2016届浙江省宁波市高考数学二模试卷(文科)(解析版).doc

2016年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知集合A=1，0，1，2，B=1，x，x2x，且BA，则x=（）A1 B0 C2 D12已知aR，则a23a是a3的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3下列命题中，正确的是（）A若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线B若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面C若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线a平面，点P，则平面内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条4已知等比数列an满足a2=，a2a8=4（a51），则a4+a5+a6+a7+a8=（）A20 B31 C62 D635已知函数f（x）=，并给出以下命题，其中正确的是（）A函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数6已知函数y=f（x）=|x1|mx，若关于x的不等式f（x）0解集中的整数恰为3个，则实数m的取值范围为 （）A B C D7如图，已知椭圆C：，点A，F分别为其右顶点和右焦点，过F作AF的垂线交椭圆C于P，Q两点，过P作AP的垂线交x轴于点D，若|DF|=，则椭圆C的长轴长为（）A2 B4 C2D48在ABC中，点D满足=，P为ABC内一点，且满足=+，则=（）A B C D二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9下面几个数中：30.4log23log9850.2最大的是最小的是（请填写对应数的序号）10已知双曲线x2=1（b0）的离心率为则b=，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r=11已知x，y满足约束条件，且目标函数z=mx+y（）若z的最小值为0，则m=；（）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为12如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（单位：cm2）13已知点P在边长为2的正方形ABCD边界上运动，点M在以P为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为14已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR），对于任意实数a，总存在实数m，当xm，m+1时，使得f（x）0恒成立，则b的取值范围为15已知a0，b0，且，则a+b的最小值是此时a=三、解答题（共5小题，满分74分）16已知函数f（x）=2sin（x）cos（x）+msin2（x）（0）关于点（）对称（）求m的值及f（x）的最小值；（）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，最大内角A的值为f（x）的最小正周期，若b=2，ABC面积的取值范围为，求角A的值及a的取值范围17已知数列an满足a1=，an=（）求证：数列为等差数列，并求出数列an的通项公式；（）已知数列bn满足b1=1，b2=2，且bn=b1+a1b2+a2b3+an2bn1（n2），判断2016是否为数列bn中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由18已知直角梯形ABCD中，ABCD，A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，沿线段DE将ADE折起到A1DE，使得点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上（）求证：平面A1EC平面A1DC；（）求直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值19在“2016”的logo设计中，有这样一个图案：，其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成，对其进行代数化的分析，如图建系，发现：圆C方程为（x4）2+y2=16，抛物线弧E：y2=2px（y0，0x8），若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点，线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线（）求p的值及线段l所在的直线方程；（）P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点，问是否存在这样的点P，使得弦AB在l上的投影长度与圆C的直径之比为4：3？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由20已知f（x）=（）若a=8，求当6x5时，|f（x）|的最大值；（）对于任意的实数a（2a4）都有一个最大的正数M（a），使得当x0，M（a）时，|f（x）|3恒成立，求M（a）的最大值及相应的a2016年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知集合A=1，0，1，2，B=1，x，x2x，且BA，则x=（）A1 B0 C2 