（北京专版）2019年中考数学一轮复习 第五章 空间与图形 5.3 解直角三角形（试卷部分）课件.ppt

5 3解直角三角形 中考数学 北京专用 2014 2018年北京中考题组 五年中考 1 2012北京 19 5分 如图 在四边形ABCD中 对角线AC BD交于点E BAC 90 CED 45 DCE 30 DE BE 2 求CD的长和四边形ABCD的面积 解析过点D作DF AC于点F 在Rt DEF中 DFE 90 DEF 45 DE DF EF 1 在Rt CFD中 CFD 90 DCF 30 CD 2DF 2 FC 在Rt ABE中 BAE 90 AEB CED 45 BE 2 AB AE 2 AC AE EF FC 3 S四边形ABCD S ACD S ABC AC DF AC AB 3 1 3 2 四边形ABCD的面积是 2 2011北京 20 5分 如图 在 ABC中 AB AC 以AB为直径的 O分别交AC BC于点D E 点F在AC的延长线上 且 CBF CAB 1 求证 直线BF是 O的切线 2 若AB 5 sin CBF 求BC和BF的长 解析 1 证明 连接AE AB是 O的直径 AEB 90 1 2 90 AB AC 1 CAB CBF CAB 1 CBF CBF 2 90 即 ABF 90 AB是 O的直径 直线BF是 O的切线 2 过点C作CG AB于点G sin CBF 1 CBF sin 1 AEB 90 AB 5 BE AB sin 1 AB AC AEB 90 BC 2BE 2 在Rt ABE中 由勾股定理得AE 2 sin 2 cos 2 在Rt CBG中 可求得GC 4 GB 2 AG 3 GC BF AGC ABF BF 评析将解直角三角形与圆 相似等知识结合在一起考查是北京市中考命题常采用的形式 教师专用题组 考点一锐角三角函数 1 2018云南 12 4分 在Rt ABC中 C 90 AC 1 BC 3 则 A的正切值为 A 3B C D 答案A AC 1 BC 3 C 90 tanA 3 2 2018贵州贵阳 7 3分 如图 A B C是小正方形的顶点 且每个小正方形的边长都为1 则tan BAC的值为 A B 1C D 答案B如图 连接BC 在 ABD和 BCE中 ABD BCE SAS AB BC ABD BCE BCE CBE 90 ABD CBE 90 即 ABC 90 tan BAC 1 故选B 3 2017黑龙江哈尔滨 8 3分 在Rt ABC中 C 90 AB 4 AC 1 则cosB的值为 A B C D 答案A由勾股定理可得BC 所以cosB 故选A 4 2017甘肃兰州 3 4分 如图 一个斜坡长130m 坡顶离水平地面的距离为50m 那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 A B C D 答案C在直角三角形中 根据勾股定理可知水平的直角边长为120m 故这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 故选C 思路分析先利用勾股定理求得第三边的长 再利用正切的定义求正切值 5 2016福建福州 9 3分 如图 以O为圆心 1为半径的弧交坐标轴于A B两点 P是上一点 不与A B重合 连接OP 设 POB 则点P的坐标是 A sin sin B cos cos C cos sin D sin cos 答案C过P作PQ OB 交OB于点Q 在Rt OPQ中 OP 1 POQ sin cos 即PQ sin OQ cos 点P的坐标为 cos sin 故选C 6 2016广东 8 3分 如图 在平面直角坐标系中 点A的坐标为 4 3 那么cos 的值是 A B C D 答案D过点A作AB垂直x轴于B 则AB 3 OB 4 由勾股定理得OA 5 cos 故选D 7 2015甘肃兰州 4 4分 如图 ABC中 B 90 BC 2AB 则cosA A B C D 答案D设AB k k 0 则BC 2k B 90 AC k cosA 故选D 8 2015河北 9 3分 已知 岛P位于岛Q的正西方 由岛P Q分别测得船R位于南偏东30 和南偏西45 方向上 符合条件的示意图是 答案D本题考查方向角的简单识别 选D 9 2014浙江杭州 3 3分 在直角三角形ABC中 已知 C 90 A 40 BC 3 则AC A 3sin40 B 3sin50 C 3tan40 D 3tan50 答案D C 90 A 40 B 50 又tanB AC BCtanB 3tan50 故选D 10 2017山西 15 3分 一副三角板按如图方式摆放 得到 ABD和 BCD 其中 ADB BCD 90 A 60 CBD 45 E为AB的中点 过点E作EF CD于点F 若AD 4cm 则EF的长为cm 答案 解析如图 连接DE 过点E作EM BD于点M 设EF交BD于点N AD 4cm A 60 AB 8cm DB 4cm 点E为AB的中点 EM BD DE AB 4cm EM AD 2cm 由等腰直角三角形的性质可知 ENM FND 45 在Rt ENM中 EN EM 2cm MN EM 2cm DN DM MN DB MN 2 2 cm 在Rt DFN中 FN DN cm EF EN FN 2 cm 一题多解过点A作AG CD的延长线于点G CDB CBD 45 ADB 90 ADG 45 AG 2cm ABD 30 BD AD 4cm CBD 45 BC 2cm AG CG EF CG CB CG AG EF BC E是AB的中点 点F为CG的中点 EF AG BC 2 2 cm 11 2017四川绵阳 18 3分 如图 过锐角 ABC的顶点A作DE BC AB恰好平分 DAC AF平分 EAC交BC的延长线于点F 在AF上取点M 使得AM AF 连接CM并延长交直线DE于点H 若AC 2 AMH的面积是 则的值是 答案8 解析过H作HG AC于点G 如图 AF平分 EAC EAF CAF DE BF EAF AFC CAF AFC CF CA 2 AM AF AM MF 1 2 DE BF AH 1 S AHC 3S AHM 2GH GH 在Rt AHG中 AG GC AC AG 2 8 解题思路过H作HG AC于点G 构造直角三角形 再分别求出相应的边即可 12 2018四川成都 18 8分 由我国完全自主设计 