数学模型课程设计试题.doc

数学模型课程设计要求一. 三人为一组完成一个题目。二. 答题时可以使用任何外部资源（如图书馆、计算机、软件包、书籍等），但不可以与本组外的人商量。三. 答题时间：2011年11月25日2011年12月6日.四. 答卷以科研论文的形式提交，论文内容大体包括：300字左右的摘要，问题重述与分析（或引言），假设，建模，求解，分析，检验（模拟仿真），参考文献等。五论文书写格式如下1.论文封面的规定：论文的封面使用统一的封面样式（见下页），A4大小。2.论文书写格式纸张的规定论文（指摘要和正文），小四宋体，1.25倍行距，用A4纸打印。3. 论文的摘要：1）.论文的第一部分必须是论文摘要（300字左右的摘要），用单独一页书写，放在封面后正文前。2）.摘要中把论文的主要内容及特点充分表达出来。4. 论文主要部分的内容：1）.要阐述题目，假设，分析，建模，解模和结果的全过程。2）.对模型的检验及模型的优缺点和发展前景也要有所表述。5. 论文附加部分的内容：1）.有关计算过程的详细资料（例如程序和图表等）。2）.作者认为需要交代的其他资料（例如参考文献等）。6. 论文打印要求：论文打印稿要求有课程设计封面，和论文正文两部分。注：论文要同时交书面和电子版的！ 资料查询方式1）.图书馆数字书查阅2）.外部资源利用（Google搜索，其它学校网站）数学建模课程设计题目第 组 组员1 组员2 组员3 姓名 学号 专业 成绩 数学模型课程设计题目1：报童的最佳定货策略报童每天清晨从报社购进大量各种不同类型报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回由于顾客对各种类型报纸的喜好不同，常常碰到以下问题：如果报纸购进太少，有些报纸会脱销，那么报童将会少赚钱；如果购进太多，有些报纸买不完，那么报童退回报纸将要赔钱为了解决这个问题，报童需要考虑不同类型报纸搭配的最佳订货策略。问题（1）请你为报童筹划一下，制定一种最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润（2）假设报童每天投入的资金设为定值S，那么在资金一定的条件下，制定最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润（3）自己设计或调查一组数据对模型进行检验。数学模型课程设计题目2：举重问题运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩：级别 最大体重（千克） 抓举（千克） 挺举（千克） 总重量（千克）1 54 132.5 155.0 287.52 59 137.5 170.0 307.5世界记录3 64 147.5 187.5 335.04 70 162.5 195.0 357.5世界记录5 76 167.5 200.0 367.56 83 180.0 212.5 392.5世界记录7 91 187.5 213.0 402.58 99 185.0 235.0 420.0世界记录9 108 195.0 235.0 430.010 超过108 197.5 260.0 457.51. 这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设,用所提供的数据来检验你的模型。3. 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去的模型，并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。数学模型课程设计题目3：道路改造项目中碎石运输的设计在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。 建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。 河与AB的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。 桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。此地区没有其它可以借用的道路。为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。数学模型课程设计题目4:超额录取留学生的策略众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。当前的情况为：学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。签证被拒的比例在上升。所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。问题：（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？数学模型课程设计题目5：高考志愿选择策略一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表 相关权数 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁校誉 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6 录取风险 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3 年奖学金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7 就业前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5生活环境 离家近 0.061 0.2 0.4 1 0.8 生活费用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8 气候环境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6学习环境 专业兴趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8 师资水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65可持续发展 硕士点 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8 博士点 0.030 0.75 0.7 0.6 0.5经过建模计算，给出志愿排序的合理决策。