D1【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由A=1，0，1，2，BA知x=1或x=0或x=2，从而分类讨论求得【解答】解：A=1，0，1，2，BA，x=1或x=0或x=2，若x=1，则x2x=2，故成立；若x=0，则x2x=0，故不成立；若x=2，则x2x=2，故不成立；故选：D2已知aR，则a23a是a3的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由a23a，解得a3或a0即可判断出结论【解答】解：由a23a，解得a3或a0a23a是a3的必要不充分条件故选：B3下列命题中，正确的是（）A若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线B若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面C若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线a平面，点P，则平面内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据命题条件举出反例判断【解答】解：对于A，当，a，b分别为第三个平面与，的交线时，由面面平行的性质可知ab，故A错误对于B，设a，b确定的平面为，显然a，b，故B错误对于C，当a时，直线a与平面内的无数条直线都平行，故C错误对于D，直线a平面，存在直线b，使得ab，过P作cb，则ac故D正确故选：D4已知等比数列an满足a2=，a2a8=4（a51），则a4+a5+a6+a7+a8=（）A20 B31 C62 D63【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q，由a2=，a2a8=4（a51），可得=， =4（a51），联立解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2=，a2a8=4（a51），=， =4（a51），解得a5=2，q3=8，解得q=2，则a4+a5+a6+a7+a8=+22+222+223=31故选：B5已知函数f（x）=，并给出以下命题，其中正确的是（）A函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性【分析】求出y=f（sinx）的解析式，求出fsin（x），判断f（sinx）与fsin（x）的关系，利用函数周期的定义得出y=f（sinx）的周期同理判断y=f（sin）的奇偶性和周期性【解答】解：f（x）=，f（sinx）=当sinx0时，sinx0，fsin（x）=f（sinx）=1+sinx=f（sinx），当sinx0时，sinx0，fsin（x）=f（sinx）=1sinx=f（sinx），f（sinx）是偶函数，fsin（x+2）=f（sinx），y=f（sinx）是以2为周期的函数同理可得：y=f（sin）是偶函数，y=sin不是周期函数，y=f（sin）不是周期函数故选：C6已知函数y=f（x）=|x1|mx，若关于x的不等式f（x）0解集中的整数恰为3个，则实数m的取值范围为 （）A B C D【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由f（x）0得|x1|mx，构造函数，作出两个函数的图象得到不等式关系进行求解即可【解答】解：由f（x）0得|x1|mx0，即|x1|mx，设g（x）=|x1|，h（x）=mx作出g（x）的图象如图：若|x1|mx解集中的整数恰为3个，则x=1，2，3是解集中的三个整数，则满足，即，则，即，故选：A7如图，已知椭圆C：，点A，F分别为其右顶点和右焦点，过F作AF的垂线交椭圆C于P，Q两点，过P作AP的垂线交x轴于点D，若|DF|=，则椭圆C的长轴长为（）A2 B4 C2D4【考点】椭圆的简单性质【分析】求得A，F的坐标，令x=c，求得P的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，化简整理可得D的坐标，由条件解方程可得a=2，进而得到椭圆的长轴长【解答】解：由题意可得A（a，0），F（c，0），即有c=，令x=c，可得y=，可得P（，），由APPD，可得kAPkPD=1，即=1，解得xD=，由|DF|=，可得xD=，即为a2（a2（a22）=8，即a2=4，解得a=2则椭圆C的长轴长为4故选：B8在ABC中，点D满足=，P为ABC内一点，且满足=+，则=（）A B C D【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】可作出图形，并作，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF，从而有，这样即可求出，而同理可以求得，从而便可求得的值【解答】解：如图，作，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF；E在AB上，且PEAC；又，且，PEAC；故选：A二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9下面几个数中：30.4log23log9850.2最大的是最小的是（请填写对应数的序号）【考点】不等式比较大小【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、和差化积公式即可得出【解答】解：30.4；=tan60=；log23log98=；50.2（0，1）；0综上可得：最大的是；最小的是故答案分别为：；10已知双曲线x2=1（b0）的离心率为则b=2，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r=【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，c，运用离心率公式计算可得b=2；再由直线和圆相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求半径【解答】解：双曲线x2=1（b0）的a=1，c=，由题意可得e=，解得b=2；由双曲线x2=1可得渐近线方程为y=2x，由以（2，1）为圆心，r为半径的圆与渐近线y=2x相切，可得d=r，即r=故答案为：2，11已知x，y满足约束条件，且目标函数z