右焦点为 F 过 F 的直线 l 与 C 交于 A B 两点 点 M 的坐标为 2 0 第 21 页 共 28 页 1 当 l 与 x 轴垂直时 求直线 AM 的方程 2 设 O 为坐标原点 证明 OMA OMB 考点 KL 直线与椭圆的位置关系 菁优网版权所有 专题 15 综合题 38 对应思想 4R 转化法 5E 圆锥曲线中的最值 与范围问题 分析 1 先得到 F 的坐标 再求出点 A 的方程 根据两点式可得直线方程 2 分三种情况讨论 根据直线斜率的问题 以及韦达定理 即可证明 解答 解 1 c 1 F 1 0 l 与 x 轴垂直 x 1 由 解得 或 A 1 或 1 直线 AM 的方程为 y x y x 证明 2 当 l 与 x 轴重合时 OMA OMB 0 当 l 与 x 轴垂直时 OM 为 AB 的垂直平分线 OMA OMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时 设 l 的方程为 y k x 1 k 0 A x 1 y 1 B x 2 y 2 则 x1 x 2 直线 MA MB 的斜率之和为 kMA k MB 之和为 kMA kMB 由 y1 kx1 k y 2 kx2 k 得 kMA kMB 将 y k x 1 代入 y2 1 可得 2k 2 1 x 2 4k2x 2k2 2 0 x 1 x2 x 1x2 第 22 页 共 28 页 2kx 1x2 3k x1 x2 4k 4k 2 4k 12k2 8k2 4k 0 从而 kMA kMB 0 故 MA MB 的倾斜角互补 OMA OMB 综上 OMA OMB 点评 本题考查了直线和椭圆的位置关系 以韦达定理 考查了运算能力和 转化能力 属于中档题 20 12 分 2018 新课标 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每 一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验出不合格品 则更换为合格 品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作检验 再根据检验结果决定是否对余 下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 p 0 p 1 且各 件产品是否为不合格品相互独立 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f p 求 f p 的最大值点 p0 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的 p0 作为 p 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 为 X 求 EX 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所 有产品作检验 考点 CH 离散型随机变量的期望与方差 CG 离散型随机变量及其分布 列 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 49 综合法 5I 概率与统计 分析 1 求出 f p 则 利用导数性 质能求出 f p 的最大值点 p0 0 1 第 23 页 共 28 页 2 i 由 p 0 1 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数 依题意知 Y B 180 0 1 再由 X 20 2 25Y 即 X 40 25Y 能求出 E X ii 如果对余下的产品作检验 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元 E X 490 400 从而应该对余下的产品进行检验 解答 解 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f p 则 f p 令 f p 0 得 p 0 1 当 p 0 0 1 时 f p 0 当 p 0 1 1 时 f p 0 f p 的最大值点 p0 0 1 2 i 由 1 知 p 0 1 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数 依题意知 Y B 180 0 1 X 20 2 25Y 即 X 40 25Y E X E 40 25Y 40 25E Y 40 25 180 0 1 490 ii 如果对余下的产品作检验 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元 E X 490 400 应该对余下的产品进行检验 点评 本题考查概率的求法及应用 考查离散型随机变量的数学期望的求法 考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法 考查二项分布等基础 知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是中档题 21 12 分 2018 新课标 已知函数 f x x alnx 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 存在两个极值点 x1 x 2 证明 a 2 考点 6B 利用导数研究函数的单调性 6D 利用导数研究函数的极值 菁优网版权所有 第 24 页 共 28 页 专题 32 分类讨论 4R 转化法 53 导数的综合应用 分析 1 求出函数的定义域和导数 利用函数单调性和导数之间的关系进 行求解即可 2 将不等式进行等价转化 构造新函数 研究函数的单调性和最值即可得到 结论 解答 解 1 函数的定义域为 0 函数的导数 f x 1 设 g x x 2 ax 1 当 a 0 时 g x 0 恒成立 即 f x 0 恒成立 此时函数 f x 在 0 上是减函数 当 a 0 时 判别式 a 2 4 当 0 a 2 时 0 即 g x 0 即 f x 0 恒成立 此时函数 f x 在 0 上是减函数 当 a 2 时 x f x f x 的变化如下表 x 0 f x 0 0 f x 递减 递增 递减 综上当 a 2 时 f x 在 0 上是减函数 当 a 2 时 在 0 和 上是减函数 则 上是增函数 第 25 页 共 28 页 2 由 1 知 a 2 0 x 1 1 x 2 x 1x2 1 则 f x 1 f x 2 x 2 x1 1 a lnx 1 lnx2 2 x 2 x1 a lnx 1 lnx2 则 2 则问题转为证明 1 即可 即证明 lnx1 lnx2 x 1 x2 则 lnx1 ln x 1 即 lnx1 lnx1 x 1 即证 2lnx1 x 1 在 0 1 上恒成立 设 h x 2lnx x 0 x 1 其中 h 1 0 求导得 h x 1 0 则 h x 在 0 1 上单调递减 h x h 1 即 2lnx x 0 故 2lnx x 则 a 2 成立 点评 本题主要考查函数的单调性的判断 以及函数与不等式的综合 求函 数的导数 利用导数的应用是解决本题的关键 综合性较强 难度较大 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 22 10 分 2018 新课标 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 的方程为 y k x 2 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2 的极 坐标方程为 2 2 cos 3 0 第 26 页 共 28 页 1 求 C2 的直角坐标方程 2 若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点 求 C1 的方程 考点 Q4 简单曲线的极坐标方程 菁优网版权所有 专题 35 转化思想 5S 坐标系和参数方程 分析 1 直接利用转换关系 把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进 行转化 2 利用直线在坐标系中的位置 再利用点到直线的距离公式的应用求出结 果 解答 解 1 曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 转换为直角坐标方程为 x 2 y2 2x 3 0 转换为标准式为 x 1 2 y2 4 2 由于曲线 C1 的方程为 y k x 2 则 该直线关于 y 轴对称 且恒过定点 0 2 由于该直线与曲线 C2 的极坐标有且仅有三个公共点 所以 必有一直线相切 一直线相交 则 圆心到直线 y kx 2 的距离等于半径 2 故 或 解得 k 或 0 0 舍去 或 k 或 0 经检验 直线 与曲线 C2 没有公共点 故 C1 的方程为 点评 本体考察知识要点 参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化 直线和曲线的位置关系的应用 点到直线的距离公式的应用 选修 4 5 不等式选讲 10 分 23 2018 新课标 已知 f x x 1 ax 1 1 当 a 1 时 求不等式 f x 1 的解集 第 27 页 共 28 页 2 若 x 0 1 时不等式 f x x 成立 求 a 的取值范围 考点 R5 绝对值不等式的解法 菁优网版权所有 专题 15 综合题 38 对应思想 4R 转化法 5T 不等式 分析 1 去绝对值 化为分段函数 即可求出不等式的解集 2 当 x 0 1 时不等式 f x x 成立 转化为即 ax 1 1 即 0 ax 2 转化为 a 且 a 0 即可求出 a 的范围 解答 解 1 当 a 1 时 f x x 1 x 1 由 f x 1 或 解得 x 故不等式 f x 1 的解集为 2 当 x 0 1 时不等式 f x x 成立 x 1 ax 1 x 0 即 x 1 ax 1 x 0 即 ax 1 1 1 ax 1 1 0 ax 2 x 0 1 a 0 0 x a 2 第 28 页 共 28 页 0 a 2 故 a 的取值范围为 0 2 点评 本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围 考查了运算能 力和转化能力 属于中档题