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第一讲：集合的含义和表示一、知识梳理：（一）元素与集合知识点一：元素与集合的概念1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。（点睛：（1）集合是一个原始的不加定义的概念，像点，直线、平面一样，只能描述性地说明；（2）注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的，摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象。）2. 集合：把一些元素组成的总体叫做集合。（点睛：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象）3. 元素与集合的符号表示表示元素：通常用小写拉丁字母a,b,c,表示 集合：通常用大写拉丁字母A,B,C,表示知识点二：集合中元素的特性1. 确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清的概念，具有相对性，没有统一的标准、不确定。2. 互异性：是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中切记这一性质。3. 无序性：是指集合与其中元素的排列次序无关，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。知识点三：元素与集合的关系：1. 元素与集合有属于（）和不属于（）两种关系。2. 符号表示：a是集合A中的元素，记作：a A；a不是集合A中的元素，记作：a A。知识点四：集合的分类：集合根据所含元素的个数可分为有限集和无限集。 有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如：中国古代四大发明组成的集合，其中元素个数为有限个，故为有限集； 无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如所有自然数组成的集合，其中元素个数为无限个，故为无限集。常用的数集极其记法：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N*或N；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。（二）集合的表示方法1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。2.列举法和描述法:列举法 描述法概念把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法一般形式a,b,c,xI|p(x)适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观，明了概括、简洁注：1.用列举法表示集合应注意以下五点：（1） 元素间用分割号“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）元素不能遗漏；（5）列举法可以表示有限集，也可以表示无限集。2.描述法的一般形式的结构特征：xI|p(x)”x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p（x）”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略、3. 用描述法表示集合应注意以下四点：（1）写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表达的元素符号）；（2）说明该集合中元素的性质；（3）所有描述的内容都可以写在集合符号内；（4）用于描述条件的语句力求简明、准确。二典型例题分析题型一 集合概念的考查学法指导：1.判断一组对象能否组成集合，关键看对象的标准是否明确如果此组对象的限定范围满足确定性，就可组成集合；否则，不能组成集合2 判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性例1下列所给的对象能构成集合的是_ 所有的正三角形； 比姚明篮球打的好的人某校高一年级16岁以下的学生；平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；参加第30届奥运会的年轻运动员；的近似值的全体规律总结：判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性变式：下列对象中不可以构成集合的是()A接近0的数B等于2的数 C所有的正数 D不等于0的偶数题型二 集合中元素的特征学法指导：(1)什么是元素分析法？解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化为数学问题，而集合离不开元素，因此分析元素是解决集合问题的核心，这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法(2)如何应用元素分析法解决有关集合问题？分析元素的性质，即确定性、互异性、无序性；由元素所具有的性质转化为相关问题的性质，如本例由a、b、c互异转化为ABC三边长互不相等例2(20122013学年重庆市风鸣山中学)若一个集合中的三个元素a，b，c是ABC的三边长，则此三角形一定不是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形变式：a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形规律总结：解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征，由a，b，c，d互异转化为四边形的四条边互不相等.