（江苏专版）2019年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形（试卷部分）课件.ppt

4 5特殊的平行四边形 中考数学 江苏专用 考点1矩形 A组2014 2018年江苏中考题组 五年中考 1 2014南京 6 2分 如图 在矩形AOBC中 点A的坐标是 2 1 点C的纵坐标是4 则B C两点的坐标分别是 A B C D 答案B过点A作AA1 x轴于点A1 过点B作BB1 x轴于点B1 过点C作B1B的垂线 交B1B的延长线于点D 如图所示 易知 AOA1 BCD 所以BD AA1 1 故点B的纵坐标是4 1 3 从而由 AOA1 OBB1得 即 解得OB1 所以B 故点C的横坐标为 2 即C 故选B 2 2018连云港 16 3分 如图 E F G H分别为矩形ABCD的边AB BC CD DA的中点 连接AC HE EC GA GF 已知AG GF AC 则AB的长为 答案2 解析如图 连接BD 四边形ABCD是矩形 ADC DCB 90 AC BD CG DG CF FB GF BD AG FG AGF 90 AGD CGF 90 又 DAG AGD 90 DAG CGF ADG GCF 设CF BF a CG DG b b2 2a2 a 0 b 0 b a 在Rt GCF中 CF2 CG2 GF2 即3a2 a b 1 AB 2b 2 故答案为2 思路分析连接BD 由 ADG GCF 可得 设CF BF a CG DG b 即 可得b a 在Rt GCF中 利用勾股定理求出a 即可解决问题 解题关键本题考查中点四边形 矩形的性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理等知识 解题的关键是综合运用所学知识 连接对角线 运用相似 勾股定理列出方程解决问题 3 2015苏州 18 3分 如图 四边形ABCD为矩形 过点D作对角线BD的垂线 交BC的延长线于点E 取BE的中点F 连接DF DF 4 设AB x AD y 则x2 y 4 2的值为 答案16 解析由题意知DF是Rt BDE的中线 所以DF BF FE 4 矩形ABCD中 AB DC x BC AD y 在Rt CDF中 CF BF BC 4 y CD x DF 4 由勾股定理得CD2 CF2 DF2 即x2 y 4 2 42 16 评析本题考查勾股定理的应用 直角三角形的性质 综合性较强 对学生能力要求较高 属难题 4 2014苏州 17 3分 如图 在矩形ABCD中 以点B为圆心 BC长为半径画弧 交边AD于点E 若AE ED 则矩形ABCD的面积为 答案5 解析连接BE 设AB 3k k 0 则BC 5k 在Rt ABE中 根据勾股定理可求出AE 4k 故ED k 由题意可得4k k 可得k2 所以矩形ABCD的面积为AB BC 3k 5k 15k2 15 5 5 2017宿迁 26 10分 如图 在矩形纸片ABCD中 已知AB 1 BC 点E在边CD上移动 连接AE 将多边形ABCE沿直线AE翻折 得到多边形AB C E 点B C的对应点分别为点B C 1 当B C 恰好经过点D时 如图1 求线段CE的长 2 若B C 分别交边AD CD于点F G 且 DAE 22 5 如图2 求 DFG的面积 3 在点E从点C移动到点D的过程中 求点C 运动的路径长 解析 1 如题图1 设CE EC x 则DE 1 x ADB EDC 90 B AD ADB 90 B AD EDC 又 B C 90 ADB DEC AB AB 1 AD DB x 2 CE 2 2 如题图2 BAD B D 90 DAE 22 5 EAB EAB 67 5 B AF B FA 45 DFG AFB DGF 45 DF DG 在Rt AB F中 AB FB 1 AF AB DF DG S DFG 2 3 如图 点C运动的路径长为的长 在Rt ADC中 tan DAC DAC 30 AC 2CD 2 C AD DAC 30 CAC 60 的长 解题关键本题考查矩形的性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理 弧长公式等知识 解题的关键是正确寻找相似三角形 6 2017无锡 28 8分 如图 已知矩形ABCD中 AB 4 AD m 动点P从点D出发 在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动 连接CP 作点D关于直线PC的对称点E 设点P的运动时间为t s 1 若m 6 求当P E B三点在同一直线上时对应的t的值 2 已知m满足 在动点P从点D到点A的整个运动过程中 有且只有一个时刻t 使点E到直线BC的距离等于3 求所有这样的m的取值范围 解析 1 如图 设PD t 则PA 6 t 由题意知 EPC DPC P E B三点共线 BPC DPC AD BC DPC PCB BPC PCB BP BC 6 在Rt ABP中 AB2 AP2 PB2 42 6 t 2 62 解得t 6 2或6 2 舍去 PD 6 2 当t 6 2时 P E B三点共线 2 如图 当点P与点A重合 点E在BC的下方 点E到BC的距离为3时 作EQ BC于Q EM DC交DC的延长线于M 则EQ 3 CE DC 4 易证四边形EMCQ是矩形 CM EQ 3 M 90 EM 易知 DAC EDM 又 ADC M ADC DME 即 AD 4 如图 当点P与点A重合 点E在BC的上方 点E到BC的距离为3时 作EQ BC交CB的延长线于Q 延长QE交DA的延长线于M 则EQ 3 CE DC 4 图3在Rt ECQ中 QC DM 易证 DME CDA 即 AD 综上所述 在动点P从点D到点A的整个运动过程中 有且只有一个时刻t 使点E到直线BC的距离等于3 所有这样的m的取值范围为 m 4 思路分析 1 设PD t 则PA 6 t 首先证明BP BC 6 在Rt ABP中利用勾股定理即可解决问题 2 分两种情形求出AD的值即可解决问题 