材料力学学习指导和试题(附各章试题).doc

王奥运 土木工程（10）班材料力学学习指导与练习 第一章 绪论 1.1预备知识一、基本概念1、 构件工程中遇到的各种建筑物或机械是由若干部件(零件)组成的。这些部件(零件)称为构件，根据其几何特征可分为：杆件、板、块体和薄壁杆件等。其中杆件是本课程的研究对象。2、 承载能力要保证建筑物或机械安全地工作，其组成的构件需安全地工作，即要有足够的承受载荷的能力，这种承受载荷的能力简称承载能力。在材料力学中，构件承载能力分为三个方面：(1) 强度：构件抵抗破坏的能力。(2) 刚度：构件抵抗变形的能力。(3) 稳定性：构件保持原有平衡形式的能力。3、 材料力学的任务在保证构件既安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件的设计提供理论依据和计算方法。而且，还在基本概念、理论和方法等方面，为结构力学、弹性力学、钢筋混凝土、钢结构等后续课程提供基础。4、 变形固体的基本假设建筑物、机械等的各种构件都是由各种固体材料制成的，在载荷的作用下都会发生尺寸和形状的变化，因此在材料力学研究的构件都是变形固体。而且为了简化计算，对变形固体作了如下假设：(1) 连续性假设即认为物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质。(2) 均匀性假设即认为扬物体在其整个体积内材料的结构和性质相同。(3) 各向同性假没 即认为物体在各个方向具有相同的性质。5、 内力、截面法和应力(1) 材料力学研究的内力是外部因素(载荷作用、温度变化、支座沉降等)引起构件不同部分之间相互作用力的变化。(2) 用假想截面将构件截开为两部分，取其中任一部分利用静力平衡方程求解截面上内力的方法称为截面法，是材料力学求解内力的基本方法。(3) 内力的面积分布集度称为应力，单位是：N/m(Pa)、MN/m(MPa)。应力是一个矢量，垂直于截面的分量称为正应力，用表示；切于截面的分量称为剪应力，同表示。6、 变形、位移及应变(1) 构件在外力作用下会发生尺寸和形状的改变，称为变形。(2) 变形会使构件上各点、各线和各面的空间位置发生移动，称为位移。构件内某一点的原来位置到其新位置所连直线的距离，称为该点的线位移；构件内某一直线段或某一平面在构件变形时所旋转的角度，称为该线或该面的角位移。(3) 描述材料变形剧烈程度的物理量称为应变，通常可区分为线应变和切应变，都是无量纲量。7、 杆件变形的基本形式(1) 轴向拉伸或压缩(2) 剪切(3) 扭转(4) 弯曲二、重点与难点1、变形固体材料力学研究的对象是变形固体，而理论力学研究的对象是刚体，因此在引用理论力学中的一些基本原理时须特别小心。2、小变形材料力学把实际构件看作均匀连续和各向同性的变形固体，并主要研究弹性范围内的小变形情况。由于构件的变形和构件的原始尺寸相比非常微小，通常在研究构件的平衡时，仍按构件的原始尺寸进行计算。3、内力与应力材料力学研究的是外力引起的内力，内力与构件的强度、刚度密切相关。截面法是材料力学的最基本的方法。应力反映内力的分布集度。4、位移与应变材料力学研究的是变形引起的位移，应变反映一点附近的变形情况。线应变和切应变是度量一点处变形程度的两个基本量。三、 课程的地位及学好本课程的关键1、课程的地位和作用 材料力学是一门重要的专业基础课。本课程的基本概念、基本理论和基本方法等方面，为结构力学、弹性力学、钢筋混凝土、钢结构等后续课程提供基础。通过本课程的学习，可以培养学生具有初步的工程计算设计的素质。2、 应注意的一些问题理论力学课程中把物体抽象为质点或刚体，研究它们的平衡及运动规律，它们的理论基础是牛顿三大定律。材料力学课程把物体视为弹性体，在弹性范围内，研究其变形和破坏规律，因此，理论力学中的原理在材料力学中并不都适用的，要加以具体分析，“力的可传性原理”就是一例。1.2典型题解一、问答题1、为什么在理论力学课程中，可以把物体看作是刚体；但在材料力学课程中，却把构件看作是变形体？答：两门课程研究内容不相同。在理论力学静力学课程中，主要是研究物体的平衡问题，而物体的变形对物体的平衡基本没有影响，为了简化计算，可以把物体看作刚体。但在材料力学课程中，主要是研究构件的强度、刚度和稳定性问题，而构件的刚度和稳定性都与构件的变形有关，所以在材料力学课程中必须把构件看作变形体2、 为什么要对变形固体作连续性、均匀性和各向同性假没？答：材料力学在推导公式，定理过程中用到连续函数这一数学工具，并且推导的公式，定理在整个构件所有位置、所有方向都适用，这样就要求变形固体是连续的、均匀的和各向同性的。但实际上，变形固体从其物质结构而言是有空隙的，但这空隙的大小与构件的尺寸相比极其微小，故假设固体内部是密实无空隙的，是连续的。同样，变形固体的结构和性质并非处处相同，也并非各个方向性质都相同，例如金属晶粒之间的交接处与晶粒内部的性质显然不同，每个晶粒在不同的方向有不同的性质，但材料力学研究的是宏观问题，变形固体中的点不是纯数学意义无大小的点，每一个点包含大量的金属晶粒，那么，点与点之间在统计角度而言是相同的，因此可以认为变形固体是均匀的和各向同性的。3、 构件上的某一点、若任何方向都无应变，则该点无位移，试问这种说法是否正确？为什么？答：不正确。