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阶段性测试题九(平面解析几何)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1“m1”是“直线xmym10与圆x2y22相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析已知直线与圆相切的充要条件是，此方程只有唯一解m1，故“m1”是“直线xmym10与圆x2y22相切”的充要条件2已知双曲线的渐近线方程为yx，焦点坐标为(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A1B1C1D1答案D解析双曲线的渐近线方程为yx，焦点在x轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)，则且a2b216，解得a24，b212.双曲线方程为1.3(文)过点P(1,2)的直线l平分圆C：x2y24x6y10的周长，则直线l的斜率为()AB1CD答案A解析圆的方程可化为(x2)2(y3)212因为l平分圆C的周长，所以l过圆C的圆心(2，3)，又l过P(1,2)，所以kl，故选A(理)过点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为()Axy40B3xy0Cxy40或3xy0Dxy40或3xy0答案D解析若直线过原点，设直线方程为ykx，把点P(1,3)代入得k3，此时直线为y3x，即3xy0，若直线不经过原点，在设直线方程为1，即xya，把点P(1,3)代入得a4，所以直线方程xy4，即xy40，所以选D4(文)点P是抛物线y24x上一点，P到该抛物线焦点的距离为4，则点P的横坐标为()A2B3C4D5答案B解析抛物线的准线为x1，根据抛物线的定义可知，P到该抛物线焦点的距离等于P到该准线的距离，即x(1)4，所以x3，即点P的横坐标为3，选B(理)方程x2xyx表示的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线答案C解析由x2xyx得x(xy1)0，即x0或xy10，为两条直线，选C5(文)(2014广东高考)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0k5，两方程都表示双曲线，由双曲线中c2a2b2得其焦距相等，选D(理)(2014广东高考)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等答案A解析0k9，00，曲线表示双曲线，又259kc2，焦距相等选A .6已知抛物线y24x的准线与双曲线y21交于A、B两点，点F是抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率为()ABC2D答案D解析抛物线y24x的焦点为(1,0)，准线方程为x1，设直线x1与x轴的交点为C，则FC2，因为FAB为直角三角形，所以根据对称性可知，ACFC2，则A点的坐标为(1,2)，代入双曲线方程得41，所以a2，c21，e26，所以离心率e.7已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()AB2CD3答案B解析因为抛物线的方程为y24x，所以焦点坐标F(1,0)，准线方程为x1.所以设P到准线的距离为PB，则PBPF.P到直线l1：4x3y60的距离为PA，所以PAPBPAPFFD，其中FD为焦点到直线4x3y60的距离，又因为FD2，所以距离之和最小值是2，选B8以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一个点M，满足|2|2|，则该椭圆的离心率为()ABCD答案C解析过M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为(，0)，并设|2|2|2t，根据勾股定理可知，|2|2|2|2，得到ct，而a，则e.故选C9(文)(2015邵阳模拟)已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()A10B20C30D40答案B解析由题意得，如图所示，最长弦为AC，且|AC|10，最短弦为BD，且|BD|224，所以四边形的面积为S2SABC2|AC|BM|210220，故选B(理)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是()AB2CD2答案C解析如图S四边形PACBSPCASPCB2SPCA|PA|AC|PA|，所以四边形PACB面积的最小值就是|PA|的最小值，而|PA|.本题要求出最小的|PC|的值，即为圆心C(1,1)到直线l：3x4y110的最短距离|PC|min2，所以|PA|，即四边形PACB面积的最小值是，所以选C10我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()ABCD2答案A解析设椭圆的半长轴为a1，椭圆的离心率为e1，则e1，a1.双曲线的实半轴为a，双曲线的离心率为e，e，a.设|PF1|x，|PF2|y，(xy0)，则由余弦定理得4c2x2y22xycos60x2y2xy，当点P看做是椭圆上的点时，有4c2(xy)23xy4a3xy，当点P看做是双曲线上的点时，有4c2(xy)2xy4a2xy，两式联立消去xy得4c2a3a2，即4c2()23()2，所以()23()24，又因为e，所以e24，整理得e44e230，解得e23，所以e，即双曲线的离心率为.选A第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11以抛物线y220x的焦点为圆心，且与双曲线1的两条渐近线都相切的圆的方程为_答案(x5)2y29解析由已知可以知道，抛物线的焦点坐标为 (5,0)，双曲线的渐近线方程为yx，则所求的圆的圆心为(5,0)，利用圆心到直线3x4y0的距离为半径r，则有r3，故圆的方程为(x5)2y29.12从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则cosMPF_.答案解析设P(x0，y0)，则x015，即x04，代入抛物线方程得y04，根据对称性取y04，则M(1,4)，又F(1,0)，所以FM2(11)2(40)220，根据余弦定理cosMPF，或者直接画图转化为直角三角形求解13(2015北京东城区统一检测)如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点恰好是椭圆1(ab0)的右焦点F，且这两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为_答案1解析如图，设F为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为A，连接AF，所以|FF|2cp，因为|AF|p，所以|AF|p.