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第一章 实数集与函数导言 数学分析课程简介 ( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算、实数定义等问题引入. 2.极限 ( limit ) 变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: 1华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； 2刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； 3谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； 4马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999； 5林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按1的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别.五.要求、辅导及考试： 1.学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3。对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.2.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 大体上每周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整. 3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4. 考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括1中的典型例题. 考试题为标准化试题， 理论证明题逐渐增多.第一章 实数集与函数教学目的：1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。 教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。 教学时数：10学时 1 实数（2学时）教学目的：使学生掌握实数的基本性质教学重点：1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用教学方法：讲授（部分内容自学）一复习引新：1.实数集 ：回顾中学中关于实数集的定义.2.四则运算封闭性: 3.三歧性( 即有序性 ): 4.Rrchimedes性: 5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.6.实数集的几何表示 数轴: 7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二. 讲授新课： （一）. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 1P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有平均值不等式: 等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当 且 , 且 时, 有严格不等式 证： 由 且 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.作业：（）（）、（） 2 数集确界原理 （4时）教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：1. 掌握邻域的概念；2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。 一、区间与邻域二、有界数集与确界原理: 1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集: 定义, 等都是无界数集, 集合 也是无界数集.2.确界:给出直观和刻画两种定义. 例1 则 则 例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3 设和是非空数集，且有则有. 例4 设和是非空数集. 若对和都有则有 证 是的上界, 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明: 证 有或由和分别是和的下界,有或 即是数集的下界, 又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有 于是有.综上,有.3. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1为例做解释. 4.确界与最值的关系: 设为数集. 的最值必属于, 但确界未必,确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若存在, 必有 对下确界有类似的结论.三、确界原理: Th1.1 (确界原理)设为非空数集。若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。 作业：； 3 函数概念 ( 2学时 )教学目的：使学生深刻理解函数概念。教学要求：1. 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；2. 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。教学重点：函数的概念。教学难点：初等函数复合关系的分析。 一、函数: 1. 函数: 1P1011的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法: 4. 反函数: 一一对应,反函数存在定理. 5. 函数的代数运算: 二、分段函数: 以函数 和 为例介绍概念.例1 去掉绝对值符号.例2 求 例3 设 求 (答案为8) 三、函数的复合: 例4 求并求定义域. 例5 则 A. B. C. D. 4P407 E62. 四、初等函数: 1. 基本初等函数: 2. 初等函数: 3. 初等函数的几个特例: 设函数 和 都是初等函数, 则 是初等函数, 因为 和 都是初等函数, 因为 , . 幂指函数 是初等函数,因为 作业： P15 3；4.(2)(3)；5. (2)；7: (3)；114 具有某些特性的函数 ( 2学时 )教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证。 一、有界函数: 有界函数概念. 例6 验证函数 在 内有界.解法一 由 当 时,有 , 对 总有 即 在 内有界.解法二 令关于的二次方程有实数根. 解法三 令 对应 于是 二、单调函数三、奇函数和偶函数四、周期函数第二章数列极限 教学目的：1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 定义证明有关命题，并能运用 语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性； 教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 定义及其应用. 教学时数：14学时 1 数列极限的定义 教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的定义及其应用。教学时数：4学时一、 引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入 二、讲授新课： （一）数列：1.数列定义整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列. （二） 数列极限: 以 为例. 定义 ( 的 “ ”定义 )定义 ( 数列 收敛的“ ”定义 )注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法. 例1 例2 例3 例4 证 注意到对任何正整数 时有 就有 于是，对 取 例5 证法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 证法二 （用均值不等式） 例6 证 时， 例7 设 证明 （四）收敛的否定: 定义 ( 的“ ”定义 ).定义 ( 数列 发散的“ ”定义 ).例8 验证 （五）数列极限的记註: 1.满足条件“ ”的数列2. 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 3.