题型三 集合相等的考查学法指导：(1)两个集合是否相等，不能从集合的形式上看，而应该判断出这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断(2)利用集合相等求表达形式不同的两个集合中某个参变量的数值时，必须同时注意检验元素是否满足互异性例3设集合Ax，y，B0，x2，若集合A、B相等，求实数x、y的值分析根据集合相等的概念可知x、y与0、x2分别对应相等，解方程并根据集合中元素的互异性可求得x、y的值规律总结：由集合相等求参数，应从集合相等的概念入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，需进行分类讨论注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍变式：若将上式中的集合A改为a，1，B改为a2，ab,0，其他条件不改变，怎样求a2 013b2 013的值题型四 元素与集合的关系学法指导：1对于元素与集合关系的两点认识：(1)aA与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性可知，对于任何a与A，aA或aA这两种情况必有一种且只有一种成立(2)符号“”“”表示元素与集合的从属关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要牢记2实数的分类：实数实数无限小数小数例4用符号与填空：(1)0_N*；_Z；0_N；(1)0_N*；2_Q；_Q.(2)3_2,3；3_(2,3)；(2,3)_(2,3)；(3,2)_(2,3)(3) 若a23，则a_R，若a21，则a_R.变式：给出下列关系：R；Q；|3|N*；|Q.其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个题型五 集合表示的列举法的考查1列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如1,2,3,4；(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3，1000；(3)元素个数无限但有规律时，也可以数似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为0,1,2,3，2使用列举法表示集合时的注意点(1)元素之间用“，”而不用“、”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性例5用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y2x1与y轴的交点所组成的集合 变式：用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)式子(a0，b0)的所有值组成的集合题型六 集合表示的描述法考查学法指导：使用描述法时应注意以下几点(1)写清楚该集合中的代表元素，高中教学要研究两类元素：数或点；(2)说明该集合中元素的共同属性，如方程，不等式、函数或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母；(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确例6用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合； (2)小于4的全体奇数构成的集合；(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4)三角形的全体构成的集合；(5)2,4,6,8分析分析代表元素分析元素满足的条件写出集合规律总结：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质，且用“|”隔开(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(1)、(2)、(5)题变式：用描述法表示下列集合：(1)，；(2)坐标平面内的第一、三象限内点的集合；(3)图中阴影部分(含边界)的点的坐标题型七 分类讨论思想例7已知集合A是由方程ax22x10(aR)的实数解作为元素构成的集合(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围题型八 综合问题与解决问题能力的考查（选讲）*例8设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：1S；若aS，则S.请解答下列问题：(1)若2S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若aS，且a0，则1S；(3)集合S能否只含有一个元素？若能，求出这个元素；若不能，请说明理由分析(1)已知2S，利用条件求其他元素；(2)由aS，利用条件推1S；(3)假设结论成立，利用条件解方程 规律总结：解决存在性问题的思路：假设存在；根据已知条件、定理进行推导，如果能求出结果就说明存在，如果无解或推出矛盾就说明不存在(注：带*号的题目，供教师教学时参考选用)三 易错警示1忽略集合中元素的形式特征例9求方程组的解集错解解方程组，将xy1代入x2y29，得xy9，解得x5，y4，故解集为5，4错因分析解方程组时，一对数值作为整体是一个元素，而不是x的解是一个元素，y的解是一个元素思路分析先解方程组，再将解用花括号表示出来它们的顺序不能写反，也可以写成有序数对的形式正解 2没有形成用集合中元素互异性进行检验的意识例10若1x21,2，x，求x的值错解依题意，得x211或x1，解得x0或x1.即x0,1.错因分析忽略了集合中元素互异性的要求，从而遗漏了检验环节思路分析对集合元素含字母并要求对其求值时，求出值后一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性4 基础知识巩固训练1下列各组对象，能构成集合的有()对环境污染不太大的塑料；中国古典文学中的四大名著；所有的正方形；方程x(x22x3)0的所有实数根A B C D2下列关系：0.21Q；N*；N*；N.