因为|AF|AF|2a，所以2app，所以e1.14如图所示，椭圆1(ab0)与过点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e，则椭圆的方程是_答案1解析过A、B的直线方程为y1.由题意得有唯一解，即(b2a2)x2a2xa2a2b20有唯一解，所以a2b2(a24b24)0(ab0)，故a24b240.又因为e，即，所以a24b2.从而a22，b2.椭圆的方程为：1.15(2015广州联考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.答案2解析如图，由e2，得c2a，ba，所以双曲线的渐近线方程为yx.又抛物线的准线方程为x，所以联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程可得求A(，)，B(，)在AOB中，|AB|p，O到AB的距离为，因为SAOB，所以p，所以p2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)根据下列条件，分别求直线方程：(1)经过点A(3,0)且与直线2xy50垂直；(2)求经过直线xy10与2xy20的交点，且平行于直线x2y30的直线方程解析(1)与直线2xy50垂直的直线的斜率为，又直线经过点A(3,0)，所以直线为y(x3)，即x2y30.(2)因为直线xy10与2xy20的交点为(1,0)因为与直线x2y30平行的直线的斜率为，所以所求的直线方程为y(x1)，即x2y10.17(本小题满分12分)已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40，(mR)(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程解析(1)证法1：l的方程(xy4)m(2xy7)0(mR)即l恒过定点A(3,1)，圆心坐标为C(1,2)，半径r5，|AC|r，点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点证明2：圆心到直线l的距离d，d250，d0，n0)点P(4，)，Q(，2)在椭圆C上，解得m，n，椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知椭圆C的标准方程为1.又椭圆D与椭圆C有相同焦点，可设椭圆D的标准方程为1(k9)，而点M(3，)在椭圆D上，1，即k210k2310，解得k11或k21(舍去)，所求椭圆D的标准方程为1.19(本小题满分12分)已知A，B是抛物线y24x上的两点，N(1,0)，若存在实数，使，且|AB|，令A(xA，yA)，若xA1，yA0，求的值解析易知N(1,0)为抛物线y24x的焦点，且直线AB过焦点N，当直线AB与x轴垂直时，xA1与xA1矛盾，不合题意所以符合条件的直线AB的斜率存在且设为k.则直线方程为yk(x1)，代入y24x得k2x22(k22)xk20.已知A(xA，yA)，设B(xB，yB)，则xAxB，xAxB1.由抛物线的性质知ABxAxB24，得k，又因xA1，yA0，所以k，xA3，xB.由，得.20(本小题满分13分)设x，yR，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量axi(y2)j，bxi(y2)j，且|a|b|8.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A，B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由解析方法一：axi(y2)j，bxi(y2)j，且|a|b|8，点M(x，y)到两个定点F1(0，2)，F2(0,2)的距离之和为8，轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，c2,2a8，a4，b2.方程为 1.方法二：由题意知8，移项得8，两边平方，得x2(y2)2x2(y2)21664，整理得28y，两边平方得4x2(y2)2(8y)2，展开，整理得1.(2)l过y轴上的点(0,3)，若直线l是y轴，则A，B两点是椭圆的顶点，0，P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，直线l的斜率存在设l方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(43k2)x218kx210，此时，(18k)24(43k2)(21)0恒成立，且x1x2，x1x2，四边形OAPB是平行四边形若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OAOB，即0，(x1，y1)，(x2，y2)，x1x2y1y20，即(1k2)x1x23k(x1x2)90，(1k2)()3k()90，解得k2，则k.存在直线l：yx3，使得四边形OAPB是矩形21(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由解析(1)因为e，所以a23b2，即椭圆C的方程可写为1.设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，|PQ|2x2(y2)22(y1)263b263b2，yb，b，由题设知存在点P1满足|P1Q|3，则9|P1Q|263b2，所以b1.当b1时，由于y1b，b，此时|PQ|2取得最大值63b2，所以63b29b21，a23.故所求椭圆C的方程为y21.(2)存在点M满足要求，使OAB的面积最大假设存在满足条件的点M，因为直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d1.因为点M(m，n)在椭圆C上，所以n21m2n2，于是0m23.因为|AB|22，所以SOAB|AB|d当且仅当1m2时等号成立，所以m2(0,3因此当m，n时等号成立，所以满足要求的点M的坐标为(，)，(，)，(，)或(，)，此时对应的三角形的面积均达到最大值.
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