当点P与点A重合 点E在BC的下方 点E到BC的距离为3时 当点P与点A重合 点E在BC的上方 点E到BC的距离为3时 7 2017徐州 23 8分 如图 在 ABCD中 点O是边BC的中点 连接DO并延长 交AB的延长线于点E 连接BD EC 1 求证 四边形BECD是平行四边形 2 若 A 50 则当 BOD 时 四边形BECD是矩形 解析 1 证明 四边形ABCD为平行四边形 AB DC AB CD OEB ODC 又 O为BC的中点 BO CO 在 BOE和 COD中 BOE COD AAS OE OD 四边形BECD是平行四边形 2 若 A 50 则当 BOD 100 时 四边形BECD是矩形 理由如下 四边形ABCD是平行四边形 BCD A 50 BOD BCD ODC ODC 100 50 50 BCD OC OD BO CO OD OE DE BC 又 四边形BECD是平行四边形 四边形BECD是矩形 思路分析 1 先证 BOE COD 从而得OE OD 进而可证明四边形BECD是平行四边形 2 若四边形BECD是矩形 则OD OC 则 BOD 2 BCD 2 A 100 反推证之 解析 1 证明 四边形ABCD是矩形 C D 90 APD DAP 90 APO是由 ABO沿AO折叠而得 APO B 90 APD CPO 90 DAP CPO OCP PDA 2分 OCP PDA AD 8 CP 4 设AB x 则DP x 4 由 D 90 得AP2 AD2 DP2 x2 82 x 4 2 x 10 即AB 10 4分 2 折叠后 AOB与 AOP重合 AP AB OAB OAP AB CD AP CD P是CD的中点 DP AP D 90 PAD 30 又 OAB OAP OAB 30 8分 3 不变 理由 作MH BN交PB于点H MHP ABP MHF NBF AP AB APB ABP MHP APB MP MH MP BN BN MH NFB MFH NBF MHF FB FH MP MH ME PB PE EH EF EH FH EF EP FB PB 由 1 得AB 10 AD 8 DP 6 PC 4 PB 4 EF PB 2 12分 评析本题通过图形的变换综合考查了矩形的性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 解直角三角形等知识 属较难题 1 通过等角的余角相等找到两组角相等判定两三角形相似 再利用三角形相似的性质 勾股定理等建立方程是突破口 2 通过作辅助线构造全等三角形 再对所求线段进行转化是解题的关键 考点2菱形 1 2018宿迁 7 3分 如图 菱形ABCD的对角线AC BD相交于点O 点E为边CD的中点 若菱形ABCD的周长为16 BAD 60 则 OCE的面积是 A B 2C 2D 4 答案A过点D作DH AB于点H 四边形ABCD是菱形 AO CO AB BC CD AD 菱形ABCD的周长为16 AB AD 4 BAD 60 DH 4 2 S菱形ABCD 4 2 8 S ACD 8 4 点E为边CD的中点 OE为 ADC的中位线 OE AD CEO CDA OCE的面积 4 故选A 解题关键本题考查了菱形的性质 三角形中位线的判定和性质 相似三角形的判定和性质 能够证明OE为 ADC的中位线进而证明 CEO CDA是解题的关键 2 2016南京 16 2分 如图 菱形ABCD的面积为120cm2 正方形AECF的面积为50cm2 则菱形的边长为cm 答案13 解析连接BE EF FD AC 菱形 正方形为轴对称图形 对角线所在直线是其对称轴 B E F D在同一条直线上 S正方形AECF AC EF AC2 50cm2 AC 10cm S菱形ABCD AC BD 120cm2 BD 24cm 设AC BD的交点为O 由菱形的性质可得AC BD AO 5cm OB 12cm AB 13cm 解题关键本题考查了四边形的综合问题 熟悉正方形和菱形的性质 会用勾股定理求线段的长度是解题的关键 属中档题 3 2016淮安 21 8分 已知 如图 在菱形ABCD中 点E F分别为边CD AD的中点 连接AE CF 求证 ADE CDF 证明 四边形ABCD是菱形 AD CD E F分别是CD AD的中点 DE DC DF AD DE DF 在 ADE和 CDF中 ADE CDF SAS 4 2017盐城 22 10分 如图 矩形ABCD中 ABD CDB的平分线BE DF分别交边AD BC于点E F 1 求证 四边形BEDF是平行四边形 2 当 ABE为多少度时 四边形BEDF是菱形 请说明理由 解析 1 证明 四边形ABCD是矩形 AB DC AD BC ABD CDB BE平分 ABD DF平分 BDC EBD ABD FDB CDB EBD FDB BE DF 又 AD BC 四边形BEDF是平行四边形 2 当 ABE 30 时 四边形BEDF是菱形 理由如下 BE平分 ABD ABD 2 ABE 60 EBD ABE 30 四边形ABCD是矩形 A 90 EDB 90 ABD 30 EDB EBD 30 EB ED 又 四边形BEDF是平行四边形 四边形BEDF是菱形 解题关键本题主要考查矩形的性质 平行四边形 菱形的判定熟练掌握矩形的性质 平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键 5 2014镇江 20 6分 如图 在四边形ABCD中 AB AD BC DC AC BD相交于点O 点E在AO上 且OE OC 1 求证 1 2 2 连接BE DE 判断四边形BCDE的形状 并说明理由 解析 1 证明 在 ABC与 ADC中 AB AD BC DC AC AC ABC ADC 2分 1 2 3分 2 菱形 理由 BC DC 1 2 OD OB OC BD 4分 OE OC 四边形BCDE是平行四边形 5分 OC BD BCDE是菱形 6分 1 2018南通 10 3分 正方形ABCD的边长AB 2 E为AB的中点 F为BC的中点 