自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务 如图 航母由西向东航行 到达A处时 测得小岛C位于它的北偏东70 方向 且与航母相距80海里 再航行一段时间后到达B处 测得小岛C位于它的北偏东37 方向 如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处 求还需航行的距离BD的长 参考数据 sin70 0 94 cos70 0 34 tan70 2 75 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 解析由题可知 ACD 70 BCD 37 AC 80 在Rt ACD中 cos ACD 0 34 CD 27 2 在Rt BCD中 tan BCD 0 75 BD 20 4 答 还需要航行的距离BD的长为20 4海里 13 2018吉林 21 7分 数学活动小组的同学为测量旗杆高度 制定了如下测量方案 使用的工具是测角仪和皮尺 请帮助组长林平完成方案内容 用含a b 的代数式表示旗杆AB的高度 数学活动方案活动时间 2018年4月2日活动地点 学校操场填表人 林平 解析测量步骤 1 测角仪 1分 2 皮尺 2分 计算过程 由题意可知 ADE DE BC a BE CD b 在Rt ADE中 AED 90 tan ADE AE DE tan ADE 4分 AE atan AB AE BE b atan 米 7分 评分说明 计算结果没写单位或不加括号不扣分 14 2017黑龙江哈尔滨 22 7分 如图 方格纸中每个小正方形的边长均为1 线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上 1 在图中画出以AB为底 面积为12的等腰 ABC 且点C在小正方形的顶点上 2 在图中画出平行四边形ABDE 且点D和点E均在小正方形的顶点上 tan EAB 连接CD 请直接写出线段CD的长 解析 1 正确画图 2 正确画图 CD 15 2017福建 22 10分 小明在某次作业中得到如下结果 sin27 sin283 0 122 0 992 0 9945 sin222 sin268 0 372 0 932 1 0018 sin229 sin261 0 482 0 872 0 9873 sin237 sin253 0 602 0 802 1 0000 sin245 sin245 1 据此 小明猜想 对于任意锐角 均有sin2 sin2 90 1 1 当 30 时 验证sin2 sin2 90 1是否成立 2 小明的猜想是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 请举出一个反例 解析 1 当 30 时 sin2 sin2 90 sin230 sin260 1 所以 当 30 时 sin2 sin2 90 1成立 2 小明的猜想成立 证明如下 如图 ABC中 C 90 设 A 则 B 90 sin2 sin2 90 1 16 2014重庆 20 7分 如图 ABC中 AD BC 垂足是D 若BC 14 AD 12 tan BAD 求sinC的值 解析 AD BC tan BAD 1分 tan BAD AD 12 2分 BD 9 3分 CD BC BD 14 9 5 4分 在Rt ADC中 AC 13 6分 sinC 7分 考点二解直角三角形 1 2016重庆 11 4分 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动 如图 在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36 然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处 然后再沿水平方向行走6米至大树底端D处 斜面AB的坡度 或坡比 i 1 2 4 那么大树CD的高度约为 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1米B 17 2米C 19 7米D 25 5米 答案A作BF AE于F 如图所示 易知四边形BDEF为矩形 则FE BD 6米 DE BF 斜面AB的坡度i 1 2 4 AF 2 4BF 设BF x米 则AF 2 4x米 在Rt ABF中 x2 2 4x 2 132 解得x 5 DE BF 5米 AF 12米 AE AF FE 18米 在Rt ACE中 CE AE tan36 18 0 73 13 14米 CD CE DE 13 14 5 8 1米 故选A 2 2015江苏苏州 10 3分 如图 在一笔直的海岸线l上有A B两个观测站 AB 2km 从A测得船C在北偏东45 的方向 从B测得船C在北偏东22 5 的方向 则船C离海岸线l的距离 即CD的长 为 A 4kmB 2 kmC 2kmD 4 km 答案B如图 在Rt ABE中 AEB 45 AB EB 2km AE 2km EBC 22 5 ECB AEB EBC 22 5 EBC ECB EB EC 2km AC AE EC 2 2 km 在Rt ADC中 CAD 45 AD DC 2 km 即点C到l的距离为 2 km 故选B 3 2015四川绵阳 10 3分 如图 要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯 路灯的灯臂CD长2米 且与灯柱BC成120 角 路灯采用圆锥形灯罩 灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直 当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳 此时 路灯的灯柱BC高度应该设计为 A 11 2 米B 11 2 米C 11 2 米D 11 4 米 答案D延长BC OD交于点E CD OD DCB 120 E 30 B 90 OB 22 11米 EB 11米 在Rt DCE中 CE 2DC 4米 BC EB CE 11 4 米 故选D 4 2015江西南昌 12 3分 图1是小志同学书桌上的一个电子相框 将其侧面抽象为如图2所示的几何图形 已知AB AC 15cm BAC 40 则点A到BC的距离为cm 参考数据 sin20 0 342 cos20 0 940 sin40 0 643 cos40 0 766 结果精确到0 