=mx+y（）若z的最小值为0，则m=1；（）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（2，1）【考点】简单线性规划【分析】（）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类代入目标函数求得m的值；（）由题意求得直线y=mx+z的斜率的范围，得到m的取值范围【解答】解：（）由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（3，5），C（0，2），化目标函数z=mx+y为y=mx+z，由图可知，当m0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或B（3，5），把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=1把B（3，5）代入z=mx+y=0，求得m=，不合题意；当m0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或C（0，2），把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=1，不合题意把B（0，2）代入z=mx+y=0，得2=0（舍）若z的最小值为0，则m=1；（）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则1m2，得2m1若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（2，1）故答案为：（）1；（）（2，1）12如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为64（单位：cm2）【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，由此求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，所以该几何体的体积为V=4343=64故答案为：6413已知点P在边长为2的正方形ABCD边界上运动，点M在以P为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为1+2【考点】平面向量数量积的运算【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A，B，C，D的坐标，设M（m，n），运用数量积的坐标表示可得=m（m2）+n（n2）=（m1）2+（n1）22，运用几何意义：距离的平方，即可得到所求最大值【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），设M（m，n），则=（m，n）（2m，2n）=m（m2）+n（n2）=（m1）2+（n1）22，要求的最大值，即求点（m，n）与点E（1，1）的距离的平方的最大值由图象可得，当P在点A，B，C，D时，连接PE，延长交圆于M，即为所求此时，|PM|=1+，即有的最大值为（1+）22=1+2故答案为：1+214已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR），对于任意实数a，总存在实数m，当xm，m+1时，使得f（x）0恒成立，则b的取值范围为b【考点】函数恒成立问题【分析】根据题意可知函数与x轴有两交点，且两根差的绝对值应不小于1，可得出（mn）21恒成立，转换成最值问题求解即可【解答】解：设f（x）=x2+ax+b=0，有两根x1，x2，4ba2，x1+x2=a，x1x2=b，对于任意实数a，总存在实数m，当xm，m+1时，使得f（x）0恒成立，（x1x2）21恒成立，a214b，b15已知a0，b0，且，则a+b的最小值是此时a=【考点】基本不等式【分析】变形a+b=（2+a+a+2b）1=（2+a+a+2b）1=1，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a+b=（2+a+a+2b）1=（2+a+a+2b）1=11=，当且仅当a=，b=时取等号故答案分别为：；三、解答题（共5小题，满分74分）16已知函数f（x）=2sin（x）cos（x）+msin2（x）（0）关于点（）对称（）求m的值及f（x）的最小值；（）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，最大内角A的值为f（x）的最小正周期，若b=2，ABC面积的取值范围为，求角A的值及a的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】（）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（x）关于点（，1）对称，得，即m=2，从而可得f（x）的最小值；（）f（x）的图象关于点（）对称，有，求得=6k+，又A为f（x）的最小正周期，得结合A为ABC的最大内角，得，即求解该不等式求得A=由ABC面积的取值范围求得c的范围再由余弦定理用c表示a，则a的取值范围可求【解答】解：（）f（x）=2sin（x）cos（x）+msin2（x）=sin（2x）+=f（x）的图象关于点（）对称，则m=2，f（x）的最小值为；（）f（x）的图象关于点（）对称，有，则=6k+，又A为f（x）的最小正周期，则又A为ABC的最大内角，则，即得，故k=0时，此时A= ，1c2又a2=c2+4+2c7，12，a17已知数列an满足a1=，an=（）求证：数列为等差数列，并求出数列an的通项公式；（）已知数列bn满足b1=1，b2=2，且bn=b1+a1b2+a2b3+an2bn1（n2），判断2016是否为数列bn中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）通过对an=两边同时取倒数，整理即得结论；（）通过（I）可知b3=b1+b2=2，当n2时利用bn1=b1+b2+b3+bn2与bn=b1+a1b2+