高考总复习：数列.doc

考纲导读数 列1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题知识网络高考导航纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点从解题思想方法的规律着眼，主要有： 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题； 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题； 待定系数法、分类讨论等方法的应用第一节 数列的概念基础过关1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集1，2，3，n的函数f(n)数列的一般形式为a1，a2，an，简记为an，其中an是数列an的第 项2数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式3在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为： 4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.典型例题例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式 ，； 1，2，6，13，23，36，； 1，1，2，2，3，3，解： an(1)n an（提示：a2a11，a3a24，a4a37，a5a410，anan113(n2)=3n5各式相加得 将1，1，2，2，3，3，变形为变式训练1.某数列an的前四项为0，0，则以下各式： an1(1)n an an 其中可作为an的通项公式的是（ ）ABCD解：D 例2. 已知数列an的前n项和Sn，求通项 Sn3n2 Snn23n1解 anSnSn1 (n2) a1S1 解得：an an变式训练2：已知数列an的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn1)n，(nN*)，则数列an的通项公式为 解：当n1时，a1S111；当n2时，anSnSn110n10n1910 n1故an例3. 根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an11 (n2) a11，an (n2) a11，an (n2)解： an2an11(an1)2(an11)(n2)，a112故：a112n，an2n1an（anan1）（an1an2）（a3a2）（a2a1）a13n13n23331(3)an变式训练3.已知数列an中，a11，an1(nN*)，求该数列的通项公式解：方法一：由an1得，是以为首项，为公差的等差数列1(n1),即an方法二：求出前5项，归纳猜想出an，然后用数学归纳证明例4. 已知函数2x2x，数列an满足2n，求数列an通项公式解：得变式训练4.知数列an的首项a15前n项和为Sn且Sn12Snn5（nN*）(1) 证明数列an1是等比数列；(2) 令f (x)a1xa2x2anxn，求函数f (x)在点x1处导数f 1 (1)解：(1) 由已知Sn12Snn5， n2时，Sn2Sn1n4，两式相减，得：Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1从而an112(an1)当n1时，S22S115， a1a22a16,又a15， a211 2，即an1是以a116为首项，2为公比的等比数列.(2) 由(1)知an32n1 a1xa2x2anxn a12a2xnanxn1从而a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(12n)3n2n1(22n)3(n1)2n16归纳小结1根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2由Sn求an时，用公式anSnSn1要注意n2这个条件，a1应由a1S1来确定，最后看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1anf(n)，f(n)，an1panq，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）第二节 等差数列基础过关1等差数列的定义： d（d为常数）2等差数列的通项公式： ana1 d anam d3等差数列的前n项和公式：Sn 4等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b 5数列an是等差数列的两个充要条件是： 数列an的通项公式可写成anpnq(p, qR) 数列an的前n项和公式可写成Snan2bn (a, bR)6等差数列an的两个重要性质： m, n, p, qN*，若mnpq，则 数列an的前n项和为Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列典型例题例1. 在等差数列an中，(1)已知a1510，a4590，求a60；(2)已知S1284，S20460，求S28；(3)已知a610，S55，求a8和S8解：(1)方法一：a60a159d130方法二：，由anam(nm)da60a45(6045)d9015130(2)不妨设SnAn2Bn，Sn2n217nS28228217281092(3)S6S5a651015，又S615即a15而da8a62 d16S8变式训练1.在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10 解：da6a55，a4a5a10例2. 已知数列an满足a12a，an2a（n2）其中a是不为0的常数，令bn 求证：数列bn是等差数列 求数列an的通项公式解： an2a (n2) bn (n2) bnbn1 (n2) 数列bn是公差为的等差数列 b1故由得：bn(n1)即： 得：ana(1)变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若，求数列的前n项和解：1），即 为等差数列。（2）。例3. 已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列前n项和。求Tn解：设an首项为a1公差为d，由 Sn Tn变式训练3两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是 （ ）A B C D解：B 解析：。例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解： 设工作年数为n（nN*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2则：S11000110002100031000n 500(n1)nS23001300230033002n 300(2n1)n由S2S1，即：300(2n1)n500(n1)n解得：n2 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当n10时，由得：S1500101155000S2300102163000 S2S18000 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元 若第二种方案中的300美元改成a美元则an(2n1) nN* a250250变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-10.85. 由题意可知an0.85 bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.