数学模型课程设计题目6：服务机构劳务安排的优化设计在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段支付的劳务工资往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就某公司超市卖场营销人员工作安排问题建立一个数学模型来进行优化设计，使得既要满足公司超市卖场需要，又使公司的劳务开支最少。超市卖场的营业时间是上午8点到21点，以两小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1，每个营销人员可在任一时段开始时上班，但要连续工作8小时，中途需要1小时的吃饭和休息时间。为保证营业时间内都有人值班，公司安排了四个班次，其班次与休息时间安排如表2，在不同时段的工资标准不同，上午8点到17点工作的人员月工资为1200元，中午12点到21点工作的人员月工资为1500元。序号 时间区间 最少需求人数1 8：0010：00 302 10：0012：00 353 12：0014：00 204 14：0016：00 405 16：0018：00 306 18：0020：00 257 20：0021：00 20表2班次 工作时间 休息时间 月工资1 8：0017：00 12：0013：00 12002 8：0017：00 13：0014：00 12003 12：0021：00 16：0017：00 15004 12：0021：00 17：0018：00 1500进一步讨论对8点至17点和12点至21点分别安排更多的班次其劳务支出的变化。数学模型课程设计题目7：人类的演化观察地球生物发展的大历史，似乎看得出来，有些原始生物演化速度很慢，几千万年来表面都没有改变，至今仍然存在，例如银杏树，腔棘魚、鱟等生物，称为活化石。据此推论越早期的生物若是演化的越慢，其生存的年代越长。假设平均而言，随生物种类的不同，一种生物会以每百万年累积0.5-1000个致死基因，当致死基因累积达3000个以上，其灭绝的概率会超过0.75，当致死基因累积达5000个以上，其灭绝的概率会超过0.95。据此而言，人类（智人，Homo sapiens约2-3万年前出现，是很晚才出现的物种）未来的演化速度如何？何时该灭绝？请建立一个数学模型来讨论上述问题。数学模型课程设计题目8：火车弯道缓和曲线问题火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F，在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接部，列车受到的离心力由零突变到F，会损坏线路和车辆，并使乘车人感到不适，甚至发生危险。为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，即把弯道上的外轨抬高一定高度，使列车倾斜，这样产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F，外轨超高也从零逐渐增大到h。所加曲线称为缓和曲线。现有一处铁路弯道，原转弯半径R=400m，适应列车时速 120kmh。由于火车提速，要求将此弯道改为适应列车时速200 kmh，并要求将原长200 m的缓和曲线一并进行改造。试讨论下面问题：（1）求缓和曲线方程。（2）若要求外轨超高不改变，缓和曲线应如何改造？（3）若外轨超高可以改变，缓和曲线又应如何改造？数学模型课程设计题目9：人力资源安排问题“pe公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。表1 公司的人员结构及工资情况 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员人数 日工资（元） 9 10 17 5 250 200 170 110 目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在a地和b地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在c地和d地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。表2 不同项目和各种人员的收费标准高级工程师 工程师 助理工程师 技术员收费（元/天） a 1000 1500 1300 1000 b 800 800 900 800c 600 700 700 700 d 500 600 400 500为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：表3：各项目对专业技术人员结构的要求 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员a 总计13 2 2 1 10 b 总计25 2 2 3 16c 总计2 2 2 1 11d 总计12 28 1 - 18说明： 表中“13”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“”符号的同理； 项目d，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加； 高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求； 各项目客户对总人数都有限制； 由于c、d两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？数学模型课程设计题目10：飞越北极 今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)；A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度);A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)；A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)；A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：（1） 设地球是半径为6371千米的球体；（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。数学模型课程设计题目11：“南水北调”水的分配南水北调中线工程建成后，预计2010年的调水量为110亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40、38和22。下表是2000年各城市基本状况的统计数据，可以看出，各城市的人口数量差异很大，各城市的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同。