1cm 可用科学计算器 答案14 1 解析过点A作AD BC于点D 因为AB AC BAC 40 所以 DAC BAC 20 在Rt ADC中 AD AC cos20 15 0 940 14 1cm 5 2014浙江宁波 17 4分 为解决停车难的问题 在如图一段长56米的路段开辟停车位 每个车位是长5米 宽2 2米的矩形 矩形的边与路的边缘成45 角 那么这个路段最多可以划出个这样的停车位 1 4 解析如图 易知BC 2 2 cos45 2 2 1 54米 CE 5sin45 5 3 5米 则BE BC CE 5 04米 EF 2 2 sin45 2 2 3 14米 56 5 04 3 14 1 50 96 3 14 1 16 1 17 个 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位 答案17 6 2018天津 22 10分 如图 甲 乙两座建筑物的水平距离BC为78m 从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48 测得底部C处的俯角为58 求甲 乙建筑物的高度AB和DC 结果取整数 参考数据 tan48 1 11 tan58 1 60 解析如图 过点D作DE AB 垂足为E 则 AED BED 90 由题意可知 BC 78 ADE 48 ACB 58 ABC 90 DCB 90 可得四边形BCDE为矩形 ED BC 78 DC EB 在Rt ABC中 tan ACB AB BC tan58 78 1 60 125 在Rt AED中 tan ADE AE ED tan48 DC EB AB AE BC tan58 ED tan48 78 1 60 78 1 11 38 答 甲建筑物的高度AB约为125m 乙建筑物的高度DC约为38m 思路分析过点D作DE AB 构造直角 ADE和矩形BCDE 通过解直角 ABC和直角 ADE可求出答案 7 2018贵州贵阳 20 10分 如图 在平行四边形ABCD中 AE是BC边上的高 点F是DE的中点 AB与AG关于AE对称 AE与AF关于AG对称 1 求证 AEF是等边三角形 2 若AB 2 求 AFD的面积 解析 1 证明 AE是BC边上的高 AEB 90 四边形ABCD是平行四边形 AD BC EAD AEB 90 AED是直角三角形 F是ED的中点 AF EF FD AE与AF关于AG对称 AE AF AE AF EF AEF是等边三角形 2 由 1 知 AEF是等边三角形 EFA EAF AEF 60 又 AB与AG关于AE对称 AE与AF关于AG对称 BAE GAE GAF 30 AG EF 设垂足为点N B 90 BAE 60 在Rt ABE中 AE ABsinB FD AE 在Rt AEN中 AN AEsin AEN S AFD FD AN 8 2018贵州贵阳 18 8分 如图 在Rt ABC中 以下是小亮探索与之间关系的方法 sinA sinB c c 根据你掌握的三角函数知识 在图 的锐角 ABC中 探索 之间的关系 并写出探索过程 解析如图1 过点A作BC边上的高AD 图1 在Rt ABD中 sinB 在Rt ACD中 sinC AD csinB AD bsinC csinB bsinC 同理 如图2 过点B作AC边上的高BE 图2 在Rt ABE中 sinA 在Rt BCE中 sinC BE csinA BE asinC csinA asinC 综上 9 2018安徽 19 10分 为了测量竖直旗杆AB的高度 某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD 并在地面上水平放置一个平面镜E 使得B E D在同一水平线上 如图所示 该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A 此时 AEB FED 在F处测得旗杆顶A的仰角为39 3 平面镜E的俯角为45 FD 1 8米 问旗杆AB的高度约为多少米 结果保留整数 参考数据 tan39 3 0 82 tan84 3 10 02 解析解法一 由题意知 AEB FED 45 AEF 90 在Rt AEF中 tan AFE tan84 3 在 ABE和 FDE中 ABE FDE 90 AEB FED ABE FDE tan84 3 AB FDtan84 3 1 8 10 02 18 036 18 米 答 旗杆AB的高度约为18米 10分 解法二 作FG AB于点G 由题意知 ABE和 FDE均为等腰直角三角形 AB BE DE FD 1 8 FG DB DE BE AB 1 8 AG AB GB AB FD AB 1 8 在Rt AFG中 tan AFG tan39 3 即 tan39 3 解得AB 18 2 18 米 答 旗杆AB的高度约为18米 10分 思路分析思路一 由题意可确定 AEF 90 从而可推出 ABE FDE 最后由相似三角形中对应边的比相等求解 思路二 作FG AB于点G 由题意可推出 ABE和 FDE均为等腰直角三角形 在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB 10 2018湖北武汉 23 10分 在 ABC中 ABC 90 1 如图1 分别过A C两点作经过点B的直线的垂线 垂足分别为M N 求证 ABM BCN 2 如图2 P是边BC上一点 BAP C tan PAC 求tanC的值 3 如图3 D是边CA延长线上一点 AE AB DEB 90 sin BAC 直接写出tan CEB的值 解析 1 证明 M N ABC 90 MAB MBA NBC MBA 90 MAB NBC ABM BCN 2 过点P作PM AP交AC于点M 过点M作MN PC交BC于点N 则 PMN APB tan PAC 设PN 2t 则AB t BAP APB MPC APB 90 BAP C MPC C CN PN 2t 易得 ABP CBA AB2 BP BC t 2 BP BP 4t BP t BC 5t tanC 3 在Rt ABC中 sin BAC tan BAC 过点A作AG BE于点G 过点C作CH BE交EB的延长线于点H DEB 90 CH AG DE 同 1 的方法得 ABG BCH 设BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n