苏科版八级上勾股定理的简单应用同步练习含答案.doc

3.3 勾股定理的简单应用一选择题（共10小题）1一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（）A米 B2米 C10米 D米 第1题 第2题 第3题2如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A60海里 B45海里 C20海里 D30海里3如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（）A小于1m B大于1m C等于1m D小于或等于1m4如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A25海里 B30海里C40海里 D50海里 第4题 第5题5如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米）A2 B4 C5 D66如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）米A5 B7 C8 D127如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A5a12B12a3C12a4D12a138小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（）A1m B2m C3m D m9如图所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A4米 B3米 C5米 D7米10如图，在ABC中，已知C=90，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c是在ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c的个数是（）A6B7C8D9二填空题（共10小题）11如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高CD为_米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）12如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线BC为m，则鱼竿转过的角度是_13九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载（译文）：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这颗树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门_步而见木14如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过_米15如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍_放入（填“能”或“不能”）16如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了_米17在一个广场上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_米18已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_19如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了_cm20你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需_m长三解答题（共9小题）212016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：sin42.40.67，cos42.40.74，tan42.40.905，sin45.50.71，cos45.50.70，tan45.51.02 ）22（2016陕西校级模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO=60，BPO=45，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据： =1.41， =1.73）23如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30夹角，长为20km，BC段与AB、CD段都垂直长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）24（2016春虞城县校级期末）如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出ACB=90，AB=5km，BC=4km，若每天凿隧道0.2km，问几天才能把隧道AC凿通？25（2016春阿荣旗期末）某单位有一块四边形的空地，B=90，量得各边的长度如图（单位：米）现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？26（2016春平武县期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向27卷烟厂生产的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟，打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到0.1cm，取1.73）28阅读：如图1，在直角ABC中，C=90，AC，BC为直角边，AB为斜边，设BC=a，AC=b，AB=c，则a2+b2=c2例如，AC=8，BC=6，则可得AB=10根据阅读材料，完成题目：如图2有一块直角三角形的绿地，量得两条直角边长分别为6cm，8cm现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长29一、阅读理解：在ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若C为直角，则a2+b2=c2；（2）若C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2c2证明：如图过A作ADBC于D，则BD=BCCD=aCD在ABD中：AD2=AB2BD2在ACD中：AD2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（aCD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20，所以：a2+b2c2（3）若C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系二、探究问题：在ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围参考答案与解析一选择题（共10小题）1一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（）A米B2米C10米D米【分析】可设AB=x，则BC=2x，进而在ABC中，利用勾股定理求解x的值即可【解答】解：由题意可得，AC2=BC2AB2，即（2x）2x2=52，解得x=，所以旗杆原来的高度为3x=5，故选D【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形2如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A60海里B45海里C20海里D30海里【分析】根据题意得出：B=30，AP=30海里，APB=90，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案【解答】解：由题意可得：B=30，AP=30海里，APB=90，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=30（海里）故选：D【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键3如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（）A小于1mB大于1mC等于1mD小于或等于1m【分析】由题意可知OA=2，OB=7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=AB，又由题意可知OA=3，利用勾股定理分别求OB长，把其相减得解【解答】解：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7由勾股定理得：AB=，由题意可知AB=AB=，又OA=3，根据勾股定理得：OB=，BB=71故选A【点评】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式4如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A25海里B30海里C40海里D50海里【分析】首先根据路程=速度时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC长即可【解答】解：连接BC，由题意得：AC=162=32（海里），AB=122=24（海里），CB=40（海里），故选：C【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用5如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米）A2B4C5D6【分析】根据勾股定理，可得答案【解答】解：由勾股定理，得路=5，少走（3+45）2=4步，故选：B【