城市 城市 工业 综合服务业产值 (m3)万元工业 (m3)万元综合服务业 总数(万人) 年自然 (亿元) 年 (%)人均产值 年增长率序号 人口 产值 人均生活用水量 增加值用水量 用水量(m3) 增长率()增加值 增长率 (万元) (%) 1 1285 2.04 737 11.1 1.16 13.2 160 143 3542 682 3.03 739 11.7 0.83 12.2 140 72 2093 56 9.15 193 10.0 0.30 10.0 180 102 2454 87 5.90 268 12.5 0.23 12.1 360 96 3255 46 5.87 480 9.8 0.22 8.6 315 110 1856 78 6.12 256 7.6 0.20 7.6 318 120 1787 218 5.41 464 10.2 0.44 11.8 235 86 2678 52 4.50 189 10.9 0.15 12.0 315 131 1659 81 3.69 721 10.0 0.22 11.4 320 126 23010 83 6.61 110 6.9 0.16 11.7 310 186 32011 42 8.00 36 9.6 0.18 12.3 320 210 22012 41 6.10 97 8.7 0.14 13.5 352 170 17413 72 6.01 104 10.3 0.22 8.9 280 205 16014 128 6.92 67 8.0 0.18 9.4 310 180 25015 220 5.12 310 12.9 0.53 10.2 220 88 16416 78 6.56 72 11.1 0.17 9.2 320 210 18017 90 6.61 114 8.8 0.18 8.4 310 189 15518 32 6.44 106 10.0 0.12 11.3 340 210 16519 58 4.60 83 9.0 0.15 10.3 280 200 14820 121 5.90 211 10.4 0.13 8.8 320 180 202全国平均 10.7 9.9 0.23 7.8 219 610 288请你从保障人民生活用水和经济发展的角度，给出2010年的调水量的分配方案。应注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在10年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡数学模型课程设计题目12：铅球投掷模型众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。参考数据资料如下：表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩 姓名 出手速度出手高度出手角度实测成绩李梅素 13.75 1.90 37.60 20.95李梅素 13.52 2.00 38.69 20.30斯卢皮亚内克 13.77 2.06 40.00 21.41表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名 成绩s(m) 出手速度出手角度出手高度李梅素 19.40 13.16 40.27 2.02李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00黄志红 20.76 13.58 37.75 2.02隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04李梅素 21.76 14.08 35.13 1.95数学模型课程设计题目13：按揭还款银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清1请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有无好坏之分；2是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；数学模型课程设计题目14：医疗保障基金额度的分配某集团下设四个子公司：子公司A、子公司B、子公司C和子公司D。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。四个子公司各年度的医疗费用支出见表1。为进一步规范各个子公司的医疗保障计划，集团董事会规定，在2003年底,各个子公司均需以银行活期存款的方式，设立医疗保障基金，基金专门用于支付2004年度雇员的医疗费用。 并规定每个子公司的医疗保障基金只能用于支付本子公司雇员。已知2004年银行活期存款利率为1%。董事会综合考虑了各种因素，确定本集团设立的2004年度医疗保障基金的总额度为80万元，这一额度在四个子公司之间分配。对于各子公司，如果2004年度总的医疗费用支出低于该子公司的医疗保障基金的额度， 则雇员可以及时得到医疗方面的保障。 而如果总的医疗费用超过了医疗保障基金的额度， 则子公司需要通过其他渠道来筹措超出部分的额度。这会导致某些雇员无法及时报销医疗费用。试确定80万元医疗保障基金在四个子公司之间的分配方案，并论证方案优良性。 表2给出了相关年度的通货膨胀指数。表2通货膨胀指数日期 通货膨胀指数 日期 通货膨胀指数1980年1月1日 100 1992年1月1日 1811981年1月1日 105 1993年1月1日 1821982年1月1日 115 1994年1月1日 1891983年1月1日 128 1995年1月1日 1911984年1月1日 130 1996年1月1日 1971985年1月1日 140 1997年1月1日 2001986年1月1日 150 1998年1月1日 2101987年1月1日 151 1999年1月1日 2111988年1月1日 152 2000年1月1日 2151989年1月1日 160 2001年1月1日 2171990年1月1日 175 2002年1月1日 2191991年1月1日 180 2003年1月1日 226注：2003年1月1日的通货膨胀指数为226，是指在1980年1月1日价格为100元的物品，在2003年1月1日价格为226元。