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义务教育课程标准实验教科书 数学 六年级上册培训提纲整体内容分布：（一）数与代数 （三）统计与概率1分数乘法 统计扇形统计图2分数除法 （四）数学思想方法3百分数 数学广角鸡兔同笼（二）空间与图形 （五）综合应用1位置 1确定起跑线2圆 2合理存款第一单元 位置一、教学内容用数对确定物体的位置。二、教学目标1在具体的情境中，探索确定位置的方法，能用数对表示物体的位置。2. 使学生能在方格纸上用数对确定位置。三、具体编排学生在一年级下册已经学会了在具体的情境中，根据行、列确定物体的位置，并通过四年级下册位置与方向的学习进一步认识了在平面内可以通过两个条件确定物体的位置。本单元在此基础上，让学生学习在具体情境中用数对表示物体的位置或在方格纸上用数对确定位置，进一步提升学生的已有经验，培养学生的空间观念，为第三学段学习“图形与坐标”的内容打下基础。本单元共安排了两个例题。例1教学用数对确定教室里的座位的位置。 结合生活实例引出数对，使学生体会用数对可以准确、简洁地表示物体的位置。 呈现确定多媒体教室中学生的座位这个情景。有两个问题： 通过让学生找出哪个是张亮，明确“列”“行”的含义及确定第几列、第几行的一般规则。 给出了用数对表示张亮同学位置的方法，并通过表示王艳、赵强的位置，比较有什么不同，强调有序数对中两个数顺序的重要性。 教学时，要使学生明确： “列”“行”的含义及确定第几列、第几行的一般规则。（先说列，再说行；从左往右数列，从下往上数行。这样就与在平面直角坐标系上表示一个点的位置是一致的。） 用数对如何表示位置。 两个数的顺序不能随意调换。做一做 让学生举出一些生活中用数对确定物体位置的例子，如电影院座位、队列、书架、楼房房间号等等。书上在最后“生活中的数学”介绍了围棋棋盘用19条纵线19条横线确定围棋棋子的位置、用经度和纬度确定地球上某一地点的位置的例子。 使学生认识到生活中用有序数对表示位置的情况很常见。例2教学在方格纸上用数对表示一个物体的位置。 与例1的区别 把具体怀境中的物体的位置关系，在方格纸上表示出来，也就是在方格纸上画出物体的平面示意图，这时物体用一个点代替。 具体化编排 把动物园的各场馆的位置画在方格纸上。 两个学生对话给出用数对表示位置的方法。 下面两个问题从正反两方面掌握在方格纸上表示物体位置的方法。练习一第13题是配合例1的习题。 第1题，按给出的数对在方格图上接着涂色，看涂出的是什么图案。既巩固方法，又激发兴趣。还可以反过来，让学生在方格纸上设计图案 第2题，介绍国际象棋棋盘上表示棋子位置的规则，练习用数对确定棋子的位置，这里数对中的一个数是字母。 第3题，通过呈现地图册中的某一页，说明如何根据地图册中的“重要地名索引”确定一个地点所在的位置。这里是用三个数据来查找某一地点所在的位置，这种方式在地图手册上常见。第一个数据是指该地点所在的页码，后两个数据确定该地点所在的位置。通过做这题应让学生了解地图册中的“重要地名索引”是如何确定一个地点所在的位置的。第47题，是配合例2的习题。 第4题第（2）小题，注意提醒学生不仅要按ABCDE的顺序连结，还要连成封闭图形，所以还要连结EA。 第5题，可以让学生在书后面附上的方格纸上设计。第6题和第7题，综合了以前所学的知识。 第6题综合平移知识，让学生在方格纸上把三角形平移，并写出表示平移前后图形顶点位置的数对。发现图形向右平移，改变了顶点所在的列，没有改变顶点所在的行，数对中的第二个数没有变；图形向上平移，改变了顶点所在的行，没有改变顶点所在的列，数对中的第一个数没有变。 第7题是联系方位的知识，让学生根据图上的资料描述建筑物的实际方位及行走路线或根据建筑的实际方位在图中标出建筑所在位置。 第8题，用数对确定物体位置在实际生活中应用的一个典型例子。取材于大型的庆祝活动，参与举牌或举花的队员按口令举出不同颜色的牌或花，由此组成绚丽的背景图案。这里反过来，先呈现一个背景图案，让学生思考怎么才能让1040人的队列组成这样的图案，这里只讨论方法，使学生体会到实际上就是用数对确定点的位置问题。四、教学建议1注意提升学生已有的确定物体位置的知识经验。2注意知识的综合性。2准确把握教学要求。本单元只要求学生会用数对表示物体的位置，既可以是具体情境中的位置，也可以是方格纸上点的位置。不用区分它们有什么不同。第二单元 分数乘法一、教学内容本单元教学内容包括三部分内容：分数乘法、解决问题和倒数。二、教学目标1理解分数乘法的意义，掌握分数乘法的计算方法，会进行分数乘法计算。2理解乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并会应用这些运算定律进行一些简便计算。3理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。4会运用分数乘法解决一些简单的实际问题，体会数学与日常生活的联系。三、具体编排1分数乘法（安排了6个例题。）分三个层次进行教学。 第一个层次学习分数乘整数，在整数乘法和分数加法的基础上学习。 第二个层次学习分数乘分数，在理解分数乘法意义的基础上，通过操作去理解和学习。通过这两个层次的学习帮助学生理解并掌握分数乘法的计算方法。 第三个层次学习混合运算的内容，使学生理解整数乘法运算定律与运算顺序对分数运算同样适用，并会运用乘法运算定律进行分数的简便计算。例1（教学分数乘整数）从分数乘整数引入分数乘法教学，帮助学生理解分数乘整数的意义及算理，掌握计算方法。从人的步距与袋鼠步距的比较这样一个实际问题引入。分四个步骤安排教学内容。（1）给出信息，提出问题。（2）用线段图帮助学生理解题意，使学生明确：求人跑3步的距离是袋鼠跳一下的几分之几，实际上是求3个，为探究计算方法做好准备。（3）探究计算方法。 