（河南专版）2019年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识 4 3等腰三角形与直角三角形 中考数学 河南专用 五年中考 A组2014 2018年河南中考题组 五年中考 1 2016河南 6 3分 如图 在 ABC中 ACB 90 AC 8 AB 10 DE垂直平分AC交AB于点E 则DE的长为 A 6B 5C 4D 3 答案D在 ABC中 ACB 90 DE垂直平分AC AD DC DE BC E为AB的中点 DE BC BC 6 DE BC 3 故选D 2 2018河南 15 3分 如图 MAN 90 点C在边AM上 AC 4 点B为边AN上一动点 连接BC A BC与 ABC关于BC所在直线对称 点D E分别为AC BC的中点 连接DE并延长交A B所在直线于点F 连接A E 当 A EF为直角三角形时 AB的长为 答案4或4 解析 1 当点A 在直线DE下方时 如图1 CA F 90 EA F CA F A EF为钝角三角形 不符合 2 当点A 在直线DE上方时 如图2 当 A FE 90 时 DE AB EDA 90 A B AC 由对称知四边形ABA C为正方形 AB AC 4 当点A 在直线DE上方时 如图3 当 A EF 90 时 A E AC 所以 A EC ACE A CE A C A E A E EC A CE为等边三角形 ACB A CB 60 在Rt ACB中 AB AC tan60 4 当点A 在直线DE上方时 EA F CA B 不可能为90 综上所述 当 A EF为直角三角形时 AB的长为4或4 图1 图2 图3 思路分析由题意知 点B为边AN上的动点 A点的对称点A 可以在直线DE的下方或上方 分类讨论 当点A 在DE的下方时 A EF不可能为直角三角形 当点A 在直线DE上方时 A EF或 A FE为90 时分别计算AB的长 显然 EA F 90 可以排除 方法总结解对称 折叠 型问题 当对称轴过定点时 一般要找出对称中的定长线段 以定点为圆心 定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法 再根据题目中所要求的条件 结合全等 相似或勾股定理等计算得出结果 3 2017河南 14 3分 如图1 点P从 ABC的顶点B出发 沿B C A匀速运动到点A 图2是点P运动时 线段BP的长度y随时间x变化的关系图象 其中M为曲线部分的最低点 则 ABC的面积是 答案12 解析观察题图可知BC BA 5 当BP AC时 BP 4 此时AP CP 3 所以AC 6 所以S ABC 6 4 12 4 2017河南 15 3分 如图 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 1 点M N分别是边BC AB上的动点 沿MN所在的直线折叠 B 使点B的对应点B 落在边AC上 若 MB C为直角三角形 则BM的长为 答案或1 解析在Rt ABC中 A 90 AB AC B C 45 1 当 MB C 90 时 B MC C 45 设BM x 则B M B C x 在Rt MB C中 由勾股定理得MC x x x 1 解得x 1 BM 1 2 如图 当 B MC 90 时 点B 与点A重合 此时BM B M BC 综上所述 BM的长为1或 5 2014河南 11 3分 如图 在 ABC中 按以下步骤作图 分别以点B C为圆心 以大于BC的长为半径作弧 两弧相交于M N两点 作直线MN交AB于点D 连接CD 若CD AC B 25 则 ACB的度数为 答案105 解析由题意知MN垂直平分BC CD BD 又CD AC AC CD BD DCB B 25 A CDA 50 ACB 180 A B 105 6 2014河南 22 10分 1 问题发现如图1 ACB和 DCE均为等边三角形 点A D E在同一直线上 连接BE 填空 AEB的度数为 线段AD BE之间的数量关系为 2 拓展探究如图2 ACB和 DCE均为等腰直角三角形 ACB DCE 90 点A D E在同一直线上 CM为 DCE中DE边上的高 连接BE 请判断 AEB的度数及线段CM AE BE之间的数量关系 并说明理由 图1图2 3 解决问题如图3 在正方形ABCD中 CD 若点P满足PD 1 且 BPD 90 请直接写出点A到BP的距离 图3 解析 1 60 AD BE 2分 2 AEB 90 AE 2CM BE 4分 注 若未给出本判断结果 但后续理由说明完全正确 不扣分 理由 ACB和 DCE均为等腰直角三角形 ACB DCE 90 AC BC CD CE ACB DCB DCE DCB ACD BCE ACD BCE 6分 AD BE BEC ADC 135 AEB BEC CED 135 45 90 7分 在等腰直角三角形DCE中 CM为斜边DE上的高 CM DM ME DE 2CM AE DE AD 2CM BE 8分 3 或 10分 提示 PD 1 BPD 90 BP是以点D为圆心 1为半径的 D的切线 点P为切点 第一种情况 如图 连接BD AP 过点A作AP的垂线 交BP于点P 可证 APD AP B PD P B 1 CD BD 2 BP 作AM PP 交PP 于点M AM PP PB BP 第二种情况 如图 由上同理可得AM PP PB BP 思路分析 1 根据等边三角形的性质判定 ACD BCE即可得结论 2 根据等腰直角三角形的性质 类比第 1 问判定 ACD BCE 从而得解 3 根据PD 1且 BPD 90 运用圆的切线的性质构造直角三角形解题即可 解题关键判定 ACD BCE 利用全等三角形的性质求 AEB的大小并表示相应线段间的数量关系是本题关键 考点一等腰三角形 B组2014 2018年全国中考题组 1 2018福建 5 4分 如图 等边三角形ABC中 AD BC 垂足为D 点E在线段AD上 EBC 45 则 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等边三角形ABC中 AD BC 垂足为点D 可得 ACB 60 且点D是BC的中点 