a2b3+an2bn1作差，进而利用累乘法计算即得结论【解答】（）证明：an=，=1+（n1），又=2，数列是首项为2、公差为1的等差数列，=2+n1=n+1，an=；（）结论：2016为数列bn中的第3024项理由如下：由（I）可知bn=b1+a1b2+a2b3+an2bn1=b1+b2+b3+bn1（n2），又b1=1，b2=2，b3=b1+b2=2，当n2时，bn1=b1+b2+b3+bn2，bnbn1=bn1，即=，由累乘法可知bn=b3=2=n，当bn=n=2016时，解得：n=3024，2016为数列bn中的第3024项18已知直角梯形ABCD中，ABCD，A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，沿线段DE将ADE折起到A1DE，使得点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上（）求证：平面A1EC平面A1DC；（）求直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（I）过A1作A1HCD交CD于H，连结CE，则可证四边形ADCE是矩形，得出CECD，由A1H平面BCDE得出A1HCE，于是CE平面A1DC，故而平面A1EC平面A1DC；（II）利用勾股定理计算A1H，BH，A1B，于是直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值为【解答】证明：（I）过A1作A1HCD交CD于H，连结CE点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上，A1H平面EBCDCE平面EBCD，A1HCEABCD，A=，CD=AE=，四边形AECD是矩形，CECD又A1H平面A1DC，CD平面A1DC，A1HCD=H，CE平面A1DC，CE平面A1CE，平面A1EC平面A1DC解：（II）连结BH，A1H平面EBCD，A1BH为直线A1B与平面EBCD所成的角连结HE，设A1H=x，则DH=，HE=，CH=+=2，解得x=，A1H=，DH=，BH=，A1B=sinA1BH=直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值为19在“2016”的logo设计中，有这样一个图案：，其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成，对其进行代数化的分析，如图建系，发现：圆C方程为（x4）2+y2=16，抛物线弧E：y2=2px（y0，0x8），若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点，线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线（）求p的值及线段l所在的直线方程；（）P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点，问是否存在这样的点P，使得弦AB在l上的投影长度与圆C的直径之比为4：3？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（）求得圆的圆心，以及抛物线的焦点坐标，可得p=8，进而得到抛物线的准线方程，即有直线l的方程；（）假设存在这样的P点，满足条件设P（x0，y0），由切线的性质可得切线的斜率，进而得到切线方程，联立抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，弦长公式，化简整理，求得P的坐标和A，B的纵坐标，即可判断不存在【解答】解：（）圆C方程为（x4）2+y2=16的圆心为（4，0），抛物线y2=2px的焦点为（，0），由题意可得=4，解得p=8；抛物线y2=16x的准线为x=4，由题意可得直线l：x=4；（）假设存在这样的P点，满足条件设P（x0，y0），由切线的性质可得切线的斜率为k=，且（x04）2+y02=16，则切线方程为（x04）（x4）+y0y=16，联立抛物线的方程y2=16x，消去x，可得y2+y0y4x0=0，即有yA+yB=，yAyB=，由|MN|=|yAyB|=，解得x0=1，y0=，即P（1，），解得yA，或yB=（2），抛物线弧右上端点坐标为（8，8），且（+2）8，故此时P不满足条件，这样的点P不存在20已知f（x）=（）若a=8，求当6x5时，|f（x）|的最大值；（）对于任意的实数a（2a4）都有一个最大的正数M（a），使得当x0，M（a）时，|f（x）|3恒成立，求M（a）的最大值及相应的a【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用【分析】（）通过f（x）的解析式可知当6x0时，存在0t2使得f（x）=f（t），从而问题转化为求当0x5时|f（x）|的最大值即可，进而计算可得结论；（）通过配方可知f（x）=+1a（0xt），分0t、0t、0t三种情况讨论即可【解答】解：（）依题意，当x0时，f（x）=x28x+9，当x0时，f（x）=f（x+2），当6x0时，存在0t2使得f（x）=f（t），从而只要求当0x5时|f（x）|的最大值即可，此时f（4）f（x）f（0），即7f（x）9，当6x5时，|f（x）|的最大值为9；（）f（x）=x2+ax+1a=+1a，其中0xt，当0t时，fmin（x）=f（）=1a，fmax（x）=maxf（0），f（t）=max1a，t2+at+1a，|f（x）|3恒成立转化为：，则M（a）=tmax=（2a0），由=+1=+1，显然在2，0上单调递减，故此时Mmax（a）=M2=2；当0t时，fmin（x）=f（t）=t2+at+1a，fmax（x）=f（0）=1a，则有，有a2，即0t1，此时不可能比中的值大；当0t时，fmax（x）=f（t）=t2+at+1a，fmin（x）=f（0）=1a，则有，则M（a）=tmax=（0a4），与同理，可得Mmax（a）M（0）M（2）=2；综上所述，当a=2时，Mmax（a）=22016年7月5日