先出示加法计算，是同分母分数相加，属已学过的内容。 再出示乘法计算，根据乘法的意义，将乘式转化为加法算式计算：分母不变，分子相加。再根据乘法的意义，将同分子连加的形式转化为乘式，得出分数乘整数的计算方法：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。（4） 讨论归纳分数乘整数的计算方法。例2（说明分数乘整数，为了计算简便能约分的要先约分再计算）在学生掌握分数乘整数的计算方法基础上，使学生进一步了解乘得的积一般应该化成最简分数。把积化为最简分数有两种处理方法，一是将乘得的积的分子与分母约分，另一种方法是在乘的过程中将分数的分母与整数进行约分。教材突出第二种方法，说明能约分的先约分再计算可以使计算简便。例3（教学分数乘分数）分数乘分数的算理较难理解，所以本例通过直观操作，帮助学生理解算理。分两个层次教学，先解决求一个数的几分之一的问题，再解决求一个数的几分之几是多少的问题。（具体说明） 解决第一个问题：小时粉刷这面墙的几分之几？分两步操作。第一步把一张长方形的纸片看作一面墙，先涂出1小时粉刷的面积，即这面墙的，第二步再涂出小时粉刷这面墙的面积，即的，直观得出的是。在此基础上，根据操作的过程和结果推导出计算方法。 第二个问题： 小时粉刷多少？让学生用前面的方法涂色、推导与计算，自主解决问题。 在此基础上以学生讨论的形式得出分数乘分数的计算方法。例4（说明分数乘分数应先约分再乘） 通过计算，使学生明确分数乘分数计算也应该先约分再乘，这样计算比较简便。 这里提出是分数乘整数的计算，除了像例2写成后进行约分，也可以把分数的分母与整数直接约分。把分数乘法的两种形式集中呈现，加强对比与联系；练习二第5题，通过直观图进一步巩固分数乘分数的意义和算理，可以放在例3后面练习，让学生结合图意说说思考的过程，巩固对算理的认识。第6题，加深对分数乘法意义的认识。可以让学生先说一说列式的依据，如求2枝长多少分米？就是求2个是多少？用；求枝长多少分米？就是求的是多少？用。例5（教学整数乘法运算定律推广到分数。）通过观察计算得出“整数乘法的交换律、结合率和分配率，对于分数乘法也适用”例6（乘法运算定律的应用。） 结合具体计算，说明乘法运算定律在分数乘法运算中的应用。 “做一做”安排运用运算定律进行分数乘法的简便计算。2解决问题教材共安排3个例题，分2个层次教学。例1教学解答求一个数的几分之几是多少的问题；例2、例3 教学稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题。例1（教学求一个数的几分之几是多少的问题。） 以中国人均耕地面积与世界人均耕地面积这两个量的比较引入 用线段图表示出问题的数量关系和要求的问题，用“想”提示学生根据线段图思考解决问题的思路，由于是“我国人均耕地面积”与“世界人均耕地面积”相比较，其中“世界人均耕地面积”是表示单位“1”的量，知道世界人均耕地面积为2500，求我国人均耕地面积就是求2500的是多少。最后列式计算解决问题。 最后针对计算的结果进行国情教育。 “做一做”安排一道与例题相同类型的题目，巩固这类问题的解决思路与方法。例2（稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题）这是一个数量与它的部分量的比较关系，即知道一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的问题。 教材选取了绿化造林可以降低噪音这一环保题材，出示一幅情景图：公路上汽车的噪音有80分贝，经绿化隔离带后，测试噪音降低了。提出问题：人现在听到的声音是多少分贝？ 解答一般有两种方法，一种是先求出已知是总量几分之几的部分量，再用总量减去这个部分量，求出另一个部分量。教材用线段图表示出数量关系及解题的两个步骤，并以学生叙述解决思路的方式提示出先求什么。然后列出算式，让学生求出结果。 另一种是先求出要求的部分量占总量的几分之几，再根据分数乘法的意义求出这个部分量是多少。教材仅出示线段图，提示要找出先求什么，没有给出解答算式，意图要求学生自主探索解决问题。 最后要求学生对两种思路进行比较，目的是通过比较，加深对两种思考方法的认识，同时培养学生比较、归纳的能力。例3（稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题） 这是两个数量的比较关系，即已知一个数量比另一个数量多（少）几分之几，求这个数量。 教材以人心脏跳动次数为素材引入例题。 其中“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”是解题的关键。教材由小精灵提出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多表示什么意思？”让学生理解其含义。这句话可以转化为“婴儿每分钟比青少年多跳的次数是青少年每分钟心跳次数的。”理解了这句话，就应该知道把什么看作单位“1”，就容易理解数量关系了，接着教材还是利用线段图帮助理解数量关系。 这题也有两种解答方法，教材只出现一种，另一种方法教材没有出示，只是用“想一想，还有其他的方法吗”提示让学生结合例2的学习自己想出。3倒数的认识这部分内容是在学习了分数乘法的基础上教学的，主要为后面学习分数除法做准备。安排了2个例题，教学倒数的意义和求倒数的方法。例1（教学倒数的含义） 编排了几组乘积为1的乘法算式，通过学生观察、讨论等活动，找出它们的共同特点，导出倒数的定义。 要让学生理解“互为倒数”的含义，即倒数是表示两个数之间的关系，这两个数是相互依存的，倒数不能单独存在。如“不能说是倒数”。 可以让学生根据对倒数意义的理解，说出几组倒数，理解是否真正理解和掌握。例2（教学求倒数的方法） 教材先安排找倒数的活动，从而初步体验找倒数的方法：调换分子、分母的位置。 