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根据等边对等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 2 2018湖北黄冈 4 3分 如图 在 ABC中 直线DE是AC的垂直平分线 且分别交BC AC于点D和E B 60 C 25 则 BAD为 A 50 B 70 C 75 D 80 答案B因为直线DE是AC的垂直平分线 所以AD DC 所以 DAC C 25 所以 ADC 180 25 25 130 因为 ADC B BAD 所以 BAD ADC B 130 60 70 故选B 3 2017内蒙古包头 6 3分 若等腰三角形的周长为10cm 其中一边长为2cm 则该等腰三角形的底边长为 A 2cmB 4cmC 6cmD 8cm 答案A当腰长为2cm时 底边长为6cm 但是2 2 4 6 即两边之和小于第三边 不合题意 当底边长为2cm时 腰长为4cm 符合题意 故选A 4 2016湖北武汉 10 3分 平面直角坐标系中 已知A 2 2 B 4 0 若在坐标轴上取点C 使 ABC为等腰三角形 则满足条件的点C的个数是 A 5B 6C 7D 8 答案A如图 当AB AC时 以点A为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 点B除外 即O 0 0 C0 0 4 其中点C0与A B两点共线 不符合题意 当AB BC时 以点B为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 均符合题意 当AC BC时 作AB的垂直平分线 与坐标轴有两个交点 均符合题意 所以满足条件的点C有5个 故选A 5 2016湖南长沙 17 3分 如图 ABC中 AC 8 BC 5 AB的垂直平分线DE交AB于点D 交边AC于点E 则 BCE的周长为 答案13 解析 DE垂直平分AB AE BE BCE的周长为BE CE BC AE CE BC AC BC 8 5 13 评析本题考查了线段垂直平分线的性质定理 即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 6 2014内蒙古呼和浩特 13 3分 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 则该等腰三角形的底角的度数为 答案63 或27 解析在三角形ABC中 设AB AC BD AC于D 若三角形是锐角三角形 则 A 90 36 54 此时 底角 180 54 2 63 若三角形是钝角三角形 则 BAC 36 90 126 此时 底角 180 126 2 27 综上 该等腰三角形底角的度数是63 或27 评析本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理 属容易题 7 2017北京 19 5分 如图 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于点D 求证 AD BC 证明 AB AC A 36 ABC C 72 BD平分 ABC ABD 36 ABD A AD BD BDC A ABD 72 BDC C BD BC AD BC 8 2015重庆 25 12分 如图1 在 ABC中 ACB 90 BAC 60 点E是 BAC角平分线上一点 过点E作AE的垂线 过点A作AB的垂线 两垂线交于点D 连接DB 点F是BD的中点 DH AC 垂足为H 连接EF HF 1 如图1 若点H是AC的中点 AC 2 求AB BD的长 2 如图1 求证 HF EF 3 如图2 连接CF CE 猜想 CEF是不是等边三角形 若是 请证明 若不是 请说明理由 图1 图2 解析 1 点H是AC的中点 AC 2 AH AC 1分 ACB 90 BAC 60 ABC 30 AB 2AC 4 2分 DA AB DH AC DAB DHA 90 DAH 30 AD 2 3分 在Rt ADB中 DAB 90 BD2 AD2 AB2 BD 2 4分 2 证明 连接AF 如图 F是BD的中点 DAB 90 AF DF FDA FAD 5分 DE AE DEA 90 DHA 90 DAH 30 DH AD AE平分 BAC CAE BAC 30 DAE 60 ADE 30 AE AD AE DH 6分 FDA FAD HDA EAD 60 FDA HDA FAD EAD FDH FAE 7分 FDH FAE SAS FH FE 8分 3 CEF是等边三角形 9分 理由如下 取AB的中点G 连接FG CG 如图 F是BD的中点 FG DA FG DA FGA 180 DAG 90 又 AE AD AE FG 在Rt ABC中 ACB 90 点G为AB的中点 CG AG 又 CAB 60 GAC为等边三角形 10分 AC CG ACG AGC 60 FGC 30 FGC EAC FGC EAC SAS 11分 CF CE ACE GCF ECF ECG GCF ECG ACE ACG 60 CEF是等边三角形 12分 1 2018陕西 6 3分 如图 在 ABC中 AC 8 ABC 60 C 45 AD BC 垂足为D ABC的平分线交AD于点E 则AE的长为 A 2B 3C D 考点二直角三角形 答案D AC 8 C 45 AD BC AD ACsin45 4 过点E作EF AB于点F BE是 ABC的平分线 DE EF ABC 60 AD BC BAE 30 在Rt AEF中 EF AE 又 AD 4 DE EF AE AD 故选D 思路分析首先利用AC的长及 C的正弦求出AD的长 进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系 最后求出AE的长 2 2017陕西 6 3分 如图 将两个大小 形状完全相同的 ABC和 A B C 拼在一起 其中点A 与点A重合 点C 落在边AB上 连接B C 若 ACB AC B 90 AC BC 3 则B C的长为 A 3B 6C 3D 答案A由题意得 ABC与 A B C 全等且均为等腰直角三角形 AC BC 3 AB 3 AB 3 在 AB C中 易知 CAB 90 AB C是直角三角形 B C 3 3 2016安徽 