《断裂力学教案》word版.doc

葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莁蚁螇肄莇蚀罿莀芃蚀肂膃薁虿螁莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇蒀螄肃羀莆螃螂芆节螂袅聿薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袈肃芁薃袇膆膃葿袆袅荿莅蒂羈膂芁蒂肀莇薀蒁螀膀蒆薀袂莆莂蕿羄膈芈薈膇羁蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁芅莄薅螁肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂 第一章 断裂力学的基本概念1.1 断裂力学的产生与发展【产生】传统安全设计思想： （n、n1）低应力破坏现象：二战时，美国建造2500只船，700只发生破坏，145只在非军事行为下断为两截，美国T2油轮断裂，甲板应力为70MPa，而甲板屈服强度300MPa。新的衡量材料断裂性能指标出现，标志着断裂力学的产生。【发展】最早产生于1920年，Griffith（格里菲斯）提出：=常数-裂纹扩展临界应力，a-裂纹半长度该理论的局限性：成功的解释了脆性材料开裂现象，但不能很好的解释金属材料。1949年，Orowan（奥罗文）提出修正的格里菲斯公式：=常数-塑性变形功，E-弹性模量该理论的局限性：难以测量，工程上难以应用。1957年，Irwin（伊尔文）提出应力强度因子K的概念，奠定了线弹性断裂力学的基础。【发展状况】线弹性断裂力学成熟，弹塑性断裂力学不成熟。【断裂力学与材料力学的不同点】材料力学研究完整的材料，断裂力学研究带裂纹的材料。1） 静荷载情况：材料力学用许用应力设计构件，断裂力学用断裂韧性设计构件。2） 循环荷载情况：材料力学用疲劳极限设计构件，断裂力学用疲劳寿命设计构件。1.2 裂纹的类型型裂纹（张开型裂纹）：拉应力垂直于裂纹扩展面。型裂纹（滑开型裂纹）：切应力平行于裂纹面且垂直于裂纹前沿线。 型裂纹（撕开型裂纹）：切应力平行于裂纹面，平行于裂纹前沿线。1.3 Griffith裂口理论理论假设：1） 脆性材料存在微裂纹，裂纹尖端应力集中大大降低了材料强度。2） 对应一定尺寸裂纹，有一临界应力值，当外加应力大小大于时，裂纹扩展导致断裂。3） 裂纹扩展条件是扩展所需要的表面能由系统释放的弹性应变能提供。无裂纹时 取相当大的板，上下端施加均布载荷，稳定后把两端固定，构成能量封闭体系。应变能： （1）有裂纹时 上述板上割开一穿透裂纹，裂纹表明无应力，应力被松弛，系统释放能量。应变能改变量（释放的能量）：（平面应力）或（平面应变） （2） 泊松比新增表面能： （3）单位面积表面能对平面应力问题，有裂纹情况下系统总能量： （4）显然U是a的函数。对（4）求导，令其为零，可求U的极值。 临界值 （5）由于 所以 当时，系统内能U达极大值。当a时，a，U，裂纹将失稳扩展。由（5）式可得： （平面应力） （6）对平面应变问题 （平面应变） （7）注：以上公式（6）、（7）仅适用于脆性断裂。对金属材料，Orowan 修正公式： （8）其中： 塑性变形功由于，所以略去： （9）1.4 复变函数基本知识复数 ，、为实数 ，复变数 ， 极坐标中，r- 复数的模。 或 互为共轭复数。*复变函数 为自变量 复变函数的导数 复变函数的积分 *解析函数若在区域D内每一点可导，称是域D内的解析函数。解析函数性质： 若是解析函数，则 拉普拉斯算子即解析函数的实部和虚部是调和函数。 