其中正确的个数是()A0 B1 C2 D33已知集合AxN|x，则必有()A1A B0A C.A D2A4由实数x，x，|x|，所组成的集合最多含有元素的个数为()A2 B3 C4 D55若aN，但aN*，则a_.6用符号或填空：(1)1_1 (2)a_a，b，c(3)3_4，2 (4)0_N*(5)_Q (6)_R(7)若Ax|x2x，则1_A；(8)若Bx|x2x60，则3_B；(9)若CxN|1x10，则8_C；(10)若DxZ|2x3，则1.5_D.7 若3a3,2a1，a24，则实数a构成的集合为_8 由大于1小于5的自然数组成的集合用列举法可以表示为_用描述法可以表示为_ 第二讲：集合间的基本关系在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小于)关系，如57,22，而对于集合而言，类比实数的大小关系，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？一知识梳理知识点1：子集自然语言一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集符号语言AB（或BA）图形语言BABA（点睛：1、集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，是指A中所有的元素都是B中的元素，不是“存在一个”。即对于任意元素x，则都有。2、集合A不是集合B的子集，记作 B（或B A）读作“A不含于B”（或B不包含A）3、 元素与集合间用“”表示从属关系；集合与集合之间用“”表示包含关系）通过以上所学，完成下面练习下列各组集合中，集合A是集合B的子集的有()A1,3,5，B1,2,3,4,5,6；A1,3,5，B1,3,6,9；A0，BxR|x210；Aa，b，c，d，Bd，b，c，aAB C D知识点2：集合相等如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，称集合A与集合B相等。（点睛：集合相等的实质是：如果集合A与集合B中的元素完全相等，则称集合A与集合B相等。如果两集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关。）方法技巧：判断两集合相等的方法（1） 若两集合是有限集，则常用列举法列出元素，判断元素是否完全相同；（2） 若两集合是无限集，则依据AB，且BA进行判断。知识点3：真子集自然语言如果集合AB，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集符号语言或图形语言BA知识点4：空集空集的定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为：点睛：1、空集只有一个子集，即它本身，； 2、空集是任何非空集合的真子集，即若A，则、 3、空集的描述方法有多种，如：，等都是知识点5：子集、真子集的性质(4) 任何集合是它本身的子集，即AA。(5) 对于集合A、B、C如果AB，且BC，那么AC。(6) 对于集合A、B、C如果，且，那么。点睛：1、如果集合A是集合B的子集，则不能简单理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合。因为若A，则A不包含B的任何元素；若A就是B，则A包含B的所有元素，但是在这两种情况下，集合A却都是集合B的子集。2、由集合与集合之间的包含关系，容易联想到实数与实数的大小关系，可以类比学习。实数集合a知识点6正确区别各种符号的含义(1)与的区别表示元素与集合之间的关系，因此有1N，1N等；和表示集合与集合之间的关系，因此有NR，R等，要正确区分属于和包含关系(2)a与a的区别一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素a的集合，因此有11,2,3,00，11,2,3，aa，b，c，aa，b，c(3)空集是集合中的特殊现象，AB包括A的情形容易漏掉，解题时要特别留意(4)0与的区别0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此有0，0与0都是错误的要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系通过以上所学，完成下面练习用适当的符号(，)填空：(1)a_a；a_a，b(2)0_；_0(3)0,1_1,0；0,1_(0,1)(4)a，b_b，a；(a，b)_(b，a)(5)1,3_x|x24x30(6)x|3x50_x|x(7)xZ|1x3的子集为_典型例题分析题型一 元素与集合、集合与集合之间关系的考查学法指导：1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素(3)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.例1设a，Mx|x，给出下列关系：aM； Ma；aM; a；2aM；其中正确的关系式共有()A2个 B3个 C4个 D5个规律总结：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错变式：下列各式中，正确的个数是()5 00,1,2；(2)0,1,22,1,0；(3)0,1,2；6 (4)0；(5)0,1(0,1)；(6)00A1B2C3D4 题型二 