10 4分 如图 Rt ABC中 AB BC AB 6 BC 4 P是 ABC内部的一个动点 且满足 PAB PBC 则线段CP长的最小值为 A B 2C D 答案B PAB PBC PBC ABP 90 PAB ABP 90 P 90 设AB的中点为O 则P在以AB为直径的圆上 当点O P C三点共线时 线段CP最短 OB AB 3 BC 4 OC 5 又OP AB 3 线段CP长的最小值为5 3 2 故选B 4 2015江西南昌 14 3分 如图 在 ABC中 AB BC 4 AO BO P是射线CO上的一个动点 AOC 60 则当 PAB为直角三角形时 AP的长为 答案2或2或2 解析由题意知 满足条件的点P有三个位置 如图 APB 90 因为OA OB 2 所以OP OA 2 又因为 AOC 60 所以 POA为等边三角形 所以AP 2 如图 APB 90 因为OA OB 2 所以OP OA OB 2 又 AOC BOP 60 所以 OBP为等边三角形 所以 OBP 60 所以 OAP 30 所以AP AB cos OAP 4 2 如图 ABP 90 因为 BOP AOC 60 所以BP OB tan60 2 在Rt ABP中 AP 2 综上所述 AP的长为2或2或2 评析本题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题 考查了含特殊角的直角三角形的边角关系 勾股定理等知识 本题易漏掉某种情况 属易错题 5 2018安徽 23 14分 如图1 Rt ABC中 ACB 90 点D为边AC上一点 DE AB于点E 点M为BD的中点 CM的延长线交AB于点F 1 求证 CM EM 2 若 BAC 50 求 EMF的大小 3 如图2 若 DAE CEM 点N为CM的中点 求证 AN EM 图1图2 解析 1 证明 由已知 在Rt BCD中 BCD 90 M为斜边BD的中点 CM BD 又DE AB 同理 EM BD CM EM 4分 2 由已知得 CBA 90 50 40 又由 1 知CM BM EM CME CMD DME 2 CBM EBM 2 CBA 2 40 80 EMF 180 CME 100 9分 3 证明 DAE CEM CME DEA 90 DE CM AE EM 又CM DM EM DM DE EM DEM是等边三角形 MEF DEF DEM 30 证法一 在Rt EMF中 EMF 90 MEF 30 又 NM CM EM AE FN FM NM EF AE AE EF AF 又 AFN EFM AFN EFM NAF MEF AN EM 14分 证法二 连接AM 则 EAM EMA MEF 15 AMC EMC EMA 75 又 CMD EMC EMD 30 且MC MD ACM 180 30 75 由 可知AC AM 又N为CM的中点 AN CM 又 EM CF AN EM 14分 思路分析 1 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 2 由直角三角形中两锐角互余求出 CBA 由等腰三角形的性质可得 MEB MBE MCB MBC 从而可得 CME DME CMD 2 CBM EBM 最后由补角性质求出 EMF 3 由 DAE CEM可推出 DEM为等边三角形 从而可得 MEF 30 下面证AN EM有两个思路 一是根据直角三角形30 角所对直角边等于斜边的一半可得 又点N是CM的中点 可推出 从而可证 AFN EFM 进一步即可证明AN EM 二是连接AM 计算可得 AMC ACM 而N是CM的中点 从而AN CM 进一步即可证明AN EM 6 2017北京 28 7分 在等腰直角 ABC中 ACB 90 P是线段BC上一动点 与点B C不重合 连接AP 延长BC至点Q 使得CQ CP 过点Q作QH AP于点H 延长交AB于点M 1 若 PAC 求 AMQ的大小 用含 的式子表示 2 用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系 并证明 解析 1 ACB是等腰直角三角形 CAB 45 PAB 45 QH AP AMQ 90 PAB 45 2 线段MB与PQ之间的数量关系为PQ MB 证明 连接AQ 过点M作MN BQ于点N 如图 则 MNB为等腰直角三角形 MB MN AC BQ CQ CP AP AQ QAC PAC QAM BAC QAC 45 QAC 45 PAC AMQ QA QM MQN APQ PAC APQ 90 MQN PAC MQN QAC Rt QAC Rt MQN QC MN PQ 2QC 2MN MB 解题关键解决本题第 2 问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形 从而找出边与边之间的数量关系 7 2016内蒙古呼和浩特 21 7分 已知 如图 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 ACB ECD 90 D为AB边上一点 1 求证 ACE BCD 2 求证 2CD2 AD2 DB2 证明 1 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 CD CE AC BC ECD ACB 90 ECD ACD ACB ACD 即 ECA DCB 1分 在 ACE与 BCD中 3分 ACE BCD 4分 2 ACE BCD AE BD 5分 EAC BAC 45 EAD 90 在Rt EAD中 ED2 AD2 AE2 ED2 AD2 BD2 6分 又ED2 EC2 CD2 2CD2 2CD2 AD2 DB2 7分 考点一等腰三角形 C组教师专用题组 1 2018河北 8 3分 已知 如图 点P在线段AB外 且PA PB 求证 点P在线段AB的垂直平分线上 在证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 A 作 APB的平分线PC交AB于点CB 过点P作PC AB于点C且AC BCC 取AB中点C 连接PCD 过点P作PC AB 垂足为C 答案B无论作 APB的平分线PC交AB于点C 还是取AB中点C 