轴对称和全等三角形专题.doc

全等三角形培优辅导知识要点：全等三角形的定义：能够 的两个三角形。全等三角形的性质：全等三角形对应边 ，对应角 ，对应边上的高 ，对应边上的中线 ，周长 ，面积 。全等变换的定义：只改变图形的 ，而不改变其 的图形变换。判定三角形全等公理：边角边公理： 。角边角公理： 。推论：（AAS） 边边边公理： 。斜边直角边公理： 的两个直角三角形全等。用全等三角形证明线段相等或角相等的思路:观察要证的线段或角（或者用等量代换后的线段或角）在哪两个可能全等的三角形之中；分析要证全等的这两个三角形，已知什么还缺什么条件；（已知条件分为两种：一个是题目给出的；一个是图形中所隐含的，如公共角、公共边、对顶角等）；设法证明出所缺条件；当待证得线段或角不分布在两个三角形中（也找不到等量代换）时，常需要添加辅助线构造出三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角。证题时常用的方法：（1）证角相等的方法：对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；平行线同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形对应角相等。（2）证线段相等常用方法：中点定义；全等三角形对应边相等；等式性质；中垂线定义；角平分线上的点到角的两边距离相等；等腰（等边）三角形的性质（4）证题常用分析方法：综合法：从已知出发用学过的定义、公理、定理得出结论；分析法：从结论出发反过来寻找能使结论成立所需要的条件，这样一步一步地逆求，一直到是结论成立的条件与已知条件吻合；两头“凑”的方法：综合上两种方法来证明结论。角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线。角平分线的性质定理： 。逆定理也同时成立。逆定理也常作为角平分线的判定定理。全等三角形一些常见题型：一、 探索条件型此类型题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件。一般地，依据三角形全等地判定方法，补充所缺少的条件。例：如图，已知MB=ND,MBA=NDC,下列哪些条件不能判定ABMCDNA.M=N B.AB=CDC.AM=CN D.AMB=NCD二、探索结论型此类型题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根据所给条件探索可能得到的结论。例. （2004年宁夏自治区）如图2，AB=AD，BC=CD，AC和BDABCDE相交于E。由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中3个正确结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论1：结论2：结论3：三、探索方案型此类型题首先提供一个实际问题背景，按照问题的要求研究解决问题的合理方案。例：（2004年芜湖市）如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿( )去配. 四、探索编拟问题型例.如图，在AFD和BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下列四个论断： AD=CB，AE=CF，BD，AC.请用其中三个作为条件余下一个作为结论，编一道数学题，并写出解答过程。三角形全等的经典类型类型一平移法构造全等三角形例已知：如图，在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D。求证：BAD=DAE+C 类型二翻折法构造全等三角形例已知：如图，OP是AOC和BOD的平分线，OA=OC,OB=OD求证：AB=CD类型三补短法构造全等三角形例已知：如图，在ABC中，C=2B，BAD=CAD,证明：类型四截长法构造全等三角形例如图，已知在ABC中，为边上的高2C=B求证：类型五证明三点共线例如图，BD、CE是ABC的中线，延长BD到F点，使DF=BD，延长CE到G点，使EG=CE求证：点G、A、F在一条直线上类型六角平分线与全等的综合应用例如图，OD平分AOB，在OA、OB边上取OA=OB，PMAD。求证：PM=PN小专题证明三角形全等的基本思路类型1已知两边对应相等方法1寻找第三边对应相等，用“SSS”1把四根木条做成如图所示的四边形ABCD，其中ABAD，CBCD，有人说它可以当成一个平分角的仪器，请你说明其中的道理方法2寻找夹角对应相等，用“SAS”2如图，ABAD，ACAE，BADCAE. 求证：BCDE.类型2已知两角对应相等方法1寻找夹边对应相等，用“ASA”3如图，已知点D在ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F.求证：AEDF.方法2寻找任一对应角的对边对应相等，用“AAS”4两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分AOF与DOC是否全等？为什么？21教育网类型3已知一边一角对应相等方法1有一边和该边的对角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”5如图，四边形ABCD中，ADBC，A90，BDBC，CEBD于点E.求证：ADBE.方法2有一边和该边的邻角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”6如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC，求证：OAOD.方法3有一边和该边的邻角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”7(北京中考)已知：如图，D是AC上一点，ABDA，DEAB，BDAE.求证：BCAE.类型4全等基本图形归纳(平移、旋转、翻折)8如图，在ABC中，ACB90，A20，若将ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则ADE的度数是（ ）21cnjycom A30 B40 C50 D559如图，已知点E，C在线段BF上，BECF，ABDE，ACBF.求证：ABCDEF.10如图，RtABC中，C90，将ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转度(BAC)，得到RtADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H.求证：AFBAGE.21cnjy.com11、(1)阅读理解： 如图，在ABC中，若AB10，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE(或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD)，把AB，AC，2AD集中在ABE中利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_；(2)问题解决：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF；21cnjy.com(3)问题拓展：如图，在四边形ABCD中，BD180，CBCD, BCD140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明21cnjycom(第4题)轴对称知识点等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹得角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。（此定理常用来证明同一个三角形中两角相等）。此定理反过来也成立（即等角对等边）。（常用来证明线段相等）定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一。只要知道其中一个结论，就可以得出其他两个结论）。注意：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可以为钝角（或直角）。设腰厂为a，底边长为b，则b/2a。等腰三角形中常用到的辅助线：（1）通常做底边上的中线、高、或者顶角的平分线。（2）边有中点时常常要利用它做出中线。有二倍角时常用到的辅助线：（1）构造等腰三角形，使二倍角是等腰三角形的顶角的外角；（2）平分二倍角；（3）给较小的角加倍。知识重点掌握轴对称的应用，能判别轴对称图形。知道垂直平分线的性质，会用这些性质证明一些结论。最重要的是会用等腰三角形的性质，会证明等腰三角形。典型例题类型一等腰三角形的热点问题例如图，AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EFAC交AB于F。证明：AF=FB类型二等腰三角形的综合应用例如图，在ABC中，AB=AC，AEBC于E，在BC上截取CD=CA，连接AD，若AD=BD，则DAE的度数是（）类型三利用垂直平分线的性质解题例如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E。若ABC的周长为28，BC=8，求BCE的周长.类型四构造直角坐标系解题例证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。类型五转化思想例如图，在ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平分线交AC于D。求证：AD=1/2 DC.类型六数形结合例一搜轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60。若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无危险。类型七分类讨论例等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数是（）A 60 B 120 C 60或120 D 60或150类型八方程思想例ABC是等腰三角形，分别以ABC的腰为边，向外做等边三角形ADB和等边ACE。若DAE=DBC，求ABC三个内角的度数。