集合包含关系的考查学法指导：判断集合关系的方法有三种：(1)一一列举观察(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系一般地，设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若p(x)推出q(x)，则AB；若q(x)推出p(x)，则BA；若p(x)，q(x)互相推出，则AB；若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系(3)数形结合法：利用数轴或Venn图若AB和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，Bx|x21；(2)A1,2，B(1,2)；(3)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；(4)Ax|1x4，Bx|x50；(5)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*规律总结：对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示变式：判断下列各组中集合之间的关系：(1)Ax|x是12的约数，Bx|x是36的约数；(2)Ax|x2x0，BxR|x210；(3)Ax|x是平行四边形，Bx|x是菱形，Cx|x是四边形，Dx|x是正方形；(4)Mx|x，nZ，Nx|xn，nZ题型三 数轴在表示集合之间的关系中应用的考查例3已知Mx|x1，Nx|xa，且MN，则()Aa1 Ba1 Ca1 Da1规律总结：要特别注意a能否取到1，若把其他条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：Mx|x1；Nx|xa；MN；MN；MN.变式：已知Ax|x3，Bx|xa(1)若BA，则a的取值范围是_；(2)若AB，则a的取值范围是_；(3)若AB，则a的取值范围是_；(4)若AB，则a的值是_题型四 由集合间的关系求参数的取值或范围有时在集合的表示中含有字母参数，让我们通过集合的关系来求参数的范围，这里面要注意两个问题：(1)有关参数的题目要注意分类讨论：一般来说要明确含有参数的题目需要分类，如yax2bxc中的a是否为0，axb中的a也需要讨论，由上面几个例子，参数在取不同的值时，导致问题有不同的形式，因此有关参数的题目，要注意分类的应用，根据分类的原因明确分类的标准，由标准找出分类的对象，还要注意分类时不重不漏的原则(2)当B是A的子集即BA或真子集BA时，要特别注意B的情况，不要遗漏，否则会丢解例4设集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22(a1)xa210，xR，若BA，求实数a的值分析解决此题，应明确BA的具体含义，BA有两种情况，一是BA，而另一种是BA，而BA时还要考虑B能否是的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题规律总结：本题重在考查集合的子集，真子集的概念及它们的关系，解题时要求深刻理解AB的概念，合理分析、理解AB的意义，并适时、准确地转化为方程问题或不等式问题，在具体求解过程中有时借助数轴或函数图象来形象解题变式：已知集合A2，Bx|ax10，aR，BA，求a的值题型五 集合的子集个数问题的考查例5(1)Aa，b，c，求集合A子集的个数(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数(4)若A含有n个元素，猜测集合A真子集的个数规律总结：牢记下述四个结论，解题时可依据这四个结论检验解答正确与否(1)含n个元素的集合有2n个子集；(2)含n个元素的集合有(2n1)个真子集；(3)含n个元素的集合有(2n1)个非空子集；(4)含n个元素的集合有(2n2)个非空真子集若有兴趣做如下探究，你会收获更大变式：(1)若A1,2则集合A的个数为_(2)若1A1,2则集合A的个数为_(3)若a1，a2Aa1，a2，a3，a4，a5，求满足上述条件的集合A的个数(4)若a1，a2，amAa1，a2，am，b1，b2，bn则集合A的个数为_(5)若a1，a2，amAa1，a2，am，b1，b2，bn则集合A的个数为_3. 易错分析1混淆符号“”与“”例6下列各式中，正确的是()A2x|x4 B2x|x4 C2x|x4 D2x|x3错解A或C错因分析混淆了子集符号“”和元素与集合之间的联结符号“” 正解2判断集合间的关系时，没有考虑到变量的范围所产生的影响例7集合Mx|x1a2，aN*，Px|xa24a5，aN*，下列关系中，正确的是()AMP BPM CMP DMP且PM错解C 由于a24a5(a2)21，aN*，(a2)2N*，MP.错因分析该解法中的aN*，得到(a2)2N*产生错误，事实上，a2时，(a2)20N*.思路分析要解决集合间关系的判断问题，首先是化简两集合的元素表达式，但要注意变量范围所产生的影响正解3由子集关系求集合中参数范围时，忽视空集导致漏集例8若Ax|3x4，Bx|2m1xm1，当BA时，求实数m的取值范围错解由于BA，解得1m3.错因分析BA，而B中含有字母，因此，集合B可能为空集正解 4 基础巩固训练1下列四个命题：空集没有子集；空集是任何集合的真子集；空集中的元素个数为零；任意一个集合必有两个或两个以上的子集其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个2(20122013学年度邢台一中高一月考试题)如果Ax|x1，那么正确的结论是()A0A B0A C0A DA3(2012高考文科数学大纲版)已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AAB BCB CDC DAD 4(20122013河北正定中学高一数学质量调研)设集合Ax|1x4，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围为()Aa4 Ba4 Ca4 Da45集合Ax|0x3，xZ，则实数A的真子集个数为()A5 B6 C7 