AF分别与DE BD相交于点M N 则MN的长为 A B C D 考点3正方形 答案C过F作FH AD于H 交ED于O 则FH AB 2 BF FC BC AD 2 BF AH 1 FC HD 1 AF OH AE OH AE OF FH OH 2 AE FO AME FMO AM AF AD BF AND FNB 2 AN AF MN AN AM 故选C 解题关键本题考查了正方形的性质 相似三角形的判定与性质 矩形的性质 勾股定理 准确作出辅助线 求出AN与AM的长是解题的关键 2 2016宿迁 7 3分 如图 把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开 折痕为MN 再过点B折叠纸片 使点A落在MN上的点F处 折痕为BE 若AB的长为2 则FM的长为 A 2B C D 1 答案B由条件 得BM 1 BF 2 所以在Rt BMF中 FM 故选B B组2014 2018年全国中考题组 考点1矩形 1 2017甘肃兰州 8 4分 如图 矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ADB 30 AB 4 则OC A 5B 4C 3 5D 3 答案B因为四边形ABCD为矩形 所以AC BD OC AC 已知 ADB 30 故在直角三角形ABD中 BD 2AB 8 所以AC 8 所以OC AC 4 故选B 2 2018四川成都 14 4分 如图 在矩形ABCD中 按以下步骤作图 分别以点A和C为圆心 以大于AC的长为半径作弧 两弧相交于点M和N 作直线MN交CD于点E 若DE 2 CE 3 则矩形的对角线AC的长为 答案 解析如图 连接AE 由作图方法得MN垂直平分AC EA EC 3 在Rt ADE中 AD 在Rt ADC中 AC 思路分析连接AE 根据题中的作图方法 可得MN垂直平分AC 则EA EC 3 用勾股定理先计算出AD 再计算出AC 得解 解题关键本题考查了矩形的性质 基本作图 作已知线段的垂直平分线 勾股定理 识别基本作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键 3 2015内蒙古包头 20 3分 如图 在矩形ABCD中 BAD的平分线交BC于点E 交DC的延长线于点F 取EF的中点G 连接CG BG BD DG 下列结论 BE CD DGF 135 ABG ADG 180 若 则3S BDG 13S DGF 其中正确的结论是 填写所有正确结论的序号 答案 解析因为 BAD ADF 90 AE平分 BAD 所以 BAE DAF F 45 所以AD DF BC AB BE CD 在 DGF中 F 45 所以 DGF 135 在等腰Rt EFC中 因为G为EF的中点 所以GF GC F BCG 45 又因为DF BC 所以 BGC DGF SAS 所以 GBC GDF 又因为 DBC BDC 90 所以 GBD GDB GBC CBD GDB CBD GDB CDG 90 所以 BGD 90 在四边形ABGD中 BAD BGD 90 所以 ABG ADG 180 因为 所以可设AB 2k 则AD 3k 所以BD k 所以S BDG BD2 k2 作GM CF于M 则GM CF k 所以S DGF DF GM k2 所以3S BDG 13S DGF 故 正确 评析本题考查了矩形的性质 等腰三角形的性质与判定 三角形全等的性质与判定 三角形的面积等知识 考查内容较多 较复杂 属难题 4 2016吉林 18 5分 如图 菱形ABCD的对角线AC BD相交于点O 且DE AC AE BD 求证 四边形AODE是矩形 证明 DE AC AE BD 四边形AODE是平行四边形 2分 四边形ABCD是菱形 AC BD 4分 AOD 90 四边形AODE是矩形 5分 考点2菱形 1 2016湖南益阳 4 5分 下列判断的是 A 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B 四个内角都相等的四边形是矩形C 四条边都相等的四边形是菱形D 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 答案D由对角线互相平分的四边形是平行四边形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形 易得 两条对角线垂直且平分的四边形是菱形 D项错误 故选D 2 2016宁夏 5 3分 菱形ABCD的对角线AC BD相交于点O E F分别是AD CD边上的中点 连接EF 若EF BD 2 则菱形ABCD的面积为 A 2B 4C 6D 8 答案A因为E F分别是AD CD边上的中点 所以EF AC 且EF AC 所以AC 2EF 2 所以S菱形ABCD AC BD 2 2 2 故选A 3 2015安徽 9 4分 如图 矩形ABCD中 AB 8 BC 4 点E在AB上 点F在CD上 点G H在对角线AC上 若四边形EGFH是菱形 则AE的长是 A 2B 3C 5D 6 答案C连接EF交GH于点O 由四边形EGFH为菱形 可得EF GH OH OG 因为四边形ABCD为矩形 所以 B 90 因为AB 8 BC 4 所以AC 4 易证 AGE CHF 所以AG CH 所以AO AC 2 因为EO GH B 90 所以 AOE B 又因为 OAE BAC 所以 AOE ABC 所以 所以AE 5 故选C 4 2018吉林 24 8分 如图 在 ABC中 AB AC 过AB上一点D作DE AC交BC于点E 以E为顶点 ED为一边 作 DEF A 另一边EF交AC于点F 1 求证 四边形ADEF为平行四边形 2 当点D为AB中点时 ADEF的形状为 3 延长图 中的DE到点G 使EG DE 连接AE AG FG 得到图 若AD AG 判断四边形AEGF的形状 并说明理由 解析 1 证明 DE AC DEF EFC DEF A A EFC EF AB 四边形ADEF为平行四边形 2分 