2018全国卷1数学(文)

第 1 页 共 19 页 2018 年全国统一高考数学试卷 文科 新课标 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A 0 2 B 2 1 0 1 2 则 A B A 0 2 B 1 2 C 0 D 2 1 0 1 2 2 5 分 设 z 2i 则 z A 0 B C 1 D 3 5 分 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济 收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 5 分 已知椭圆 C 1 的一个焦点为 2 0 则 C 的离心率为 A B C D 5 5 分 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 O1 O 2 过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方 形 则该圆柱的表面积为 A 12 B 12 C 8 D 10 6 5 分 设函数 f x x 3 a 1 x 2 ax 若 f x 为奇函数 则曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2x B y x C y 2x D y x 第 2 页 共 19 页 7 5 分 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 则 A B C D 8 5 分 已知函数 f x 2cos 2x sin2x 2 则 A f x 的最小正周期为 最大值为 3 B f x 的最小正周期为 最大值为 4 C f x 的最小正周期为 2 最大值为 3 D f x 的最小正周期为 2 最大值为 4 9 5 分 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱表面 上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A 2 B 2 C 3 D 2 10 5 分 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB BC 2 AC 1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 则该长方体的体积为 A 8 B 6 C 8 D 8 11 5 分 已知角 的顶点为坐标原点 始边与 x 轴的非负半轴重合 终边上有两点 A 1 a B 2 b 且 cos2 则 a b A B C D 1 12 5 分 设函数 f x 则满足 f x 1 f 2x 的 x 的取值范围是 A 1 B 0 C 1 0 D 0 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 5 分 已知函数 f x log 2 x 2 a 若 f 3 1 则 a 14 5 分 若 x y 满足约束条件 则 z 3x 2y 的最大值为 第 3 页 共 19 页 15 5 分 直线 y x 1 与圆 x2 y2 2y 3 0 交于 A B 两点 则 AB 16 5 分 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 bsinC csinB 4asinBsinC b 2 c2 a2 8 则 ABC 的面积 为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作 答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 已知数列 an 满足 a1 1 na n 1 2 n 1 a n 设 bn 1 求 b1 b 2 b 3 2 判断数列 b n 是否为等比数列 并说明理由 3 求 a n 的通项公式 18 12 分 如图 在平行四边形 ABCM 中 AB AC 3 ACM 90 以 AC 为折痕将 ACM 折起 使点 M 到达点 D 的位置 且 AB DA 1 证明 平面 ACD 平面 ABC 2 Q 为线段 AD 上一点 P 为线段 BC 上一点 且 BP DQ DA 求三棱锥 Q ABP 的体积 19 12 分 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据 单位 m 3 和使用了节水龙头 50 天的日用水量数 据 得到频数分布表如下 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 0 6 0 7 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 第 4 页 共 19 页 频数 1 5 13 10 16 5 1 作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图 2 估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 0 35m3 的概率 3 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水 一年按 365 天计算 同一组中的数据以这组数据所在区间 中点的值作代表 20 12 分 设抛物线 C y 2 2x 点 A 2 0 B 2 0 过点 A 的直线 l 与 C 交于 M N 两点 1 当 l 与 x 轴垂直时 求直线 BM 的方程 2 证明 ABM ABN 21 12 分 已知函数 f x aex lnx 1 1 设 x 2 是 f x 的极值点 求 a 并求 f x 的单调区间 2 证明 当 a 时 f x 0 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 4 4 坐 标系与参数方程 10 分 22 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 的方程为 y k x 2 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 1 求 C2 的直角坐标方程 2 若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点 求 C1 的方程 选修 4 5 不等式选讲 10 分 第 5 页 共 19 页 23 已知 f x x 1 ax 1 1 当 a 1 时 求不等式 f x 1 的解集 2 若 x 0 1 时不等式 f x x 成立 求 a 的取值范围 2018 年全国统一高考数学试卷 文科 新课标 参考答案与试题解析 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A 0 2 B 2 1 0 1 2 则 A B A 0 2 B 1 2 C 0 D 2 1 0 1 2 解答 解 集合 A 0 2 B 2 1 0 1 2 则 A B 0 2 故选 A 2 5 分 设 z 2i 则 z A 0 B C 1 D 解答 解 z 2i 2i i 2i i 