连接PC或过点P作PC AB 垂足为C 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论 选项A C D的作法正确 故选B 2 2017湖北武汉 10 3分 如图 在Rt ABC中 C 90 以 ABC的一边为边画等腰三角形 使得它的第三个顶点在 ABC的其他边上 则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 A 4B 5C 6D 7 答案D 如图1 以B为圆心 BC长为半径画弧 交AB于点D 则 BCD就是等腰三角形 如图2 以A为圆心 AC长为半径画弧 交AB于点E 则 ACE就是等腰三角形 如图3 以C为圆心 BC长为半径画弧 交AB于M 交AC于点F 则 BCM BCF是等腰三角形 如图4 作AC的垂直平分线交AB于点H 则 ACH就是等腰三角形 如图5 作AB的垂直平分线交AC于点G 则 AGB就是等腰三角形 如图6 作BC的垂直平分线交AB于I 则 BCI就是等腰三角形 故选D 3 2015广西南宁 7 3分 如图 在 ABC中 AB AD DC B 70 则 C的度数为 A 35 B 40 C 45 D 50 答案A AB AD ADB B 70 AD DC C DAC ADB是 ADC的外角 C ADB 35 故选A 4 2015福建龙岩 8 4分 如图 在边长为的等边三角形ABC中 过点C垂直于BC的直线交 ABC的平分线于点P 则点P到边AB所在直线的距离为 A B C D 1 答案D由题意可得 PBC 30 在Rt PBC中 PC BC tan30 1 因为BP是 ABC的平分线 所以点P到AB的距离等于点P到BC的距离 即为1 故选D 5 2015江苏苏州 7 3分 如图 在 ABC中 AB AC D为BC中点 BAD 35 则 C的度数为 A 35 B 45 C 55 D 60 答案C AB AC D为BC中点 CAD BAD 35 AD DC 在 ADC中 C 90 DAC 55 故选C 6 2015北京 16 3分 阅读下面材料 在数学课上 老师提出如下问题 尺规作图 作一条线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 小芸的作法如下 1 分别以点A和点B为圆心 大于AB的长为半径作弧 两弧相交于C D两点 2 作直线CD 所以直线CD就是所求作的垂直平分线 老师说 小芸的作法正确 请回答 小芸的作图依据是 答案到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 两点确定一条直线 解析由小芸的作法可知 AC BC AD BD 所以由 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 可知点C D在线段AB的垂直平分线上 再由 两点确定一条直线 可知直线CD就是所求作的垂直平分线 7 2014山西 16 3分 如图 在 ABC中 BAC 30 AB AC AD是BC边上的中线 ACE BAC CE交AB于点E 交AD于点F 若BC 2 则EF的长为 答案 1 解析在DF上取点G 使DG DC 连接CG AB AC AD为BC边上的中线 AD BC CAD BAD BAC 15 CDG为等腰直角三角形 DCG 45 ACE BAC ACE CAD AF CF ACE BAC 15 DCG 45 ACB 75 FCG 75 15 45 15 BAD FCG 又 AFE CFG AF CF AFE CFG ASA EF FG AB AC AD为BC边上的中线 CD BC 1 DCF 75 15 60 DF DC 又 DG DC 1 EF FG DF DG 1 8 2015广东广州 15 3分 如图 ABC中 DE是BC的垂直平分线 DE交AC于点E 连接BE 若BE 9 BC 12 则cosC 答案 解析因为DE是BC的垂直平分线 所以CE BE 9 CD BD 6 在Rt CDE中 cosC 9 2014江苏苏州 15 3分 如图 在 ABC中 AB AC 5 BC 8 若 BPC BAC 则tan BPC 答案 解析如图 过A作等腰 ABC底边BC上的高AD 垂足为D 则AD平分 BAC 且D为BC的中点 所以BD 4 根据勾股定理可求出AD 3 又因为 BPC BAC 所以 BPC BAD 所以tan BPC tan BAD 10 2017内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 等腰三角形ABC中 BD CE分别是两腰上的中线 1 求证 BD CE 2 设BD与CE相交于点O 点M N分别为线段BO和CO的中点 当 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时 判断四边形DEMN的形状 无需说明理由 解析 1 证明 AB AC是等腰 ABC的两腰 AB AC BD CE是中线 AD AC AE AB AD AE 又 A A ABD ACE BD CE 2 四边形DEMN为正方形 提示 由MN DE分别是 OBC ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形 由 1 知BD CE 故可证OE OD 从而四边形DEMN是矩形 再由 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形 11 2016安徽 23 14分 如图1 A B分别在射线OM ON上 且 MON为钝角 现以线段OA OB为斜边向 MON的外侧作等腰直角三角形 分别是 OAP OBQ 点C D E分别是OA OB AB的中点 1 求证 PCE EDQ 2 延长PC QD交于点R 如图2 若 MON 150 求证 ABR为等边三角形 如图3 若 ARB PEQ 求 MON的大小和的值 解析 1 证明 点C D E分别是OA OB AB的中点 DEOC CEOD 四边形ODEC为平行四边形 OCE ODE 又 OAP OBQ都是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ 又 PC