（全国通用）2019年中考数学复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

2014 2018年全国中考题组考点一等腰三角形 五年中考 1 2018福建 5 4分 如图 等边三角形ABC中 AD BC 垂足为D 点E在线段AD上 EBC 45 则 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等边三角形ABC中 AD BC 垂足为点D 可得 ACB 60 且点D是BC的中点 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根据等边对等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 2 2017吉林 5 2分 如图 在 ABC中 以点B为圆心 以BA长为半径画弧交边BC于点D 连接AD 若 B 40 C 36 则 DAC的度数是 A 70 B 44 C 34 D 24 答案C由作图知BA BD BAD BDA 70 BDA C DAC DAC BDA C 34 故选C 3 2017天津 9 3分 如图 将 ABC绕点B顺时针旋转60 得 DBE 点C的对应点E恰好落在AB的延长线上 连接AD 下列结论一定正确的是 A ABD EB CBE CC AD BCD AD BC 答案C ABC绕点B顺时针旋转60 得到 DBE ABD CBE 60 AB BD ABD是等边三角形 DAB 60 DAB CBE AD BC 故选C 解题关键熟练掌握旋转的性质是解题的关键 4 2016湖北武汉 10 3分 平面直角坐标系中 已知A 2 2 B 4 0 若在坐标轴上取点C 使 ABC为等腰三角形 则满足条件的点C的个数是 A 5B 6C 7D 8 答案A如图 当AB AC时 以点A为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 点B除外 即O 0 0 C0 0 4 其中点C0与A B两点共线 不符合题意 当AB BC时 以点B为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 均符合题意 当AC BC时 作AB的垂直平分线 与坐标轴有两个交点 均符合题意 所以满足条件的点C有5个 故选A 5 2018四川成都 11 4分 等腰三角形的一个底角为50 则它的顶角的度数为 答案80 解析 等腰三角形的两底角相等 180 50 2 80 顶角为80 6 2018天津 17 3分 如图 在边长为4的等边 ABC中 D E分别为AB BC的中点 EF AC于点F G为EF的中点 连接DG 则DG的长为 答案 解析连接DE 在等边 ABC中 D E分别是AB BC的中点 DE AC DE EC AC 2 DEB C 60 EF AC EFC 90 FEC 30 EF DEG 180 60 30 90 G是EF的中点 EG 在Rt DEG中 DG 7 2017湖北黄冈 12 3分 已知 如图 在正方形ABCD的外侧 作等边三角形ADE 则 BED 答案45 解析 四边形ABCD是正方形 AB AD BAD 90 三角形ADE是等边三角形 AD AE DAE AED 60 BAE BAD DAE 90 60 150 AB AE AEB ABE 180 BAE 2 15 BED AED AEB 60 15 45 8 2017黑龙江哈尔滨 24 8分 已知 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 连接AE BD交于点O AE与DC交于点M BD与AC交于点N 1 如图1 求证 AE BD 2 如图2 若AC DC 在不添加任何辅助线的情况下 请直接写出图2中四对全等的直角三角形 图1图2 解析 1 证明 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 AC BC DC EC ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE ACE BCD AE BD 2 ACB DCE AON DOM AOB DOE NCB MCE 9 2017内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 等腰三角形ABC中 BD CE分别是两腰上的中线 1 求证 BD CE 2 设BD与CE相交于点O 点M N分别为线段BO和CO的中点 当 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时 判断四边形DEMN的形状 无需说明理由 解析 1 证明 AB AC是等腰三角形ABC的两腰 AB AC BD CE是中线 AD AC AE AB AD AE 又 A A ABD ACE BD CE 2 四边形DEMN为正方形 提示 由MN DE分别是 OBC ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形 由 1 知BD CE 故可证OE OD 从而四边形DEMN是矩形 再由 