梅涅劳斯定理及例题拓展.doc

梅涅劳斯定理及例题拓展梅涅劳斯介绍：在证明点共线时，有一个非常重要的定理，它就是梅涅劳斯定理，梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍。下面的定理就是他首先发现的。这个定理在几何学上有很重要的应用价值。定理：设D、E、F依次是三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足证明：（此定理需要分四种情况讨论，但有两种可以排除）先来说明两种不可能的情况情况一：当三点均在三角形边上时，由基本事实可知三点不可能共线（只能组成内接三角形的三角形。情况二：当一点在三角形一边上，另两点分别在三角形另两边的延长线上时，如图是三角形ABC直线DE交AB于点D，交AC于点F，交BC于点E，平移直线DE即可发现不能可两点同时在延长线上情况三：当两点分别在三角形两边上，另一点在三角形另一边的延长线上时，如图是三角形ABC直线DE交AB于点D，交AC于点F，交BC于点E，D、E、F三点共线可过C作CMDE交AB于M，于是所以情况四：三点分别在三角形三边的延长线上时，如图是三角形ABC直线DE交AB于点D，交AC于点F，交BC于点E，同情况三D、E、F三点共线可过C作CMDE交AB于M，于是所以设D、E、F依次是三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足拓展（1题）在任意三角形PQR中，A2,A4分别是PR,PQ延长线上的点，做射线A4A2,A6是射线A4A2上的一点，做射线A6Q，A1是射线A6Q上的一点，连结A1A2交射线PR于X，作射线A4A3交射线PQ于点A3，交射线A1A6于点Y，连结A1A3交射线PR于点A5，连结A6A5交射线PQ于点Z，求证X,Y,Z三点共线（该命题又为一六边形相间各顶点分别在两直线上求证：它的三对对边（所在直线）的交点共线）这个定理为帕波斯定理（2题）给定ABC内两点O,O,连结AO,AO交BC于点X,X,BO,BO交AC于Y,Y,CO,CO交AB于Z,Z.设YZ与YZ交于点P,ZX与ZX交于点Q,XY与XY交于点R.求证O,O,P,Q,R五点共线（3题）在任意三角形ABC中，E是直线AC上的一点，D是直线BC上的一点，F是直线DE上一点，G是直线AC上一点，作直线BG交直线DF于点Q，作直线CF交直线AB于点P，作直线GF交直线AB于点H作直线DH交直线AC于点R,求证P,Q,R三点共线（4题）一直线截ABC三边BC,CA,AB或延长线X,Y,Z。证明：这三点的等截点X,Y,Z共线。（在三角形任意一边所在直线上，设有两点与此边的中点等距，则称这两个点互为等截点）（5题）将一点与正三角形的顶点连线，(1)若依次连结三联结线中点求证是个正三角形(2)三联结线的中垂线分别与对边（所在直线）的交点共线