2 菱形 4分 3 结论 四边形AEGF为矩形 5分 理由 由 1 知 四边形ADEF为平行四边形 AF DE AD EF EG ED AF EG 四边形AEGF是平行四边形 6分 AD AG AG EF 7分 四边形AEGF为矩形 8分 评分说明 第 3 题 证明过程正确 但前面不先写出结论的不扣分 思路分析 1 根据平行四边形的定义进行判定 2 由D为AB的中点 结合 1 知DE AC 又AD AB DE AD ADEF为菱形 3 利用 1 的结论先证明四边形AEGF为平行四边形 再证AG EF即可 5 2017北京 22 5分 如图 在四边形ABCD中 BD为一条对角线 AD BC AD 2BC ABD 90 E为AD的中点 连接BE 1 求证 四边形BCDE为菱形 2 连接AC 若AC平分 BAD BC 1 求AC的长 解析 1 证明 E为AD的中点 AD 2ED AD 2BC ED BC AD BC 四边形BCDE为平行四边形 又 在 ABD中 E为AD的中点 ABD 90 BE ED BCDE为菱形 2 设AC与BE交于点H 如图 6 2016青岛 21 8分 已知 如图 在 ABCD中 E F分别是边AD BC上的点 且AE CF 直线EF分别交BA的延长线 DC的延长线于点G H 交BD于点O 1 求证 ABE CDF 2 连接DG 若DG BG 则四边形BEDF是什么特殊四边形 请说明理由 考点3正方形 1 2018天津 11 3分 如图 在正方形ABCD中 E F分别为AD BC的中点 P为对角线BD上的一个动点 则下列线段的长等于AP EP最小值的是 A ABB DEC BDD AF 思路分析点A关于直线BD的对称点为点C 连接CE AP EP的最小值就是线段CE的长度 通过证明 CDE ABF 得CE AF 即可得到PA PE的最小值等于线段AF的长 解后反思本题考查轴对称 正方形的性质 主要依据 两点之间线段最短 只要作出点A 或点E 关于直线BD的对称点C 或G 再连接EC 或AG 所得的线段长为两条线段和的最小值 2 2017甘肃兰州 14 4分 如图 在正方形ABCD和正方形DEFG中 点G在CD上 DE 2 将正方形DEFG绕D点顺时针旋转60 得到正方形DE F G 此时点G 在AC上 连接CE 则CE CG A B 1C D 答案A过点G 作G M DC于点M 过点E 作E P DC于点P 由旋转的知识可得 EDE 60 DE DE 2 四边形DEFG DE F G 是正方形 G DE EDG 90 DG DE 2 E DG 30 MDG 60 在Rt DG M中 由DG 2 MDG 60 可得G M DM 1 AC是正方形ABCD的对角线 DCG 45 又 G M DC CMG 是等腰直角三角形 MG MC CG CD DM CM 1 在Rt DE P中 由DE 2 E DG 30 可得E P 1 DP CP CD DP 1 在Rt CE P中 E P PC 1 由勾股定理可得CE CE CG 故选A 3 2014山西 10 3分 如图 点E在正方形ABCD的对角线AC上 且EC 2AE 直角三角形FEG的两直角边EF EG分别交BC DC于点M N 若正方形ABCD的边长为a 则重叠部分四边形EMCN的面积为 A a2B a2C a2D a2 4 2018江西 12 3分 在正方形ABCD中 AB 6 连接AC BD P是正方形边上或对角线上一点 若PD 2AP 则AP的长为 答案2 或2 解析 四边形ABCD是正方形 AB 6 AC BD AC BD 6 OA OD 3 有三种情况 点P在AD上时 AD 6 PD 2AP AP AD 2 点P在AC上时 不妨设AP x x 0 则DP 2x 在Rt DPO中 由勾股定理得DP2 DO2 OP2 即 2x 2 3 2 3 x 2 解得x 负值舍去 即AP 点P在AB上时 PAD 90 PD 2AP ADP 30 AP ADtan30 6 2 综上所述 AP的长为2 或2 思路分析根据正方形的性质得出AC BD AC BD OB OA OC OD 画出符合题意的三种情况 根据正方形的性质 勾股定理及锐角三角函数求解即可 解题关键熟记正方形的性质 分析符合题意的情况 并准确画出图形是解题的关键 易错警示此题没有给出图形 需将点P的位置分类讨论 做题时 往往会因只画出点P在正方形边上而致错 5 2017甘肃兰州 19 4分 在平行四边形ABCD中 对角线AC与BD相交于点O 要使四边形ABCD是正方形 还需添加一组条件 下面给出了四组条件 AB AD 且AB AD AB BD 且AB BD OB OC 且OB OC AB AD 且AC BD 其中正确的序号是 写出所有正确的序号 答案 解析 有一个角是直角的平行四边形是矩形 有一组邻边相等的矩形是正方形 即 正确 BD为平行四边形的对角线 AB为平行四边形的一条边 所以当AB BD时 平行四边形不可能是正方形 即 错误 对角线相等且垂直的平行四边形是正方形 由OB OC 得对角线相等 即AC BD 由OB OC 得AC BD 即平行四边形ABCD为正方形 即 正确 邻边相等的平行四边形是菱形 对角线相等的菱形是正方形 即 正确 6 2016广东广州 16 3分 如图 正方形ABCD的边长为1 AC BD是对角线 将 DCB绕点D顺时针旋转45 得到 DGH HG交AB于点E 连接DE交AC于点F 连接FG 则下列结论 四边形AEGF是菱形 AED GED DFG 112 5 BC FG 1 5 其中正确的结论是 填写所有正确结论的序号 答案 解析由题可知 DGH DCB DH DB DHG DBC 45 DGH DCB 90 DG DC AD 又 DAC 45 DAC DHG AF EG 在Rt AED和Rt GED中 AD GD ED ED Rt AED Rt GED ADE GDE 故 正确 在 ADF与 GDF中 AD GD ADF GDF FD FD ADF GDF AF GF DGF DAF 45 又 DBA 45 FG AE 四边形AEGF是平行四边形 又 