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键6如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）米A5B7C8D12【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=4，地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4=7米故选B【点评】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键7如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A5a12B12a3C12a4D12a13【分析】最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最大，用勾股定理即可解答【解答】解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，由题意知：牛奶盒底面对角长为=5，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为=13，即吸管在盒内部分a的长度范围是12a13，故选D【点评】本题考查了勾股定理的应用以及学生的空间想象力，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识8小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（）A1mB2mC3mD m【分析】由图可看出，三角形OAB为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求另两边【解答】解：在RtABO中，OAB=90，ABO=60，AB=1m，则OA=m故选D【点评】本题是勾股定理的应用，主要考查了在直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，比较简单9如图所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A4米B3米C5米D7米【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理解答【解答】解：由题意可知BE=CD=1.5m，AE=ABBE=4.51.5=3m，AC=5m由勾股定理得CE=4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键10如图，在ABC中，已知C=90，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c是在ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c的个数是（）A6B7C8D9【分析】根据勾股定理可以求出每阶台阶的宽，依据BC的长，即可解答【解答】解：如图，易证BDEEFGGKHHLM，可得BD=EF=GK=HL=BCDC=72=8cm根据此规律，共有8081=9个这样的矩形故选D【点评】本题将勾股定理和规律的探索与实际问题相结合，有一定的难度，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键二填空题（共10小题）11如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高CD为2.9米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入数可得答案【解答】解：由题意可得：AM=4米，MAD=45，DM=4m，AM=4米，AB=8米，MB=12米，MBC=30，BC=2MC，MC2+MB2=（2MC）2，MC2+122=（2MC）2，MC=4，则DC=442.9（米），故答案为：2.9【点评】此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方12如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线BC为m，则鱼竿转过的角度是15【分析】因为三角形ABC和三角形ABC均为直角三角形，且BC、BC都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出CAB，CAB，然后可以求出CAC，即求出了鱼竿转过的角度【解答】解：sinCAB=，CAB=45sinCAB=，CAB=60CAC=6045=15，即鱼竿转过的角度是15故答案为：15【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键13九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载（译文）：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这颗树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门315步而见木【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，DECD，ACCD，ACDE，ACBDEC，=，即=，解得，DE=1.05里=315步，走出南门315步恰好能望见这棵树，故答案为：315【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键14如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过4米【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形连接PO，与BC交于点G，利用CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米【解答】解：设平板手推车的长度不能超过x米则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形连接PO，与BC交于点N直角走廊的宽为2m，PO=4m，GP=POOG=42=2（m）又CBP为等腰直角三角形，AD=BC=2CG=2GP=4（m）故答案为：4【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形知识，解答的关键是由题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形15如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍能放入（填“能”或“不能”）【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为49005000，所以能放进去故答案是：能【点评】本题考查了勾股定理的应用解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度16如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了0.5米【分析】由题意知，AB=DE=2.5米，CB=1.5米，BD=0.5米，则在直角ABC中，根据AB，BC可以求AC，在直角CDE中，根据CD，DE可以求CE，则AE=ACCE即为题目要求的距离【解答】解：在直角ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，AC=2米，在直角CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，CE=1.5米，AE=2米1.5米=0.5米故答案为：0.5【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角ABC中和直角CDE中分别运用勾股定理是解题的关键17在一个广场上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出【解答】解：两棵树的高度差为62=4m，间距为5m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=m故答案为：【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解18已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距40海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角然后根据路程=速度时间，得两条船分别走了32，24再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离【解答】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，BAC=90，两小时后，两艘船分别行驶了162=32，122=24海里，根据勾股定理得： =40（海里）故答案为：40海里【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单19如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了2cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BDAB即为橡皮筋拉长的距离【解答】解：RtACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD=5cm；AD+BDAB=2ADAB=108=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用20你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需1.5m长【分析】用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答【解答】解：由图可知这条木板的长为=1.5m【点评】本题较简单，只要熟知勾股定理即可三解答题（共9小题）212016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：sin42.40.67，cos42.40.74，tan42.40.905，sin45.50.71，cos45.50.70，tan45.51.02 ）【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR=ARcosARL求出答案即可；（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL=LRtanBRL，再利用AL=ARsinARL，求出AB的值，进而得出答案【解答】解：（1）在RtALR中，AR=6km，ARL=42.4，由cosARL=，得LR=ARcosARL=6cos42.44.44（km）答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；（2）在RtBLR中，LR=4.44km，BRL=45.5，由tanBRL=，得BL=LRtanBRL=4.44tan45.54.441.02=4.5288（km），又sinARL=，得AL=ARsinARL=6sin42.44.02（km），AB=BLAL=4.52884.02=0.50880.51（km）答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键22超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO=60，BPO=45，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据： =1.41， =1.73）【分析】首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度【解答】解：由题意知：PO=100米，APO=60，BPO=45，在直角三角形BPO中，BPO=45，BO=PO=100m在直角三角形APO中，APO=60，AO=POtan60=100AB=AOBO=（100100）73米，从A处行驶到B处所用的时间为3秒，速度为73324.3米/秒=87.6千米/时80千米/时，此车超过每小时80千米的限制速度【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键23如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30夹角，长为20km，BC段与AB、CD段都垂直长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）【分析】过B点作BEl1，交l1于E，CD于F，l2于G在RtABE中，根据三角函数求得BE，在RtBCF中，根据三角函数求得BF，在RtDFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解【解答】解：过B点作BEl1，交l1于E，CD于F，l2于G在RtABE中，BE=ABsin30=20=10km，在RtBCF中，BF=BCcos30=10=km，CF=BFsin30=km，DF=CDCF=（30）km，在RtDFG中，FG=DFsin30=（30）=（15）km，EG=BE+BF+FG=（25+5）km故两高速公路间的距离为（25+5）km【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算24如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出ACB=90，AB=5km，BC=4km，若每天凿隧道0.2km，问几天才能把隧道AC凿通？【分析】根据勾股定理可得AC=，代入数进行计算即可【解答】解：ACB=90，AB=5km，BC=4km，AC=3（km），30.2=15（天）答：15天才能把隧道AC凿通【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用25某单位有一块四边形的空地，B=90，量得各边的长度如图（单位：米）现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？【分析】连接AC，先证明ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD=SBAC+SDAC求出四边形ABCD的面积即可解决问题【解答】解：连接AC，B=90，在RtABC中，AC2=AB2+BC=32+42=52，在ACD中，CD2=132，AD2=122，52+122=132，AC2+AD2=CD2，DAC=90，S四边形ABCD=SBAC+SDAC=ABBC+ACAD=36cm2，3630=1080（元），这块地全部种草的费用是1080元【点评】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明ADC是直角三角形，属于中考常考题型26如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向【分析】根据题意得出AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；由勾股定理的逆定理证出ABC是直角三角形，BAC=90，即可求出乙船的航行方向【解答】解：根据题意得；AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；302+402=502，ABC是直角三角形，BAC=90，1809035=55，乙船的航行方向为南偏东55【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、方向角；证明ABC是直角三角形是解决问题的关键27红安卷烟厂生产的“龙乡”牌香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟，打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到0.1cm，取1.73）【分析】（1）求烟盒顶盖ABCD的面积，即求AB与AD的积；如图，可以作O1EO2O3，求出O1E的长，而由图发现AB=2O1E+一支香烟的直径，AD=7一支香烟的直径，从而解决问题；（2）烟盒至少需要多少面积的纸张，通过长方体的表面积公式可得【解答】解：（1）如图，作O1EO2O3；O1O2=O2O3=O3O1=0.75=，O1O2O3=60，O1E=O1O2sin60=，AB=2+=（cm），AD=7（cm），四边形ABCD的面积是：=（cm）2，（2）制作一个烟盒至少需要纸张：2（+8.4+8.4）=144.096144.1（cm）2，答：制作一个烟盒至少需要的纸张是144.1（cm）2【点评】本题考查了锐角三角函数关系的应用以及多个圆的位置关系中的面积问题，关键是将图形细化为三个圆，求出AB的长28阅读：如图1，在直角ABC中，C=90，AC，BC为直角边，AB为斜边，设BC=a，AC=b，AB=c，则a2+b2=c2例如，AC=8，BC=6，则可得AB=10根据阅读材料，完成题目：如图2有一块直角三角形的绿地，量得两条直角边长分别为6cm，8cm现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长【分析】根据题目要求扩充成AC为直角边的等腰直角三角形，即AC=BC，C=90，然后由勾股定理求得AB的长，最后求出扩充后的等腰直角三角形的周长即可【解答】解：如图1，延长BC到D，使AB=AD，连接AD，则AB=AD=10时，可求CD=CB=6得ABD的周长为32m； 如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4，由勾股定理得：AD=4得ABD的周长为（20+4）m 如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x6，由勾股定理得：x=，得ABD的周长为m 【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键29一、阅读理解：在ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若C为直角，则a2+b2=c2；（2）若C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2c2证明：如图过A作ADBC于D，则BD=BCCD=aCD在ABD中：AD2=AB2BD2在ACD中：AD2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（aCD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20，所以：a2+b2c2（3）若C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系二、探究问题：在ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围【分析】根据题意作图，用证明（2）的方法证明即可推导出a2+b2与c2的关系【解答】解：（3）如图过A作ADBC于D，则BD=BC+CD=a+CD在ABD中：AD2=AB2BD2在ACD中：AD2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（a+CD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20所以：a2+b2c2二、当C为钝角时，根据公式：ca+b可得，5c7；当B为钝角时，根据公式：bac可得，1c【点评】此题主要考查学生对勾股定理在实际中的运用能力