GH BG BH 4m 3n AB AE AG BE EG BG 4m n 2m EH EG GH 4m 4m 3n 8m 3n 8m 6m 14m 在Rt CEH中 tan CEB 思路分析 1 利用同角的余角相等判断出 MAB NBC 即可得出结论 2 作PM AP MN PC 先判断出 PMN APB 得出 设PN 2t 则AB t 再判断出 ABP CBA 设PN 2t 根据相似三角形的性质可求得BP t 则BC 5t 即可得出结论 3 作AG BE CH BE 先判断出 同 1 的方法得 ABG BCH 所以 设BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n 进一步得出关于m n的等式 解得n 2m 最后得出结论 方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法 本题涉及的相似三角形 要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似 同时要注意挖掘题干中不变的几何特征 根据特征寻方法 11 2018重庆 10 4分 如图 旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上 旗杆与地面垂直 在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角 AED 58 升旗台底部到教学楼底部的距离DE 7米 升旗台坡面CD的坡度i 1 0 75 坡长CD 2米 若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC 1米 则旗杆AB的高度约为 参考数据 sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 6 A 12 6米B 13 1米C 14 7米D 16 3米 答案B如图 延长AB交ED的延长线于M 作CJ DM于J 则四边形BMJC是矩形 在Rt CJD中 设CJ 4k DJ 3k k 0 已知CD 2 则有9k2 16k2 4 解得k BM CJ DJ 又 BC MJ 1 EM MJ DJ DE 在Rt AEM中 tan AEM tan58 1 6 解得AB 13 1 米 故选B 思路分析延长AB交ED的延长线于M 作CJ DM于J 则四边形BMJC是矩形 在Rt CJD中求出CJ DJ的长 再根据tan AEM 即可解决问题 方法总结解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型 正确画出图形 找到直角三角形 根据题目中的已知条件 将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题 画出平面几何图形 弄清已知条件中各量之间的关系 若图中有直角三角形 根据边角关系进行计算即可 若图中没有直角三角形 可通过添加辅助线构造直角三角形来解决 12 2018河南 20 9分 高低杠 是女子体操特有的一个竞技项目 其比赛器材由高 低两根平行杠及若干支架组成 运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高 低两杠间的距离 某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题 请你解答 如图所示 底座上A B两点间的距离为90cm 低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm 高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm 已知低杠的支架AC与直线AB的夹角 CAE为82 4 高杠的支架BD与直线AB的夹角 DBF为80 3 求高 低杠间的水平距离CH的长 结果精确到1cm 参考数据 sin82 4 0 991 cos82 4 0 132 tan82 4 7 500 sin80 3 0 983 cos80 3 0 168 tan80 3 5 850 解析在Rt CAE中 AE 20 7 3分 在Rt DBF中 BF 40 6分 EF AE AB BF 20 7 90 40 150 7 151 四边形CEFH为矩形 CH EF 151 即高 低杠间的水平距离CH的长约是151cm 9分 思路分析根据Rt CAE和Rt DBF中的边和角的数值 用正切函数分别求得AE BF的长度 得EF AE AB BF 由矩形的性质可知CH EF 可以求出问题的答案 方法总结解直角三角形的应用问题 一般根据题意抽象出几何图形 结合所给的线段或角 借助边角关系 三角函数的定义解题 若几何图形中无直角三角形 则需要根据条件构造直角三角形 再解直角三角形 求出实际问题的答案 13 2018湖北黄冈 21 7分 如图 在大楼AB正前方有一斜坡CD 坡角 DCE 30 楼高AB 60米 在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60 在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45 其中点A C E在同一直线上 1 求坡底C点到大楼距离AC的值 2 求斜坡CD的长度 解析 1 在Rt ABC中 AB 60米 ACB 60 AC 20米 2 过点D作DF AB于点F 则四边形AEDF为矩形 AF DE DF AE 设CD x米 在Rt CDE中 DE x米 CE x米 在Rt BDF中 BDF 45 BF DF AB AF 米 DF AE AC CE 20 x 60 x 解得x 80 120 即CD 80 120 米 14 2018山西 19 8分 祥云桥位于省城太原南部 该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成 全桥共设13对直线型斜拉索 造型新颖 是 三晋大地 的一种象征 某数学 综合与实践 小组的同学把 测量斜拉索顶端到桥面的距离 作为一项课题活动 他们制订了测量方案 并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量 测量结果如下表 1 请帮助该小组根据上表中的测量数据 求斜拉索端点C到AB的距离 参考数据 sin38 