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形 1 2018陕西 6 3分 如图 在 ABC中 AC 8 ABC 60 C 45 AD BC 垂足为D ABC的平分线交AD于点E 则AE的长为 A 2B 3C D 考点二直角三角形 答案D AC 8 C 45 AD BC AD ACsin45 4 过点E作EF AB于点F BE是 ABC的平分线 DE EF ABC 60 AD BC BAE 30 在Rt AEF中 EF AE 又 AD 4 DE EF AE AD 故选D 思路分析首先利用AC的长及 C的正弦求出AD的长 进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系 最后求出AE的长 2 2017内蒙古包头 12 3分 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为D AF平分 CAB 交CD于点E 交CB于点F 若AC 3 AB 5 则CE的长为 A B C D 答案A过F作FG AB于点G AF平分 CAB ACB 90 FC FG 易证 ACF AGF AC AG 5 6 90 B 6 90 5 B 3 1 5 4 2 B 1 2 3 4 CE CF AC 3 AB 5 BC 4 在Rt BFG中 设CF x x 0 则FG x BF 4 x 又BG AB AG 5 3 2 由BF2 FG2 BG2 得 4 x 2 x2 22 解得x CE CF 选A 3 2016四川南充 7 3分 如图 在Rt ABC中 A 30 BC 1 点D E分别是直角边BC AC的中点 则DE的长为 A 1B 2C D 1 答案A在Rt ABC中 A 30 BC 1 AB 2 点D E分别是BC AC的中点 DE AB 2 1 4 2018重庆 16 4分 如图 把三角形纸片折叠 使点B 点C都与点A重合 折痕分别为DE FG 得到 AGE 30 若AE EG 2厘米 则 ABC的边BC的长为厘米 答案 6 4 解析过E作EH AG于H AGE 30 AE EG 2 EH GH EGcos30 3 AG 6 GC AG 6 易知BE AE EG 2 BC BE EG GC 6 4 厘米 5 2018福建 13 4分 如图 Rt ABC中 ACB 90 AB 6 D是AB的中点 则CD 答案3 解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线 由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可得CD AB 3 6 2016辽宁沈阳 16 3分 如图 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 20 DE是 ABC的中位线 点M是边BC上一点 BM 3 点N是线段MC上的一个动点 连接DN ME DN与ME相交于点O 若 OMN是直角三角形 则DO的长是 答案或 解析 A 90 AB AC BC 20 AB AC 10 DE是 ABC的中位线 DE BC DE BC 10 BD CE 5 当DN BC时 OMN为直角三角形 如图 易知 BDN为等腰直角三角形 BN DN 5 BM 3 MN 2 DE BC ODE ONM 即 解得OD 当DN ME时 OMN为直角三角形 如图 过点E作EF BC 垂足为点F 易知 CEF为等腰直角三角形 EF FC 5 BM 3 MF 20 3 5 12 在Rt MFE中 ME 13 DE BC DEO EMF DOE EFM 90 ODE FEM 即 解得OD 综上所述 DO的长是或 7 2016内蒙古呼和浩特 21 7分 已知 如图 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 ACB ECD 90 D为AB边上一点 1 求证 ACE BCD 2 求证 2CD2 AD2 DB2 证明 1 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 CD CE AC BC ECD ACB 90 ECD ACD ACB ACD 即 ECA DCB 1分 在 ACE与 BCD中 3分 ACE BCD 4分 2 ACE BCD AE BD 5分 EAC BAC 45 EAD 90 在Rt EAD中 ED2 AD2 AE2 ED2 AD2 BD2 6分 又ED2 EC2 CD2 2CD2 2CD2 AD2 DB2 7分 考点一等腰三角形 教师专用题组 1 2018河北 8 3分 已知 如图 点P在线段AB外 且PA PB 求证 点P在线段AB的垂直平分线上 在证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 A 作 APB的平分线PC交AB于点CB 过点P作PC AB于点C且AC BCC 取AB中点C 连接PCD 过点P作PC AB 垂足为C 答案B无论作 APB的平分线PC交AB于点C 还是取AB中点C 连接PC或过点P作PC AB 垂足为C 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论 