总结求倒数的方法，分三种情况： 一般求一个分数的倒数是交换分数的分子、分母的位置； 求整数的倒数是把整数看作分子是1的分数，再交换分子和分母的位置。 1和0的倒数的问题，教材提出让学生思考讨论得到结论。（在讨论的基础上归纳：根据倒数的意义，因为11=1，所以1的倒数是1；因为0与任何数相乘都是0，所以0没有倒数。）四、教学建议1. 注意相关的已有知识的复习。本单元各部分知识都与前面的知识有密切的联系。2加强分数乘法的意义的教学。对分数乘法的意义理解不仅是理解分数乘分数算理的关键，而且是求一个数的几分之几是多少的基础。因此一定要重视分数乘法意义的教学。3借助多种方式帮助学生学会分析数量关系的方法。本单元的解决问题是由于分数乘法意义的扩展的产生的，数量关系比较特殊，借助多种方式帮助学生学会分析数量关系的方法。第三单元 分数除法一、教学内容主要内容包括：分数除法的意义与计算；分数除法的应用；比的意义与基本性质，求比值与化简比，及其比的应用。二、教学目标1.理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计算。2.会用方程或算术方法解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际问题。3.理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。能够正确地化简比和求比值。4.能运用比的知识解决有关的实际问题。三、具体编排1. 分数除法例1（教学分数除法的意义。） 教材采用了整数与分数对比，乘法与除法对比的方式，揭示出分数除法的意义与整数除法的意义相同。 首先由整数乘法的实际例子“每盒水果糖重100g，3盒有多重？”引入整数乘法，同时改编成用除法计算的问题，得出两个相应的除法算式。然后将其中的100g改成kg，引出一个分数乘法算式和两个分数除法算式。使学生看到这些问题无论涉及整数还是分数，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 “做一做”，让学生根据已知的分数乘法算式，直接写出两个相应除法算式的商，旨在通过练习，巩固对分数除法意义的认识。例2（教学分数除以整数） 通过折纸帮助学生理解算理。分两个层次教学，先解决分子能被整数整除的特殊情况，即把一张纸的平均分成2份，看每份是这张纸的几分之几？再引出分子不能被整数整除的一般情况：把这张纸的平均分成3份，看每份是这张纸的几分之几？让学生经历由特殊到一般的过程，由此体会到用整数去除分数的分子的方法不是总能计算出得数，通常可以转化成乘这个整数的倒数，进一步渗透转化的数学思想。在此基础上让学生概括出分数除以整数的方法， 例3（教学分数除以分数） 例题以比较小明、小红两位同学“谁走得快些”引出两种情况。 这里首先的列式依据是“路程时间速度”的数量关系，与以前不同的只是路程、时间由整数换成了分数。由于学生对解决“谁走得快些” 这类问题比较熟悉，所以由原来学习的整数除法算式，类推出分数除法算式不会感到困难。因而有利于集中精力投入计算方法的探索与理解。其中计算小明平均每小时走的路程“”是探索的重点。教材采用画线段图的直观方式展现推算的思路：已知小时走了2km，可以先求出小时走了1km，算式是；再求1小时即3个小时走了多少千米，算式是 3 。 由于数据简单，便于口算，整个推算过程处在学生思维能力的最近发展区内，加上线段图的直观效果，因此降低了学生探究算法、理解算理的难度。找到了整数除以分数的计算方法，就可以依次类推，再来解决分数除以分数的计算，即通过，求出小红平均每小时走的路程。最后教材以小精灵提问的方式，引导学生总结分数除法的一般方法，并启发学生用自己的方式加以表示。例4（分数除法的混合运算）以小红剪彩带做花送同学为题材，通过解决实际问题，引出涉及分数除法的混合运算，使学生看到已经掌握的混合运算顺序，同样适用于分数运算。2. 解决问题例1（已知一个数的几分之几是多少，求这个数。） “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”有两种情况：一种是是部分与整体之间的关系，可以在一条线段上表示；另一种是两个数量之间的关系，需要画出两条线段加以表示。它们是同一种数量关系，教材把它们放在同一题里，用同一个问题情境串联起来，比较自然，便于展开教学，也便于学生理解。 教材以人体中水分与体重的关系为素材，引出问题。教材以插图的形式给出条件，图中医生介绍人体中水分与体重的关系。小明讲出两个已知条件。进而分别提出求小明、爸爸体重的两个问题。这里“成人体内的水分约占体重的”，是一个多余条件，需要学生通过审题、分析加以识别。由于在现实生活中，解决问题所需的条件，往往需要我们从各种信息里筛选出来，所以像例1这样有多余条件的问题情境，比较接近真实情况，有利于培养学生的信息识别能力。 为了帮助学生分析、理解数量关系，教材分别画出了线段图。 可分步出示条件和问题。 通过对比让学生看到用方程解的优势。例2（教学稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题。） 由学校兴趣小组为题材，引出“稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。 以对话方式给出条件，再给出问题。 为了帮助学生思考，教材提示“先画线段图看看”，并给出了完整的图示，为学生分析、理解等量关系提供直观支柱。然后由图得出等量关系，并据此列方程解答。 解决这种数量关系的问题，可以列成形如的方程，也可以列成形如的方程，前者仍然要经历从“多几分之几”到“是几分之几”的转化，实际上是方程的形式，算术的思路。后者只要根据一个数加上增加部分等于增加后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易理解。