0 6 cos38 0 8 tan38 0 8 sin28 0 5 cos28 0 9 tan28 0 5 2 该小组要写出一份完整的课题活动报告 除上表的项目外 你认为还需要补充哪些项目 写出一个即可 解析 1 如图 过点C作CD AB于点D 1分 设CD x米 在Rt ADC中 ADC 90 A 38 tan38 AD x 2分 在Rt BDC中 BDC 90 B 28 tan28 BD 2x 3分 AD BD AB 234 x 2x 234 5分 解得x 72 6分 答 斜拉索端点C到AB的距离为72米 7分 2 答案不唯一 还需要补充的项目可为测量工具 计算过程 人员分工 指导教师 活动感受等 8分 15 2018江西 19 8分 图1是一种折叠门 由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成 整个活页门的右轴固定在门框上 通过推动左侧活页门开关 图2是其俯视简化示意图 已知轨道AB 120cm 两扇活页门的宽OC OB 60cm 点B固定 当点C在AB上左右运动时 OC与OB的长度不变 所有结果保留小数点后一位 1 若 OBC 50 求AC的长 2 当点C从点A向右运动60cm时 求O在此过程中运动的路径长 参考数据 sin50 0 77 cos50 0 64 tan50 1 19 取3 14 解析 1 如图 过点O作OD AB于点D 在Rt OBD中 BD OB cos OBD 60 cos50 60 0 64 38 4 cm OC OB BC 2BD AC AB BC 120 2 38 4 43 2 cm 2 如图 AB 120cm AC 60cm BC AB AC 60cm OC OB 60cm BC OC OB OBC为等边三角形 OBC 60 点O的运动路径为 点O运动的路径长为 20 62 8 cm 思路分析 1 过点O作OD AB于点D 先根据 OBC的余弦求出BD 然后根据等腰三角形的性质求得BC 进而求得AC的长 2 点O运动路径是以点B为圆心 OB长为半径的圆弧 先确定当点C从点A向右运动60cm后 OBC的大小 进而利用弧长公式求出结果 解题关键解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题 根据实际情况建立数学模型 正确理解点O的运动路径 16 2018云南昆明 19 7分 小婷在放学路上 看到隧道上方有一块宣传 中国 南亚博览会 的竖直标语牌CD 她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42 测得隧道底端B处的俯角为30 B C D在同一条直线上 AB 10m 隧道高6 5m 即BC 6 5m 求标语牌CD的长 结果保留小数点后一位 参考数据 sin42 0 67 cos42 0 74 tan42 0 90 1 73 解析如图 过点A作AE BD于点E 1分 由题意得 DAE 42 EAB 30 在Rt ABE中 AEB 90 AB 10 EAB 30 BE AB 10 5 2分 cos EAB AE AB cos30 10 5 4分 在Rt DEA中 DEA 90 DAE 42 tan DAE DE AE tan42 5 0 90 5分 CD BE ED BC 5 6 5 6 3 m 6分 答 标语牌CD的长约为6 3m 7分 思路分析作AE BD于点E 构造直角 DEA和直角 ABE 解直角 DEA和直角 ABE 求得BE DE的长 进而可求出CD的长度 方法总结解直角三角形的应用问题时 一般根据题意抽象地画出几何图形 结合所给的线段或角 借助边角关系 锐角三角函数的定义解题 若几何图形中无直角三角形 则需要根据条件构造直角三角形 再解直角三角形 求出实际问题的答案 17 2017天津 22 10分 本小题10分 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东64 方向 距离灯塔120海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东45 方向上的B处 求BP和BA的长 结果取整数 参考数据 sin64 0 90 cos64 0 44 tan64 2 05 取1 414 解析如图 过点P作PC AB 垂足为C 由题意可知 A 64 B 45 PA 120 在Rt APC中 sinA cosA PC PA sinA 120 sin64 AC PA cosA 120 cos64 在Rt BPC中 sinB tanB BP 153 海里 BC PC 120 sin64 BA BC AC 120 sin64 120 cos64 120 0 90 120 0 44 161 海里 答 BP的长约为153海里 BA的长约为161海里 思路分析在Rt APC中 利用 A的三角函数求出PC和AC 在Rt PCB中利用 B的三角函数求出BC和PB即可解决问题 解题关键解此题的关键是把实际问题转化为数学问题 根据实际情况建立数学模型 正确画出图形 找准三角形 18 2017贵州贵阳 20 8分 贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习 如图所示 消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后 发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者 消防官兵立刻升高云梯将其救出 已知点A与居民楼的水平距离是15米 且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角 CAD 60 求第二次施救时云梯与水平线的夹角 BAD的度数 结果精确到1 解析如图 延长AD 交BC所在的直线于点E 由题意 得BC 17米 AE 15米 CAE 60 AEB 90 在Rt ACE中 tan CAE CE AEtan60 15 米 在Rt ABE中 tan BAE BAE 71 答 第二次施救时云梯与水平线的夹角 BAD的度数约为71 19 2017安徽 17 8分 如图 游客在点A处坐缆车出发 沿A B D的路线可至山顶D处 假设AB和BD都是直线段 且AB BD 600m 75 45 求DE的长 参考数据 sin75 0 97 cos75 0 26 1 41 解析在Rt