AF GF 平行四边形AEGF是菱形 故 正确 GDF ADB 22 5 DGF 45 DFG 112 5 故 正确 FG AE HA HD AD BD AD 1 BC FG 1 1 故 不正确 评析本题考查了平行四边形 三角形的知识 借助旋转把这些知识融合在一起 考查了学生把复杂的图形转化为简单的图形来解决问题的能力 7 2016天津 17 3分 如图 在正方形ABCD中 点E N P G分别在边AB BC CD DA上 点M F Q都在对角线BD上 且四边形MNPQ和AEFG均为正方形 则的值等于 答案 解析由题意易得DQ PQ QM MN MB AB DG GF GA AE BE AB S正方形MNPQ MN2 AB2 S正方形AEFG AE2 AB2 8 2015广西南宁 16 3分 如图 在正方形ABCD的外侧 作等边 ADE 则 BED的度数为 答案45 解析由题意可知 BAE 150 BA AE AEB 15 BED 45 9 2015吉林长春 13 3分 如图 点E在正方形ABCD的边CD上 若 ABE的面积为8 CE 3 则线段BE的长为 答案5 解析 四边形ABCD是正方形 AB BC C 90 ABE的面积为8 AB BC 8 AB2 8 AB 4 BC AB 4 CE 3 BE 5 10 2015河南 15 3分 如图 正方形ABCD的边长是16 点E在边AB上 AE 3 点F是边BC上不与点B C重合的一个动点 把 EBF沿EF折叠 点B落在B 处 若 CDB 恰为等腰三角形 则DB 的长为 答案16或4 解析分三种情况讨论 1 若DB DC 则DB 16 易知此时点F在BC上且不与点C B重合 2 当CB CD时 连接BB EB EB CB CB 点E C在BB 的垂直平分线上 EC垂直平分BB 由折叠可知点F与点C重合 不符合题意 舍去 3 如图 当CB DB 时 作B G AB于点G 延长GB 交CD于点H AB CD B H CD 则四边形AGHD为矩形 AG DH CB DB DH CD 8 AG DH 8 GE AG AE 5 又易知EB 13 在Rt B EG中 由勾股定理得B G 12 B H GH B G 4 在Rt B DH中 由勾股定理得DB 4 易知此时点F在BC上且不与点C B重合 综上所述 DB 16或4 11 2018北京 27 7分 如图 在正方形ABCD中 E是边AB上的一动点 不与点A B重合 连接DE 点A关于直线DE的对称点为F 连接EF并延长交BC于点G 连接DG 过点E作EH DE交DG的延长线于点H 连接BH 1 求证 GF GC 2 用等式表示线段BH与AE的数量关系 并证明 解析 1 证明 如图 连接DF 四边形ABCD为正方形 DA DC AB A C ADC 90 又 点A关于直线DE的对称点为F ADE FDE DA DF DC DFE A 90 DFG 90 在Rt DFG和Rt DCG中 Rt DFG Rt DCG HL GF GC 2 线段BH与AE的数量关系 BH AE 证明 在线段AD上截取AM 使AM AE 连接ME AD AB DM BE 由 1 得 1 2 3 4 ADC 90 思路分析本题第 1 问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决 本题第 2 问需要通过构造全等三角形 利用等腰直角三角形的性质解决 解题关键解决本题第 2 问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形 并借助SAS证明三角形全等 从而将BH和AE转化到 AME中证明数量关系 C组教师专用题组 考点1矩形 1 2015山东临沂 12 3分 如图 四边形ABCD为平行四边形 延长AD到E 使DE AD 连接EB EC DB 添加一个条件 不能使四边形DBCE成为矩形的是 A AB BEB BE DCC ADB 90 D CE DE 答案B 四边形ABCD是平行四边形 AD BC AD BC AB CD DE BC 又DE AD DE BC 四边形DBCE是平行四边形 若AB BE 则CD BE 则平行四边形DBCE是矩形 若CE DE 即 DEC 90 则平行四边形DBCE是矩形 若 ADB 90 则 BDE 90 则平行四边形DBCE是矩形 当BE DC时 平行四边形DBCE是菱形 故选B 2 2015江西南昌 5 3分 如图 小贤为了体验四边形的不稳定性 将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD B与D两点之间用一根拉直固定 然后向右扭动框架 观察所得四边形的变化 下列判断的是 A 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B BD的长度增大C 四边形ABCD的面积不变D 四边形ABCD的周长不变 答案C向右扭动框架ABCD的过程中 AD与BC的距离逐渐减小 即 ABCD的高发生变化 所以面积改变 选项C错误 故选C 3 2015黑龙江哈尔滨 19 3分 在矩形ABCD中 AD 5 AB 4 点E F在直线AD上 且四边形BCFE为菱形 若线段EF的中点为点M 则线段AM的长为 答案5 5或0 5 解析如图 依题意知BE BC 5 则AE 3 又EF 5 M是EF的中点 则EM 2 5 AM 3 2 5 5 5 图 如图 同理 FD 3 MF 2 5 则DM DF FM 3 2 5 5 5 AM DM DA 5 5 5 0 5 图 综上 线段AM的长为5 5或0 5 4 2015重庆 18 4分 如图 在矩形ABCD中 AB 4 AD 10 连接BD DBC的角平分线BE交DC于点E 现把 BCE绕点B逆时针旋转 记旋转后的 BCE为 BC E 当射线BE 和射线BC 都与线段AD相交时 设交点分别F G 若 BFD为等腰三角形 则线段DG长为 答案 解析过点F作FH BD交BG的延长线于点H 在矩形ABCD中 BD 14 AD BC ADB DBC BE平分 DBC FBG