因为构件可以发生刚体位移。4、 一等直杆如图1.1所示，在外力F作用下，_。(A) 截面a的轴力最大 (B) 截面b的轴力最大(C) 截面c的轴力最大 (D) 三个截面上的轴力一样大答：正确答案为D1.3 练习题 一、选择题1、根据均匀性假设，可认为构件的( ) 在各处相同。(A)应力 (B) 应变(C)材料的弹性系数 (D) 位移2、构件的强度是指( )，刚度是指( )，稳定性指( )。(A)在外力作用下构件抵抗变形的能力 (B) 在外力作用下构件保持原有平衡态的能力(C) 在外力作用下构件抵抗破坏的能力 二、是非判断题1、因为构件是变形固体，在研究构件平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。( ) 2、外力就是构件所承受的载荷。( )3、用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。( )4、应力是横截面上的平均内力。( )5、杆件的基本变形只是拉(压)、剪、扭和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。( )6、材料力学只限于研究等截面杆。( )第二章2.1预备知识一、基本概念1、 轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。2、 轴力和轴力图轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号FN表示。当FN的方向与截面外向法线方向一致时，规定为正，反之为负。求轴力时仍然采用截面法。 求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。设正法在以后求其他内力时还要到。 为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”。作法是：以杆的左端为坐标原点，取轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。3、 横截面上的应力根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。4、 斜截面上的应力与横截面成角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力的关系为：角的符号规则：杆轴线x轴逆时针转到截面的外法线时，为正值；反之为负。切应力的符号规则：截面外法线顺时针转发900后，其方向和切应力相同时，该切应力为正值；反之为负值。 当=00时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。当=450时，切应力达到极值。5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律（1） 等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，变形后杆长由l变为l+l，则杆的轴向伸长为用内力表示为上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。用应力与应变表示的虎克定律为 （2） 在弹性范围内，杆件的横向应变和轴向应变有如下的关系； 式中的称为泊松（Poisson）比（横向变形系数）。6、材料在拉伸和压缩时的力学性质 6.1 低碳钢在拉伸时的力学性质：（1）低碳钢应力-应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段。（2）低碳钢在拉伸时的三个现象：屈服（或流动）现象，颈缩现象和冷作硬化现象。（3）低碳钢在拉伸时的特点（图21）： a.比例极限p：应力应变成比例的最大应力。 b.弹性极限e：材料只产生弹性变形的最大应力。 c.屈服极限s：屈服阶段相应的应力。 d.强度极限b：材料能承受的最大应力。 （4）低碳钢在拉伸时的两个塑性指标：延伸率 = 100% 工程上通常将5%的材料称为塑性材料，将5的材料称为脆性材料。 断面收缩率 =100%6.2 工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以0。2表示，称为名义屈服极限。6.3 灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。6.4 材料在压缩时的力学性质：（1）低碳钢压缩时弹性模量E和屈服极限S与拉伸时相同，不存在抗压强度极限。（2）灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料。6.5 破坏应力：塑性材料以屈服极限 S（或0.2）为其破坏应力；脆性材料以强度极限b为其破坏应力。7、强度条件和安全系数 材料丧失工作能力时的应力，称为危险应力，设以0表示。