数列极限的等价定义: 对 任有理数 对任正整数 （六）无穷小数列: 定义.Th2.1 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ). 2 收敛数列的性质（4学时） 教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学重点、难点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。教学时数：4学时一. 收敛数列的性质: 1.极限唯一性：（ 证 ） 2.收敛数列有界性 收敛的必要条件：（ 证 ） 3.收敛数列保号性： Th 1 设 若 则 （ 证 ）由于已知条件中对都成立，而结论是比较数列项的关系，证明时只需找到一个，使与之对应的N满足条件即可！ 系1 设 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情况 ）.由于结论是比较数列极限的关系，证明时必须对都成立！ 系2 设 或. 则对(或 (或 系3 若 则对 绝对值收敛性见后. 4. 迫敛性 ( 双逼原理 ): Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 ) 5. 绝对值收敛性: Th 3 ( 注意反之不正确 ). ( 证 ) 系 设数列 和 收敛, 则 ( 证明用到以下6所述极限的运算性质 ). 6. 四则运算性质: Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 ) 7. 子列收敛性: 子列概念.Th 5(数列收敛充要条件) 收敛的任何子列收敛于同一极限. Th 6 (数列收敛充要条件) 收敛子列和收敛于同一极限. Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 子列 、 和 都收敛. ( 简证 )二.利用数列极限性质求极限: 两个基本极限： 1利用四则运算性质求极限： 例1 註： 关于 的有理分式当 时的极限情况例2 填空: 例3 例4 2. 双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅4P53. 例5 求下列极限: 例6 ( 例7 求证 例8 设 存在. 若 则 三.利用子列性质证明数列发散: 例9 证明数列 发散. 3 收敛条件（4学时） 教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。教学要求：1. 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；2. 初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。教学难点：相关定理的应用。教学方法：讲练结合。一数列收敛的一个充分条件 单调有界原理：回顾单调有界数列. Th 1 ( 单调有界定理 ). ( 证 )例1 设 证明数列 收敛.例2 ( 重根号),证明数列 单调有界, 并求极限. 例3 求 ( 计算 的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解 由均值不等式, 有有下界;注意到对 有 有 , 二、收敛的充要条件Cauchy收敛准则： 1Cauchy列： 2Cauchy收敛准则： Th 2 数列 收敛， （ 或数列 收敛，Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy列. (此处“就是”理解为“等价于”). ( 简证必要性 ) 例4 证明:任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛. 其中 是 中的数.证 令 有 例5 设 试证明数列 收敛.三. 关于极限 证明留在下节进行.例6 例7 例8 四.数列 单调有界证法欣赏: Cauchy (17891857 ) 最先给出这一极限，Riemann（18261866）最先给出以下证法一.证法一 （ Riemann最先给出这一证法） 设 应用二项式展开，得 ，+ 注意到 且 比 多一项 即 . 有界.综上, 数列 单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度. 证法二 ( 利用Bernoulli不等式 )注意到Bernoulli不等式 为正整数 ), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 .为证 上方有界, 考虑数列 可类证 . 事实上, (此处利用了Bernoulli不等式 ) .显然有 有 即数列 有上界.评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 .令 可仿上证得 时 , ( 时无意义, 时诸 = , 不能用均值不等式. ) 当 时, 由 由 . 4.证法四 ( 仍利用均值不等式 ) 即 . 有界性证法可参阅上述各证法.证法五 先证明：对 和正整数 ，有不等式 事实上， 对 有 试证明 是 内的常值函数. 例5 求极限注意= 有界 例6 求 和 .解法一 又 解法二 ， 由 且原式极限存在，即 .例7 . 求 .注意 时, 且 . 先求 由Heine归并原则即求得所求极限. 例8 求和.并说明极限 是否存在.解 ; 可见极限 不存在.第四章 函数的连续性 教学目的：1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；2.熟练连续函数的性质并能加以应用；3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。 教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明 。 教学时数：14学时 1 函数的连续性（4学时） 教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。教学要求：1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。教学重点：函数连续性概念。教学难点：函数连续性概念。一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。 二、讲授新课： （一）函数在一点的连续性： 1连续的直观图解： 由图解引出解析定义. 2.函数在一点连续的定义: 设函数 在点 某邻域有定义. 定义 用 例如 1P87例1和例2, P88 例3. 定义 用 定义 用 先定义 和 定义 连续的Heine定义. 定义 ( “ ”定义.) （注：强调函数 在点 连续必须满足的三个条件。）例1 用“ ”定义验证函数 在点 连续.例2 试证明: 若 则 在点 连续. 3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解. Th ( 单、双侧连续的关系 ) 例3 讨论函数在点的连续或单侧连续性. （二）间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类. 跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即 或 中至少有一个不存在 称为第二类间断点.例4 讨论函数 的间断点类型.例5 延拓函数 使在点 连续.例6 举出定义在0,1上且仅在点 三点间断的函数的例. 例7 讨论Dirichlet函数 和Riemann函数 的连续性. （三） 区间上的连续函数： 开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续. 2 连续函数的性质（6学时） 教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。教学要求：1. 掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；2. 掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；3. 理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。教学重点：闭区间上连续函数的性质；教学难点：一致连续的概念。一、 复习：连续、间断的含义. 二、讲授新课： （一）连续函数的局部性质: 叙述为Th 14. 1. 局部有界性： 2.局部保号性： 3.四则运算性质： 4.复合函数连续性： Th 4 若函数 在点 连续，函数 在点 连续, 且 , 则复合函数在点 连续. ( 证 ) 註 Th 4 可简写为（即在条件满足的前提下，极限运算与函数运算可以交换顺序。） 例1 求极限 例2 求极限: 例3 求极限 的连续性见后 . （二）闭区间上连续函数的基本性质: 1.