解析函数存在下列关系解析函数的导数和积分仍为解析函数。一个解析函数必然是双调和函数，即 若，则。 其中：所以解析函数的实部和虚部也是双调和函数。第二章 线弹性断裂力学应力场强度因子断裂理论2.1 断裂力学平面问题的求解【基本方程】平面应力问题： （2-1）平面应变问题： （2-2）若体积力X,Y与坐标无关，则平面应力，平面应变问题归为： （2-3）由以上方程及边界条件求,，再由其他关系式求及。【求解方法】 构造Airy应力函数，该函数满足双调和方程： (即 ) （2-4）及边界条件。则应力分量为： （2-5）应变分量为： （2-6） 其中： ，（平面应力） （平面应变）2.2 应力函数1939年，提出应力函数： （具体形式的Airy应力函数）可证明： （2-7） （2-8） （2-9） （2-10） （2-11）该方法实质：只要找到满足边界条件的解析函数Z，即可求应力，应变，位移。2.3 双向拉伸的I型裂纹问题Irwin 用Westergaard应力函数求解I型裂纹问题。已知：无限大板内有长为2a中心穿透裂纹，板无限远处受双向张应力作用。求：应力场，位移场。解：边界条件描述为： 由式（2-7）， 当时，满足条件。以下求裂纹附近处的应力场和位移场：则 当时或时，分子中，分母中很小，可以忽略。所以 （2-12）由： ，（注：Z可由对z求导并略去小量求得。）代入（2-7）式，可得 （2-13） 表达式略 （2-14）注： 以上解为近似解，忽略了r的高次项。 当r0.02a近似解与精确解的误差小于1.5% 。2.4单向拉伸条件下型裂纹尖端应力场边界条件： y=0，|x|a时， 且时，越大。 y=0， 时，。采用修正的Westergaard应力函数求解。令函数（A为待定常数）可以证明： 当y=0时， （a）由边界条件 、，|x|a时，对于则应有 （与双向拉伸相同） （b）比较（a）、（b）则时，所以 由 ，当y=0时，将上式代入得： 由边界条件：当y=0，时，则应有：所以 。最后可知，能满足边界条件的复变函数为： 采用相同方法可求得： （2-15）2.5 应力场强度因子及裂纹断裂韧性1应力强度因子将I型裂纹尖端应力场公式（2-13）改写为： （2-16）其中，I型裂纹应力强度因子 或 （2-14）改写为： （2-17）综合各种情况I型裂纹，应力强度因子可表示为： （2-18） 几何形状因子注：控制着裂纹尖端的应力、应变、位移。（2-16），（2-17）式适用于所有纯I型裂纹的应力、位移表达。2断裂韧性I型裂纹及延长线上应力：将代入(2-16)式，得： ， （）为主应力，且是引起裂纹扩展的力。讨论：当增加时，增大； 当裂纹开始扩展时，达到临界值。定义：为断裂韧性； 为I型裂纹在平面应变条件下的断裂韧性； 为I型裂纹在平面应力条件下的断裂韧性。断裂判据： 或 （2-19） 注：与裂纹长度，外加应力有关，仅与材料有关；一般情况下常研究平面应变下的及断裂判据；对型，型裂纹，断裂判据为： ， 。2.6 I型裂纹尖端塑性区及的塑性修正裂纹尖端应力场表达式的局限性：趋于无穷大。解决思路：若塑性区尺寸很小，对进行修正。解决办法：采用或准则，确定塑性区大小及形状，对进行修正。1、I型裂纹尖端塑性区准则：在多向应力条件下，材料中最大切应力等于剪切强度时就发生屈服，即 或 （2-20）准则：当多向应力状态的形状改变能密度等于单向拉伸或压缩屈服时的形状改变能密度时，材料就发生屈服。即： （2-21）对平面问题，裂纹尖端附近主应力为： （平面应力） （平面应变） 将 表达式代入上式，可得： （2-22）准则确定的塑性区将（2-22）代入（2-21），可得：*对平面应力情况： （2-23）当由变化时，可得塑性区形状如图。