对于塑性材料，对于脆性材料，为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力（称为工作应力）的最大值应低于危险应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如（1）荷载值的确定是近似的；（2）计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；（3）实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；（4）公式和理论都是在一定的假设上建立起来的，所以有一定的近似性；（5）结构在使用过程中偶而会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标准荷载。所以，为了安全起见，应把危险应力打一折扣，即除以一个大于1的系数，以n表示，称为安全因数，所得结果称为许应力，即 (214）对于塑性材料，应为 （215）对于脆性材料，应为 （216）式中ns和nbc分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。8、简单拉压超静定问题 超静定结构的特点是结构存在多余约束，未知力的数目比能列的平衡方程数目要多，仅仅根据平衡条件不能求出全部未知力，必须根据变形和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称之超静定问题。多余约束数目，称之为超静定次数。多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求又是必须的，从这层意义上讲，不是多余的。 求解超静定问题的步骤： (1) 根据约束性质，正确分析约束力，确定超静定次数 (2) 列出全部独立的平衡方程 (3) 解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关系，列出变形协调方程 (4) 将物理关系式代入变形协调方程，得到充方程，将其与平衡方程联立，求出全部未知力。 拉压超静定问题大致有三类： a. 桁架系统 b. 装配应力 c. 温度应力二、重点与难点1、拉压杆的强度条件和三种强度向题。2、低碳拉伸实验和材料力学参数的意义及作用。3、超静定问题的求解 (1) 解超静定问题的关键是列出正确的变形几何条件 (2) 在列出变形几何条件时，注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形。同时，假设的内力符号应和变形一致。三、解题方法要点2.2典型题解一、计算题1、 变截面杆受力如图，P=20kN。A1=400mm2，A2=300mm2，A3=200mm2。材料的E=200GPa。试求：(1)绘出杆的轴力图；(2) 计算杆内各段横截面上的正应力；(3)计算A端的位移。 30kN10kN300mm400mm400mm50kN解：(1)杆的轴力图如图所示，各段的轴力FN10kN40kN10kN，(2) 各段横截面上的正应力为（3）A端的位移为二、计算题图示三角托架，AC为刚性梁，BD为斜撑杆，问斜撑杆与梁之间夹角应为多少时斜撑杆重量为最轻？ABCDFL解：BD斜杆受压力为FBD，由平衡方程得：为了满足强度条件，BD杆的横截面面积A应为BD杆的体积应为显然，当时，V最小，亦即重量最轻。三、计算题图所示拉杆由两段胶合而成，胶合面为斜截面m-m。其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力，许用切应力，拉杆的横截面面积。试求最大拉力的数值。解：拉杆的横截面的应力斜截面正应力强度条件：拉力F应满足斜截面切应力强度条件：拉力F也应满足所以最大拉力四、计算题 图示为埋入土中深度为l的一根等截面桩，在顶部承受载荷F。选荷载完全由沿着桩周摩擦力fs所平衡，fs按线性分布，如图所示。试确定桩的总压缩量，以F，L，E，A表示。dyLfsyf2yyf2=kydydyFO解：(1) 求常数k。桩周微段dy上的摩擦力 整条桩的摩擦力为 由平衡条件可知 即 (2) 确定桩的总压缩量。由图可知，桩任意截面上的轴力为 其中，微段dy的压缩量为 所以桩的总压缩量为 讨论 应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时，在L长度内的轴力FN和截面积A都应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。在解本题中，就应用了这种方法。另外，由于杆上的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出。五、图示一结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的内力。ABCDFaaCDaFN1FN2FAyFAxFABh解：结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析。(1)静力方面 取隔离体如图，设两杆的轴力分别为FN1和FN2。欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即 (1)(2) 几何方面 刚性杆AB在力F作用下，将绕A点顺时针转动，由此，杆EC和FD产生伸长。由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到C和D点。