选项A C D的作法正确 故选B 2 2017内蒙古包头 6 3分 若等腰三角形的周长为10cm 其中一边长为2cm 则该等腰三角形的底边长为 A 2cmB 4cmC 6cmD 8cm 答案A当腰长为2cm时 底边长为6cm 但是2 2 4 6 即两边之和小于第三边 不合题意 当底边长为2cm时 腰长为4cm 符合题意 故选A 3 2016河北 16 2分 如图 AOB 120 OP平分 AOB 且OP 2 若点M N分别在OA OB上 且 PMN为等边三角形 则满足上述条件的 PMN有 A 1个B 2个C 3个D 3个以上 答案D如图所示 过点P分别作OA OB的垂线 垂足分别为C D 连接CD 则 PCD为等边三角形 在OC DB上分别取M N 使CM DN 则 PCM PDN 所以 CPM DPN PM PN MPN 60 则 PMN为等边三角形 因为满足CM DN的M N有无数个 所以满足题意的三角形有无数个 4 2015吉林长春 6 3分 如图 在 ABC中 AB AC 过点A作AD BC 若 1 70 则 BAC的大小为 A 30 B 40 C 50 D 70 答案B AB AC B C AD BC 1 C 70 B 70 BAC 40 故选B 5 2014江苏苏州 10 3分 如图 AOB为等腰三角形 顶点A的坐标为 2 底边OB在x轴上 将 AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得 A O B 点A的对应点A 在x轴上 则点O 的坐标为 A B C D 答案C过A作OB边的垂线AC 垂足为C 过O 作BA 边的垂线O D 垂足为D 因为顶点A的坐标为 2 所以C点坐标为 2 0 所以OC 2 AC 在Rt OAC中 根据勾股定理得OA 3 所以AB 3 因为 AOB为等腰三角形 所以C为OB的中点 所以B点坐标为 4 0 故BO BO 4 在Rt O BD和Rt O A D中 O B2 BD2 O A 2 A D2 设BD x 则有42 x2 32 3 x 2 解得x 所以BD 所以O D 又OD 4 故O 点的坐标为 故选C 6 2018吉林 14 3分 我们规定 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 特征值 记作k 若k 则该等腰三角形的顶角为度 答案36 解析设等腰三角形的顶角为x度 则一个底角的度数为2x度 由x 2 2x 180 x 36 故顶角为36度 7 2017四川绵阳 17 3分 将形状 大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置 点D在AB边上 DEF绕点D旋转 腰DF和底边DE分别交 CAB的两腰CA CB于M N两点 若CA 5 AB 6 AD AB 1 3 则MD 的最小值为 答案2 解析 B BDN BND 180 BDN FDE ADM 180 B FDE BND ADM 又 B A BDN AMD DN AM MD BD AD AB 1 3 BD AB 4 DN AM 4MD 设MD x 则MD MD x 2 2 2 2 当 即x 时 MD 取得最小值 为2 8 2014江苏扬州 10 3分 若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm 则它的周长为cm 答案35 解析等腰三角形的两腰相等 若第三边长为7cm 则7 7 14cm 不能构成三角形 若第三边长为14cm 则7 14 21cm 14cm 符合三角形三边关系 所以周长为7 14 14 35cm 9 2014山西 16 3分 如图 在 ABC中 BAC 30 AB AC AD是BC边上的中线 ACE BAC CE交AB于点E 交AD于点F 若BC 2 则EF的长为 答案 1 解析在DF上取点G 使DG DC 连接CG AB AC AD为BC边上的中线 AD BC CAD BAD BAC 15 CDG为等腰直角三角形 DCG 45 ACE BAC ACE CAD AF CF ACE BAC 15 DCG 45 ACB 75 FCG 75 15 45 15 BAD FCG 又 AFE CFG AF CF AFE CFG ASA EF FG AB AC AD为BC边上的中线 CD BC 1 DCF 75 15 60 DF DC 又 DG DC 1 EF FG DF DG 1 10 2014内蒙古呼和浩特 13 3分 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 则该等腰三角形的底角的度数为 答案63 或27 解析在三角形ABC中 设AB AC BD AC于D 若三角形是锐角三角形 则 A 90 36 54 此时 底角 180 54 2 63 若三角形是钝角三角形 则 BAC 36 90 126 此时 底角 180 126 2 27 综上 该等腰三角形底角的度数是63 或27 11 2017北京 19 5分 如图 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于点D 求证 AD BC 证明 AB AC A 36 ABC C 72 BD平分 ABC ABD 