AO CO ED CE OD OB DQ PCE EDQ 5分 2 证明 如图 连接OR PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线 AR OR BR ARC ORC ORD BRD 在四边形OCRD中 OCR ODR 90 MON 150 CRD 30 ARB ARO BRO 2 CRO 2 ORD 2 CRD 60 ABR为等边三角形 9分 如图 由 1 知EQ PE DEQ CPE 又 AO ED CED ACE PEQ CED CEP DEQ ACE CEP CPE ACE RCE ACR 90 即 PEQ为等腰直角三角形 由于 ARB PEQ 所以 ARB 90 于是在四边形OCRD中 OCR ODR 90 CRD ARB 45 MON 135 此时P O B在一条直线上 PAB为直角三角形且 APB为直角 所以AB 2PE 2 PQ PQ 则 14分 12 2015北京 20 5分 如图 在 ABC中 AB AC AD是BC边上的中线 BE AC于点E 求证 CBE BAD 证明 AB AC AD是BC边上的中线 AD BC BAD CAD BE AC BEC ADC 90 CBE 90 C CAD 90 C CBE CAD CBE BAD 13 2014浙江宁波 25 12分 课本的作业题中有这样一道题 把一张顶角为36 的等腰三角形纸片剪两刀 分成3张小纸片 使每张小纸片都是等腰三角形 你能办到吗 请画示意图说明剪法 我们有多种剪法 图1是其中的一种方法 定义 如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形 我们把这叫做这个三角形的三分线 1 请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45 的等腰三角形的三分线 并标注每个等腰三角形顶角的度数 若两种方法分得的三角形成3对全等三角形 则视为同一种 2 ABC中 B 30 AD和DE是 ABC的三分线 点D在BC边上 点E在AC边上 且AD BD DE CE 设 C x 试画出示意图 并求出x所有可能的值 3 如图3 ABC中 AC 2 BC 3 C 2 B 请画出 ABC的三分线 并求出三分线的长 解析 1 画图如下 任画其中两个即可 当AD AE时 2x x 30 30 x 20 当AD DE时 30 30 2x x 180 x 40 当AE DE时 不存在 不写不扣分 C的度数是20 或40 结论不写不扣分 3 如图 CD AE就是所求的三分线 设 B 那么 DCB DCA EAC 2 如图 ADE AED 2 设AE AD a BD CD y AEC BDC a y 2 3 又 ACD ABC 2 a a y 2 解得a y 即三分线长分别是和 评析本题考查了学生的理解能力及动手 创新能力 知识方面重点考查三角形内角 外角间的关系及等腰三角形知识 是一道综合性比较强的题目 1 2017内蒙古包头 12 3分 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为D AF平分 CAB 交CD于点E 交CB于点F 若AC 3 AB 5 则CE的长为 A B C D 考点二直角三角形 答案A过F作FG AB于点G AF平分 CAB ACB 90 FC FG 易证 ACF AGF AC AG 5 6 90 B 6 90 5 B 3 1 5 4 2 B 1 2 3 4 CE CF AC 3 AB 5 BC 4 在Rt BFG中 设CF x x 0 则FG x BF 4 x BG AB AG 5 3 2 由BF2 FG2 BG2 得 4 x 2 x2 22 解得x CE CF 选A 2 2015北京 6 3分 如图 公路AC BC互相垂直 公路AB的中点M与点C被湖隔开 若测得AM的长为1 2km 则M C两点间的距离为 A 0 5kmB 0 6kmC 0 9kmD 1 2km 答案D AC BC M是AB的中点 MC AB AM 1 2km 故选D 3 2018福建 13 4分 如图 Rt ABC中 ACB 90 AB 6 D是AB的中点 则CD 答案3 解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线 由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可得CD AB 3 4 2018天津 17 3分 如图 在边长为4的等边 ABC中 D E分别为AB BC的中点 EF AC于点F G为EF的中点 连接DG 则DG的长为 答案 解析连接DE 在等边 ABC中 D E分别是AB BC的中点 DE AC DE EC AC 2 DEB C 60 EF AC EFC 90 FEC 30 EF DEG 180 60 30 90 G是EF的中点 EG 在Rt DEG中 DG 思路分析连接DE 根据题意可得DE AC 又EF AC 可得到 FEC的度数 判断出 DEG是直角三角形 再根据勾股定理即可求解DG的长 疑难突破本题主要依据等边三角形的性质 勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长 DG与图中的线段无直接的关系 所以应根据条件连接DE 构造直角三角形 运用勾股定理求出DG的长 5 2018云南 6 3分 在 ABC中 AB AC 5 若BC边上的高等于3 则BC边的长为 答案1或9 解析分两种情况讨论 BC边上的高在 ABC内时 如图 过A作AD BC于点D 在Rt ABD中 AB AD 3 BD 5 在Rt ACD中 AC 5 AD 3 CD 4 BC BD CD 9 BC边上的高位于 ABC外时 如图 同 可求得BD 5 CD 4 BC 1 综上 BC的长为1或9 思路分析根据题意画图 要考虑全面 利用勾股定理解直角三角形即可 易错警示本题容易只考虑BC边上的高在 ABC内的情况而导致漏解 6 2017吉林 11 3分 如图 在矩形ABCD中 AB 5 AD 3 矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB C D 若点B的对应点B 