设杆EC的伸长为CC=1，FD的伸长为DD=2，由图可知，它们有几何关系： (2)这就是变形谐调方程或变形条件。(3)物理方程 根据胡克定律，有 (3)这是物理方程。将式(3)代入式(2)，得 (4)将方程(4)和方程(1)联立求解，即得 结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例。2.3 练习题 一、概念题1、选择题 (1)现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是( )A 1杆为钢，2杆为铸铁 B 1杆为铸铁，2杆为钢C 2杆均为钢 D 2杆均为铸铁AB1C2(2)桁架受力和选材分别如图A、B、C、D，从材料力学观点看，图( )较为合理。钢铸铁P（A）钢铸铁P（B）钢铸铁P(C)钢铸铁P(D) (3)轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是( )A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布PP1122(4)图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( )A 平动B 转动C 不动D 平动加转动F(5)有A、B、C三种材料，其拉伸应力应变实验曲线如图所示，曲线( )材料的弹性模量E大，曲线( )材料的强度高，曲线( )材料的塑性好。OABC(6) 材料经过冷作硬化后，其( )。A 弹性模量提高，塑性降低B 弹性模量降低，塑性提高C 比例极限提高，塑性提高D 比例极限提高，塑性降低2、是非判断题二、计算题1、图为变截面圆钢杆ABCD，己知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，求杆的最大最小应力。P3P2P1l3l2l1321DCBA 2、己知变截面杆，1段为d1=20mm的圆形截面，2段为a2=25mm的正方形截面，3段为d3=12mm的圆形截面，各段长度如图示。若此杆在轴向力P作用下在第2段上产生的应力，E=210GPa，求此杆的总缩短量。PP0.2m0.4m0.2m123答：3、 一横面面积为102mm2黄铜杆，受如图251所示的轴向载荷。黄铜的弹性模量E=90GPa。试求杆的总伸长量。 答：待计算60kN9kN45kN6kN1m1.5m0.5m4、杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A= 20mm2，材料弹性模量E=200GPa，泊松系数=0.3。1作内力图；2求最大伸长线应变；3求最大剪应力。2kN1kN5kN4kN400400500答：待计算5、当用长索提取重物时，应考虑绳索本身重量。如绳索的弹性模量为E，重力密度为及许用拉应力为，试计算其空悬时的最大许用长度；并计算此时的总伸长变形。答： ，AB1C23006、 图示一三角架，在节点B受铅垂荷载F作用，其中钢拉杆AB长l1=2m，截面面积A1=600mm2，许用应力，木压杆BC的截面面积A2=1000mm2，许用应力。试确定许用荷载F。答：许用荷载F=40.4kN7、一板形试件，在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应变片，用以测量试件的应变。试验时，荷载F增加3kN时，测得，求该试件的E， 和G三个常数，试件的尺寸及受力方向如图所示。30mmF124mmF111-1答：BAC300F8、图示一三角架，在节点A受F作用。设杆AB为钢制空心圆管，其外径DAB=60mm，内径dAB=48mm，杆AC也是空心圆管，其内、外径比值也是0.8，材料的许用应力。试根据强度条件选择杆AC的截面尺寸，并求出F力的最大许用值。答：待计算 9、三角架ABC由AC和BC二杆组成。杆AC由两根No.12b的槽钢组成，许用应力为=160MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为=100MPa。求荷载F的许可值F。 答：420kNFFF4m4mabCF2mBA10、图示一正方形截面的阶形混凝土柱。设混凝土的密度为，F=100kN，许用应力。试根据强度条件选择截面宽度a和b。答： b=398m11、图示一钢筋混凝土组合屋架，受均布荷载q作用，屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为圆截面钢拉杆，其长l=8.4m，直径d=22m，屋架高h=1.4m，钢的许用应力，试校核拉杆的强度。q=10kN/mCABl/2l/2hABCP2m2m2mD答： 安全12、设有一起重架如图所示，A、B、C为铰接，杆AB为方形截面木材制成的，P=5kN，许用应力，求杆AB截面边长。答：待计算13、图中AB是刚性杆，CD杆的截面积A=500mm2，E=200GPa，。试求此结构中B点所能承受的最大集中力P以及B点的位移B。答：ABCDP1.5m1.5m1md1d2lPP14、长度为l的圆锥形杆，两端直径各为d1和d2，弹性模量为E，两端受拉力作用，求杆的总伸长。