当=时塑性区宽度为 (2-24)对于平面应变情况 (2-25) (2-26)准则确定的塑性区塑性区形状与准则略有不同，但塑性区的宽度一致。由于平面应变问题，裂纹尖端处处于三向应力状态，变形受更大限制，所以塑性区相对平面应力问题较小。2、I型裂纹塑性区宽度的修正裂纹延长线上（轴）应力为：裂纹前沿线上若发生塑性变形，由准则：对平面应力情况，即 对于平面应变情况，即定义有效屈服应力： （2-27）塑性区宽度实际上是时的值。若不考虑加工硬化（如理想弹塑性材料），应力松弛使得裂纹延长线上的应力由DBEF曲线代替ABC曲线。由两曲线与轴围成的面积相等，且假设BC和轴围成面积与EF和轴围成面积相等，可推出图中阴影部分的面积等于图中BEHG的面积。即可得 （2-28）3、的塑性修正引起应力松弛的方式 发生塑性变形产生裂纹或裂纹扩展有效裂纹长度当不考虑塑性变形时且裂纹尺寸由a增加到所引起的应力松弛，相当于裂纹长度为a而考虑塑性变形引起的应力松弛，则称为有效裂纹长度。的计算当不考虑塑性变形时，假设裂纹尖端有移到，A点处应力为(纯弹性)： 其中：为修正后的应力强度因子。由于A点处应力（考虑塑性变形）由，经推导可得 (2-29) (2-30) 结论：当比值较大时，需要对进行修正。如对平面应变情况: =0.60.7时对进行修正。当0.7时采取弹塑性断裂力学方法分析。2-7 型裂纹应力场及应力强度因子 边界条件： y=0, |x|a, y=0, |x|a, y=0, |x|,取函数 可推出 型裂纹应力强度因子或 第三章 线弹性断裂力学能量平衡断裂理论3-1 裂纹扩展的能量（释放）率从能量角度研究裂纹扩展，存在下列公式 （3-1） 裂纹扩展的阻力（裂纹扩展单位面积所需的能量）裂纹扩展单位面积所消耗的塑性变形功 裂纹扩展单位面积所需的表面能设G为裂纹扩展单位面积系统提供能量，则裂纹扩展条件为 GR （3-2）可称为裂纹扩展的能量(释放)率，或称裂纹扩展力。对型裂纹，断裂判据为：=2+ 称为断裂韧性。的物理意义若外力功增量为W，应变能变化量，由能量原理则 （3-3）若试样厚度为，裂纹长度为a，则 （3-4）的两种表达式1、恒负载条件下表达式 （3-5）其中，称为柔度，为裂纹长度a的函数。*当裂纹未扩展时,由图（a）:应变能*当裂纹在图（a）的基础上扩展时,由图（b）应变能*裂纹扩展前后,能量变化为外力功 应变能 (3-6)而， ，可得： (3-7)2、恒位移条件下表达式 由于外力功改变量, (3-8)由于可得 (3-9) 说明： 表达式为，恒负荷条件取正号，恒位移条件取负号。 恒负荷与恒位移条件下，G均可表达为 恒负荷条件下，随裂纹扩展系统应变能增加；恒位移条件下，随裂纹扩展系统应变能减小。表征了系统应变能对裂纹长度的变化率，常称为裂纹扩展的能量率。3-2 和的关系裂纹扩展判据：以恒位移条件为例：1） 裂纹扩展时释放出来的应变能在数值上应等于外力将裂纹闭合到原来状态所做的功。2） 使裂纹重新闭合的力应等到于使裂纹扩展的力。 *当裂纹尖端在处时，在轴上 ，=0，则*当裂纹扩展a时，裂纹尖端在处，方向位移：在裂纹面上, =则有：*闭合长度为a的裂纹，力缓慢加载时外力功为： B厚度*对于恒定位移条件，应变能的改变量为负值，由假设1）,则将，的表达式代入可得：，其中由恒定位移条件下的表达式可得： 则 说明：该公式适用于所有其他加载条件下的I型裂纹问题，但仅限于弹性断裂问题。该公式表明K判据和G判断等效。对、型裂纹G、K关系为：，3.3 的力学标定 思路:求关键求之值方法:确定不用裂纹长度的关系,求各不同裂纹长度试样的柔度。