归纳小结1欲证an为等差数列，最常见的做法是证明：an1and(d是一个与n无关的常数)2a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题基础过关第三节 等比数列1等比数列的定义：q（q为不等于零的常数）2等比数列的通项公式： ana1qn1 anamqnm 3等比数列的前n项和公式： Sn 4等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2 （或b ）5等比数列an的几个重要性质： m，n，p，qN*，若mnpq，则 Sn是等比数列an的前n项和且Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列 若等比数列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列，则an的公比q 典型例题例1. 已知等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求项数n和公比q的值解：an是等比数列，a1ana2an1，解得或若a12，an64，则2qn164qn32q由Sn，解得q2，于是n6若a164，an2，则64qn12qn由Sn解得q，n6变式训练1.已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11 解：64或1 由或 q2或q22， a11a7 q2， a1164或a111例2. 设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项解：若q1，则na140，2na13280矛盾， q1 两式相除得：qn81，q12a1又q0， q1，a10 an是递增数列 an27a1qn1解得 a11，q3，n4变式训练2.已知等比数列an前n项和Sn2n1，an2前n项和为Tn，求Tn的表达式解：(1) a12a220，公比q又S4S2，将q代入上式得a11，ana1qn1() n1 (nN*)(2) an() n1()4n5原不等式的解为n1或n3或n5例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解：设这四个数为ad，a，ad， 依题意有： 解得： 或 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1变式训练3.设是等差数列的前项和，则等于（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18答案： D。解析：由得，再由。例4. 已知函数f(x)(x1)2，数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(q1)，若a1f(d1)，a3f(d1)，b1f(q1)，b3f(q1)，(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn对任意的自然数n均有：，求数列cn前n项和Sn解：(1) a1(d2)2，a3d2，a3a12d即d2(d2)22d，解之得d2a10，an2(n1)又b1(q2)2，b3q2，b3b1q2即q2(q2)2 q2，解之得q3b11，bn3n1(2) SnC1C2C3Cn4(13231332n3 n1)设1323332n3 n13131232333n3 n21332333 n1n3 n3 nnSn2n3n3n1变式训练4.已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项求数列an与bn的通项公式；设数列cn对任意正整数n，均有，求c1c2c3c2007的值解：由题意得（a1d）(a113d)(a14d)2(d0) 解得d2，an2n1，bn3n1 当n1时，c13 当n2时， 故 归纳小结1在等比数列的求和公式中，当公比q1时，适用公式Sn，且要注意n表示项数；当q1时，适用公式Snna1；若q的范围未确定时，应对q1和q1讨论求和2在等比数列中，若公比q 0且q1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为xd，x，xd，再依题意列出方程求x、d即可4a1与q是等比数列an中最活跃的两个基本量第四节 等差数列和等比数列的综合应用基础过关1等差数列的常用性质： m，n，p，rN*，若mnpr，则有 an是等差数列， 则akn (kN*，k为常数)是 数列 Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列2在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值 a1 0，d 0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值 a10时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值3等比数列的常用性质： m，n，p，rN*，若mnpr，则有 an是等比数列，则a、是 数列 若Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列典型例题例1. 是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件： abc6 a、b、c成等差数列 将a、b、c适当排列后成等比数列解：设存在这样的三位数a，b，c由abc6，2bac 得：b2，ac4 若b为等比中项，则ac4， ac2与题设ac相矛盾 若a为等比中项，则a22c，则ac2(舍去)或a4，c8 若c为等比中项，则c22a，解得ca2(舍去)或c4，a8存在着满足条件的三个数：4，2，8或8，2，4变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（ ）A等差数列 B等比数列 C既成等差数列又成等比数列 D以上答案都不是答案：B。解析：由，由，由，即成等比数列。例2. 已知公差大于0的等差数列满足a2a4a4a6a6a21，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列an的通项公式an解：设的公差为d(d0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，也成等比数列，()2(3d)2(d)(7d)化简得d2，d又a2a4a4a6a6a21化简为33，即(d)(5d)32d6d3 d，(n1)dan变式训练2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。解析：由成等差数列，则即成等差数列。例3. 已知ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列求证：ABC是等边三角形解：由2BAC，且ABC180，B60，由a、b、c成等比数列，有b2accosB得(ac)20， ac ABC为等边三角形变式训练3.若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，则= （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4答案： D.解析：依题意有例4. 数列an的前n项和Sn，且a11，an1Sn，n1，2，3求： a2、a3、a4的值及an的通项公式； a2a4a6a2n的值.解析：(1)由a11，an1Sn，n1，2，3，得a2S1a1，a3S2(a1a2)，a4S3(a1a2a3)由an1an(SnSn1)an(n2)，得an1an(n2)，又a2，an()n2(n2) an通项公式为an(2) 由(1)可知a2、a4、a2n是首项为，公比为()2，项数为n的等比数列. a2a4a6a2n()2n1变式训练4.设数列的前项的和， 求首项与通项。