BDF中 由sin 可得 DF BD sin 600 sin45 600 300 423 m 3分 在Rt ABC中 由cos 可得 BC AB cos 600 cos75 600 0 26 156 m 6分 所以DE DF EF DF BC 423 156 579 m 8分 20 2017河南 19 9分 如图所示 我国两艘海监船A B在南海海域巡航 某一时刻 两船同时收到指令 立即前往救援遇险抛锚的渔船C 此时 B船在A船的正南方向5海里处 A船测得渔船C在其南偏东45 方向 B船测得渔船C在其南偏东53 方向 已知A船的航速为30海里 小时 B船的航速为25海里 小时 问C船至少要等待多长时间才能得到救援 参考数据 sin53 cos53 tan53 1 41 解析过点C作CD AB交AB延长线于点D 则 CDA 90 1分 已知 CAD 45 设CD x海里 则AD CD x海里 BD AD AB x 5 海里 3分 在Rt BDC中 CD BD tan53 即x x 5 tan53 x 20 6分 BC 20 25海里 B船到达C船处约需时间 25 25 1 小时 7分 在Rt ADC中 AC x 1 41 20 28 2海里 A船到达C船处约需时间 28 2 30 0 94 小时 8分 而0 94 1 所以C船至少要等待0 94小时才能得到救援 9分 解题技巧本题是解三角形两种典型问题中的一种 以下介绍两种典型问题 1 如图 当BC a时 设AD x 则CD BD CD BD a a x 2 如图 当BC a时 设AD x 则BD CD CD BD a a x 21 2015江苏南京 23 8分 如图 轮船甲位于码头O的正西方向A处 轮船乙位于码头O的正北方向C处 测得 CAO 45 轮船甲自西向东匀速行驶 同时轮船乙沿正北方向匀速行驶 它们的速度分别为45km h和36km h 经过0 1h 轮船甲行驶至B处 轮船乙行驶至D处 测得 DBO 58 此时B处距离码头O有多远 参考数据 sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 60 解析设B处距离码头Oxkm 在Rt CAO中 CAO 45 tan CAO CO AO tan CAO 45 0 1 x tan45 4 5 x 2分 在Rt DBO中 DBO 58 tan DBO DO BO tan DBO x tan58 4分 DC DO CO 36 0 1 x tan58 4 5 x x 13 5 因此 B处距离码头O大约13 5km 8分 22 2015重庆 24 10分 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD 其中AB CD 大坝顶上有一錡望台PC PC正前方有两艘渔船M N 观察员在錡望台顶端P处观测到渔船M的俯角 为31 渔船N的俯角 为45 已知MN所在直线与PC所在直线垂直 垂足为E 且PE长为30米 1 求两渔船M N之间的距离 结果精确到1米 2 已知坝高24米 坝长100米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 为提高大坝防洪能力 请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固 坝底BA加宽后变为BH 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 施工队施工10天后 为尽快完成加固任务 施工队增加了机械设备 工作效率提高到原来的2倍 结果比原计划提前20天完成加固任务 施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米 参考数据 tan31 0 60 sin31 0 52 解析 1 由题意得 E 90 PME 31 PNE 45 PE 30米 在Rt PEN中 PE NE 30 米 2分 在Rt PEM中 tan31 ME 50 米 4分 MN ME NE 50 30 20 米 答 两渔船M N之间的距离约为20米 5分 2 过点D作DG AB于G 坝高DG 24米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 DG AG 1 0 25 AG 6 米 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 DG GH 1 1 75 GH 42 米 AH GH GA 42 6 36 米 6分 S ADH AH DG 36 24 432 平方米 需要填筑土石方432 100 43200 立方米 7分 设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米 根据题意 得10 20 9分 解方程 得x 864 经检验 x 864是原方程的根且符合题意 答 施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米 10分 23 2014浙江宁波 21 8分 如图 从A地到B地的公路需经过C地 图中AC 10千米 CAB 25 CBA 37 因城市规划的需要 将在A B两地之间修建一条笔直的公路 1 求改直后的公路AB的长 2 问公路改直后比原来缩短了多少千米 sin25 0 42 cos25 0 91 sin37 0 60 tan37 0 75 解析 1 作CH AB于点H 在Rt ACH中 1分 CH AC sin CAB AC sin25 10 0 42 4 2 千米 2分 AH AC cos CAB AC cos25 10 0 91 9 1 千米 3分 在Rt BCH中 BH CH tan37 4 2 0 75 5 6 千米 4分 AB AH BH 9 1 5 6 14 7 千米 5分 2 在Rt BCH中 BC CH sin37 4 2 0 60 7 0 千米 6分 AC BC AB 10 7 14 7 2 3 千米 答 改直后比原来缩短了2 3千米 8分 24 2014安徽 18 8分 如图 在同一平面内 两条平行高速公路l1和l2间有一条 Z 型道路连通 其中AB段与高速公路l1成30 角 长为20km BC段与AB CD段都垂直 长为10km CD段长为30km 求两高速公路间的距离 结果保留根号 解析如图 