D86用适当的符号填空：(1)x|x是菱形_x|x是平行四边形；x|x是三角形_x|x是斜三角形(2)Z_xR|x220；0_0；_0；N_07指出下列各对集合之间的关系：(1)Ax|x是四边形，Bx|x是梯形；(2)Ax|x是等腰三角形，Bx|x是有一个角是45的直角三角形；(3)Ax|x3，Bx|x5；(4)Ax|1x3，Bx|2x48已知a，xR，集合A2,4，x25x9，B3，x2axa，Cx2(a1)x3,1(1)若A2,3,4，求x的值；(2)若2B，BA，求a，x的值(3)若BC，求a，x值第三讲：集合的基本运算一知识梳理已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了请同学们观察下列各集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A1,3,5，B2,4,6，C1,2,3,4,5,6(2)Ax|x是有理数，Bx|x是无理数，Cx|x是实数引导学生通过观察类比，思考和交流得出结论，教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容问题1：观察引入中的(1)(2)，分析集合C与集合A、B间的关系探究：上述两个问题中，集合A、B与庥合C之间都具有这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的，我们称集合之间的这种运算为并集总结：一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的并集，记作 ，用描述法表示为 【归纳提升】(1)用符号语言叙述为：Cx|xA或xB(2)用自然语言叙述为：所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.(3)用Venn图表示，如下图所示(4)xA或xB包括三层含义即“xA且xB”，“xA且xB”，“xA且xB”如下图所示：通过以上所学，完成下列练习(1)设A1,2，B2,3,4，则AB_.(2)设A1,2，Ba,3，若AB1,2,3，则a_；若AB1,2,3,4，则a_.(3)设Ax|x1，Bx|x1，则AB_.(4)设Ax|x2，则AB_.(5)设Ax|x1，则AB_.问题2：考查下面的问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？(1)A2,4,6,8,10，B3,5,8,12，C8(2)Ax|x是新华中学2012年9月在校的女同学，Bx|x是新华中学2012年9月入学的高一年级同学，Cx|x是新华中学2012年9月入学的高一年级女同学(3)如图所示探究：上述问题中，集合C是由那些既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的，我们称之为交集总结：一般地，由属于集合A 属于集合B，的所有元素组成的集合称为A与B的交集，记作 ，读作A交B.【归纳提升】(1)用符号语言表示为ABx|xA且xB(2)用自然语言叙述为：由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合(3)用Venn图表示，如下图阴影部分所示通过以上所学，完成下列练习(1)(2011高考江苏卷1)已知集合A1,1,2,4，B1,0,2，则AB_.(2)设Ax|x2，则AB_.(3)设Sx|2x10，Tx|3x50，则ST()ABx|x Dx|x1，Bx|x2，则AB_.问题3：集合交、并集的性质(1)AA ；AA ，A ，A .；AB BA， AB BA.(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)ABA，ABB，AAB，BAB.(2)ABAB AB ABABA B，ABAB *(3)A(BC)(AB)(AC)；A(BC)(AB)(AC)通过以上所学，完成下列练习(1)已知集合Ax|x2k1，kN*，Bx|xk3，kN，则AB等于()AB BA CN DR (2)(09上海文)已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_(3)集合Ax|2xm，若ABA，则m的取值范围是_若Bx|xm，若ABA，则m的取值范围是_二典型题型分析题型一 并集的概念及运算学法指导：求集合AB的方法与步骤(1)步骤首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；把所求并集的集合用集合符号表示出来，写成“AB”的形式；把化简后的集合A、B的所有元素都写出来即可(相同元素只写一个)(2)方法若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的并集；若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用虚点表示例1(1)若A1,1,3，B2,1,2,3，求AB.(2)设Ax|1x2，Bx|1x3，求AB.变式：(1)已知Ax|x是有理数，Bx|x是无理数，则AB_(2)已知Ax|2x4，Bx|3x782x则AB_.题型二 交集的概念及运算学法指导：求集合AB的方法与步骤(1)步骤首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“AB”的形式；把化简后的集合A、B的公共元素写出来即可(2)方法若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后再求两集合的交集，交集是数集；若集合的代表元素是有序实数对，则AB是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用虚点表示例2(2012湖南文科高考1题)(1)设集合M1,0,1Nx|x2x则MN()A1,0,1B0,1 C1 D0(2)若集合Ax|2x3，Bx|x4，则集合AB等于()Ax|x3或x4 Bx|1x3 Cx|3x4 Dx|2x1(3)已知A(x，y)|4xy6，B(x，y)|3x2y7，则AB_.变式：(1)已知集合A0,2,4,6，B2,4,8,16，则AB()A2 B4 C0,2,4,6,8,16 D2,4(2)已知集合Ax|1x3，Bx|2x5，则AB()A2 Bx|1x3 Cx|2x3 D1|3x5(3)已知Ax|x是等腰三角形，Bx|x是直角三角形，则AB_. 