EBC DBC FBG FDB 由题可得BF FD FBD FDB FBG FBD FBG GBD FH BD H GBD H FBG FB FH FD 设FD x x 0 在Rt ABF中 由勾股定理得BF2 AF2 AB2 即x2 10 x 2 4 2 解得x FB FH FD FH BD FHG DBG 设GD y y 0 解得y GD 评析本题重点考查勾股定理 矩形的性质 相似三角形的性质与判定 方程思想等 综合性较强 属于难题 5 2014辽宁沈阳 16 4分 如图 ABCD中 AB AD AE BE CM DM分别为 DAB ABC BCD CDA的平分线 AE与DM相交于点F BE与CM相交于点H 连接EM 若 ABCD的周长为42cm FM 3cm EF 4cm 则EM cm AB cm 答案5 13 解析由题意可得四边形EFMH是矩形 所以EM 5cm 如图 延长CM交AB于点I 延长AE交CD于点J 连接FH 易证 BHI BHC 所以BC BI CH HI 则H为IC的中点 同理 AD DJ F为AJ的中点 所以AI FH EM 5cm 因为 ABCD的周长为42cm 所以AB BC 21cm 所以2BC AI 21cm 所以BC 8cm AB 13cm 评析本题考查平行四边形的性质 直角三角形的性质 属较难题 6 2014河南 15 3分 如图 矩形ABCD中 AD 5 AB 7 点E为DC上一个动点 把 ADE沿AE折叠 当点D的对应点D 落在 ABC的角平分线上时 DE的长为 答案或 解析作BF平分 ABC交CD于点F 作AG BF于点G 由题意知AG AB sin45 5 D 是以A为圆心 AD长为半径的圆弧与BF的交点 易知有两种情况 第一种情况 如图 图 在Rt AGD 中 D G BD 4 D F BF D B 5 4 作D H CD 垂足为H 在Rt D FH中 易求得FH HD 1 DH DF FH 3 设DE x 则D E x EH 3 x 在Rt EHD 中 EH2 D H2 D E2 即 3 x 2 12 x2 解得x 即D E 第二种情况 如图 图 作D H CD 垂足为H 同理求得D E 综上所述 DE的长为或 评析本题是以矩形为载体 以折叠为背景的求线段长问题 主要考查矩形的性质 轴对称的性质 角平分线 勾股定理的运用 依据题意构造直角三角形是关键 本题属难题 7 2018云南昆明 23 12分 如图1 在矩形ABCD中 P为CD边上一点 DP CP APB 90 将 ADP沿AP翻折得到 AD P PD 的延长线交边AB于点M 过点B作BN MP交DC于点N 1 求证 AD2 DP PC 2 请判断四边形PMBN的形状 并说明理由 3 如图2 连接AC 分别交PM PB于点E F 若 求的值 解析 1 证明 在矩形ABCD中 AD BC C D 90 DAP APD 90 APB 90 CPB APD 90 DAP CPB 1分 ADP PCB 2分 AD CB DP PC AD BC AD2 DP PC 3分 2 四边形PMBN为菱形 理由如下 4分 在矩形ABCD中 CD AB BN PM 四边形PMBN为平行四边形 ADP沿AP翻折得到 AD P APD APM CD AB APD PAM APM PAM 6分 APB 90 PAM PBA 90 APM BPM 90 又 APM PAM PBA BPM PM MB 又 四边形PMBN为平行四边形 四边形PMBN为菱形 7分 3 解法一 APM PAM PM AM PM MB AM MB 四边形ABCD为矩形 CD AB且CD AB 设DP a 则AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB ABF CPF BAF PCF BFA PFC 9分 同理可得 MEA PEC 10分 11分 12分 解法二 过点F作FG PM 交MB于点G APM PAM PM AM PM MB AM MB 四边形ABCD为矩形 CD AB且CD AB 设DP a 则AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB CPF ABF PCF BAF PFC BFA 9分 FG PM 10分 AM MB FG PM 12分 思路分析 1 根据矩形的性质以及所给条件 证明 ADP PCB 从而得AD2 DP PC 2 由翻折得 APD APM 由等角的余角相等得 PBA BPM 从而得PM MB 进而易得四边形PMBN为菱形 3 解法一 设DP a 则可求得AD 2a PC 4a AB 5a 由CD AB 可得 BFA PFC MEA PEC 所以 进而可得的值 解法二 过点F作FG PM 交MB于点G 设DP a 可求得AD 2a PC 4a AB 5a MA MB 根据CD AB FG PM AM MB这些条件可求得的值 解题关键本题主要考查了矩形的性质 轴对称 菱形的判定 相似三角形的判定与性质等知识 题目综合性强 计算量大 属难题 解题的关键在于从复杂的条件中确定解决问题所需的条件 进而推理 论证 计算 使题目得以解答 8 2015山东聊城 21 8分 如图 在 ABC中 AB BC BD平分 ABC 四边形ABED是平行四边形 DE交BC于点F 连接CE 求证 四边形BECD是矩形 证明 AB BC BD平分 ABC BD AC AD CD 2分 四边形ABED是平行四边形 BE AD BE AD 4分 BE CD 四边形BECD是平行四边形 6分 BD AC BDC 90 BECD是矩形 8分 9 2016宁夏 26 10分 在矩形ABCD中 AB 3 AD 4 动点Q从点A出发 以每秒1个单位的速度 沿AB向点B移动 同时点P从点B出发 仍以每秒1个单位的速度 沿BC向点C移动 连接QP QD PD 若两个点同时运动的时间为x秒 0 x 3 解答下列问题 1 设 QPD的面积为S 用含x的函数关系式表示S 当x为何值时 S有最小值 并求出最小值 2 是否存在x的值 使得QP DP 