答：15、一杆系结构如图213所示，试作图表示节点C的水平位移，设EA为常数。 150kN400600ACF300300B答：w水平=016、有一两端固定的钢杆，其截面面程为A=1000mm2，载荷如图所示。试求各段杆内的应力。答：待计算17、 横截面面积为A=10000mm2的钢杆，其两端固定，荷载如图所示。试求钢杆各段内的应力。 答：上108MPa, 中8.3MPa, 下 141.7MPa 100kN150kN50030040018、如图所示钢杆1、2、3的截面积均为A=2cm2，长度h=1m，E=200GPa。杆3在制造时比其他两杆短=0.8mm。试求将杆3安装在刚性梁上后，三根杆中的内力。答：待计算aa123h19、横截面尺寸为75mmmm的木杆承受轴向压缩，欲使木杆任意截面正应力不超过2.4MPa，切应力不超过0.77MPa，试求最大荷载F。答：F=8.66kNF20、图示拉杆沿斜截面m-n由两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力t=100MPa，许用切应力=50MPa，并设胶合面的强度控制杆件拉力。试问：为使杆件承受最大拉力P，角的值应为多少？若杆件横截面面积为4cm2，并规定600，试确定许可载荷P。 答：待计算nPmP21、图示杆件在A端固定，另端离刚性支承B有一空隙1mm。试求当杆件受F=50kN 的作用后，杆的轴力。设E=100GPa，A=200mm2，a=1.5m, b=1m.。 答：FNBC=22kNabaFCAB22、 图示一结构，AB为刚性杆，DE和BC为弹性杆，该两杆的材料和截面积为均相同。试求当该结构的温度降低300C时，两杆的内力。己知：F=100kN，E=200GPa，a=1m, l=0.5m, A=400mm2， a=1210-6 C-1，t=300C。 答：FN1=78.25kN，FN2=50.23kN llaCADEFB2.26杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A= 20mm2，材料弹性模量E=200GPa，泊松系数=0.3。1作内力图；2求最大伸长线应变；3求最大剪应力。2kN1kN5kN4kN4004005002.4 练习题答案一、概念题1、选择题(1) A (2) B (3) B (4) D(5) B，A，C(6) D2、是非判断题二、计算题1、（1）内力图 （2）（第一段） （3） （第二段）FN50kN20kN15kN第三章 剪切和联结的实用计算3.1预备知识一、基本概念1、联接件工程构件中有许多构件往往要通过联接件联接。所谓联接是指结构或机械中用螺栓、销钉、键、铆钉和焊缝等将两个或多个部件联接而成。这些受力构件受力很复杂，要对这类构件作精确计算是十分困难的。2、实用计算联接件的实用计算法，是根据联接件实际破坏情况，对其受力及应力分布作出一些假设和简化，从而建名义应力公式，以此公式计算联接件各部分的名义工作应力。 另一方面，直接用同类联接件进行破坏试验，再按同样的名义应力公式，由破坏载荷确定联接件的名义极限应力，作为强度计算依据。实践证明，用这种实用计算方法设计的联接许是安全可靠的。3、剪切的实用计算联接件一般受到剪切作用，并伴随有挤压作用。剪切变形是杆件的基本变形之一，它是指杆件受到一对垂直于杆轴的大小相等、方向相反、作用线相距很近的力作用后所引起的变形，如图31a所示。此时，截面cd相对于ab将发生错动（滑移）（图31b）即剪切变形。若变形过大，杆件将在cd面和ab面之间的某一截面mm处被剪断，mm截面称为剪切面。FFFFbdaccabdmm(a)(b)联接件被剪切的面称为剪切面。剪切的名义切应力公式为，式中Q为剪力，A为剪切面面积，剪切强度条件为4、挤压的实用计算 联接件中产生挤压变形的表面称为挤压面。名义挤压应力公式为，式中Fjy为挤压力，Ajy是挤压面面积。当挤压面为平面接触时(如平键)，挤压面积等于实际承压面积；当接触面为柱面时，挤压面积为实际面积在其直径平面上投影。挤压强度条件为二、重点与难点1、确定剪切面和挤压面、名义挤压面积的计算。2、注意区分挤压变形和压缩变形的不同，压缩是杆件的均匀受压，挤压则是在联接件的局部接触区域的挤压现象，在挤压力过大时，会在局部接触面上产生塑性变形或压碎现象。三、解题方法要点1、在进行联接件的强度计算时，首先要判断剪切面和挤压面，并确定剪切面积和挤压面积。2、按名义应力公式计算切应力和挤压应力。3.2典型题解一、计算题 图示某起重机的吊具，吊钧与吊板通过销轴联结，起吊重物F。己知：F=40kN，销轴直径D=22mm，吊钧厚度t=20mm。销轴许用应力：。试校核销轴的强度。FFtF/2DomnpF/2npomFFFsFs(b)(c)(a)解：(1)剪切强度校核销轴的受力情况如图所示，剪切面为mm和op。截取mnop段作为脱离体，在两剪切面上的剪力为 剪应力强度条件为将有关数据代入，得故安全。 (2) 挤压强度校核销轴与吊钩及吊板均有接触，所以其上、下两个侧面都有挤压应力。设两板的厚度之和比钩厚度大，则只校核销抽与吊钩之间的挤压应力即可。挤压应力强度条件为将有关数据代入，得故安全。二、计算题试校核图示水平梁AB和螺栓的强度。A、B、C点均为铰接点，梁为矩形截面，杆BC与梁AB夹角300。