落在边CD上 则B C的长为 答案1 解析由题意可知 AB AB 5 在Rt ADB 中 利用勾股定理可得DB 4 所以B C 1 思路分析在Rt AB D中 利用勾股定理求出B D的长 即可求出B C的长 7 2017山西 15 3分 一副三角板按如图方式摆放 得到 ABD和 BCD 其中 ADB BCD 90 A 60 CBD 45 E为AB的中点 过点E作EF CD于点F 若AD 4cm 则EF的长为cm 答案 解析如图 连接DE 过点E作EM BD于点M 设EF交BD于点N AD 4cm A 60 AB 8cm DB 4cm 点E为AB的中点 EM BD DE AB 4cm EM AD 2cm 由等腰直角三角形的性质可知 ENM FND 45 在Rt ENM中 EN EM 2cm MN EM 2cm DN DM MN DB MN 2 2 cm 在Rt DFN中 FN DN cm EF EN FN 2 cm 一题多解过点A作AG CD的延长线于点G CDB CBD 45 ADB 90 ADG 45 AG 2cm ABD 30 BD AD 4cm CBD 45 BC 2cm AG CG EF CG CB CG AG EF BC E是AB的中点 点F为CG的中点 EF AG BC 2 2 cm 8 2016宁夏 14 3分 如图 Rt AOB中 AOB 90 OA在x轴上 OB在y轴上 点A B的坐标分别为 0 0 1 把Rt AOB沿着AB对折得到 AO B 则点O 的坐标为 答案 解析如图 作O C OA 垂足为C 在Rt AOB中 OA OB 1 AOB 90 tan BAO BAO 30 由题意可得AO AO O AB OAB 30 O AO 60 在Rt O AC中 AC AO cos60 O C AO sin60 OC AO AC O 9 2016黑龙江哈尔滨 17 3分 在等腰直角三角形ABC中 ACB 90 AC 3 点P为边BC的三等分点 连接AP 则AP的长为 答案或 解析当CP 1时 根据勾股定理得AP 当CP 2时 根据勾股定理得AP 故AP的长为或 10 2015上海 18 4分 已知在 ABC中 AB AC 8 BAC 30 将 ABC绕点A旋转 使点B落在原 ABC的点C处 此时点C落在点D处 延长线段AD 交原 ABC的边BC的延长线于点E 那么线段DE的长等于 答案4 4 解析如图 作BF AE交AE于点F 在Rt ABF中 BAF 60 AB 8 可得AF 4 BF 4 所以DF AD AF 8 4 4 易证 BFE是等腰直角三角形 所以EF BF 4 所以DE EF DF 4 4 评析本题考查解含特殊角的直角三角形 画出图形 通过作出适当的辅助线 把一般的三角形化为直角三角形是关键 属于中等难度题 11 2014贵州贵阳 15 4分 如图 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC 16cm AD为BC边上的高 动点P从点A出发 沿A D方向以cm s的速度向点D运动 设 ABP的面积为S1 矩形PDFE的面积为S2 运动时间为t秒 0 t 8 则t 秒时 S1 2S2 答案6 解析由题意可知Rt ADC和Rt EFC都是等腰直角三角形 AD DC BD 8 因为AP t 所以DP EF FC 8 t DF t S1 AP BD t 8 8tcm2 S2 PD DF 8 t t 2t2 16t cm2 所以当S1 2S2时 有8t 4t2 32t 解得t 6 评析本题综合考查函数解析式 勾股定理 一元二次方程的解法等知识点 属中等难度题 12 2016广东 21 7分 如图 Rt ABC中 B 30 ACB 90 CD AB交AB于D 以CD为较短的直角边向 CDB的同侧作Rt DEC 满足 E 30 DCE 90 再用同样的方法作Rt FGC FCG 90 继续用同样的方法作Rt HIC HCI 90 若AC a 求CI的长 解析 Rt ABC中 B 30 ACB 90 A 60 1分 CD AB ADC 90 ACD 30 2分 AC a Rt ADC中 AD AC CD AD a 4分 同理可得 Rt DFC中 DF CD a CF DF a 5分 Rt FHC中 FH CF a CH FH a 6分 Rt CHI中 CI CH a 7分 评析本题考查直角三角形的基本性质与运算 13 2016北京 23 5分 如图 在四边形ABCD中 ABC 90 AC AD M N分别为AC CD的中点 连接BM MN BN 1 求证 BM MN 2 若 BAD 60 AC平分 BAD AC 2 求BN的长 解析 1 证明 在 ABC中 ABC 90 M为AC的中点 BM AC N为CD的中点 MN AD AC AD BM MN 2 BAD 60 AC平分 BAD BAC CAD 30 由BM AM 可得 BMC 2 BAC 60 由MN AD 可得 CMN CAD 30 BMN BMC CMN 90 AC AD 2 BM MN 1 在Rt BMN中 BN 14 2015福建龙岩 24 13分 如图 在Rt ABC中 ACB 90 AC 6 BC 8 点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动 到达B点即停止运动 M N分别是AD CD的中点 连接MN 设点D运动的时间为t 1 判断MN与AC的位置关系 2 求点D由点A向点B匀速运动的过程中 线段MN所扫过区域的面积 3 若 DMN是等腰三角形 求t的值 解析 1 在 ADC中 M是AD的中点 N是DC的中点 MN AC 3分 2 如图 分别取 ABC三边中点E F G 并连接EG FG 根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是 AFGE的面积 AC 6 BC 8 AE 3 GC 4 ACB 90 S AFGE AE GC 12 线段MN扫过区域的面积为12 7分 3 解法一 依题意可知 MD AD DN DC MN AC 3 i 当MD MN 3时 DMN为等腰三角形 此时AD AC 6 t 6 9分 ii 当MD DN时 AD DC 过D作DH AC交AC于H 则AH AC 3 cosA AD t 5 