最值性: 先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 推论 ( 有界性 ) 2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 ) 连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 推论 ( 零点定理 ) 例4 证明: 方程 在 到 之间有实根. 例5 设 是正数, 为正整数. 证明方程 有唯一正实根. 唯一性的证明用 在 内的严格递增性. （三）反函数的连续性: Th 7 若函数 在 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在相应的定义域 或 上连续. ( 证 ) 关于函数 等的连续性 ( 1P99 E5,6.) （四）函数的整体连续性 一致连续： 1 连续定义中 对 的依赖性 ： 例6 考查函数 在区间 上的连续性.对 作限制 就有对 ,取 这里与有关,有时特记为.本例中不存在可在区间 上通用的 , 即不存在最小的( 正数 ) .例7 考查函数 在区间 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 该 却与 无关, 可记为 . 2.一致连续性: 定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系. 用定义验证一致连续的方法: 对 , 确证 存在. 为此,从不失真地放大式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 之外, 其余部分中不含有 和 , 然后使所得式子 , 从中解出 例8 验证函数 在 内一致连续. 例9 验证函 在区间 内一致连续. 证 例10 若函数在有限区间内一致连续,则在内有界.3.一致连续的否定: 否定定义. 例11 证明函数 在区间 内非一致连续.证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 取 与 便有 但 证法二 ( 用例10的结果 ). 4.一致连续的判定: Th8 (Cantor)若函数在闭区间上连续,在上一致连续. 3 初等函数的连续性（2学时） 教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。教学重点：初等函数的连续性的阐明。教学难点：初等函数连续性命题的证明。教学方法：学导式教学。回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 ) 一.初等函数的连续性: Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的. 註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1 求函数 的连续区间和间断点. 解 的连续区间为: 、 、 和 . 间断点为: 和 . 在点 右连续 . 二.利用函数的连续性求极限: 例2 例3 作倒代换 例4 解 I = 例5 解 I = 习 题 课（2学时）*一、 理论概述： 二、 范例讲析： 例1 设函数 在区间 上连续, 且 证明: 在区间 上至少存在某个 使 证 若 , 取 或 即可; 若 不妨设 设 , 应用零点定理即得所证. 例2 设函数 在区间 上连续， 试证明： 使 例3 设 试证明：方程 在区间 内有实根. 例4 设函数 在 内连续且 则 在 内有最小值. 与 比较. 例5 设函数 和 在区间I上连续, 且在I的有理点 ,有 证明: 在I上 . 例6 设函数 和 在区间I上一致连续. 证明函数 在区间 I上一致连续. 例7 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在有限开区间 内一致连续, 和 存在( 有限 ). 例8 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在内一致连续, 在 内一致连续. 第五章 导数和微分 教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数 在点 可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3 考查 在点的可导情况.3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4 求曲线 在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系: 5.导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. 注意: 等具体函数的导函数不能记为 应记为 6.费马定理及达布定理 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法： 以问题教学法为主，结合课堂练习。一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课. 二、讲授新课： （一）. 基本初等函数求导 推导基本初等函数的求导公式. （二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“ ”和“ ”)例1 求 例2 求 ( 例3 求 例4 证明: ( 用商的求导公式证明 ).例5 证明: 例6 证明: .例7 求曲线 在点 处的切线方程. （三）. 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义. 例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) （四）. 复合函数求导法 链锁公式： 例9 设 为实数，求幂函数 的导数.解 例10 求 和 例11 求 例12 求 3. 参变量函数的导数（2学时） 教学目的：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。教学重点：含参量方程的求导法则。教学难点：含参量函数导数的计算。教学方法：以问题教学为主，结合练习。一. 复习：导数公式及其运算法则. 二. 讲授新课：1.参变量函数的导数公式：设函数 可导且 证 （ 法一 ） 用定义证明. （ 法二 ） 由 恒有 或 严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, 有反函数, 设反函数为 ), 有 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有 例1. 设 求 2. 取对数求导法: 例2. 设 求 例3. 设 求 例4. 设 求 3.抽象函数求导: 例5. 求 和 例6 若可导, 求 . 4 高阶导数（2学时） 教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用一阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。教学重点：高阶导数（微分）的计算。教学难点：高阶导数（微分）的计算。教学方法：以问题教学为主，结合练习。 一. 高阶导数: 定义: 注意区分符号和 以函数为例介绍高阶导数计算方法. 高阶导数的记法. 二. 几个特殊函数的高阶导数: 1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求 和 . 2. 正弦和余弦函数: 计算 、 、 、 的公式. 3 和 的高阶导数： 4的高阶导数： 5 的高阶导数： 6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 求 为例. 三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导. 则1 2 3 乘积高阶导数的Leibniz公式： 约定 （ 介绍证法.） 例2 求 解 例3 求 解 例4 其中 二阶可导. 求 例5 验证函数 满足微分方程 并依此求 解 两端求导 即 对此式两端求 阶导数, 利用Leibniz公式, 有 可见函数 满足所指方程. 在上式中令 得递推公式 注意到 和 , 就有时, 时, 四. 参数方程所确定函数的高阶导数: 例6 求 解 5 微分（2学时） 教学目的：1. 准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。2. 弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。3. 能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求：1. 清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。2. 明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系教学
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