则 z 1 故选 C 3 5 分 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济 收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 第 6 页 共 19 页 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解答 解 设建设前经济收入为 a 建设后经济收入为 2a A 项 种植收入 37 2a 60 a 14 a 0 故建设后 种植收入增加 故 A 项错误 B 项 建设后 其他收入为 5 2a 10 a 建设前 其他收入为 4 a 故 10 a 4 a 2 5 2 故 B 项正确 C 项 建设后 养殖收入为 30 2a 60 a 建设前 养殖收入为 30 a 故 60 a 30 a 2 故 C 项正确 D 项 建设后 养殖收入与第三产业收入总和为 30 28 2a 58 2a 经济收入为 2a 故 58 2a 2a 58 50 故 D 项正确 因为是选择不正确的一项 故选 A 4 5 分 已知椭圆 C 1 的一个焦点为 2 0 则 C 的离心率为 A B C D 解答 解 椭圆 C 1 的一个焦点为 2 0 可得 a2 4 4 解得 a 2 第 7 页 共 19 页 c 2 e 故选 C 5 5 分 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 O1 O 2 过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方 形 则该圆柱的表面积为 A 12 B 12 C 8 D 10 解答 解 设圆柱的底面直径为 2R 则高为 2R 圆柱的上 下底面的中心分别为 O1 O 2 过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形 可得 4R 2 8 解得 R 则该圆柱的表面积为 10 故选 D 6 5 分 设函数 f x x 3 a 1 x 2 ax 若 f x 为奇函数 则曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2x B y x C y 2x D y x 解答 解 函数 f x x 3 a 1 x 2 ax 若 f x 为奇函数 可得 a 1 所以函数 f x x 3 x 可得 f x 3x 2 1 曲线 y f x 在点 0 0 处的切线的斜率为 1 则曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方程为 y x 故选 D 7 5 分 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 则 A B C D 解答 解 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 第 8 页 共 19 页 故选 A 8 5 分 已知函数 f x 2cos 2x sin2x 2 则 A f x 的最小正周期为 最大值为 3 B f x 的最小正周期为 最大值为 4 C f x 的最小正周期为 2 最大值为 3 D f x 的最小正周期为 2 最大值为 4 解答 解 函数 f x 2cos 2x sin2x 2 2cos2x sin2x 2sin2x 2cos2x 4cos2x sin2x 3cos2x 1 故函数的最小正周期为 函数的最大值为 故选 B 9 5 分 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱表面 上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A 2 B 2 C 3 D 2 解答 解 由题意可知几何体是圆柱 底面周长 16 高为 2 第 9 页 共 19 页 直观图以及侧面展开图如图 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度 2 故选 B 10 5 分 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB BC 2 AC 1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 则该长方体的体积为 A 8 B 6 C 8 D 8 解答 解 长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB BC 2 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 即 AC 1B 30 可得 BC1 2 可得 BB1 2 所以该长方体的体积为 2 8 故选 C 11 5 分 已知角 的顶点为坐标原点 始边与 x 轴的非负半轴重合 终边上有两点 A 1 a B 2 b 且 cos2 则 a b A B C D 1 解答 解 角 的顶点为坐标原点 始边与 x 轴的非负半轴重合 第 10 页 共 19 页 终边上有两点 A 1 a B 2 b 且 cos2 cos2 2cos 2 1 解得 cos2 cos sin tan a b 故选 B 12 5 分 设函数 f x 则满足 f x 1 f 2x 的 x 的取值范围是 A 1 B 0 C 1 0 D 0 解答 解 函数 f x 的图象如图 满足 f x 1 f 2x 可得 2x 0 x 1 或 2x x 1 0 解得 x 0 故选 D 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 5 分 已知函数 f x log 2 x 2 a 若 f 3 1 则 a 7 解答 解 函数 f x log 2 x 2 a 若 f 3 1 第 11 页 共 19 页 可得 log 2 9 a 1 可得 a 7 故答案为 7 14 5 分 若 x y 满足约束条件 则 z 3x 2y 的最大值为 6 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如图 由 z 3x 2y 得 y x z 平移直线 y x z 由图象知当直线 y x z 经过点 A 2 0 时 直线的截距最大 此时 z 最大 最大值为 z 3 2 6 故答案为 6 15 5 分 直线 y x 1 与圆 x2 y2 2y 3 0 交于 A B 两点 则 AB 2 解答 解 圆 x2 y2 2y 3 0 的圆心 0 1 半径为 2 圆心到直线的距离为 所以 AB 2 2 故答案为 2 第 12 页 共 19 页 16 5 分 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 bsinC csinB 4asinBsinC b 2 c2 a2 8 则 ABC 的面积 为 解答 解 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c bsinC csinB 4asinBsinC 利用正弦定理可得 sinBsinC sinCsinB 4sinAsinBsinC 由于 sinBsinC 0 所以 sinA 