因此，教材选择最简捷的思路，给出解题的全过程。 教学例2前，可安排一些基础练习，为教学例题做准备。可供选择的基础练习有：与例2相对应的分数乘法实际问题。如：学校合唱队有男生20人，女生比男生多，合唱队有女生多少人？写出代数式的练习。如：学校舞蹈队有男生人，女生比男生多，女生比男生多（ ）人，女生有（ ）人。这些基础练习的情节内容，也可以改为例2的内容。即将上面的男女生人数改为航模小组人数和美术小组人数，以进一步降低新授学习的难度。但这样一来，暗示的成分多了，学习例2时的探索空间就会相应缩小。所以，教师应当根据学生的实际情况，酌情安排必要的铺垫。如果学生基础较好，跳过复习环节，直接出示例题也是可以的。教师可以根据本班学生的实际情况选用或自行设计。3. 比和比的应用这部分内容过去是安排在小学最后阶段进行教学。由于比与分数有密切联系，把比的最基础知识提前安排在分数除法单元中教学，既能加强知识间的内在联系，又可以为以后学习比例知识，以及其他方面的知识打下较好的基础。本节教材分成三段。比的意义 传统的算术教材在讲比的意义时，只强调比的一种情况，即两个同类量的倍数关系。但在实际应用中，经常要用到比的另一种情况，如路程和时间的比（速度），质量和体积的比（密度）等。所以现在的小学数学教材，既讲同类量的比，又讲不同类量的比。当然，不同类的量相比，有关联的才行。这样，小学生进入中学后就便于理解物理等学科中经常出现的不同类量的比。 教材选取我国第一艘载人飞船的有关内容作为引入比的载体，通过这一富有时代性的情节内容，引出同类量的比（介绍飞船里的两面长方形小旗，给出真实数据，引导学生讨论长与宽的倍数关系，得到长度相除的两个算式，由此引出同类量的比）、非同类量的比（介绍飞船的运行路程与时间，让学生用除法表示飞船进入轨道后的速度，由此引出非同类量的比）。在此基础上概括比的意义。 接着以这几个比为例，说明比的读、写及比的各部分名称，并计算出其中一个比的比值，说明“比值通常用分数表示”。 然后根据分数与除法的关系，具体说明比也可以写成分数形式。最后，由小精灵提出问题，引导学生联系比与除法、分数的关系思考比的后项可不可以为0。做一做 第1题是根据条件和要求写出比并求比值的练习，用以巩固比的概念 第2题是求未知的前项或后项的练习，旨在通过求比的未知项，从另一侧面理解比与除法的关系比的基本性质 在比较两个量的关系时，可以把除法、比、分数看作是形式的不同，它们可以互相转化。比的基本性质可由商不变的性质和分数的基本性质导出。 教材先让学生回顾商不变的性质和分数的基本性质，再启发学生联系比和除法、分数关系，思考：“比中有什么样的规律？”教材结合先利用比和除法的关系进行研究，然后让学生根据比和分数的关系来研究，在此基础上概括出比的基本性质。也可先猜测后验证。作为比的基本性质的直接应用，例1教学化简比。例1有两道题。第（1）题，化简整数比。仍采用“神州五号”有关旗的题材，但讨论的是两面一大一小的联合国旗。题目告诉两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简单的整数比。这里的两个答案相同，渗透了两面旗按比例缩小的相似变换思想，同时也便于学生感悟化简的必要性，即能使数量关系更加简单明了。选取这一素材，既有思想性、趣味性，且数据真实，又有数学内涵。第（2）题化简分数、小数比。让学生结合具体例子总结：当一个比不是整数比时，如何化简比。比的应用在小学数学中，比的应用主要有两个内容，即比例尺和按比例分配。由于比例尺与比例的联系更多一些，且标准把比例尺归入空间与图形领域的图形与位置这部分内容中，因此留在后面教学，这里只教学怎样解答按比例分配的实际问题。 教材通过例2，以清洁剂浓缩液的稀释为例，提出问题，引导学生把一个数量按照已知的比分成两部分。 例2创设了一个日常生活中比较常见的稀释清洁剂浓缩液的问题情境。教材首先通过一段文字说明稀释瓶上用不同颜色条形标明的比的含义，使学生了解按比配制的实际意义。然后由阿姨说明稀释的配制要求，并提出问题，再由两个同学讨论算法，引导学生思考。这里介绍了两种解法。一种是先求出每份是多少，再求几份是多少。即转化为整数的除法、乘法来解决。另一种是把比转化成每种成份占总数的几分之几，变成求一个数的几分之几是多少，用分数乘法来解决。做一做的第2题，教学把一个数量按照已知的比分成三部分的问题。黄金比在线段AB上，点C把线段AB分成两段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即。黄金分割具有艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。例如五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是因为在五角星中线段之间的长度关系符合黄金分割比。又如舞台上的报幕员以站在舞台长度的黄金分割点最美观，声音传播的最好。黄金比的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。四、教学建议1.注意相关知识的复习。本单元很多内容都与前面的知识有密切的联系，教学时，应当充分利用学生原有的学习基础，学习新知识。 （如，分数乘法、列方程解决问题等。）2.让学生感悟相关知识的联系和区别。 分数乘除法解决问题。 求比值、化简比。 比和除法、分数之间的关系。2. 帮助学生理解掌握分数除法的计算方法。第四单元 圆一、教学内容本单元主要内容：认识圆、圆的周长和圆的面积。二、教学目标1认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系；学会用圆规画圆。2理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。