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抽象函数问题的求解策略北京清华附中数学特级教师尹粉玉 函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。例：设y=蕊(x)是定义在区间1，1上的函数，且满足条件：（i）f(1)f(1)0；（ii）对任意的u,v1，1,都有f(u)-f(v)u-v。（）证明：对任意的x1，1,都有x-1f(x)1-x；（）证明：对任意的u,v1，1，都有f(u)-f(v)1。解题：（）证明：由题设条件可知，当x1，1时，有f(x)=f(x)-f(1)x-1=1-x,即x-1f(x)1-x.（）证明：对任意的u,v1，1,当u-v1时，有f(u)-f(v)1当u-v1，uv0,不妨设u0且v-u1,其中v(0，1,u1，0)要想使已知条件起到作用，须在1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(1)f(1)0知，这个点可选1。同理，须在(0，1上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，f(u)-f(v)f(u)-f(1)f(v)-f(1)u+1+v-1=1+u+1-v=2-(v-u)1综上可知，对任意的u,v1，1都有f(u)-f(v)1.点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同。如本题未给出函数y=f(x)的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f(1)=f(1)=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。在（1）的证明中，利用f(1)=0,把f(x)改写成f(x)f(x)f(1)；在（2）的证明中，利用f(1)f(1)0，把f(u)-f(v)改写成f(u)-f(v)f(u)-f(1)f(v)-f(1)，这些变形起了重要的作用，因为是这些变化创造了使用条件的机会，也创造了解决问题的捷径。另外，有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的，因此根据题意，将一般问题特殊化，选取适当的特值（如令x=1，y0等），这是解决有关抽象函数问题的非常重要的策略之一。总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。编辑本段抽象函数解题方法 一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。 山武补充： 1抽象函数常常与周期函数结合，如： f(x)=-f(x+2) f(x)=f(x+4) 2解抽象函数题，通常要用赋值法，而且高考数学中，常常要先求F（0） F（1） 抽象函数的经典题目！ 我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法谈一点粗浅的看法。 一特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。 例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，当x0，则函数f (x)在a,b上 ( ) A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( ) 分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k0)， , , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有 特殊函数 抽象函数 f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= f (x+y)= f (x) f (y) f (x)= f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k0) 当x 0即kx 0。.k 0，可得f (x)在a,b上单调递减，从而在a,b上有最小值f(b)。 二赋值法根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。 例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法 解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，yR)得f (0) = f (x) +f (-x)., 再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入式得f (-x)= -f(x)。 得 f (x)是一个奇函数，再令 ，且 。 x 0，而 ，则得 ， 即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在a,b上有最小值f(b)。 例3 已知函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数 ， ，恒有f( )=f( )+f( ), 试判断f(x)的奇偶性。 解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求f (-1)的值，令 =1， =-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 三利用函数的图象性质来解题： 抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。 抽象函数解题时常要用到以下结论： 定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x= 对称。 定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。 例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。 由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。 证明：f (x) = f (-x) = f 2-(-x) = f (2 + x)， T=2。 f (x)是一个周期函数。 例5 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)f (m),求实数m的取值范围 分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解：f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得 ，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m 。抽象函数问题的题型综述 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R上的函数 满足： 且 ，求 的值。 解：由 ， 以 代入，有 ， 为奇函数且有 又由 故 是周期为8的周期函数， 例2 已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时， ，求 在 上的值域。 解：设 且 ， 则 ， 由条件当 时， 又 为增函数， 令 ，则 又令 得 ， 故 为奇函数， ， 上的值域为 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 ，试确定 的取值范围。 解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在 上是减函数， 由 得 。 （1）当 时， ，不等式不成立。 （2）当 时， （3）当 时， 综上所述，所求 的取值范围是 。 例4 已知 是定义在 上的减函数，若 对 恒成立，求实数 的取值范围。 解： 对 恒成立 对 恒成立 对 恒成立， 三. 解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，转化为代数不等式求解。 例5 已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。 解：设 且 则 ， 即 ， 故 为增函数， 又 因此不等式 的解集为 。四. 证明某些问题 例6 设 定义在R上且对任意的 有 ，求证： 是周期函数，并找出它的一个周期。 分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出 （T为非零常数）则 为周期函数，且周期为T。 证明： 得 由（3）得 由（3）和（4）得 。 上式对任意 都成立，因此 是周期函数，且周期为6。 例7 已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。 