表1：公司A、公司B、公司C 和公司D的医疗费用支出（单位：万元）年度 公司A 公司B 公司C 公司D1980 8.28 8.81 8.02 10.501981 8.76 9.31 8.36 10.761982 9.29 10.41 9.20 11.341983 10.73 11.61 10.51 12.891984 10.88 11.39 10.70 13.201985 11.34 12.53 11.20 14.241986 11.97 13.58 13.01 14.901987 12.02 13.70 13.24 15.281988 12.16 13.32 13.82 15.201989 12.83 14.32 14.74 16.961990 13.90 15.84 17.33 19.231991 14.71 14.67 18.50 20.991992 16.11 14.99 17.72 23.221993 16.40 14.56 18.45 23.191994 17.07 14.55 19.77 24.041995 16.96 14.80 19.56 23.721996 16.88 15.41 19.70 24.881997 17.20 15.76 20.52 27.341998 19.87 16.76 22.51 28.121999 20.19 17.68 23.10 28.382000 20.00 17.33 23.24 28.812001 19.81 17.03 23.22 26.712002 19.40 16.95 23.76 19.822003 20.48 16.66 24.50 20.48数学模型课程设计题目15： 人民币汇率与经济近年来，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型，解决下列问题：1以英镑汇率为例，考察汇率与贸易额的线性关系，并据此说明汇率的变 化对英国经济的影响；2利用人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系，探讨人民币汇率在什么范围内变化比较有利于我们经济持续、健康发展。数学模型课程设计题目16：最佳捕鱼方案一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。 据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在5001000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和， 捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？请你建立相关模型求解，给出最佳答案。数学模型课程设计题目17：最佳广告费用及其效应某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表2。”李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。表1 售价与预期销售量 表 2 广告费与销售增长因子售价 预期销售量 2 412.5 38 3 343.5 324 294.5 285 255.5 226 20广告费 销售增长因子 0 1.010000 1.420000 1.730000 1.8540000 1.9550000 2.060000 1.9570000 1.8数学模型课程设计题目18：军用设备的海中投放军用设备的海中投放 军方需要用轰炸机定点空投一军用球型设备到某海域，飞机速度为100米/秒，球型设备半径为0.1米，密度为0.85，当地海水密度为1.03，若此设备在水中的摩擦力与速度相反，且成正比，比例系数=0.5公斤.秒/米，（ g = 9.8 ）。 （1）、军方希望球型设备不要落入比65米还深的海水里，请你分析飞机当时应飞行的高度。 （2）、军方也关心球型设备停在海面上时的位子，请你给出。 （3）、描述球型设备的轨迹特征，并给出球型设备的一种轨迹图。数学模型课程设计题目19：农场计划英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐20000英镑须尽早用利润归还。每头幼牛需用2/3英亩土地供养，每头奶牛需用1英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。 一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养160头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费90英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产0.8吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须4小时；种一英亩甜菜每年须14小时。 其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年15英镑；种甜菜每亩每年10英镑；劳动费用现在每年为6000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.80英镑。 贷款年率10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？数学模型课程设计题目20：住房贷款问题年初由中国建设银行北京市分行印发的个人住房贷款简介的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其中指明贷款最高金额为拟购买住房费用的70%；贷款期限最长为20年。个人住房贷款利率如附表1所示。借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。附表2中列出了在不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的。近来经国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年。每笔贷款年限由商业银行根据个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。个人住房贷款年利率最高水平降为5.58%，并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下（含五年）为年利率5.31%，五年以上为年利率5.58%请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与原附表2中的同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。附表1：中国建设银行北京市分行个人住房贷款利率表 贷款期 1年（含） 13年（含） 35年（含） 510年（含） 1020年（含）月利率（） 5.10 5.325 5.55 6.00 6.30年利率（%） 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56附表2：中国建设银行北京市分行个人住房贷款120年月均还款金额表（借款金额为一万元）单位：元贷款期限（年） 年利率（%） 还款总额 利息负担总和 月均还款总额1 6.12 10612.00 612.00 一次还本付息5 6.66 11784.60 1784.60 196.4120 7.56 19423.20 9423.20 80.93数学模型课程设计题目21：大象群落的稳定发展位于非洲某国的国家公园中栖息这近11000头象。