36 ABD A AD BD BDC A ABD 72 BDC C BD BC AD BC 12 2015北京 20 5分 如图 在 ABC中 AB AC AD是BC边上的中线 BE AC于点E 求证 CBE BAD 证明 AB AC AD是BC边上的中线 AD BC BAD CAD BE AC BEC ADC 90 CBE 90 C CAD 90 C CBE CAD CBE BAD 13 2014浙江杭州 18 8分 在 ABC中 AB AC 点E F分别在AB AC上 AE AF BF与CE相交于点P 求证 PB PC 并直接写出图中其他相等的线段 解析在 AFB和 AEC中 AF AE A为公共角 AB AC 所以 AFB AEC 所以 ABF ACE 因为AB AC 所以 ABC ACB 所以 PBC PCB 所以PB PC 其余相等的线段有 BF CE PE PF BE CF 1 2017四川绵阳 11 3分 如图 直角 ABC中 B 30 点O是 ABC的重心 连接CO并延长交AB于点E 过点E作EF AB交BC于点F 连接AF交CE于点M 则的值为 A B C D 考点二直角三角形 答案D 在Rt ABC中 点O是 ABC的重心 OC CE CE AE EB B BCE 30 CAE ECA 60 CAE是等边三角形 EF AB FEB 90 CEF 30 CF EF AF平分 CAB AM垂直平分CE CM CE MO CE CM MF CM tan30 CM 故选D 2 2015北京 6 3分 如图 公路AC BC互相垂直 公路AB的中点M与点C被湖隔开 若测得AM的长为1 2km 则M C两点间的距离为 A 0 5kmB 0 6kmC 0 9kmD 1 2km 答案D AC BC M是AB的中点 MC AB AM 1 2km 故选D 3 2018河南 15 3分 如图 MAN 90 点C在边AM上 AC 4 点B为边AN上一动点 连接BC A BC与 ABC关于BC所在直线对称 点D E分别为AC BC的中点 连接DE并延长交A B所在直线于点F 连接A E 当 A EF为直角三角形时 AB的长为 答案4或4 解析 1 当点A 在直线DE下方时 如图1 CA F 90 EA F CA F A EF为钝角三角形 不符合 2 当点A 在直线DE上方时 如图2 当 A FE 90 时 DE AB EDA 90 A B AC 由对称知四边形ABA C为正方形 AB AC 4 当点A 在直线DE上方时 如图3 当 A EF 90 时 A E AC 所以 A EC ACE A CE A C A E A E EC A CE为等边三角形 ACB A CB 60 在Rt ACB中 AB AC tan60 4 当点A 在直线DE上方时 EA F CA B 不可能为90 综上所述 当 A EF为直角三角形时 AB的长为4或4 图1 图2图3 4 2015贵州遵义 16 4分 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如图 1 图 2 由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形ABCD 正方形EFGH 正方形MNKT的面积分别为S1 S2 S3 若正方形EFGH的边长为2 则S1 S2 S3 答案12 解析设AH a AE b EH c 则c 2 所以S1 S2 S3 a b 2 c2 a b 2 2 a2 b2 c2 3c2 3 22 12 5 2015江西南昌 14 3分 如图 在 ABC中 AB BC 4 AO BO P是射线CO上的一个动点 AOC 60 则当 PAB为直角三角形时 AP的长为 答案2或2或2 解析由题意知 满足条件的点P有三个位置 如图 APB 90 因为OA OB 2 所以OP OA 2 又因为 AOC 60 所以 POA为等边三角形 所以AP 2 如图 APB 90 因为OA OB 2 所以OP OA OB 2 又 AOC BOP 60 所以 OBP为等边三角形 所以 OBP 60 所以 OAP 30 所以AP AB cos OAP 4 2 如图 ABP 90 因为 BOP AOC 60 所以BP OB tan60 2 在Rt ABP中 AP 2 综上所述 AP的长为2或2或2 6 2014贵州贵阳 15 4分 如图 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC 16cm AD为BC边上的高 动点P从点A出发 沿A D方向以cm s的速度向点D运动 设 ABP的面积为S1 矩形PDFE的面积为S2 运动时间为t秒 0 t 8 则t 秒时 S1 2S2 答案6 解析由题意可知Rt ADC Rt APE和Rt EFC都是等腰直角三角形 AD DC BD 8cm 因为AP tcm 所以DP EF FC 8 t cm DF tcm 所以S1 AP BD t 8 8tcm2 S2 PD DF 8 t t 2t2 16t cm2 所以当S1 2S2时 有8t 4t2 32t 解得t 6 7 2014湖北武汉 16 3分 如图 在四边形ABCD中 AD 4 CD 3 ABC ACB ADC 45 则BD的长为 答案 解析作AD AD 且使AD