解析：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得： （其中n为正整数）归纳小结归纳小结1在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、rN*，若mnpr，则amanapar（或amanapar）进行解答2若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2bac（或b2ac）3遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180这一性质4在涉及an与Sn相关式子中用Sn1和Sn的关系表示an时应该注意“n2”这个特点第五节 数列求和基础过关求数列的前n项和，一般有下列几种方法：1等差数列的前n项和公式：Sn 2等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sn 当q1时，Sn 3倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和5裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列典型例题例1. 已知数列：1，求它的前n项的和Sn解： an1 an2则原数列可以表示为：(21)，前n项和Sn(21)2n2n2n22n2变式训练1.数列前n项的和为 （ ）A B C D 答案:B。解析：例2. 求Sn1解： an2() Sn2(1)变式训练2：数列an的通项公式是an，若前n项之和为10，则项数n为（ ） A11 B99C120 D121解：C .an，Sn，由10，11，n11例3. 设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn，bnan2n，求数列bn的前n项和Tn解：取n1，则a1a11又Sn可得：an1(nN*) an2n1Tn12322523(2n1)2n 2Tn122323524(2n1)2n1得：Tn22324252n1(2n1)2n12(2n1)2n16(1n)2n2Tn6(n1)2n2变式训练3.设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1. 求数列an和bn通项公式 设Cn，求数列Cn前n项和Tn 解：（1）当n1时a1S12，当n2时，anSnSn14n2，故an通项公式为an4n2，即an是a12，d4的等差数列，设bn的公比为q，则b1qdb1，d4， q，故bnb1qn1（2）CnTnC1C2Cn134542（2n1）4n14Tn14342543（2n3）4nn（2n1）4n两式相减 3Tn Tn例4. 求Sn1!22！33！nn！解： annn!(n1)!n! Sn(n1)!1!(n1)!1变式训练4.以数列an的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an1)均在一次函数y2xk的图象上，数列bn满足条件：bnan1an，且b10 求证：数列bn为等比数列 设数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若S6T4，S59，求k的值解：由题意，an12ank bnan1an2ankanankbn1an1k2an2k2bn b10， 2 bn是公比为2的等比数列 由知anbnk bnb12n1 Tn Sna1a2an(b1b2bn)nk Tnnkb1(2n1)nk 解得：k8归纳小结1求和的基本思想是“转化”其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和2对通项中含有(1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性3倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视数列综合测试题一、选择题：1数列则是该数列的（ ）A第6项 B第7项 C第10项 D第11项2方程的两根的等比中项是（ ）A B C D3已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ）A138B135C95D234、已知等比数列的前三项依次为，则A B C D5一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（ ）A12 B C16 D186、若等差数列的前5项和，且，则（）（A）12 （B）13 （C）14 （D）157、在数列中， ，则 （）A B C D8两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是（ ）A B C D9an是等差数列，则使的最小的n值是（ ）A5 B C7 D810、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案第1个第2个第3个则第个图案中有白色地面砖的块数是（）A. B.C.D. 11.若数列前100项之和为0，则的值为（ ） A. B. C. D.以上的答案均不对12.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成 A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比二、填空题13、设Sn是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .14、由正数构成的等比数列an，若，则 15已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 16、给定（nN*），定义乘积为整数的k（kN*）叫做“理想数”，则区间1，2008内的所有理想数的和为 三、解答题17、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()（1）求；（2）设，求数列的前n项和。18、数列an的前n项和记为Sn，（1）求an的通项公式;（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn19、假设某市2004年新建住房400万，其中有250万是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万。那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？20、已知数列中，其前项和满足（，）（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立21、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和.22、已知是公差为的等差数列，它的前项和为,（1）求公差的值；（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围数列章节测试题参考答案一、选择题123456789101112BBCCBBADBDCA二、填空题13、-7214、715、16、2026解：换底公式：为整数，mN*k分别可取，最大值2008，m最大可取10，故和为22+23+210-18=2026三、解答题17、解：（1）设，（）由成等比数列得，-, 得 -由得， ，显然数列是首项公差的等差数列 （2）2 。18、（I）由可得，两式相减得 又 ，故an是首项为1，公比为3得等比数列 .（II）设bn的公差为d，由得，可得，可得， 故可设 又由题意可得解得 等差数列bn的各项为正， 19.（1）到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750（2）到2009年底，当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例将首次大于20、解：（1）由已知，（，）， 即（，），且数列是以为首项，公差为1的等差数列（2），要使恒成立，恒成立，恒成立，恒成立 （）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1， （）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， 即，又为非零整数，则综上所述，存在，使得对任意，都有21（1）圆心到直线的距离，（2） 相减得22解：（1），解得（2），数列的通项公式为函数在和上分别是单调减函数，当时，数列中的最大项是，最小项是（2）由得又函数在和上分别是单调减函数，且时；时.对任意的，都有， 的取值范围是