由， ，图中各斜线斜率的倒数为不同裂纹长度下试件的柔度。确定裂纹长度与柔度C的关系，求各裂纹长度下的。的标定设：W-试样宽度，B-试样厚度，由由标定曲线图,可求出不同裂纹长度时的,若临界应力和临界裂纹尺寸已知，可求出断裂韧性。 第四章 弹性断裂力学复合型裂纹的脆性断裂理论4-1 概述复合型裂纹：同时受到两种或两种以上类型裂纹应力作用的裂纹。复合型裂纹产生原因：载荷不对称裂纹方位不对称（倾斜）裂纹方位不对称（偏离）材料各向异性复合型裂纹需解决的两个问题：裂纹沿什么方向扩展?需确定开裂角裂纹在什么条件下扩展?需确定临界状态复合型裂纹脆性断裂理论：最大周向应力理论能量释放率理论应变能密度因子理论4-2 最大周向应力理论（准则）基本假设： 裂纹沿最大周向应力方向开始扩展； 裂纹的扩展是由于最大周向应力达到临界值而产生的。注：这里切应力正负号规定与材料力学相反。用极坐标表示裂纹尖端应力场为： （4-1） 对-型复合裂纹（、型裂纹叠加）： （4-2）r=r0的微小圆周上各点周向应力：的极值条件为即令：时得由于即无实际意义，所以开裂角由以下方程确定： （4-3）求出后，可得到： （4-4）断裂准则为： （4-5）为最大周向应力的临界值。的确定对型裂纹：、当时裂纹扩展，代入(4-4) (4-6)-型复合裂纹断裂准则将（4-4）、（4-6）代入（4-5），可得： （4-7） 与的关系对于纯型裂纹： 由（4-3）得 ，实验表明：对切应力为正号的型裂纹，为负值，即。当裂纹扩展时，由（4-7）式，代入得到 即 （4-8）例1 已知：一个受单向拉伸作用的无限大平板，板中含一个长度为2a穿透裂纹，裂纹与拉伸方向夹角为，材料断裂韧性为。求：裂纹开裂角和临界应力。注：离裂纹尖端较远处可认为应力不受裂纹影响。解：裂纹位置处“当地应力”为：即此问题为-复合型裂纹问题。将 代入开裂角的方程（4-3）得：由确定开裂角后代入（4-7），求得临界应力为：4-3 能量释放率理论（G准则）基本假设：裂纹沿能产生最大能量释放率的方向扩展；裂纹扩展是由于最大能量释放率达到临界值而产生的。以平面应变情况下-复合型裂纹为例：假设=方向产生一长度为的支裂纹，对-复合型裂纹，原裂纹沿本身平面扩展时的能量释放率为：=+=（+） （4-9）支裂纹沿本身平面扩展的能量释放率为：=+=（+） （4-10）其中：、为支裂纹应力强度因子。设局部坐标系中（，）处应力为，支裂纹尖端应力强度因子为：= （4-11） =当支裂纹尺寸0时，r，支裂纹尖端应力场趋于扩展开始前原裂纹尖端应力场 （4-12）此时支裂纹应力强度因子的起始值为：= = （4-13） =由（4-10）原裂纹沿（沿支裂纹）方向开始扩展时瞬间的能量释放率表示为：=（+） （4-14）若为开裂角，由假设，应满足=0 （*）代入、表达式，可得的确定方程，但很复杂，可采用如下方法：由（4-13）、（4-2）可得，在裂纹尖端处（）= 代入（*）式得=0 （a）而由（4-2）看出= （b）（b）代入(a) 可得 由=0得=0 即 tan= (c)将（c）、（4-13）代入（4-14），最后可得=比较=（+）=显然 所以（c）式给定的不能使达最大值，舍去。由 =0得=0 由该式可确定。同时由（b）式可知=0 ，这与最大周向应力理论相同，即在=方向上，达最大值，且=0。同时由（4-13）可知，=0，得： （见4-14式） （4-15）由假设，断裂准则为= （4-16） 为最大能量释放率临界值。【的确定】对型裂纹，当裂纹扩展时，= 代入（4-15）可得由（4-16）可得 （4-17）【断裂准则的表达式】将（4-17）、（4-15）代入（4-16）可得：= 即 = （4-18）注：对 -复合型裂纹准则与G准则相同，但对其他复合型裂纹，两者不同。