AD 连接CD DD 如图 由已知条件可得 BAC CAD DAD CAD 即 BAD CAD 在 BAD与 CAD 中 BAD CAD SAS BD CD 又 DAD 90 由勾股定理得DD 4 易知 D DA ADC 90 由勾股定理得CD BD CD 8 2018安徽 23 14分 如图1 Rt ABC中 ACB 90 点D为边AC上一点 DE AB于点E 点M为BD的中点 CM的延长线交AB于点F 1 求证 CM EM 2 若 BAC 50 求 EMF的大小 3 如图2 若 DAE CEM 点N为CM的中点 求证 AN EM 图1图2 解析 1 证明 由已知 在Rt BCD中 BCD 90 M为斜边BD的中点 CM BD 又DE AB 同理 EM BD CM EM 4分 2 由已知得 CBA 90 50 40 又由 1 知CM BM EM CME CMD DME 2 CBM EBM 2 CBA 2 40 80 EMF 180 CME 100 9分 3 证明 DAE CEM CME DEA 90 DE CM AE EM 又CM DM EM DM DE EM DEM是等边三角形 MEF DEF DEM 30 证法一 在Rt EMF中 EMF 90 MEF 30 又 NM CM EM AE FN FM NM EF AE AE EF AF 又 AFN EFM AFN EFM NAF MEF AN EM 14分 证法二 连接AM 则 EAM EMA MEF 15 AMC EMC EMA 75 又 CMD EMC EMD 30 且MC MD ACM 180 30 75 由 可知AC AM 又N为CM的中点 AN CM 又 EM CF AN EM 14分 9 2017北京 28 7分 在等腰直角 ABC中 ACB 90 P是线段BC上一动点 与点B C不重合 连接AP 延长BC至点Q 使得CQ CP 过点Q作QH AP于点H 延长QH交AB于点M 1 若 PAC 求 AMQ的大小 用含 的式子表示 2 用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系 并证明 解析 1 ACB是等腰直角三角形 CAB 45 PAB 45 QH AP AMQ 90 PAB 45 2 线段MB与PQ之间的数量关系为PQ MB 证明 连接AQ 过点M作MN BQ于点N 如图 则 MNB为等腰直角三角形 MB MN AC BQ CQ CP AP AQ QAC PAC QAM BAC QAC 45 QAC 45 PAC AMQ QA QM MQN APQ PAC APQ 90 MQN PAC MQN QAC Rt QAC Rt MQN QC MN PQ 2QC 2MN MB 10 2016北京 23 5分 如图 在四边形ABCD中 ABC 90 AC AD M N分别为AC CD的中点 连接BM MN BN 1 求证 BM MN 2 若 BAD 60 AC平分 BAD AC 2 求BN的长 解析 1 证明 在 ABC中 ABC 90 M为AC的中点 BM AC N为CD的中点 MN AD AC AD BM MN 2 BAD 60 AC平分 BAD BAC CAD 30 由BM AM 可得 BMC 2 BAC 60 由MN AD 可得 CMN CAD 30 BMN BMC CMN 90 AC AD 2 BM MN 1 在Rt BMN中 BN 11 2016广东 21 7分 如图 Rt ABC中 B 30 ACB 90 CD AB交AB于D 以CD为较短的直角边向 CDB的同侧作Rt DEC 满足 E 30 DCE 90 再用同样的方法作Rt FGC FCG 90 继续用同样的方法作Rt HIC HCI 90 若AC a 求CI的长 解析 Rt ABC中 B 30 ACB 90 A 60 1分 CD AB ADC 90 ACD 30 2分 AC a Rt ADC中 AD AC CD AD a 4分 同理可得 Rt DFC中 DF CD a CF DF a 5分 Rt FHC中 FH CF a CH FH a 6分 Rt CHI中 CI CH a 7分 评析本题考查直角三角形的基本性质与运算 12 2016安徽 23 14分 如图1 A B分别在射线OM ON上 且 MON为钝角 现以线段OA OB为斜边向 MON的外侧作等腰直角三角形 分别是 OAP OBQ 点C D E分别是OA OB AB的中点 1 求证 PCE EDQ 2 延长PC QD交于点R 如图2 若 MON 150 求证 ABR为等边三角形 如图3 若 ARB PEQ 求 MON的大小和的值 解析 1 证明 点C D E分别是OA OB AB的中点 DE OC CE OD 四边形ODEC为平行四边形 OCE ODE 又 OAP OBQ都是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ 又 PC AO CO ED CE OD OB DQ PCE EDQ 5分 2 证明 如图 连接OR PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线 AR OR BR ARC ORC ORD BRD 在四边形OCRD中 OCR ODR 90 MON 150 CRD 