三、具体编排主题图 主题图呈现了城市广场的生活场景，里面包含了很多圆形的物体，如喷水池、花坛、车轮等等，从而说明圆在生活中随处可见，应用非常广泛。 教学时，可以把主题图作为认识圆的起点来讲授，如可把主题图制成多媒体课件，然后点击凸现其中的圆形物体，让学生利用圆的基本特性（如易滚动、外形美观等）来理解这些物体设计成圆形的道理；也可结合后面圆的周长和面积的计算穿插进行教学，如车轮、花坛的周长，喷水池的面积等，都可以作为后面相关教学内容的素材。1认识圆 主要教学认识圆的各部分名称、用圆规画圆以及圆的轴对称性等内容。安排了3个例题。例1（用一般物体画圆） 让学生想办法在纸上画圆，直观感受圆的曲线特征，并且画出的圆可以作为认识圆的学具。 教学时，学生也可能会提出用圆规画圆的方法，教师不用回避，说明这种方法将在后面学习。例2（认识圆、用圆规画圆） 认识圆（主要认识圆的各部分名称及特征。）圆的各部分名称及特征不是直接告诉学生，而主要是通过操作活动来认识的。 首先让学生将画好的圆反复对折，发现折痕相交于一点，引出圆心。由圆心出发，定义半径和直径。 最后让学生探索出在同一个圆内，半径和直径的特征及关系。通过画和测量等活动，学生发现：同一个圆内，半径和直径都有无数条。同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且半径的长度是直径的。 用圆规画圆：呈现了三个学生画圆的情境，以对话的形式给出了画圆的三个步骤，每个学生说出一个步骤。做一做 第3题，让学生找出圆的圆心和直径，由于这两个圆都是画在纸上的无法通过折叠的方法来确定，所以较难。可以引导学生借助正方形的对称性来找圆心，只要连接正方形的对角线即可。 第4题，主要说明圆形物体具有易滚动这一特性，故车轮常做成圆形的，而车轴之所以装在圆心的位置，则是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，故只有把车轴装在圆心处，当车轮滚动时方可使行进的车辆保持平稳状态。例3（认识圆是轴对称图形） 教材结合前面所学的轴对称图形，说明长方形、正方形和圆等都是对称图形，都有对称轴，引出轴对称图形的概念。 通过例3，让学生在给出的两个圆内画对称轴，看能发现什么。认识到圆是轴对称图形，且有无数条对称轴。 例3也可以结合圆的各部分名称的认识进行教学。练习十四 第3题，使学生知道两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。 第4题，这两种方法都是利用第3题的结论，通过移动尺子或是用两个三角板同时夹住圆并垂直于刻度尺来测量出圆内“最长的线段”，也就是直径。2圆的周长圆的周长 引出圆的周长。 教材呈现了一个学生绕圆形花坛骑车的情境，提出问题：“自行车绕圆形花坛骑一圈大约有多少米？”让学生思考求的是什么？引出圆的周长概念。使学生明确：围成圆一周的长度是周长。 测量圆的周长。 接着让学生思考：如何求一个圆的周长。由于三年级学生已经学过周长的概念，知道怎么测量一个一般图形的周长，可以自己完成这个任务。如用一根绳子或纸条绕圆一周，再来测量这段绳子或纸条的长度，也可以在圆形硬纸板上做个记号，与直尺的0刻度对齐，在直尺上滚动一周，直接测量出圆的周长。 探究周长与直径的关系。 但是，这些方法存在一定的局限性，例如，当圆很大的时候，就不具有操作性了。因此，需要寻找一个一般化的方法来求圆的周长。 在此基础上，教材为学生直接指明了研究的方向，即通过测量不同大小的圆的周长和直径，计算出周长和直径的比值，发现比值是一个固定值，从而引出圆周率的概念，并总结出圆的周长计算公式。你知道吗 教材通过介绍了圆周率的一些历史材料，特别指出了我国古代数学家祖冲之在这方面的伟大成就。例1（圆的周长的计算） 圆的周长计算情况。关于圆的周长的计算公式的应用有多种情况：已知圆的半径或直径求圆的周长，或者已知圆的周长求圆的半径或直径。教材安排例1教学知道直径求周长的情况，其他一些情况，如已知半径求周长或已知周长求直径或半径，则安排上练习中让学生计算。 例1具体编排。设计了两个问题，一是计算圆形花坛的周长，二是计算小自行车绕花坛一周车轮大约转动多少周。第二个问题要先计算出小自行车的周长，再用圆形花坛的周长小自行车的周长。都是知道直径求周长。练习十五 第5题，在计算要装多少根木桩时，要联系以前所学的“植树问题”使学生明白，在一个封闭的圆上分段，分隔点的数目与分成的段数是相等的。 第10*题，可引导学生思考：为什么大半圆的长度与两个小半圆的长度和相等？使学生发现：由于圆的周长等于直径乘，当比较圆的周长时，可只考虑直径之间的关系。因为大圆的直径等于两个小圆的直径之和，所以有上述结论。3圆的面积探索圆的面积公式 引出圆面积。呈现工人在圆形草坪上铺草皮的情境，提出问题“这个圆形草坪的面积是多少平方米？”一方面引出圆的面积，使学生了解圆的面积的含义，另一方面，使学生体会计算圆面积的必要性。 推导圆的面积计算公式。u 教材直接提出问题“怎样计算一个圆的面积呢？”直接提示学生思考能否把圆转化成已学的图形来计算面积。u 教材采用实验的方法，指导学生把圆分割成若干等份（偶数份，如16等份、32等份），再拼成一个近似的长方形。使学生看到分的份数越多，拼得的图形就越接近于长方形。u 引导学生把长方形的长与宽跟原来的圆的周长、半径进行比较，并通过填空独立完成圆面积计算公式的推导过程。最后概括出圆的面积计算公式。例1（圆的面积计算）利用圆的面积计算公式，计算圆形花坛的面积。这里是给出直径求面积，其他情况安排在练习中。例2（圆环面积的计算）以求光盘环形部分的面积为例，教学如何利用圆的面积计算公式求圆环的面积。使学生理解求圆环的面积是用外圆面积减去内圆面积。教材给出了两种算法。两种算法可以通过乘法分配律沟通，学生能够发现这两种算法的一致性。