管理者要求有一个健康稳定的环境一边维持这个11000头象的稳定群落。管理者逐年统计了象的数量，发现在过去的20年中，整个象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移是些象也比较困难，因此，要控制现的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕。目前在公园中已经很少发生移入和移出象的情况。象的性别比也非常接近于1：1，且采取了措施精良维持这个性别比。欣赏的幼象的性别比也在1：1左右。而双胞胎的机会接近于1.35%。母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均美3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止。每次怀孕期未22个月。注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕。象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应。新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率对各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。假定象的最高年龄是70岁，由于在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。公园有一个近两年内从这个地区运出的象的大致年龄和性别的统计（见表）。但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。 现在的任务是：（1）探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。（2）估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。（3）假如每年转移50头到300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？（4）如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量象的死亡），那时重新壮大象群的能力如何？前一年的情况 前两年的情况年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数 1 0 0 31 3 0 1 0 0 31 13 7 2 0 0 32 5 2 2 20 10 32 16 12 3 0 0 33 8 5 3 21 12 33 13 6 4 3 2 34 12 3 4 13 3 34 10 6 5 4 1 35 10 4 5 12 5 35 10 0 6 7 2 36 3 1 6 13 4 36 12 8 7 20 10 37 7 3 7 22 4 37 16 5 8 9 2 38 14 2 8 14 7 38 12 2 9 15 7 39 10 0 9 40 21 39 10 410 9 3 40 16 12 10 14 8 40 12 611 22 12 41 21 11 11 26 10 41 19 1012 3 1 42 13 4 12 13 10 42 13 713 23 13 43 10 6 13 14 4 43 24 1014 5 2 44 12 4 14 27 12 44 17 1015 13 6 45 6 4 15 3 1 45 16 416 21 10 46 3 2 16 14 3 46 25 1217 0 0 47 6 0 17 12 8 47 12 318 22 12 48 9 3 18 20 10 48 45 2319 14 6 49 13 2 19 25 11 49 23 1220 5 4 50 10 4 20 17 14 50 34 1021 13 7 51 3 1 21 14 10 51 13 922 10 5 52 6 4 22 10 7 52 16 423 0 0 53 21 11 23 0 0 53 10 424 13 5 54 15 6 24 2 0 54 17 725 30 12 55 4 1 25 3 0 55 13 326 14 6 56 13 4 26 4 2 56 13 627 12 5 57 10 5 27 4 2 57 12 328 0 0 58 32 12 28 3 1 58 3 229 20 10 59 14 8 29 2 1 59 22 1130 6 5 60 0 0 30 3 0 60 20 10数学模型课程设计题目22：杂技项目中碰撞问题某杂技团刻意求新，在海滨城市演出时，利用当地靠海的条件，设计了一个惊险节目：在离海边9米的沙滩上，建一个10米高台，高台下5米处放置一个弹性极佳的斜面（如下图），斜面与水平面成450角。演员从高台上团身跳下，经与斜面碰撞后将其弹到海里。不知此方案是否可行?数学模型课程设计题目23：污水处理问题如下图，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数，该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。 工厂1 工厂2 工厂3 处理站1 处理站2 处理站3 江水 居民点1 居民点2 居民点3先建立一般的数学模型，再求解以下的具体问题：设上游江水流量为10001012l/min，污水浓度为0.8mg/l，三个工厂的污水流量均为51012l/min，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50（mg/l），处理系数均为1万元/（1012 l/min）(1mg/l)），3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家标准规定的污染浓度不超过1mg/l。（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？数学模型课程设计题目24：草原鼠患问题 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草2540公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