30 ARB ARO BRO 2 CRO 2 ORD 2 CRD 60 ABR为等边三角形 9分 由 1 知EQ PE DEQ CPE 又 AO ED CED ACE PEQ CED CEP DEQ ACE CEP CPE ACE RCE ACR 90 即 PEQ为等腰直角三角形 ARB PEQ ARB 90 于是在四边形OCRD中 OCR ODR 90 CRD ARB 45 MON 135 此时P O B在一条直线上 PAB为直角三角形且 APB为直角 所以AB 2PE 2 PQ PQ 则 14分 A组2016 2018年模拟 基础题组考点一等腰三角形 三年模拟 1 2018云南昆明盘龙模拟 4 如图 在 ABC中 B C AD平分 BAC AB 5 BC 6 则AD A 3B 4C 5D 6 答案B B C AB AC AD平分 BAC AD BC BD CD BC 3 在Rt ABD中 AB 5 BD 3 AD 4 故选B 2 2016河北石家庄裕华 9 已知等腰三角形的顶角是84 则一腰上的高与底边所成的角的度数是 A 42 B 60 C 36 D 46 答案A如图 在 ABC中 AB AC BD是边AC上的高 A 84 且AB AC ABC C 180 84 2 48 在Rt BDC中 BDC 90 C 48 DBC 90 48 42 故选A 3 2018湖北襄阳谷城模拟 15 四边形ABCD是正方形 点E是直线AB上的一动点 且 AEC是以AC为腰的等腰三角形 则 BCE的度数为 答案67 5 或45 或22 5 解析 当AC AE时 以A为圆心 AC为半径作圆 交直线AB于点E 当E在BA的延长线上时 如图1 易知 EAC 135 ACE BEC 22 5 BCE BCA ACE 67 5 图1当E在AB的延长线上时 如图2 易知 EAC 45 ACE 67 5 BCE ACE ACB 22 5 图2 当AC CE时 以C为圆心AC为半径作圆 交直线AB于点E 如图3 图3 EAC CEA 45 CBE 90 BCE 45 综上 BCE的度数为67 5 或45 或22 5 4 2017黑龙江哈尔滨南岗 19 若一个等腰三角形的两条边的长度之比为3 2 则这个等腰三角形底角的正切值为 答案2或 解析如图 作AD BC于点D 则BD CD BC 若AB BC 3 2 则设AB 3x x 0 则BC 2x BD x AD 2x 则tanB 2 若BC AB 3 2 则设BC 3x x 0 则AB 2x BD x AD x 则tanB 故答案为2或 5 2018海南海口模拟 23 已知 ABC是等边三角形 D E分别是AB BC边上的两个动点 与点A B C不重合 且始终保持BD CE 1 当点D E运动到如图1所示的位置时 连接CD AE 求证 CD AE 2 把图1中的 ACE绕着A点顺时针旋转60 到 ABF的位置 如图2 分别连接DF EF 找出图2中所有的等边三角形 ABC除外 并对其中一个给予证明 试判断四边形CDFE的形状 并说明理由 图1图2 解析 1 证明 ABC是等边三角形 BC CA B ECA 60 又 BD CE BCD CAE CD AE 2 题图2中有2个等边三角形 ABC除外 分别是 BDF AFE 现证明 BDF为等边三角形 由题设 知 ACE ABF CE BF ECA ABF 60 又 BD CE BD CE BF BDF是等边三角形 提示 证明AF AE FAE 60 从而得出 AFE是等边三角形 四边形CDFE是平行四边形 理由如下 FDB ABC 60 FD EC 又 FD FB EC 四边形CDFE是平行四边形 6 2016黑龙江龙东 26 在 ABC中 AB AC BAC 60 点E为直线AC上一点 点D为直线BC上一点 且DA DE 当点D在线段BC上时 如图 易证 BD AB AE 当点D在线段CB的延长线上时 如图 图 猜想线段BD AB和AE之间有怎样的数量关系 写出你的猜想 并选择一种给予证明 解析题图 中 结论 BD AE AB 证明 作EM AB交BC于M 如图 ABC是等边三角形 ABC C BAC 60 AB BC AC CEM CAB 60 CME CBA 60 CME是等边三角形 CE CM EM EMC 60 AE BM DA DE DAE DEA BAC DAB C EDM DAB EDM 由EM AB 可知 ABD EMD 在 ABD和 DME中 ABD DME DB EM CM 又AE BM DB AE CM BM BC AB 题图 中 结论 BD AE AB 证明 作EM AB交CB的延长线于M 如图 ABC是等边三角形 ABC C BAC 60 AB BC AC CEM CAB 60 CME CBA 60 CME是等边三角形 CE CM EM EMC MEC 60 AE BM DA DE DAE DEA C ADC MEC DEM ADB DEM 由EM AB可知 ABD EMD 在 ABD和 DME中 ABD DME DB EM CM 又AE BM DB AE CM BM BC AB 1 2018云南昭通昭阳模拟 2 若一直角三角形两边长分别为12和5 则第三边的长为 A 13B 13或C 13或15D 15 考点二直角三角形 答案B当斜边长是12时 第三边的长是 