4-4 应变能密度因子理论（S准则）基本假设：裂纹沿着应变能密度因子最小的方向扩展；裂纹的扩展是由于最小应变能密度因子达到材料相应的临界值而产生的。应变能密度：单位体积内的应变能（比能）。 对线弹性体 （4-19）在平面应变情况下，-复合型裂纹尖端应力场为： （4-20）将（4-20）带入（4-19）得到 （4-21）其中: a= a= a= a=注：对平面应力情况，用代替式中。若令S=a11k+2akk+ak+ak （4-22）则 =，S称为应变能密度因子。由于r0时，主应力分量无穷大，取裂纹尖端微小距离r=r0的圆上各点研究。由假设（1）（2），开裂角可由，确定。求得后代入（4-22），求的S。断裂准则为：S=S=S （4-23） S为应变能密度因子的临界值。S的确定对纯I型裂纹，K=0，K=0S=a11K=K裂纹扩展时，=0，K=K，S=S 代入上式得 S= （4-24）断裂准则表达式将（4-24）代入（4-23），得S=S= （4-25）K、K、K间的关系对纯II型裂纹，K=0，K=0S=aK(1-2)cos令，得，cos。S裂纹扩展时，K，S 对纯III型裂纹，K=0，=0S=a=当裂纹扩展时，S=K2C K (4-27)例2： 已知：薄壁容器，内径为D,壁厚t，钢材断裂韧性K，抗拉强度，容器壁上有一长度为2a=5mm的穿透裂缝，且与环向应力方向成。求：按平面应变问题确定容器临界内压力。 解：由材料力学知：环向应力 轴向应力 由材料力学公式: 这里，可求得裂纹位置处的“当地应力”为：这是I-II复合型裂纹问题。 K K将K，代入（4-22），得S=其中f根据， 可求得 将代入S表达式，并根据断裂准则S。即 而若不考虑裂纹影响，由第一强度理论（最大拉应力理论），当时压力达到临界值，即可得经典强度理论与断裂力学理论计算值相差275%。4.5工程中应用的复合型裂纹断裂准则1.复合型裂纹工程准则：即 2.复合型裂纹实验证实：复合型裂纹开裂角0 =0o，在此条件下，由S和G理论得到统一的断裂准则：由S理论，；由G理论；代入断裂准则，可做下图。由图可知，S准则偏安全，工程准则可采用下式：即 3复合型裂纹工程准则将代入，得总结：将上述几种准则写成统一形式：相当应力强度因子复合型裂纹：复合型裂纹：复合型裂纹：第五章：弹塑性断裂力学积分理论5-1 J积分定义 J积分定义：积分由Rice于1968年提出，是弹塑性断裂力学的一个重要参量。设有一单位厚度板，板中有一穿透裂纹。以I型裂纹为例，裂纹扩展力（能量释放率）：设为系统比能，则应变能： （板为单位厚度）设为边界上应力矢量，为位移矢量。则微元ds弧上外力功为：代入的表达式，可得（证明从略）：由裂纹下表面走向上表面的任一条路径。定义：张量表示： （5-1）其中：x、y用 u、v用 在x、y轴分量注 ：对任何弹塑性体积分总是存在的。5.2 J积分的守恒性设为围绕裂纹尖端的两个不同回路。-ABC -DEF可以证明=结论：积分数值与积分路径无关，积分具有守恒性。积分守恒条件：（1）对弹塑性体，加载需单调连续加载，不允许卸载；（2）弹塑性体符合小变形、小应变假设；（3）不考虑体积力。5.3 J积分判据【弹塑性型裂纹尖端应力、应变场】弹性裂纹： 与为与有关的方程。注：i=1，2，3；j=1,2,3. = , =, =, = ，= ，= ，同理。对弹塑性裂纹：其中：材料屈服强度n硬化指数，与材料有关系数，与硬化指数n及有关的方程。可见，弹塑性状态下，裂纹尖端应力、应变场由积分唯一确定，当裂纹开始扩展时，积分达到临界值。