练习十六 第4题，第二个图中圆的直径是内接正方形的对角线，但在小学阶段，根据题中给出的条件无法求出正方形的边长，因此，要将正方形看成两个相同的三角形，这两个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径。 第6题，是计算组合图形的周长和面积，其中，长方形的宽和圆的直径相等。在计算这个运动场的周长时，注意不要把长方形的两条宽计算在内。 第8*题，是讨论当周长一定时，围成什么图形的面积最大。可以假设用这根绳子围成三角形、正方形、正方形、平行四边形、梯形、圆，分别计算出它们的面积，就会发现围出的图形中圆的面积最大。 第9*题，是通过计算，观察正方形与它内部最大的圆（内切圆）的面积关系。教材通过几个特殊的正方形和内切圆的面积之比，发现这个比是一个固定值，再让学生任意设定正方形的边长，发现这个规律的一般性。实际上，也可以引导学生用抽象的方法证明，如果设正方形的边长是2a，那么其内切圆的半径就是a，正方形的面积是（2a）24a2，圆的面积就是a2，两者面积之比是。 第10*题，是第8*题结论的实际应用。当周长一定时，所有图形中圆的面积最大，这个性质在实际生活中有着广泛的应用。例如，教材上提到的蒙古包做成圆形的是因为可以最大化地利用居住面积，植物根茎的横截面是圆形的，也是因为可以最大化地吸收水分。练习时，除了让学生说一说上述实例的理由以外，还可以让学生再举出其他的一些例子，如装菜的盘子为什么要做成圆形的，杯子的横截面为什么是圆形的，等等。四、教学建议1结合生活实际体会圆的特征。圆在生活中有广泛的应用，可以结合生活实际体会圆的特征。使学生感受到了圆在生活中的应用，同时加深了对圆的特征的认识，同时可以培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。2加强动手操作，培养学生自主探索能力。教材里安排了很多活动让学生探究圆的基本特征，故实际教学时，教师应注意让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。比如在探索圆的面积时，教师可利用书中的附页或备好的学具，引导学生动手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。实际教学时，教师不应把学生的动手操作简单地作为活动目的，而应合理引导学生在操作的基础上，自主探索和发现圆的有关特性。3注意让学生感悟“化曲为直”“化圆为方”的转化思想。 本单元除了让学生掌握圆长和面积的计算公式外，更重要的是在推导过程中要让学生了解曲线图形研究的基本方法。 “化曲为直”“化圆为方”的方法主要体现在圆周率的计算、圆面积计算公式的推导上。综合应用： 确定起跑线综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过该活动一方面让学生了解椭圆形田径场跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。“确定起跑线”活动由以下四个部分组成。1 提出研究的问题。 教材呈现了400m椭圆形跑道的一部分，跑道上有一些同学站在起跑线上正准备起跑，教材开门见山地提出问题，引起学生对起跑线位置的关注和思考。（最里面一圈跑道是400米。） 经过小组同学共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条起跑线上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移”。 在此认知基础上，教材紧接着引申出进一步研究的问题“各条跑道的起跑线应该相差多少米”，即如何确定每条跑道的起跑线。2收集数据。 教材第75页第二幅图中呈现了小组同学测量有关数据的场景，旨在帮助学生了解400m跑道的结构以及各部分的数据。 由于不同田径场的规格可能有所不同，而且进行实地测量需要花费较多的时间，同时测量还可能会产生误差，因而实际教学时不必要求学生实际测量。只要通过该图让学生明确相关的数据是通过测量获得的即可，具体的数据则可以配合图片、投影片等相应形式给出。老师还可就半圆形跑道的直径在此是如何规定的，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向学生作一具体说明。3整理数据，确定思路。学生对已获得的数据进行整理，通过适宜的方式呈现数据，使学生明确：（1）每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。（2）两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。（3）各条跑道直道长度相同。要确定跑道的起跑线，只要算出每相邻两条跑道的长度差就可以了。4进行计算，得出结论。在学生明确解决问题的思路和方法后，教材在第四幅图中给出了一张表格，通过让学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径、两个半圆形跑道的周长以及跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，确定每条跑道的起跑线。在此，可以向学生说明：理论上相邻跑道之间的长度差是相同的2.5，由于的取值造成了有的相邻跑道之间的差是7.85m，有的是7.86m，。在确定起跑线时，可以根据计算结果来确定。 最后，为了巩固对该类问题的认识，请学生进一步确定200m赛跑中跑道起跑线的位置。第五单元 百分数一、教学内容本单元教材内容主要包括百分数的意义和写法，百分数和分数、小数的互化和用百分数解决问题等内容。 二、教学目标1使学生理解百分数的意义，了解它在实际中的应用，会正确地读、写百分数。2使学生能够进行小数、分数和百分数的互化。3理解折扣、纳税、利息的含义，知道它们在生活中的简单应用，会进行这方面的简单计算。