当一直角边长是12时 第三边的长是 13 故选B 2 2016黑龙江龙东 8 如图 在 ABC中 ACB 90 BE平分 ABC ED AB于D 如果 A 30 AE 6cm 那么CE等于 A cmB 2cmC 3cmD 4cm 答案C ED AB A 30 AE 2ED AE 6cm ED 3cm ACB 90 BE平分 ABC ED CE 3cm 故选C 3 2017上海静安 18 一张直角三角形纸片ABC ACB 90 AB 24 tanB 将它沿EF折叠 使直角顶点C与斜边AB的中点D重合 那么折痕EF的长为 答案13 解析连接CD 交EF于点O CD是斜边AB上的中线 DC DB AB 12 DCB B 由题意得 EF是CD的垂直平分线 OEC OCE 90 CO OD 6 又 DCB OCE 90 OEC DCB B tanB tan OEC 设CF 2x x 0 则CE 3x 由勾股定理得 EF x 则 2x 3x x 6 解得x 舍去x 0 EF 13 故答案为13 4 2016吉林长春 12 如图 在Rt ABC中 ABC 90 按如下步骤作图 分别以点B C为圆心 大于AB的长为半径作弧 两弧相交于点M和N 作直线MN 交AC于点D 连接BD 若AC 8 则BD的长为 答案4 解析由题意可得MN是线段BC的垂直平分线 则AB MN MN垂直平分BC D是AC的中点 BD是直角三角形ABC斜边上的中线 BD AC 4 5 2018湖北襄阳保康4月模拟 18 1 探究发现 如图1 ABC为等边三角形 点D为AB边上的一点 DCE 30 DCF 60 且CF CD 求 EAF的度数 DE与EF相等吗 请说明理由 2 类比探究 如图2 ABC为等腰直角三角形 ACB 90 点D为AB边上的一点 DCE 45 CF CD CF CD 请直接写出 EAF的度数 线段AE ED DB之间的数量关系 解析 1 ABC是等边三角形 AC BC BAC B ACB 60 DCF 60 ACB DCF ACF BCD 在 ACF和 BCD中 ACF BCD SAS CAF B 60 EAF BAC CAF 120 DE EF 理由如下 DCF 60 DCE 30 FCE 60 30 30 DCE FCE 在 DCE和 FCE中 DCE FCE SAS DE EF 2 ABC是等腰直角三角形 ACB 90 AC BC BAC B 45 DCF 90 ACB DCF ACF BCD 在 ACF和 BCD中 ACF BCD SAS CAF B 45 AF DB EAF BAC CAF 90 AE2 DB2 DE2 理由如下 DCF 90 DCE 45 FCE 90 45 45 DCE FCE 在 DCE和 FCE中 DCE FCE SAS DE EF 在Rt AEF中 AE2 AF2 EF2 又 AF DB AE2 DB2 DE2 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 40分钟分值 50分 一 选择题 每小题3分 共6分 1 2018天津河东一模 11 如图 在底边BC为2 腰AB为2的等腰三角形ABC中 DE垂直平分AB 交AB于点D 交BC于点E 则 ACE的周长为 A 2 B 2 2C 4D 3 答案B DE垂直平分AB BE AE AE CE BC 2 ACE的周长 AC AE CE AC BC 2 2 故选B 2 2016辽宁大连 8 如图 在 ABC中 C 90 AC 2 点D在BC上 ADC 2 B AD 则BC的长为 A 1B 1C 1D 1 答案D C 90 DC 1 ADC B BAD ADC 2 B B BAD BD AD BC 1 3 2018贵州黔南州一模 19 如图 已知O为坐标原点 四边形OABC为矩形 A 10 0 C 0 4 点D是OA的中点 点P在BC上运动 当 ODP是腰长为5的等腰三角形时 则P点的坐标为 二 填空题 每小题3分 共15分 答案 2 4 或 3 4 或 8 4 解析当OD PD P在D右边 时 如图1 过P作PQ x轴于Q 图1在Rt DPQ中 PQ 4 PD OD OA 5 根据勾股定理得DQ 3 故OQ OD DQ 5 3 8 则此时P点坐标为 8 4 当OD PD P在D左边 时 如图2 过P作PQ x轴于Q 图2在Rt DPQ中 PQ 4 PD OD 5 根据勾股定理得 QD 3 故OQ OD QD 5 3 2 则此时P点坐标为 2 4 当PO OD时 如图3 过P作PQ x轴于Q 图3在Rt OPQ中 OP OD 5 PQ 4 根据勾股定理得 OQ 3 则此时P点坐标为 3 4 综上 满足题意的P点坐标为 2 4 或 3 4 或 8 4 4 2018湖北武汉武昌一模 15 如图 四边形ABDC中 AB CD AC BC DC 4 AD 6 则BD 答案2 解析如图 延长BC至点E 使CE BC 连接DE BC CD CD BC CE 4 BDE 90 BE 8 AC BC ABC BAC AB CD ABC DCB BAC BAC DCA 180 又 DCB DCE 180 DCE DCA 在 ECD与 ACD中 DCE DCA SAS ED AD 6 在Rt BDE中 BE 8 ED 6 BD 2 5 2017湖北武汉 