己知F=50 kN，L=4 m，钢梁的弯曲许用应力=150 MPa，螺栓的剪切许用应力=80 MPa，挤压许用应力jy=200 MPa。FACB300L/2L/28cm16cm8cm4cm4cm螺栓直径d=2cm(a)300FFAFBAB(b)解 (1) 钢梁的受力如图所示，从而可得 FA=50 kN FB=50 kN(2) 校核钢梁强度，该梁为压弯组合，危险截面在梁中点，危险点是梁的上边缘，最大压应力 (3) 校螺栓剪切和挤压强度钢梁和螺栓均安全。 讨论 工程结构是由很多构件组合而成的，只有其中每一个构件都是安全的，整个结构才可以说是安全的。本题分别以梁和螺栓为研究对象，讨论它们各自的强度。梁是压弯组合变形，而对螺栓要校核剪切强度和挤压强度。三、计算题一木质拉杆接头部分如图所示，接头处的尺寸为hb18cm，材料的许用应力5Mpa，bs10Mpa，2.5Mpa，求许可拉力P。hllPPb解 按剪切强度理论计算：按挤压强度计算：按拉伸强度计算：因此，允许的最小拉力为54kN。四、计算题冲床的最大冲力为400kN，冲头材料的许用应力=440MPa，求在最大冲力作用下所能冲剪的圆孔的最小直径d和板的最大厚度t。解：冲头压缩强度满足 dt钢板被冲剪须满足 五、计算题FFbll 矩形截面木拉杆的榫接头如图162所示，己知轴向拉力F=50kN，截面宽度b=250mm，木材的许用撞压应力 =10MPa，许用切应力=1MPa，试求接头所需尺寸l和。解 （1）按剪切强度条件求解：剪切面积为lb，则。所以 m （2）按挤压强度条件求解：挤压面积为，则。所以 m3.3 练习题一、概念题1、如图示木接头，水平杆与斜杆成角，其挤压面积A为（ ）。 A .bh B. bhtg C .bh/cos D. bh/(cos-sin)bhpa答：C 2、图示两板用圆锥销钉联接，则圆锥销的受剪面积为（ ）；计算挤压面积为（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D）。dFFhhD答：C、D3、直径为d的圆柱放在直径为D=3d，厚为t的圆基座上，地基对基座的支反力为均匀分布，圆柱承受轴向压力P，则基座剪切面的剪力Q=_。DPdt 答：4、 判断剪切面和挤压面时应注意的是：剪切面是构件的两部分有发生（ ）趋势的平面；挤压面是构件（ ）的表面。答：相互错动趋势；相互挤压部分5、在图示的纯剪切单元体中，长度保持不变的线段有( )；长度伸长的线段有( )；长度缩短的线段有( )。ABCD答：AB，BC，CD，DA；AC；BD二、计算题1、 图示冲床的冲头。在F力作用下，冲剪钢板，设板厚t=10mm，板材料的剪切强度极限b=360MPa，当需冲剪一个直径d=20mm的圆孔，试计算所需的冲力F等于多少？Ftd冲头钢板答：F=226kN2、图示两块钢板，由一个螺栓联结。己知：螺栓直径d=24mm，每块板的厚度=12mm，拉力F=27kN，螺栓许应力=60MPa，bs=120Mpa。试对螺栓作强度校核。 答：FdF3、 试写出图题3.3所示榫接头的切应力和挤压应力的计算公式。FFeeeBAhb答：4 如图题35所示，若铆钉许用切应力为，许用挤压应力为bs，若以铆钉连接等厚钢板，试决定承受单剪时铆钉之合理高细比L/d等于多少。dFFL答：5 图示一螺钉受拉力F作用，螺钉头的直径D=32mm，h=12mm，螺钉杆的直径d=20mm，=120MPa，许用挤压应力MPa，MPa。试求螺钉可承受的最大拉力Fmax 。FDdh答：Fmax=50.2 kN6 图示铆接头受拉力F=24kN作用，上下钢板尺寸相同，厚度t=10mm，宽b=100mm，许用应力=170MPa，铆钉的=140MPa，=320MPa，试校核该铆接头强度。FFFFbd=17t答：铆钉剪切=105.7MPa；铆钉挤压jy=37.5MPajy；钢板拉伸=28.9MPa。该铆接头满足强度条件7 试校核图315所示联接销钉的剪切强度。己知P=100kN，销钉直径d=30mm，材料的许用切应力=60MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？dPP8 用夹剪剪断直径d1=3mm的铅丝，如图318。若铅丝的极限切应力约为100MPa，试问需多大的P？若销钉B的直径为d2=8mm，试求销钉内的切应力。PPB50200第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。此时，截面B相对于截面A转了一个角度，称为扭转角。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度变为螺旋线，称为剪切角。AB图2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩。3、扭矩和扭矩图 圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理 单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以来度量错动变形程度，即称切应变。 