证明： 对一切 有 。 且 ，令 ，得 ， 现设 ，则 ， ， 而 ， 设 且 ， 则 ， 即 为减函数。五. 综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。 例8 设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。 （1）证明 ； （2）证明： 在R上是增函数； （3）设 ， ，若 ，求 满足的条件。 解：（1）令 得 ， 或 。 若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾， 。 （2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由 （3）由 得 由 得 （2） 从（1）、（2）中消去 得 ，因为 ， 即 例9 定义在（ ）上的函数 满足（1），对任意 都有 ， （2）当 时，有 ， （1）试判断 的奇偶性；（2）判断 的单调性； （3）求证 。 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。 解：（1）对条件中的 ，令 ，再令 可得 ，所以 是奇函数。 （2）设 ，则 ， ，由条件（2）知 ，从而有 ，即 ，故 上单调递减，由奇函数性质可知， 在（0，1）上仍是单调减函数。 （3） 抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是_。 分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得 或 。 例2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是_。 分析：因为 及 均相当于 中的x，所以 (1)当 时，则 (2)当 时，则 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。 例3. 已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求证： 是偶函数。 分析：在 中，令 ， 得 令 ，得 于是 故 是偶函数。 例4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数 是偶函数。 证明：设 图象上任意一点为P（ ） 与 的图象关于原点对称， 关于原点的对称点 在 的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。图1 例6. 已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下： 任取 因为 在 上是减函数，所以 。 又 是偶函数，所以 ， 从而 ，故 在 上是增函数。图2 4. 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 例7. 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有 ，并存在正实数c，使 。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。 故 是周期函数，2c是它的一个周期。 5. 求函数值 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 例8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数x，y都成立，若 ，则 _。 分析：在条件 中，令 ，得 ， 又令 ， 得 ， 例9. 已知 是定义在R上的函数，且满足： ， ，求 的值。 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是 ， 所以 故 是以8为周期的周期函数，从而 6. 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。 例10. 已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_。 分析： 且 ， 又 时， 是增函数， 是偶函数， 故 7. 讨论方程根的问题 例11. 已知函数 对一切实数x都满足 ，并且 有三个实根，则这三个实根之和是_。 分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。 又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。 8. 讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。 例12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有 9. 研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。 例13. 若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_对称。 分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，对称轴是 ，故 的对称轴是 。 例14. 若函数 的图象过点（0，1），则 的反函数的图象必过定点_。 分析： 的图象过点（0，1），从而 的图象过点 ，由原函数与其反函数图象间的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。 10. 求解析式 例15. 设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函数 A. B. C. D. 分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间的关系。 点 关于直线 的对称点 适合 ，即 。 又 ， 即 ，选B。抽象函数的周期问题由一道高考题引出的几点思考 2001年高考数学（文科）第22题：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称。对任意 都有 。 （I）设 求 ； （II）证明 是周期函数。 解析：（I）解略。 （II）证明：依题设 关于直线 对称 故 又由 是偶函数知 将上式中 以 代换，得 这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期 是偶函数的实质是 的图象关于直线 对称 又 的图象关于 对称，可得 是周期函数 且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到 思考一：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函数，且 是它的一个周期。 证明： 关于直线 对称 又由 是偶函数知 将上式中 以 代换，得 是 上的周期函数 且 是它的一个周期 思考二：设 是定义在 上的函数，其图象关于直线 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。 证明： 关于直线 对称 将上式的 以 代换得 是 上的周期函数 且 是它的一个周期 若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”， 还是不是周期函数？经过探索，我们得到 思考三：设 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且4是它的一个周期。， 证明： 关于 对称 又由 是奇函数知 将上式的 以 代换，得 是 上的周期函数 且4是它的一个周期 是奇函数的实质是 的图象关于原点（0，0）中心对称，又 的图象关于直线 对称，可得 是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到 思考四：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 中心对称，且其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。 证明： 关于点 对称 关于直线 对称 将上式中的 以 代换，得 是 上的周期函数 且 是它的一个周期 由上我们发现，定义在 上的函数 ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则 是 上的周期函数。进一步我们想到，定义在 上的函数 ，其图象如果有两个对称中心，那么 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到 思考五：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。 证明： 关于 对称 将上式中的 以 代换，得 是周期函数 且 是它的一个周期