过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E 过点E作l1的垂线与l1 l2分别交于点H F 则HF l2 由题意知AB BC BC CD 又AE AB 四边形ABCE为矩形 AE BC AB EC 2分 DE DC CE DC AB 50 又AB与l1成30 角 EDF 30 EAH 60 在Rt DEF中 EF DE sin30 50 25 5分 在Rt AEH中 EH AE sin60 10 5 所以HF EF HE 25 5 答 两高速公路间的距离为 25 5 km 8分 考点一锐角三角函数 三年模拟 A组2016 2018年模拟 基础题组 1 2018北京燕山一模 6 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD是AB边上的中线 AC 8 BC 6 则 ACD的正切值是 A B C D 答案D ACB 90 CD是AB边上的中线 AD CD ACD A tan ACD tan A 2 2017北京西城一模 7 如图 小明在地面上放了一个平面镜 选择合适的位置 刚好在平面镜中看到旗杆的顶部 此时小明与平面镜的水平距离为2m 旗杆底部与平面镜的水平距离为16m 若小明的眼睛与地面的距离为1 5m 则旗杆的高度为 单位 m A B 9C 12D 答案C如图 由题意得 DE 12m 故选C 思路分析通过读题 首先要标清边角条件 并借助解直角三角形的相关知识来解题 解题关键解决本题的关键是要明确平面镜的性质 从而得到反射角等于入射角 进而才能借助解直角三角形或相似的相关知识来解决 3 2016北京延庆一模 6 如图 在4 4的正方形网格中 tan 的值等于 A 2B C D 答案A如图 设每个小正方形边长为1 则AB 2 CB 1 tan 2 故选A 考点二解直角三角形 1 2018北京海淀二模 6 我国古代有一种通过测量日影长度来确定时间的仪器 称为圭表 下图是一个根据北京的地理位置设计的圭表 其中 立柱AC的高为a 已知 冬至时北京的正午日光入射角 ABC约为26 5 则立柱根部与圭表的冬至线的距离 即BC的长 约为 A asin26 5 B C acos26 5 D 答案B tan ABC BC 故选B 2 2017北京平谷一模 6 某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示 其中AB CD分别表示一楼 二楼地面的水平线 ABC 150 BC的长是8m 则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 A 4mB 8mC mD 4m 答案D ABC 150 CBE 30 h BC 8 4m 故选D 3 2016北京怀柔二模 8 如图 在地面上的点A处测得树顶B的仰角为 AC 7米 则树高BC为 A 7sin 米B 7cos 米C 7tan 米D 7 米 答案C tan BC tan AC 7tan 米 故选C 4 2018北京平谷二模 14 如图 一名滑雪运动员沿着倾斜角为34 的斜坡从A滑行至B 已知AB 500米 则这名滑雪运动员的高度下降了约米 参考数据 sin34 0 56 cos34 0 83 tan34 0 67 答案280 解析AC AB sin34 500 0 56 280米 5 2017北京丰台二模 13 某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动 他们要测量一幢建筑物AB的高度 如图 他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30 然后向建筑物AB前进10m到达点D处 又测得点A的仰角为60 那么建筑物AB的高度是m 答案5 解析 ABC 90 DAB 30 CAB 60 CAD 30 AD CD 10m AB AD sin60 10 5m 6 2017北京丰台一模 23 如图 在四边形ABCD中 ABC 90 DE AC于点E 且AE CE DE 5 EB 12 1 求AD的长 2 若 CAB 30 求四边形ABCD的周长 解析 1 ABC 90 AE CE EB 12 EB AE CE 12 DE AC DE 5 在Rt ADE中 由勾股定理得AD 13 2 在Rt ABC中 CAB 30 AC AE CE 24 BC 12 AB AC cos30 12 DE AC AE CE AD DC 13 四边形ABCD的周长为AB BC CD AD 38 12 7 2016北京延庆一模 24 如图 甲船在港口P的南偏西60 方向 距港口86海里的A处 沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P 乙船从港口P出发 沿南偏东45 方向匀速驶离港口P 现两船同时出发 2小时后乙船在甲船的正东方向 求乙船的航行速度 结果精确到个位 参考数据 1 414 1 732 2 236 解析依题意 设乙船的航行速度为每小时x海里 2小时后甲船在点B处 乙船在点C处 则PC 2x 过P作PD BC于D BP 86 2 15 56 在Rt PDB中 PDB 90 BPD 60 PD PB cos60 28 在Rt PDC中 PDC 90 DPC 45 PD PC cos45 2x x x 28 即x 14 20 答 乙船的航行速度为每小时20海里 一 选择题 每小题3分 共6分 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 35分钟分值 40分 1 2017北京海淀二模 10 利用量角器可以制作 锐角正弦值速查卡 制作方法如下 如图 设OA 1 以O为圆心 分别以0 05 0 1 0 15 0 2 0 9 0 95为半径作半圆 再以OA为直径作 M 利用 锐角正弦值速查卡 可以读出相应锐角正弦的近似值 例如 sin60 0 87 sin45 0 71 下列角度中正弦值最接近0 94的是 答案A通过量角器可以发现 圆和度数的交点的半圆半径即相应锐角的正弦值的近似值 所以正弦值最接近0 94的是70 故选A A 70 B 50 C 40 D 30 2 2016北京西城一模 9 某滑雪场举办冰雪嘉年华活动 采用直升机航拍技术拍摄活动盛况 如图 通过直升机的镜头C观测水平雪道一端A处的俯角为30 另一端B处的俯角为45 若直升机镜头C处的高度CD为300米 点A D