当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力和切应变成正比，即=GG称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa。6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为处的切应力为式中T为横截面的扭矩，Ip为截面的极惯性矩。 (2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面， （D为直径）空心圆截面， （D为外径，d为内径，）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处式中Wt=Ip/R，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。圆杆扭转时的强度条件(4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图31所示。其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。 低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。 铸铁材料抗压能力最强，抗剪能力次之，抗拉能力最差，因而铸铁材料圆杆扭转破坏是沿与杆轴线约成450的斜截面被拉断的。7、圆杆扭转时的变形和刚度计算 圆杆扭转时的变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度来度量，称为扭转角。 长度为l的等截面圆杆承受扭矩Mn时，圆杆两端的相对扭转角 （rad）式中GIp称为圆杆的抗扭刚度。 当两截面之间的扭矩或GIp为变量时则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和，即为全杆的扭转角。单位长度扭转角 （rad/m）把弧度换算为度，圆杆扭转时的刚度条件为 （0/m）8、非圆截面杆的扭转(1) 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆在扭转变形后横截面不再是平面，变成一个曲面并发生翘曲，这是非圆截面杆扭转时的一个重要特征。由于截面的翘曲，平面假设不再成立，因而圆杆的扭转公式不能应用于非圆截面杆。(2) 矩形截面杆 矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知，横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切应力为零。横截面上最大切应力发生在长边的中点处。 设矩形截面杆长为l，承受扭矩T，矩形截面的长为h，宽为b。最大切应力 杆两端的相时扭转角式中，是与长宽比h/b相关的系数，计算时可查阅有关手册。 当长宽比时，称为狭长矩形，可近似为1/3。二、重点与难点1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算。2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，最大切应力在外表面处。3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断。铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与杆轴线成450螺旋面被拉断。三、解题方法要点1、2、4.2典型题解一、计算题 等截面传动轴的转速n=150r/min，由A转输入功率NA=8kW，由B、C、D各轮输出功率分别为NB=3kW，NC=1kW，ND=4kW。己知轴的许用剪应力=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，=20/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。 解：四轮各位置如图，其中A轮应放在轴的中间位置，使得从A轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A、B、C、D各点的扭矩200200200(a)nABCD254.6Nm-254.6Nm-63.6Nm(b) 己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA、AB段，为最大剪应力为 强度条件为得到 (1)由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA、AB段，等圆截面杆的单位长度的扭转角刚度条件为得 (2)从式(1)和式(2)中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，轴的直径d=31mm二、计算题一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d1 ，空心轴外径D2 、内径d2 ，内外径之比=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样 A1=A2 ，即可得因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等 T1=T2 。