4使学生在理解、分析数量关系的基础上，能正确地解答有关百分数的问题。 三、具体编排1.百分数的意义和写法 主要内容：本小节包括百分数的意义和读写两部分内容。 具体编排 教材首先从几个不同的角度选取了学生熟悉的几个百分数。接着通过聪聪提问：“你还在什么地方见过上面这样的数”，让学生交流课前收集的百分数.在此基础上直接说明：像上面这样的数，如18%、50%、64.2%叫做百分数。 然后进一步让学生结合实例说说百分数的具体含义，并用定义的方式概括出百分数的意义：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫百分率或百分比。 最后说明百分数的写法。2百分数和分数、小数的互化分两个层次，各安排2个例题。（1）百分数和小数的互化。百分数和小数的互化，主要是根据小数的含义进行的。如小数化成百分数，由于小数是表示的是十分之几、百分之几、千分之几的数，因此小数可以直接写成分母是10、100、1000的分数，再利用分数的基本性质写成分母是100的分数，最后改写成百分数。百分数化成小数，百分数可以写成分母是100的分数，可以直接写成小数。由于学生已具备了这些知识，教材结合具体的数，让学生进行探究。例1（把小数化成百分数）教材给出3个小数让学生进行探究，最后呈现出探究的过程。即先把小数转化成分母是100的分数，再改写成百分数。例2（把百分数化成小数）教材给出2个百分数让学生进行探究，明确可以先把小数转化成分母是100的分数再改写成百分数。做一做在学生掌握了百分数与小数的互化的基本方法后，教材安排“做一做”将百分数化小数和小数化百分数对照编排，让学生让做一做，再观察：看看你能发现什么？引导学生通过观察比较，发现规律从而找出简便快捷的互化方法，即（2）百分数和分数的互化。例3（把百分数化成分数）百分数化成分数的方法是先把百分数改写成分母是100的分数，再化简。如果百分数的分子是小数，要先应用分数的基本性质，把百分数改写成分子是整数的分数，然后再化简。教材提供了2个百分数，让学生探究百分数化成分数的方法。这2个百分数是有具体含义的，既可以使学生进一步了解百分数的含义，同时对学生渗透口腔卫生的教育。例4（把分数化成百分数）教材提供一组科学小资料，给出3个分数，让学生把它们用百分数表示出来，由此探究分数化百分数的方法。教材呈现了两种化法：一是根据分数与除法的关系，用分子除以分母，把分数化成小数，再化成百分数。二是利用分数的基本性质把分数化成分母是100的分数，再写成百分数。这两种方法适用于不同的情况，第一种是分数化成百分数的一般方法，适用范围广；第二种方法虽然简便，但有一定的局限性。对于第一种方法中，除不尽的情况，教材以为例，说明除的结果通常保留三位小数。通过这个例子说明在把分数化成百分数时，应根据分数的不同特点，灵活选用方法。3用百分数解决问题有两种情况（如下），其中百分数的一般应用包括(如下) 也就是求一个数是另一个数的百分之几，这种问题与求一个数是另一个数的几分之几的问题相同。是求一个数是另一个数的百分之几问题的发展，实际上还是求一个数是另一个数的百分之几的问题，只是有一个条件题目中没有直接给出，需要根据题里的条件先算出来。这部分内容是百分数在生活中的具体应用，与人们的生活密切相关。实际上仍然是求一个数的百分之几是多少的问题。这类问题实际上与求比一个数多几分之几的数是多少的分数乘法问题类似，只是给出的条件以百分之几来表示。这些问题从数量关系来看，都是“求一个数是另一个数的几分之几”以及“求一个数的几分之几是多少”的问题，这类问题前面介绍得比较多，这里不详细介绍了。例1（求百分率的实际问题） 设计了六年级学生体育达标率的素材。 明确达标率的含义。 直接给出求达标率的公式和计算过程。 让学生独立求发芽率。例2（稍复杂的求一个数是另一个数的百分之几）。 设计造林的情境，引出问题。 用线段图直观表示数量关系。 呈现两种解答方法。 说明百分数在生活中的应用。例3（稍复杂的求一个数的百分之几是多少） 以学校图书室的图书为素材，引出问题。 由于有了相应的分数乘法实际问题的基础，没有画线段图。 提示学生思考时把谁看作单位“1”。 呈现两种解答方法。练习二十二第3题，是稍复杂的已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题。由于有了例3和相应的分数除法问题的基础，教材没有安排例题，而是放手让学生独立探索，培养学生解决问题的能力。练习时应引导学生明确把谁看作单位“1”，单位“1”是已知的还是未知的？明确数量关系后，再让学生独立解答。此题既可以直接用除法解答也可以用方程解答。例4（折扣） 教材通过设置商场店庆，商品打折销售的情境引入“折扣”，说明打折的含义。 通过两个小题教学计算与折扣有关的实际问题。实际上是求一个数的百分之几是多少的问题。 由于学生在前面已经学习过这种问题的解答方法，因此教材在这里没做过多的分析和说明，而是让学生在理解“折扣”的基础上自主解决问题。例5（纳税） 说明依法纳税的意义。 介绍纳税的有关概念。 计算营业税。教学建议：同上。另外，要进行依法纳税有重要意义的思想教育。利率编排思想：同上。教学建议：同上。另外，要对学生进行合理理财（有经济头脑）的教育。练习二十三 第2题，要注意指导学生理解9.6元表示的实际意义是什么，它与八折有什么关系。使学生明确9.6元就是打折后比原价少的钱数，它相当于原价的180%，在此基础上让学生列出方程或算式。 练习二十三后面的“你知道吗？”，介绍了“成数”的有关知识，丰富学生的数学知识和社会生活经验。教师可让学生在阅读的基础上介绍自己对“成数”的认识，还可让学生介绍自己在哪见到过成数。有关“成数”的知识让学生了解即可，不要求掌握。四、教学建议1让学生充分理解百分数的含义，为实际应用奠定良好的基础。 理解百分数的含义 了解百分数的作用。2注意对互化的方法进行总结。