B在同一直线上 则雪道AB的长度为 A 300米B 150米C 900米D 300 300 米 答案D由题意可知 A 30 B 45 AD 300 tanA 300米 DB CD 300米 AB 300 300 米 故选D 二 填空题 每小题3分 共9分 3 2018北京石景山一模 15 在距办公楼20m的点B处 用高为0 8m的测角仪测得办公楼顶点C的仰角为63 则办公楼CD的高约为m 精确到0 1m sin63 0 89 cos63 0 45 tan63 1 96 答案40 0 解析过点A作AE BD交CD于E tan CAE 1 96 CE 39 2米 CD CE DE 39 2 0 8 40 0米 4 2018北京朝阳二模 11 2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞 下图是一种机翼的示意图 用含有m n的式子表示AB的长 答案m n n 解析过点C作CE垂直BA 交BA的延长线于点E 则四边形CFBE为长方形 且长方形的长为m n 宽为n ACE 45 CEA为等腰直角三角形 EA CE n AB的长为m n n 5 2018北京丰台二模 15 如图 一辆小汽车与墙平行停放 汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0 8米 小汽车车门的宽AO为1 2米 当车门打开的角度 AOB为40 时 车门是否会碰到墙 填 是 或 否 请简述你的理由 参考数据 sin40 0 64 cos40 0 77 tan40 0 84 答案否 求出点A到直线OB的距离 通过计算可得 此距离小于0 8 所以车门不会碰到墙 解析过点A作AC OB AC AO sin40 1 2 0 64 0 768 0 8 所以车门不会碰到墙 三 解答题 共25分 6 2018北京朝阳一模 21 如图 在 ABC中 D是AB边上任意一点 E是BC边的中点 过点C作AB的平行线 交DE的延长线于点F 连接BF CD 1 求证 四边形CDBF是平行四边形 2 若 FDB 30 ABC 45 BC 4 求DF的长 解析 1 证明 CF AB ECF EBD E是BC的中点 CE BE CEF BED CEF BED CF BD 四边形CDBF是平行四边形 2 如图 作EM DB于点M 四边形CDBF是平行四边形 BC 4 BE BC 2 DF 2DE 在Rt EMB中 EM BE sin ABC 2 在Rt EMD中 DE 2EM 4 DF 8 7 2017北京怀柔二模 21 已知 如图 在四边形ABCD中 AB BD AD BC ADB 45 C 60 AB 求四边形ABCD的周长 解析 AB BD ABD 90 在Rt ABD中 ABD 90 ADB 45 AB DAB 45 DAB ADB AB BD 由勾股定理得AD 2 AD BC ADB DBC 45 过点D作DE BC 交BC于点E DEB DEC 90 在Rt DEB中 DEB 90 DBC 45 BDE 45 sin DBC DBC BDE DE BE DE 在Rt DEC中 DEC 90 C 60 sinC tanC CD 2 CE 1 BC BE CE 1 四边形ABCD的周长 AB BC CD AD 1 2 2 3 3 8 2017北京门头沟一模 26 在一节数学实践课上 老师出示了这样一道题 如图1 在锐角三角形ABC中 A B C所对的边分别是a b c 请用a c B表示b2 经过同学们的思考 甲同学说 要将锐角三角形转化为直角三角形来解决 并且不能破坏 B 因此可以经过点A 作AD BC于点D 如图2 大家认同 乙同学说 要想得到b2 要在Rt ABD或Rt ACD中解决 丙同学说 那就要先求出AD BD 用含c B的三角函数表示 丁同学顺着他们的思路 求出b2 AD2 DC2 提示 同角的正弦与余弦的平方和为1 请利用丁同学的结论解决如下问题 如图3 在四边形ABCD中 B D 90 BAD 60 AB 4 AD 5 求AC的长 补全图形 直接写出结果即可 图3 解析AD c sinB BD c cosB b2 a2 c2 2ac cosB 补全图形如图 结果 AC 2 9 2017北京门头沟一模 28 已知 ABC AB AC BAC 在BA的延长线上任取一点D 过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E 1 当 BAC 60 时 如图1 依题意补全图形 直接写出EC BC ED的数量关系 2 当 BAC 90 时 如图2 判断EC BC ED之间的数量关系 并加以证明 3 当 BAC 时 0 180 请写出EC BC ED之间的数量关系并写出解题思路 解析 1 补全图形如图 数量关系 EC BC ED 2 数量关系 BC ED EC 过D作DF AC交BC的延长线于F点 DF AC ED BC 四边形EDFC为平行四边形 ED CF EC DF AB AC ABC ACB ED BC DEC ECB EDB DBC CED BDE AE AD EC BD BD DF DF AC BDF BAC 90 BDF为等腰直角三角形 在Rt BDF中 BF2 BD2 DF2 BC ED 2 2EC2 BC ED EC 3 数量关系 BC ED 2EC sin 由 2 可知四边形EDFC为平行四边形 BDF为等腰三角形 过D点作DN BC于N点 可得BN BF BDN 在Rt BDN中 sin BDN sin 可得BC ED 2EC sin 10 2016北京东城二模 26 阅读下列材料 在学习完锐角三角函数后 老师提出一个这样的问题 如图1 在Rt ABC中 ACB 90 AB 1 A 求sin2 用含sin cos 的式子表示 聪明的小雯同学是这样考虑的 如图2 取AB的中点O 连接OC 过点C作CD AB于点D 则 COB 2 然后利用锐角三角函数在Rt ABC中表示出AC BC 在Rt ACD中表示出CD 则可以求出sin2 2sin cos 阅读以上内容 回答下列问题 在Rt ABC中 C 90 AB 1 1 如图3 若BC 则sin sin2 图3 2 请你参考阅读材料中的推导思路 求出tan2 的表达式 用含sin cos 的式子表示 解析 1 sin sin2 2 AC cos BC sin CD sin cos DCB A 在Rt BCD中 BD sin2 OD sin2 tan2