试说明理由 解析 1 当两个点同时运动的时间为x秒时 则AQ x BP x BQ 3 x PC 4 x 1分 S QPD S矩形ABCD S DAQ S QBP S DCP AB BC AD AQ BP BQ PC CD 3 4 x 4 x 3 x 4 x 3 x2 2x 6 x 2 2 4 5分 当x 2时 S QPD的最小值为4 6分 2 解法一 若存在x 使得QP DP 则在Rt QPD中 DQ2 QP2 PD2 在Rt DAQ中 DQ2 AQ2 AD2 x2 42 在Rt QBP中 QP2 BQ2 BP2 3 x 2 x2 在Rt DCP中 PD2 CD2 PC2 32 4 x 2 即x2 42 3 x 2 x2 32 4 x 2 整理 得x2 7x 9 0 8分 解得x 或x 3 不合题意 舍去 存在x 使得QP DP 10分 解法二 若存在x 使得QP DP 则Rt QBP Rt PCD 即 整理 得x2 7x 9 0 8分 解得x 或x 3 不合题意 舍去 存在x 使得QP DP 10分 评析本题是以矩形为载体的动点问题 主要考查矩形的性质 三角形的面积等 解题的关键是用含x的代数式表示各线段的长 属难题 10 2015吉林长春 22 9分 在矩形ABCD中 已知AD AB 在边AD上取点E 使AE AB 连接CE 过点E作EF CE 与边AB或其延长线交于点F 猜想 如图 当点F在边AB上时 线段AF与DE的大小关系为 探究 如图 当点F在边AB的延长线上时 EF与边BC交于点G 判断线段AF与DE的大小关系 并加以证明 应用 如图 若AB 2 AD 5 利用探究得到的结论 求线段BG的长 解析猜想 AF DE 2分 探究 AF DE 证明 EF CE CEF 90 1 2 90 四边形ABCD为矩形 A D 90 AB CD 2 3 90 1 3 AE AB AE DC AEF DCE AF DE 6分 应用 AF DE AD AE 5 2 3 BF AF AB 3 2 1 在矩形ABCD中 AD BC FBG FAE 即 BG 9分 11 2015北京 22 5分 在 ABCD中 过点D作DE AB于点E 点F在边CD上 DF BE 连接AF BF 1 求证 四边形BFDE是矩形 2 若CF 3 BF 4 DF 5 求证 AF平分 DAB 证明 1 在 ABCD中 AB CD DF BE 四边形BFDE为平行四边形 DE AB DEB 90 四边形BFDE是矩形 2 由 1 可得 BFC 90 在Rt BFC中 由勾股定理可得BC 5 AD BC 5 AD DF DAF DFA AB CD DFA FAB DAF FAB AF平分 DAB 12 2014内蒙古呼和浩特 21 7分 如图 四边形ABCD是矩形 把矩形沿AC折叠 点B落在点E处 AE与DC的交点为O 连接DE 1 求证 ADE CED 2 求证 DE AC 证明 1 四边形ABCD是矩形 AD BC AB CD 又 AC是折痕 BC CE AD 1分 AB AE CD 2分 又DE ED ADE CED 3分 评析本题考查轴对称变换 折叠问题 矩形的性质以及全等三角形的判定与性质 属容易题 13 2014重庆 26 12分 已知 如图 在矩形ABCD中 AB 5 AD AE BD 垂足是E 点F是点E关于AB的对称点 连接AF BF 1 求AE和BE的长 2 若将 ABF沿着射线BD方向平移 设平移的距离为m 平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度 当点F分别平移到线段AB AD上时 直接写出相应的m的值 3 如图 将 ABF绕点B顺时针旋转一个角 0 180 记旋转中的 ABF为 A BF 在旋转过程中 设A F 所在的直线与直线AD交于点P 与直线BD交于点Q 是否存在这样的P Q两点 使 DPQ为等腰三角形 若存在 求出此时DQ的长 若不存在 请说明理由 解析 1 AB 5 AD 由勾股定理得BD 1分 AB AD S ABD BD AE 5 AE 解得AE 4 3分 BE 3 4分 2 当点F在线段AB上时 m 3 6分 当点F在线段AD上时 m 8分 3 存在 理由如下 当DP DQ时 若点Q在线段BD的延长线上 如图1 有 Q 1 图1则 2 1 Q 2 Q 3 4 Q 3 2 4 Q 2 Q 4 Q A Q A B 5 F Q 4 5 9 在Rt BF Q中 92 32 DQ 3 DQ 3 或DQ 3 舍 9分 若点Q在线段BD上 如图2 图2 有 1 2 4 1 3 3 4 3 5 A A CBD 3 5 CBD A BQ 4 A BQ A Q A B 5 F Q 5 4 1 BQ DQ 10分 当QP QD时 如图3 有 P 1 图3 A 1 2 3 4 P 4 A QB QA 设QB QA x 在Rt BF Q中 32 4 x 2 x2 解得x DQ 11分 当PD PQ时 如图4 有 1 2 3 1 A 图4 3 A BQ A B 5 DQ 5 综上 当 DPQ是等腰三角形时 DQ的值为3 12分 考点2菱形 1 2018陕西 8 3分 如图 在菱形ABCD中 点E F G H分别是边AB BC CD和DA的中点 连接EF FG GH和HE 若EH 2EF 则下列结论正确的是 A AB EFB AB EFC AB 2EFD AB EF 答案D如图 连接AC BD交于O 四边形ABCD是菱形 AC BD OA OC OB OD 点E F G H分别是边AB BC CD和DA的中点 EF AC EH BD EH 2EF BD 2AC OB 2OA AB OA 易知OA EF AB EF 故选D 思路分析首先根据菱形的性质得到AC BD OA OC OB OD 然后根据三角形中位线定理得出EF AC EH BD 进而得到OB 2OA 最后根据勾股定理求得AB OA 即得AB EF 2 2015福建龙岩 10 4分 如图 菱形ABCD的周长为16 ABC 120 则AC的长为 A 4B 4C 2D 2 答案A设AC与BD相交于点O 