2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题 含答案

2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 一 填空题 1 已知 为正实数 且 是奇函数 则 的值域为 a1 xfa fx 2 设数列 满足 则 n115 1 2n 2018na 3 已知 则 3 4 4cos sin3 cos4 4 在八个数字 中任取两个组成分数 这些分数中有 267812 个既约分数 5 已知虚数 满足 则 z30 20182018zz 6 设 若平面上点 满足 对于任意 有 则 的最1AB PtR 3APtB PAB 小值为 此时 AB 7 在 中 且三角形的面积为 则 的最小值为 C 7 4sin 8 设 则 有 个不同的解 12fxx 10fx 9 设 满足 则 的取值范围为 yR 64y 10 四面体 则该四面体PABC6 8PBAC10PAB 外接球的半径为 二 解答题 11 已知动直线 与圆 相切 与椭圆 相交于不同的两点 求lO21xy 219xy AB 原点到 的中垂线的最大距离 AB 12 设 且对任意实数 均有 求 的取值范围 aR b2 0 1 maxb a 13 设实数 满足 和 证明 1x2201822 016 nn 2018nx 109 14 将 个不同整数分成两组 证明2 n 1a2na1b2nb 11 ijjijiinijnjabab 15 如图所示将同心圆环均匀分成 格 在内环中固定数字 问能否将数字 填 3 n1n 1n 入外环格内 使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同 2018 年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一 填空题 1 2 3 4 5 1 2 20195876 56 361 6 7 8 9 10 6314242x 3 二 解答题 11 解 依题意可设 l 0 ykxm 因为直线 与圆 相切 所以 到直线 的距离为 即 lOl121mk 原点到 的中垂线的最大距离为 AB43 12 解 1 设 对于 2 fxab 1 0 f 所以只要考虑 b 1 当 时 即 此时函数 的最值在抛物线的左右端点取得 对任意02a fx 有 所以 1 0 ffb 11ab 解得 a 2 当 时 即 此时函数 的最值在抛物线的顶点和右端点取得 02 a fx 而对 有 b 1 f 2 14f 3 当 时 即 此时函数 的最值在抛物线的顶点和左端点取2a 2a fx 得 而对 有 0b 1fb2 14af 4 当 时 即 此时函数 的最值在抛物线的左右端点取得 对任意12a 2 fx 有 所以 解得 b 0 fb 1 1fab 3a 综上 或 a3 解 2 设 则有2 0 1 maxb 依题意 或b 1ab 112a 3a 13 证明 由条件 同号 反证法 假设 nx2 109x 1 若 同为正数 由 同号可知 同号 10910n2 22018x 由 2 2121nnxx 091018xx 1091080 同理 912101070870 xxx 1072x 类似可证明 163 15041208 因此 矛盾 2018nx 2 若 同为负数 由 同号可知 均为负数 仍然有10910nx2 1x22018x 类似 1 可证得 212nnxx 14 证明 令 下面用归纳法证明 11 nijjijii ijnjTabab nT 当 时 不妨设 212122 12Tbaba 121ab 当 1212 当 122 假设对正整数 成立 对正整数 不妨设nn 再设 则有121aa 21b 1nab 1knkab 111 nni iiTbab 111nni innabaT 下证 11 nni ii 110nni i 由 1 得到1 2 knkba 11ninii b 11nni iab 112 0ninikba 2 若 则1n 11nni iibab 11nni iab 11 0iniba 15 解 设对应于内环 的外环数字为 它是数字 2n1i2ni12 的一个排列 对 记外环数字 在按顺时针方向转动 格时 和内环数字相同 n1 k k kj 即 modkkijn 根据题意 应是 的排列 求和12nj0121n 11 odnnkkij mod 1 od2n 于是 必须是奇数 对于奇数 我们取 可以验证nnimi 1 odkkij 0nj12n 4nj 12nj 1 36 j 符合题目要求