3加强知识间的联系，培养学生迁移类推能力。百分数与分数有密切的联系。虽然百分数的意义和实际应用与分数有所不同，但它解决问题的思路、方法与用分数基本相同。教学时，要加强知识之间的联系，不要全当新知识学习，应放手让学生在已有知识基础上类推，培养学生迁移类推能力。但有些内容应说明其意义，如纳税、利息等。第六单元 统计一、教学内容主要教学扇形统计图。有关统计图的认识，小学阶段主要是认识条形统计图、折线统计图和扇形统计图。扇形统计图原义务教材是作为选学内容，考虑到其在日常生活中的广泛应用，标准把它作为必学内容，本套教材将它安排在本单元。本单元是在前面学习了条形统计图和折线统计图的基础上教学的，主要通过熟悉的事例使学生体会扇形统计图的特点和作用。二、教学目标通过实例，认识扇形统计图的特点，知道扇形统计图可以直观地反映部分数量占总数的百分比，能从扇形统计图读出必要的信息。三、具体编排主题图教材呈现了学生在校园里参加各种体育活动的情境，为引出统计的相关知识有关统计数据提供现实背景。条形统计图和扇形统计图 具体编排 根据主题图情境给出六（1）班同学喜欢体育项目情况的条形统计图，直观呈现出六（1）班最喜欢的运动项目的人数，并说明条形统计图的特点。 在此基础上提出：“如果要更清楚地了解各部分数量同总数之间的关系，可以用扇形统计图表示。”由此引出扇形统计图，并特别说明用整个圆表示全班学生的人数。 使学生看到：用扇形可以清楚地表示出喜欢各种运动项目的人数占全班总人数的百分比。从而真切地体会到扇形统计图的特点，并通过看图回答问题并提出问题，加深对扇形统计图特点的认识。做一做 用扇形统计图展示了100g牛奶中各种营养成分的含量。使学生进一步体会扇形统计图的特点。 本题的扇形统计图各扇形代表的项目是用图例的方式标明，这和例题中的扇形统计图略有不同，例题各扇形代表的项目名称标在扇形上，这里是用图标注明。练习二十五第4题，给出三组数据，让学生思考选用哪种统计图表示它们更合适？统计表（1）可选用折线统计图。（2）可选用扇形统计图。（3）可选用条形统计图。使学生加深对几种统计图特点的认识。 你知道吗介绍圆柱形扇形统计图，说明有时为了清楚和美观，统计图在形状上发生了一些改变。教师可课前搜集一些这样的例子，让学生了解一下。四、教学建议让学生充分认识到扇形统计图的特点。 了解扇形统计图的具体含义。 对比三种统计图，加深对扇形图的认识。综合应用： 合理存款本活动是在完成了第六单元“百分数”的教学之后安排的，旨在让学生巩固对储蓄存款的认识，了解教育储蓄以及国债利率的有关知识，并综合运用这些相关知识解决生活实际问题。通过这个活动，一方面可以使学生更多地接触实际生活中的百分数，认识到数学应用的广泛性；另一方面可以促使学生了解教育储蓄、国债等相关知识，培养学生的投资意识。 活动目的：1. 巩固对储蓄存款的认识，了解教育储蓄以及国债利率的有关知识，并综合运用这些相关知识解决生活实际问题。 2. 使学生更多地接触实际生活中的百分数，认识到数学应用的广泛性。 “合理存款”活动共由以下四个部分组成。1 明确问题。 本活动主要围绕：“妈妈要存款一万元，供儿子六年后上大学用，怎样存款收益最大？”这一问题展开的。该问题中蕴含着几个很关键的信息：本金、可存款年限以及资金用途。2 收集信息。明确问题后，需要收集与该问题相关的信息。教材中呈现了通过去银行咨询以及查阅相关规定的方式获得的信息：（1）人民币储蓄存款利率，包括定期整存整取、零存整取、活期利率等。（2）教育储蓄存款免征存款利息所得税，它可存的期限以及相应利率。（3）国债也是免征利息所得税，有三年期和五年期的3 设计方案。根据上述收集到的信息，让学生设计具体的储蓄存款方案。定期储蓄存款的方案可填在第111页第一张表格中。其他存款方案，如教育储蓄存款方案以及买国债的方案可填在第二张表格中。每一个具体方案都要求明确填出存期、到期利息、利息税以及到期收入等信息。4 选择方案。从上述各种可行的方案中选取收益最大，即最优化的方案进行合理存款，并计算出到期后总共的收入。第七单元 数学广角一、教学内容“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学趣题，最早出现在孙子算经中。解决这类问题有两类方法，一类是“假设法”古代民间一般是这种方法，另一类是方程解法。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。二、教学目标1. 了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。2. 尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，并使学生体会代数方法的一般性。3. 在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。三、具体编排情景图和例1 引入教材先说明“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学问题，再由生动有趣的古代课堂情境引出“鸡兔同笼”原题，并对原题给予解释，由小精灵提出“这个问题你能解答吗”，学生冥思苦想的画面激发学生解决该类问题的兴趣。 化繁为简，探究解法由于“鸡兔同笼”原题的数据较大，不便于学生进行探究，所以教材以化繁为简的思想为指导，先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让学生探索解决的方法。 教材首先呈现了学生最“朴素”的想法猜测。先猜测鸡、兔各有几只，然后验证脚的只数是否符合条件，如果不对，再猜，这样瞎蒙有时也能找到答案，但有一定的盲目性。下面的表格用来帮助学生按顺序寻找答案，但当数据太大时，不是很合适。这时小精灵提出：还有其他方法吗？ 让学生去探究更具有逻辑性和一