四边形ABCD是菱形 且其周长为16 ABC 120 AB 4 AC BD AC 2AO ABO 60 则在Rt ABO中 AO AB sin60 2 AC 4 故选A 3 2015甘肃兰州 10 4分 如图 菱形ABCD中 AB 4 B 60 AE BC AF CD 垂足分别为E F 连接EF 则 AEF的面积是 A 4B 3C 2D 答案B连接AC 在菱形ABCD中 AB BC B 60 ABC是等边三角形 AE BC AE 2 EAC 30 同理可得AF 2 CAF 30 则 EAF为等边三角形 S AEF 2 2 3 故选B 4 2015辽宁沈阳 7 3分 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点 所形成的四边形是 A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形 答案B如图 在 ABD中 E F分别是AB AD的中点 EF是 ABD的中位线 EF BD 同理 GH BD EH AC FG AC AC BD EF FG HG HE 四边形EFGH是菱形 评析顺次连接四边形各边中点所得的四边形是中点四边形 中点四边形一定是平行四边形 它的其他特征取决于原四边形对角线的特点 若原四边形的对角线互相垂直 则中点四边形的各角为直角 若原四边形的对角线相等 则中点四边形的各边相等 5 2014上海 6 4分 如图 已知AC BD是菱形ABCD的对角线 那么下列结论一定正确的是 A ABD与 ABC的周长相等B ABD与 ABC的面积相等C 菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍D 菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍 答案B解法一 由题图可知S ABD S菱形ABCD S ABC S菱形ABCD 所以S ABD S ABC 解法二 ABC和 ABD是同底等高的两个三角形 所以S ABC S ABD 6 2014陕西 9 3分 如图 在菱形ABCD中 AB 5 对角线AC 6 若过点A作AE BC 垂足为E 则AE的长为 A 4B C D 5 答案C连接BD 交AC于点O 四边形ABCD是菱形 AC BD AB 5 AC 2AO 6 OB 4 BD 2OB 8 S菱形ABCD 6 8 24 S菱形ABCD BC AE BC AB 5 AE 故选C 7 2014山东烟台 6 3分 如图 在菱形ABCD中 M N分别在AB CD上 且AM CN MN与AC交于点O 连接BO 若 DAC 28 则 OBC的度数为 A 28 B 52 C 62 D 72 答案C AOM CON MAO NCO AM CN AOM CON AO CO 点O是菱形ABCD对角线的交点 BO AC OBC 90 BCO 90 DAC 90 28 62 8 2014浙江宁波 6 4分 菱形的两条对角线长分别是6和8 则此菱形的边长是 A 10B 8C 6D 5 答案D 四边形ABCD是菱形 如图 AC 8 BD 6 OB OD 3 OA OC 4 AC BD 在Rt AOB中 由勾股定理得AB 5 即此菱形的边长是5 故选D 9 2018内蒙古呼和浩特 16 3分 如图 已知正方形ABCD 点M是边BA延长线上的动点 不与点A重合 且AM AB CBE由 DAM平移得到 若过点E作EH AC H为垂足 则有以下结论 点M位置变化 使得 DHC 60 时 2BE DM 无论点M运动到何处 都有DM HM 无论点M运动到何处 CHM一定大于135 其中正确结论的序号为 答案 解析如图所示 取CE的中点O 以点O为圆心 OH为半径画圆 连接DH 延长EH交AD于F 连接FM BH HM 易知EH HA HF 当 DHC 60 时 易得 CEB CHB 60 则 BCE 30 所以2BE CE DM 故 正确 因为 CHE 90 所以 AHF 90 易知 DHF AHM 所以 DHM 90 易知DH HM 所以无论点M运动到何处 都有DM HM 故 正确 由 可知 DHM 90 而 CHD 45 所以无论点M运动到何处 CHM一定大于135 故 正确 所以 都正确 思路分析点E在运动的过程中 CBA CHE 90 故B E H C四点共圆 作出图形 再进行判断 解题关键解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆 10 2017南京 15 2分 如图 四边形ABCD是菱形 O经过点A C D 与BC相交于点E 连接AC AE 若 D 78 则 EAC 答案27 解析 四边形ABCD是菱形 AD BC CA平分 DCB D 78 DCB 180 D 102 ACE DCB 51 A E C D四点共圆 D AEC 180 AEC 102 在 AEC中 EAC 180 AEC ACE 180 102 51 27 解后反思本题综合考查菱形的性质 圆的内接四边形对角互补的性质 掌握这两个性质是解决问题的关键 11 2014四川成都 24 4分 如图 在边长为2的菱形ABCD中 A 60 M是AD边的中点 N是AB边上一动点 将 AMN沿MN所在直线翻折得到 A MN 连接A C 则A C长度的最小值是 答案 1 解析过点M作MF CD交CD的延长线于F 由题意可知MA MA 是定值 A C的长度最小时 A 在MC上 如图 菱形ABCD的边长为2 A 60 M是AD的中点 MD MA 1 MDF 60 MF MDsin60 DF MDcos60 CF CD DF 在Rt MFC中 由勾股定理得MC AMN沿MN所在直线翻折得到 A MN MA MA 1 A C MC MA 1 故答案为 1 评析本题是一道以菱形为依托的动点探究问题 主要考查菱形 轴对称 翻折 锐角三角函数 勾股定理等知识的综合应用 根据已知分析确定点A 的位置是本题的解题关键 解析 1 相等 或BP CE 垂直 或CE AD 2 成立 证明 如图 连接AC 交BD