【J积分判据】对平面应变问题，弹塑性状态下断裂依据为：=为平面应变条件下积分临界值，也称为断裂韧性。【积分与其它断裂韧性参量间关系】在线弹性条件下：= 比能： 平面应变情况下，将型裂纹尖端应力表达式代入 可得：在如图半径为的路径上积分： ( ) 而将： 临界状态下： 结论：(1) 线弹性条件下，积分与间存在确定关系，积分判据与判断依据等效（包括平面应力、平面应变情况）。(2) 弹塑性状态下，已失效，而积分仍然存在。5.4 J积分的形变功率定义积分的形变功率定义是： 其中：积分回路C为试样的边界曲线；B为试样厚度；为试样边界上应力及位移的分量；U为试样应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明：在塑性力学全量理论中，J积分的形变功率定义与前面所讲的J积分定义完全等价。【应用举例】已知：一切口试样，厚度为B，上端边界为C2固定，下端边界荷载为P，其余边界自由，求：J积分具体表达式。由在自由边界上，；在固定边界上，；，上积分项为零。（边界，对上述积分项无贡献）在活动边界上，(BL为加载面面积) ，加载点位移，则 5.5 积分的物理意义（1）在线弹性条件下积分与能量释放率等效。（2）在非弹性条件下，取两个具有相同材料和外形，裂纹尺寸相差的试样进行如下试验：*恒位移条件下 （此时5-5中的P可理解为A、B两点的平均值）而 由（5-5）得：*恒载荷条件下由（5-5）总结：恒位移条件下表示两试样应变能的差异， ， 恒载荷情况下表示两试样余能的差异， ，J积分意义为：两个具有相同外形、裂纹尺寸相近（相差）的试样，在单调加载到相同位移或具有相同载荷时，其应变能或余能的差率（除以裂纹面积之差）。J积分存在的问题（1）J积分是二维概念，只能描述二维问题。（2）J积分不便于用于复合型裂纹问题。（3）J积分用于弹塑性体时不容许卸载。5.6 测试原理采用单试样法试样 三点弯曲试样原理及方法 由极限分析得则加载过程试样吸收应变能（形变功）为： 令则 （*）在恒位移条件下， 将（*）式代入，得当A为裂纹启裂点时，裂纹启裂临界状态可用电阻法、电位法、声发射法等方法确定。第六章 疲劳断裂6.1疲劳断裂现象疲劳断裂：构件在远低于材料的强度极限或断裂临界应力的变动应力长期作用下出现的断裂现象。疲劳断裂特征：（1） 疲劳断裂是循环载荷作下的低应力断裂。断裂前应力循环的次数与应力的大小有关。（2） 疲劳断裂常为脆性断裂，宏观上材料不发生明显的塑性变形。（3） 疲劳断裂时突发性断裂。（4） 材料表面质量对疲劳断裂有重要影响。循环应力：=（+）平均应力=- 应力幅r=/循环特征（应力比）循环应力类型：（1）对称交变应力（2）脉功循环应力 （3）波动应力（4）不对称交变应力（5）随机循环应力疲劳断裂类型：（1）高周疲劳（应力疲劳）：构件发生的总应变中，弹性应变占主要比例，循环应力值较小，断裂前总循环次数较多。（2）低周疲劳（应变疲劳）：构件发生的总应变中，塑性应变占主要比例，循环应力值较高，断裂前总循环次数较少。工程中一般把失效因数N10次的疲劳问题列为低周疲劳范围。6.2 高周疲劳与低周疲劳疲劳曲线：用旋转弯曲疲劳试验方法测得。疲劳曲线分两类：a类：低碳钢、低合金钢、少数铝合金。b类：大多数金属，如不锈钢、高强度钢等。a类曲线分、段。段：高循环应力段，曲线斜率不大，循环次数较低，疲劳行为近似于单向拉伸。段：循环应力值相对较低，曲线斜率较大，呈疲劳过程特点。段：低循环应力段，曲线呈水平，水平线对应的应力称疲劳极限，用表示（如对称循环应力记为）。b类曲线无水平阶段，以N为或次对应的应力为条件疲劳极限为。