11分 iii 当DN MN 3时 AC DC 连接MC 则CM AD cosA 即 AM AD t 2AM 综上所述 当t 5或6或时 DMN为等腰三角形 13分 解法二 依题意可知 MD AD DN DC MN AC 3 i 当MD MN 3时 DMN为等腰三角形 此时AD AC 6 t 6 9分 ii 当MD DN时 AD DC DAC ACD ACB 90 BCD ACD 90 B BAC 90 B BCD BD CD AD 在Rt ABC中 AB 10 t AD AB 5 11分 iii 当DN MN 3时 AC DC 连接MC 则CM AB S ACB BC AC AB MC CM 在Rt AMC中 AM t AD 2AM 综上所述 当t 5或6或时 DMN为等腰三角形 13分 15 2014重庆 24 10分 如图 ABC中 BAC 90 AB AC AD BC 垂足是D AE平分 BAD 交BC于点E 在 ABC外有一点F 使FA AE FC BC 1 求证 BE CF 2 在AB上取一点M 使BM 2DE 连接MC 交AD于点N 连接ME 求证 ME BC DE DN 证明如图 1 BAC 90 AF AE 1 EAC 90 2 EAC 90 1 2 1分 又 AB AC B ACB 45 FC BC FCA 90 ACB 90 45 45 B FCA 2分 ABE ACF ASA 3分 BE CF 4分 2 过E作EG AB于点G B 45 GBE是等腰直角三角形 BG EG 3 45 5分 AD BC AE平分 BAD EG ED BG ED BM 2ED BM 2BG 即G是BM的中点 6分 直线EG是BM的垂直平分线 EB EM 4 3 45 MEB 4 3 45 45 90 即ME BC 7分 AD BC ME AD 5 6 1 5 1 6 AM EM MC MC Rt AMC Rt EMC HL 8分 7 8 BAC 90 AB AC ACB 45 BAD CAD 45 5 7 22 5 AD CD ADE CDN 90 ADE CDN ASA 9分 DE DN 10分 评析本题考查了全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形的判定与性质 角平分线的性质定理 构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键 16 2014浙江温州 22 8分 勾股定理神秘而美妙 它的证法多样 其巧妙各有不同 其中的 面积法 给了小聪以灵感 他惊喜地发现 当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时 都可以用 面积法 来证明 下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放 其中 DAB 90 求证 a2 b2 c2 图1证明 连接DB 过点D作BC边上的高DF 则DF EC b a S四边形ADCB S ACD S ABC b2 ab 又 S四边形ADCB S ADB S DCB c2 a b a b2 ab c2 a b a a2 b2 c2 请参照上述证法 利用图2完成下面的证明 图2将两个全等的直角三角形按图2所示摆放 其中 DAB 90 求证 a2 b2 c2 证明 连接 S五边形ACBED 又 S五边形ACBED a2 b2 c2 证明连接BD 过点B作DE边上的高BF 则BF b a S五边形ACBED S ACB S ABE S ADE ab b2 ab 又 S五边形ACBED S ACB S ABD S BDE ab c2 a b a ab b2 ab ab c2 a b a a2 b2 c2 评析本题主要考查勾股定理的证明 表示出五边形面积是解题关键 考点一等腰三角形1 2018郑州一模 13 已知三个边长分别为1 2 3的正三角形从左到右如图排列 则图中阴影部分面积为 三年模拟 A组2016 2018年模拟 基础题组 答案 解析如图 根据题意得 BG EC HBG FCE 60 在 ACE中 AB BC 1 2 3 AC EC 3 ACE 120 1 30 BG CE 1 2 30 BG AB 1 GHB EFC 90 S EFC S GHB 32 12 即S阴影 解题关键依据条件 判断出两个三角形 GHB和 EFC是含30 角的直角三角形 由等腰三角形的性质得出斜边GB的长 进而求得两个直角三角形的面积 2 2017濮阳一模 5 如图 已知 ABC AB BC 用尺规作图的方法在BC上取一点P 使得PA PC BC 则下列选项正确的是 答案D由作图知选项D中的点P在线段AB的垂直平分线上 所以PB PA BP PC BC PA PC BC 故选D 思路分析根据作图痕迹判断作出的点P的特点 判断是否符合PA PC BC 1 2018郑州一模 5 如图 已知 ABC AC BC 用尺规在BC边上确定一点P 使得PA PC BC 则下列四种不同的作图方法中正确的是 考点二直角三角形 答案D由题意知PA PB 根据作图方法可知 选项D的作图所表示的是点P在线段AB的垂直平分线上 即PA PB 故选D 2 2017焦作一模 8 如图 在 ABC中 ABC 90 A 30 BC 4 若DE是 ABC的中位线 延长DE交 ACM的平分线于点F 则DF的长为 A 6B 7C 8D 9 答案A在Rt ABC中 A 30 BC 4 AC 2BC 8 DE是 ABC的中位线 DE BC 2 EC 4 DF BM EFC FCM CF平分 ACM ECF FCM ECF EFC EF EC 4 DF DE EF 6 故选A 3 2018安阳二模 12 如图 BD是矩形ABCD的一条对角线 点E F分别是BD DC的中点 若AB 4 BC 3 则AE EF的长为 答案4 解析在矩形ABCD中 C DAB 90 点E F分别是BD DC的中点 EF BC AE BD 且BD 5 AE AE EF 4 4 2017平顶山一模 15 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点 分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形 