题型三 集合运算在实际问题中的应用学法指导：实际问题首先读懂题意，其次抽象问题最后将实际问题转化为数学问题解决例3高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？变式：50名学生报名参加A、B两项课外活动小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没报名的人数比同时报名参加A、B两组人数的三分之一多1人求同时报名参加两组的人数学法指导：利用交、并集的性质解题的方法及关注点：（1） 方法：在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到ABB，ABA等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如ABAAB，ABBAB等，解答时应灵活处理(2) 关注点：当集合AB时，如果集合B是一个确定的集合，而集合A不确定，运算时要考虑A的情况，切不可漏解例4已知Ax|2axa3，Bx|x1，或x5，若AB，求a的取值范围分析出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有无空集，即分类讨论本题中，集合A不确定，因而需讨论例5已知集合A4,2a1，a2，Ba5，1a，9，分别求适合下列条件的a值(1)9AB；(2)9AB.规律总结：(1)中检验的是集合A、B中的元素是否是互异的，a3时，B中元素a5与1a相同，所以a3应舍去；(2)中进一步检验A与B有没有不是9的公共元素，a5时，A4,9,25，B0，4,9，这时AB4,99，所以a5应舍去变式：已知：Ax|2x2axb0，Bx|bx2(a2)x5b0，且AB，求AB.三易错分析1含字母的集合运算时忽视了空集例6集合Ax|x23x20，Bx|x22xa10，ABB，求a的取值范围错解由题意，得A1,2ABB，1B，或者2B，a2或a1.错因分析ABBAB.而B是二次方程的解集，它可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可以等于A.思路分析ABB，B可能为空集，千万不要忘记 正解 2含字母的集合运算时忽视了检验例7已知M2，a23a5,5，N1，a26a10,3，MN2,3，则a的值是()A1或2 B2或4C2 D1错解AMN2,3，a23a53，a1或2.错因分析没有对当a1或2时的集合元素互异性进行检验思路分析MN2,3有两层含义，一是2,3是集合M，N的元素，另外集合M，N只有这两个公共元素，因此解出字母a后，要代入原集合进行检验正解四、基础巩固训练1(2012四川高考文科题)设集合Aa，bBb，c，d则AB()Ab Bb，c，d Ca，c，d Da，b，c，d2已知集合Mx|33，则MN()Ax|x3 Bx|3x5Cx|3x5 Dx|x53(20122013重庆一中高一定时练习)集合A1,3，B2,3,4则AB()A1 B2 C3 D1,2,3,44设Mx|3x21，Nx|0x4，则MN()A Bx|x1 Cx|0x1 Dx|0x15若A0,1,2,3，Bx|x3a，aA，则AB()A1,2 B0,1 C0,3 D36(2012全国高考数学课标地区)已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m()A0或 B0或3 C1或 D1或37(20122013深圳高级中学月考试题)设集合Mx|1x1 D1k24、 设Ax|1x2，Bx|1x15，则UA_.(6)已知全集U1,2,3,4,5，A1,2,3，B2,3,4，则U(AB)()A2,3B1,4,5 C4,5 D1,53 典型例题分析 题型一 补集概念的理解学法指导：1补集符合UA的三层含义：(1)UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即AU；(3)UA是U中不属于A的所有元素组成的集合2求补集的方法求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集例1在下列各组集合中，U为全集，A为U的子集，求UA.(1)U1,2,3,4,5,6，A2,4,5；(2)已知全集Ux|x是至少有一组对边平行的四边形，Ax|x是平行四边形；(3)UR，Ax|1x2；(4)UZ，Ax|x3k1，kZ规律总结：(1)要准确理解补集的含义：是由全集中所有不属于A的元素组成的集合(2)利用数轴可以直观形象地反映问题，另外要注意分界点的取值，如本题中UA中含有2，不含1.(3)求补集时，首先要正确理解全集及子集中所含的元素，找出其联系与差异，然后准确写出补集变式：设Ux|5x2，或2x5，xZ，Ax|x22x150，B3,3,4，求UA、UB.题型二 交集、并集、补集的综合运算学法指导：求集合交、并、补运算的方法例2已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB， (UA)B，A(UB)变式：1、不等式组的解集为A，UR.试求A及UA，并把它们分别表示在数轴上规律总结：(1)在用数轴表示不等式的解集时，一定要注意不等号是否带有等号，在数轴上的点应为实心还是空心7 解决不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观在集合运算中经常在数轴上进行表示，要注意求解时端点的值是否取到2、(2012浙江高考文科)设全集U1,2,3,4,5,6，集合P1,2,3,4集合Q3,4,5则PUQ()A1,2,3,4,6 B1,2,3,4,5 C1,2,5 D1,23、(2010陕西高考)集合Ax|1x2，Bx|x1，则A(RB)()Ax|x1 Bx|x1 Cx|1x2 Dx|1x2题型三 集合运算求参数范围学法指导：解决这类问题一要注意数形结合，以形定数，才能
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