1、高周疲劳 a、b类曲线的、段为高周疲劳阶段，对于对称循环应力，-N曲线的第阶段，可利用basqin经验方程：=（2） （6-1）其中:表示称为疲劳强度系数,，为单向拉伸对材料断裂的真实应力。b为疲劳强度指数，介于-0.050.12之间。在线弹性条件下，（6-1）式可写成： （6-2）为弹性应变幅。2、低周疲劳 a、b类曲线的段为低周疲劳阶段。此段由于实验数据分散性较大，改用N曲线。对于对称循环应力，N曲线可用 CoffinManson方程表示： （6-3）其中：为塑性应变幅。为疲劳塑性系数，为材料单向拉伸断裂时的真实应变，c为疲劳塑性指数，介于0.70.5之间。3、总结将（6-2）、（6-3）改写为 （6-4） （6-5）将（6-2）、（6-3）合并得： （6-6）若弹性应变幅占主要地位，属高周疲劳（应力疲劳）；若塑性应变幅占主要地位，属低周疲劳（应变疲劳）；若两种应变幅相差不大，属混合疲劳。63 疲劳裂纹的扩展1、疲劳裂纹扩展分四个阶段（1） 裂纹成形阶段：出现微裂纹。（2） 微观裂纹扩展阶段：裂纹扩展由切应力控制，扩展方向开始与拉应力成角，然后逐渐过渡到与应力垂直方向，扩展速率较低，每循环扩展量级在mm量级。（3） 宏观裂纹扩展阶段：裂纹尺寸由0.05mm扩展到临界裂纹尺寸为止，每循环扩展量级在mm量级。（4） 失稳扩展阶段（断裂阶段）：裂纹扩展到临界尺寸后迅速扩展，直到断裂。微观、宏观裂纹扩展称为疲劳裂纹的亚临界扩展。2、微观裂纹扩展阶段模型（1）塑性钝化模型（2）位移模型3、宏观裂纹扩展阶段模型对塑性材料，采用G.C.Smith模型64 疲劳裂纹扩展速率疲劳裂纹扩展速率：每一次应力循环裂纹扩展的长度。用扩展速率表示方法： ()或1. 疲劳裂纹扩展的N-a曲线:分析：（1） 随裂纹长度的增加，裂纹扩展速率增大，当应力循环次数达到,裂纹长度达到临界尺寸，达到无限大，裂纹失稳扩展而断裂。（2） 与循环应力值大小有关。2. 疲劳裂纹扩展的门槛值及Paris公式对型裂纹：对于循环应力：通过N-a曲线，可确定与之间关系，进而做出关系曲线。曲线分、 三段。段：值段低， 值也较低。时，=0，裂纹不扩展。为裂纹扩展门槛值。实际测定时，常取平面应变条件下=所对应的为。注：对不同材料，若较高，表明该材料阻止裂纹扩展能力越强，抗疲劳性能越好。与疲劳极限均可用于构件无限寿命设计，但疲劳极限用于无裂纹光滑构件，用于含裂纹构件。段：疲劳裂纹扩展主要阶段，可采用Paris公式，即=c 或 （6-7）其中：c与n是材料常数，n=27。Donahue提出修正的Paris公式， 考虑了门槛值的影响。Walker提出修正的Paris公式，=c n=4，m=0.5 考虑了平均应力的影响。Forman提出公式，= 考虑了趋于时裂纹加速扩展效应。段：此时，接近，值较大，材料很快失稳断裂。6-5 恒幅应力循环疲劳裂纹扩展寿命的估算由Paris公式： 即 其中：为裂纹原始长度，为裂纹临界尺寸。,为几何形状因子。若为常数，上式积分可得：当时, 当时， 例：某压力容器上有一长度为的周向穿透裂纹，容器每次升压降压时，材料临界裂纹尺寸，由实验得到裂纹扩展速率表达式。求：容器剩余疲劳寿命与经过5000次循环后裂纹尺寸。解：容器壁板可看成带有中心穿透裂纹的无限大板，应力强度因子由Paris公式：剩余寿命 （次）设经5000次循环后裂半板长度为a，则： 此时裂纹长度为6.6 累积损伤理论与变幅循环疲劳寿命变幅应力循环：线性累积损伤：材料承受高于疲劳极限应力时，每一次循环都会使材料产生一定量的疲劳损伤，当损伤累积到临界值便会发生疲劳断裂。Miner定理：*假设试件在交变应力