实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是式中，l为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比将代入上式，则再将0.8 代入上式，得 可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。三、计算题 两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D=40mm，壁厚t=2mm，长度为l。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。解 (1) 开口薄壁圆环开口薄壁圆环可以看成一个长为、宽为t的狭长矩形，则最大切应力扭转角(2) 闭口薄壁圆环最大切应力扭转角对于薄壁圆环，Ip可以写成因此(3) 两杆最大切应力之比两杆扭转角之比 讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。4.3 练习题一、概念题1、问答题低碳钢、铸铁及木材（顺纹方向与轴线平行）的圆棒两端受力偶作用，如图所示，直到破坏。试画出三种棒破坏时裂纹的方向，并说明为什么从此方向破坏。低碳钢（a）铸铁（b）木材(c)2、是非判断题（1） 圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（ 对 ）（2） 杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（ 错 ）（3） 薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（ 错 ）（4） 圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（ 对 ）（5） 非圆截面杆不能应力用圆杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（ 对 ）(6) 材料相同的圆杆，它们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（ 对 ）(7) 剪断钢板时，所用外力使钢板产生的应力稍大于材料的屈服极限。（ 错 ）(8) 矩形截面杆自由扭转时，横截面上的剪应力呈线性分布。（ 错 ）3、选择题（1） 阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ）。A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面C 单位长度扭转角最大的截面 D 不能确定（2） 空心圆轴的外径为D，内径为d，=d /D。其抗扭截面系数为（D ）。A B C C （3） 扭转切应力公式适用于（ D ）杆件。A 任意截面； B 任意实心截面；C 任意材料的圆截面 D 线弹性材料的圆截面。（4） 单位长度扭转角与（ A ）无关。A 杆的长度； B 扭矩C 材料性质； D 截面几何性质。（5） 图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上切应力分布如图（ B ）所示。铝钢（A）（B）（C）（D）MnMnMnMn（6）若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的（ D ）。A 2倍 B 4倍C 8倍 D 16倍(7) 空心圆轴，其内外径之比为，扭转时轴内的最大剪应力为，这时横截面上内边缘的剪应力为（ B ）。 零 (8) 实心圆轴扭转，己知不发生屈服的极限扭矩为T0，若将其横截面积增加倍，那么极限扭矩是（C）。 (9) 对于受扭的圆轴，关于如下结论： 最大剪应力只出现在横截面上； 在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力； 圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。现有四种答案，正确的是（ A ）。A 对 B 对 C 对 D 全对二、计算题1、 试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩T，并作扭矩图。100cm100cm100cmDABC3000Nm 2000N 4000Nm 5000Nm答：2、 图示一齿轮传动轴，传递力偶矩Me=10kNm,轴的直径d=80mm.。试求轴的最大切应力。答：max=100MPad3、 设将例题42中直径d=0.m的实心圆轴制成外径与内径d之比为的空心圆轴，仍受力偶矩e.kNm的作用。试求：使max与该例题相同时，能节省多少材料？答：D0.065mMe50cm4、 图示一圆锥形杆AB，受力偶矩Me作用，杆长为l，两端截面的直径分别为d1和d2=1.2d1，材料的切变模量为G。试求：（1）截面A和B的扭转角，（2）若按平均直径的等直杆计算扭转角，误差等于多少？