15 如图 点A的坐标为 0 1 点B是x轴正半轴上的一个动点 以AB为边作等腰直角三角形ABC 使 BAC 90 取BC的中点P 当点B从点O沿x轴正半轴移动到点M 2 0 时 点P移动的距离为 答案 解析如图1所示 过P作PD x轴于D 作PE y轴于E 则 DPE 90 AEP BDP 90 连接AP 图1 ABC是等腰直角三角形 P是BC的中点 AP BC BP 且AP BC 即 APB 90 APE BPD 在 AEP和 BDP中 AEP BDP AAS PE PD 点P沿 AOM的平分线的方向移动 如图2所示 当点B与点O重合时 AB AO 1 OC OP OC 图2如图3所示 当点B与点M重合时 过P作PD x轴于D 作PE y轴于E 连接AP OP 图3 由 AEP BDP 可得AE BD 设AE BD x x 0 则OE 1 x OD 2 x 易知四边形ODPE是正方形 OD OE 即2 x 1 x 解得x OD 2 在等腰直角三角形OPD中 OP OD 当点B从点O沿x轴正半轴移动到点M时 点P移动的距离为 6 2016辽宁抚顺 16 如图 Rt ABC中 ACB 90 A 30 BC 2 将 ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到 EDC 点D在AB边上 DE交AC于点F 则图中阴影部分的面积为 答案 解析 ABC是直角三角形 ACB 90 A 30 BC 2 B 60 AB 2BC 4 AC 2 EDC是由 ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到的 CD BC 2 又 B 60 BCD是等边三角形 BCD 60 DCF 30 DFC 90 DE AC DE BC BD AB 2 DF是 ABC的中位线 DF BC 2 1 CF AC 2 S阴影 DF CF 1 7 2016江苏徐州 16 如图 在Rt ABC中 ABC 90 AB BC 将 ABC绕点C逆时针旋转60 得到 MNC 连接BM 则BM的长是 答案 1 解析如图 设AC与BM相交于点D 连接AM 由题意知 ABC为等腰直角三角形 所以 BAC BCA 45 易知 AMC是等边三角形 所以CM AM 易证 BMC BMA 所以 CBM ABM 45 CMB AMB 30 所以 CDM CDB 90 在Rt CDB中 CD CB sin45 1 所以BD CD 1 在Rt CDM中 DM 所以BM DM BD 1 8 2018湖北荆门模拟 19 如图 ABD和 ACE都是直角三角形 其中 ABD ACE 90 C在AB上 连接DE M是DE的中点 求证 MC MB 三 解答题 共29分 证明延长CM DB 设交点为G ABD和 ACE都是直角三角形 且 ACE ABD 90 CE BD 即CE DG CEM GDM MCE MGD M是DE的中点 DM EM ECM DGM CM MG G在DB的延长线上 CBG是直角三角形 在Rt CBG中 BM CG CM 9 2017湖北天门 24 如图 已知 BAD和 BCE均为等腰直角三角形 BAD BCE 90 点M为DE的中点 过点E与AD平行的直线交射线AM于点N 1 当A B C三点在同一直线上时 如图1 求证 M为AN的中点 2 将图1中的 BCE绕点B旋转 当A B E三点在同一直线上时 如图2 求证 ACN为等腰直角三角形 3 将图1中的 BCE绕点B旋转到图3的位置 此时A B M三点在同一直线上 2 中的结论是否仍然成立 若成立 试证明该结论 若不成立 请说明理由 解析 1 证明 EN AD MAD MNE ADM NEM 点M为DE的中点 DM EM 在 ADM和 NEM中 ADM NEM AM MN M为AN的中点 2 证明 BAD和 BCE均为等腰直角三角形 AB AD CB CE CBE CEB 45 AD NE DAE NEA 180 DAE 90 NEA 90 NEC 135 A B E三点在同一直线上 ABC 180 CBE 135 ABC NEC 由 1 知 ADM NEM AD NE AD AB AB NE 在 ABC和 NEC中 ABC NEC AC NC ACB NCE ACN BCE 90 ACN为等腰直角三角形 3 ACN仍为等腰直角三角形 证明 由 1 知 ADM NEM AD NE AD AB AB NE AD NE AD AN AN NE 在四边形BCEN中 BCE BNE 90 NBC NEC 360 180 180 NBC ABC 180 ABC NEC 在 ABC和 NEC中 ABC NEC AC NC ACB NCE ACN BCE 90 ACN为等腰直角三角形 解析 1 在Rt ABE和Rt AGE中 AE AE AB AG Rt ABE Rt AGE BAE GAE 同理 GAF DAF EAF BAD 45 2 MN2 ND2 DH2 理由如下 由题意得 BAM DAH B ADH BAM DAN 45 HAN DAH DAN 45 HAN MAN 又 AM AH AN AN AMN AHN MN HN BAD 90 AB AD ABD ADB 45 HDN HDA ADB 90 HN2 ND2 DH2 MN2 ND2 DH2