则 A 由于 b2 c2 a2 8 则 当 A 时 解得 bc 所以 当 A 时 解得 bc 不合题意 舍去 故 故答案为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作 答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 已知数列 an 满足 a1 1 na n 1 2 n 1 a n 设 bn 1 求 b1 b 2 b 3 2 判断数列 b n 是否为等比数列 并说明理由 3 求 a n 的通项公式 解答 解 1 数列 a n 满足 a1 1 na n 1 2 n 1 a n 第 13 页 共 19 页 则 常数 由于 故 数列 b n 是以 b1 为首项 2 为公比的等比数列 整理得 所以 b 1 1 b 2 2 b 3 4 2 数列 b n 是为等比数列 由于 常数 3 由 1 得 根据 所以 18 12 分 如图 在平行四边形 ABCM 中 AB AC 3 ACM 90 以 AC 为折痕将 ACM 折起 使点 M 到达点 D 的位置 且 AB DA 1 证明 平面 ACD 平面 ABC 2 Q 为线段 AD 上一点 P 为线段 BC 上一点 且 BP DQ DA 求三棱锥 Q ABP 的体积 解答 解 1 证明 在平行四边形 ABCM 中 ACM 90 AB AC 第 14 页 共 19 页 又 AB DA 且 AD AB A AB 面 ADC AB 面 ABC 平面 ACD 平面 ABC 2 AB AC 3 ACM 90 AD AM 3 BP DQ DA 2 由 1 得 DC AB 又 DC CA DC 面 ABC 三棱锥 Q ABP 的体积 V 1 19 12 分 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据 单位 m 3 和使用了节水龙头 50 天的日用水量数 据 得到频数分布表如下 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 0 6 0 7 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 频数 1 5 13 10 16 5 1 作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图 第 15 页 共 19 页 2 估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 0 35m3 的概率 3 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水 一年按 365 天计算 同一组中的数据以这组数据所在区间 中点的值作代表 解答 解 1 根据使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图 如下图 第 16 页 共 19 页 2 根据频率分布直方图得 该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 0 35m3 的概率为 p 0 2 1 0 2 6 1 0 1 0 48 3 由题意得未使用水龙头 50 天的日均水量为 1 0 05 3 0 15 2 0 25 4 0 35 9 0 45 26 0 55 5 0 65 0 48 使用节水龙头 50 天的日均用水量为 1 0 05 5 0 15 13 0 25 10 0 35 16 0 45 5 0 55 0 35 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省 365 0 48 0 35 47 45m 3 20 12 分 设抛物线 C y 2 2x 点 A 2 0 B 2 0 过点 A 的直线 l 与 C 交于 M N 两点 1 当 l 与 x 轴垂直时 求直线 BM 的方程 2 证明 ABM ABN 解答 解 1 当 l 与 x 轴垂直时 x 2 代入抛物线解得 y 2 所以 M 2 2 或 M 2 2 直线 BM 的方程 y x 1 或 y x 1 2 证明 设直线 l 的方程为 l x ty 2 M x 1 y 1 N x 2 y 2 联立直线 l 与抛物线方程得 消 x 得 y2 2ty 4 0 即 y1 y2 2t y 1y2 4 则有 kBN kBM 0 所以直线 BN 与 BM 的倾斜角互补 ABM ABN 21 12 分 已知函数 f x aex lnx 1 1 设 x 2 是 f x 的极值点 求 a 并求 f x 的单调区间 2 证明 当 a 时 f x 0 第 17 页 共 19 页 解答 解 1 函数 f x ae x lnx 1 x 0 f x ae x x 2 是 f x 的极值点 f 2 ae 2 0 解得 a f x ex lnx 1 f x 当 0 x 2 时 f x 0 当 x 2 时 f x 0 f x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 证明 2 当 a 时 f x lnx 1 设 g x lnx 1 则 当 0 x 1 时 g x 0 当 x 1 时 g x 0 x 1 是 g x 的最小值点 故当 x 0 时 g x g 1 0 当 a 时 f x 0 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 4 4 坐 标系与参数方程 10 分 22 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 的方程为 y k x 2 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 1 求 C2 的直角坐标方程 2 若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点 求 C1 的方程 解答 解 1 曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 转换为直角坐标方程为 x 2 y2 2x 3 0 转换为标准式为 x 1 2 y2 4 2 由于曲线 C1 的方程为 y k x 2 则 该直线关于 y 轴对称 且恒过定点 0 2 由于该直线与曲线 C2 的极坐标有且仅有三个公共点 所以 必有一直线相切 一直线相交 第 18 页 共 19 页 则 圆心到直线 y kx 2 的距离等于半径 2 故 解得 k 或 0 0 舍去 故 C1 的方程为 选修 4 5 不等式选讲 10 分 23 已知 f x x 1 ax 1 1 当 a 1 时 求不等式 f x 1 的解集 2 若 x 0 1 时不等式 f x x 成立 求 a 的取值范围 解答 解 1 当 a 1 时 f x x 1 x 1 由 f x 1 或 解得 x 故不等式 f x 1 的解集为 2 当 x 0 1 时不等式 f x x 成立 x 1 ax 1 x 0 即 x 1 ax 1 x 0 即 ax 1 1 1 ax 1 1 0 ax 2 x 0 1 a 0 0 x 第 19 页 共 19 页 a 2 0 a 2 故 a 的取值范围为 0 2