剩下的部分是如图所示的四边形 AB CD CD BC于C 且边AB BC CD的长分别为2 4 3 则原直角三角形纸片的斜边长是 解析根据题意得点B或点C可以为直角三角形的顶点 当点B为直角三角形的顶点时 如图1 在Rt BCD中 BD 5 D为斜边EF的中点 EF 2DB 10 当点C为直角三角形的顶点时 如图2 在Rt ABC中 AC 2 A为斜边EF的中点 EF 2AC 4 综上所述 原直角三角形纸片的斜边长是4或10 答案10或4 5 2016郑州一模 15 如图 Rt ABC中 ACB 90 AC 3 BC 4 将边AC沿直线CE翻折 使点A落在AB边上的点D处 再将边BC沿直线CF翻折 使点B落在CD边的延长线上的点B 处 两条折痕与斜边AB分别交于点E F 线段B F的长为 答案 解析在Rt ABC中 AC 3 BC 4 由勾股定理 得AB 5 由图形的翻折性质 得 A 1 2 3 90 CD AC 3 B B CB CB 4 1 A 2 ACB 90 CED BCA ED 在Rt CDE中 CE 1 4 1 A A 4 A B 90 A B 90 4 B 90 即 B FD 90 B FD 2 90 1 4 CED B FD B D 4 3 1 B F 6 2018许昌一模 22 1 观察猜想如图 点B A C在同一条直线上 DB BC EC BC且 DAE 90 AD AE 则BC BD CE之间的数量关系为 2 问题解决如图 在Rt ABC中 ABC 90 CB 4 AB 2 以AC为直角边向外作等腰Rt DAC 连接BD 求BD的长 3 拓展延伸如图 在四边形ABCD中 ABC ADC 90 CB 4 AB 2 DC DA 请写出BD的长 解析 1 BC BD CE 2 如图1 过D作DE AB 交BA的延长线于E ABC 90 DAC 90 BCA CAB CAB DAE 90 BCA EAD CBA EAD 90 AD AC ABC DEA DE AB 2 AE BC 4 BE 6 在Rt BDE中 由勾股定理得 BD 2 3 如图2 过D作DE BC于E 作DF AB于F 同理得 CED AFD CE AF ED DF 设AF x DF y 则解得 BF 2 1 3 DF 3 在Rt BDF中 由勾股定理得 BD 3 7 2016开封一模 22 在 ABC中 ACB为锐角 点D为射线BC上一动点 连接AD 将线段AD绕点A逆时针旋转90 得到AE 连接EC 问题发现 1 如果AB AC BAC 90 当点D在线段BC上时 不与点B重合 如图1 请你判断线段CE与BD之间的关系和关系 直接写出结论 拓展探究 2 如果AB AC BAC 90 当点D在线段BC的延长线上时 如图2 请判断 1 中的结论是否仍然成立 如成立 请证明你的结论 问题解决 3 如图3 AB AC BAC 90 若点D在线段BC上运动 试探究 当锐角 ACB等于度时 线段CE和BD之间的位置关系仍然成立 点C E重合除外 此时若作DF AD交线段CE于点F AC 3 线段CF长的最大值是 解析 1 CE BD CE BD 2分 2 成立 理由如下 AE是由AD旋转得到的 AE AD BAC 90 EAD 90 BAD CAE 又 AB AC BAD CAE SAS CE BD ACE B B ACB 90 ACE ACB 90 BCE 90 BD CE 6分 3 45 10分 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 45分钟分值 55分 一 选择题 每题3分 共6分 1 2017平顶山一模 9 如图 一张长方形纸片的长AD 4 宽AB 1 点E在边AD上 点F在边BC上 将四边形ABFE沿直线EF翻折后 点B落在边AD的中点G处 则EG等于 A B 2C D 答案C根据题意得 A E AE A G AB 1 A A 90 设EG x 则A E AE 2 x 在Rt A EG中 A G2 A E2 EG2 即12 2 x 2 x2 解得x 即EG 故选C 思路分析设EG x 表示出A E的长 在Rt A EG中运用勾股定理求解 2 2017开封一模 8 如图 已知在Rt ABC中 ABC 90 点D是BC边的中点 分别以B C为圆心 大于BC长为半径画弧 两弧在直线BC的上方交于点P 直线PD交AC于点E 连接BE 则下列结论 ED BC A EBA EB平分 AED ED AB 其中正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 答案C由题意可得PD垂直平分BC ED BC正确 ABC 90 PD AB 又D为BC的中点 E为AC的中点 EC EA 易知EB EC EA EB A EBA正确 易知EB平分 AED错误 ED AB正确 所以正确的个数为3 故选C 思路分析由作图方法知PD垂直平分BC 根据垂直平分线的性质和直角三角形的性质判断正误 3 2018安阳二模 15 如图 等腰 ABC中 AB AC 5 BC 8 点F是边BC上不与点B C重合的一个动点 直线DE垂直平分BF 垂足为D 当 ACF是直角三角形时 BD的长为 二 填空题 每小题3分 共15分 答案2或 解析由题意知 ACF 90 当 AFC 90 时 在等腰三角形ABC中 AB AC 5 BF BC 4 DE垂直平分BF BD BF 2 当 FAC 90 时 如图 作AG BC于点G 在Rt ACG中 AG 3 设FG x 在Rt AFG中 AF2 32 x2 在Rt ACF中 AF2 4 x 2 52 9 x2 4 x 2 25 解得x BF BC FC BD BF 综上所述 当 ACF是直角三角形时 BD的长为2或 思路分析 ACF为直角三角形 分两种情况讨论 当 AFC 90 时 依据等腰三角形的性质 易求BF BD的长 当 FAC 90 时 设FG x 在Rt AFG和Rt AFC中 根据勾股定理列方程求解 进而求得BF BD的长 4 2018濮阳一模 15 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 3 BC 4 点D E为AC BC上两个动点 若将 C沿DE折叠 点C的对应点C 恰好落在AB上 且 ADC