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第六章刚体力学 习题课 1 描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式 角位置 角运动方程 t 角位移 角速度 角加速度 角量与线量的关系 内容提要 2 力矩和转动惯量 1 力矩 匀角加速转动公式 0 t 2 02 2 2 转动惯量 组合体的转动惯量 平行轴定理 正交轴定理 3 刚体的定轴转动定律 4 力矩的功 转动动能 刚体定轴转动动能定理 机械能守恒定律 只有保守力做功时 5 角动量和冲量矩 刚体的角动量 恒力矩的冲量 变力矩的冲量 6 角动量定理和角动量守恒定律 角动量定理 角动量守恒定律 当合外力矩为零或远小于内力矩时 7 质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比 1 当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上 下列说法正确吗 1 这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零 2 这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零 4 这两个力对轴的合力矩为零时 它们的矢量和一定为零 3 这两个力矢量和为零时 它们对轴的合力矩一定为零 正确 正确 不正确 不正确 练习题 2 一水平均质圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴转动 盘上站着一个人 开始时人和盘整个系统处于静止状态 当人在盘上任意走动时 忽略轴的摩擦 对该系统下列各物理量是否守恒 原因何在 1 系统的动量 2 系统的机械能 3 系统对轴的角动量 不守恒 不守恒 守恒 3 一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴OO 以角速度 沿顺时针方向转动 1 在同一水平直线以相反方向同时射入两颗质量相同 速率相等的子弹 并留在盘中 盘的角速度如何变化 2 两大小相等 方向相反但不在同一直线上的力沿盘面同时作用在盘上 盘的角速度如何变化 盘的角速度增大 因为转盘受到同向的力矩 盘的角速度减小 因为角动量L Jw不变 但转动惯量J加大了 w10 A w20 O1 O2 R1 R2 B w1 A w2 O1 O2 R1 R2 B 4 质量分别为M1 M2 R1 R2的两个均匀圆柱体可分别绕它们本身的轴转动 二轴平行 开始时它们分别以角速度w10 w20匀速转动 然后平移两轴使他们的边缘互相接触 试分析在此过程中以两圆柱为系统 对O1或O2的角动量是否守恒 如何求解当两圆柱的接触点无相对滑动时 它们的角速度w1和w2 在此过程中以两圆柱为系统 对O1或O2的角动量不守恒 因为轴1上的力对轴2力矩不为零 反之亦然 求解它们的角速度w1和w2方法如下 两滑轮边缘线速度相同 所以 设两滑轮边缘相互作用力为大小F 根据角动量定理 求解上述方程可得w1和w2 w1 A w2 O1 O2 R1 R2 B 5 两个质量均为m 半径均为R的球 一个空心 一个实心 从粗糙的斜面上同时由静止无滑的滚下 问是否同时到底端 那个先到 摩擦力是否做功 解 定量计算那个球先到底端 因为无滑动 所以摩擦力不做功 机械能守恒 动能 空心球 实心球 结论实心球先到 刚体的平面运动 可看作是质心的平动加上刚体对通过质心且垂直于运动平面的轴的转动 刚体的转动动能为 利用以上四式可求解刚体的平面运动问题 刚体的平面运动 一个圆柱体和一个圆环同时从有摩擦的斜面上无滑动地滚下来 两者由不同的材料组成 质量相同 半径相同 并设质量分布都是均匀的 哪一个会先到达底端 A 圆柱体B 圆环C 两者同时到达底端D 信息不足 无法判断 1a0302018a A 两个质量和尺寸都不相同的圆柱体 并设质量分布都是均匀的 从有摩擦的斜面顶端同时滚动下来 哪一个会先到达底端 A 大圆柱体B 小圆柱体C 二者同时到达底端D 信息不足 无法判断 1a0302018b C x 平动 y 转动 纯滚动 约束方程 例 一质量为M 半径为R的均匀圆柱体沿倾角为 的粗糙斜面无滑滚下 求静摩擦力 质心加速度以及保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件 四个方程联立解 静摩擦力 要保证圆柱体做无滑滚动 所需的静摩擦力不能大于最大静摩擦力 保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件 6 如图所示 长为L的均匀直棒 质量M 上端用光滑水平轴吊起而静止下垂 今有一子弹m 一水平速度v0射入杆的悬点下距离为d处而不复出 问 1 一子弹和杆为系统 动量是否守恒 2 作用力是水平还是竖直 3 此力可能为零吗 4 子弹射入过程什么量守恒 2 都有 3 由于击中点位置不同 水平分力有可能为零 4 对轴的角动量守恒 1 轴承力是外力 外力不为零 系统动量不守恒 计算题 1如图所示 长为L的均匀直棒 质量M 上端用光滑水平轴吊起而静止下垂 今有一子弹m 一水平速度v0从杆的中点穿过 穿出速度为v 1 杆开始转动时的角速度 2 杆的最大摆角 解 1 杆和子弹为研究对象 角动量守恒 2 转动动能定理 力矩的功 所以将J 代入 另外 机械能守恒 讨论 例 如图 已知A m l 质量均匀 开始时水平静止 B m A竖直时被碰 然后滑行距离s 试求 碰后A的质心可达高度h A由水平下摆至垂直 机械能守恒 以地面为零势点 A与B碰撞对O点角动量守恒 B向右滑动 根据动能定理 A向上摆动机械能守恒 可解得 思考 几个过程 各有何特点 例 大圆盘M R 人m 二者最初都相对地面静止 当人沿盘边缘行走一周时 求盘对地面转过的角度 解 盘 人系统 对竖直轴的外力矩 0 系统对轴的角动量守恒 与 分别表示人和盘对地面发生的角位移 人在盘上走一周时 这是一道角动量守恒 相对运动的题型 请大家注意方法 并与动量守恒 相对运动题型的比较 解 杆与球的系统对轴的角动量守恒 例 杆 m l 与球 m v0 弹性碰撞求碰后的球速度和杆的角速度 弹性碰撞 机械能守恒 转动动能 解上二式 2 如图 两均质圆盘A和B m R A与B盘在一起转动时受空气摩擦阻力矩作用 单位面积上的摩擦力fr kv 求A B粘在一起后能转多少圈 将盘面分为半径为r 宽为dr的圆环带 则 变力矩 圆盘A以初角速度w0落在B上 解 A下落与B粘合 以A和B为系统对定轴的角动量守恒 由转动定律 转过的圈数 3 如图 空心环B R 初角速度w0 对轴转动惯量为J0 小球A 质量为m 求 小球A无摩擦滑到b c点时的速率 1 小球和环系统运动过程中所受相对于轴的合外力矩为零 故角动量守恒 2 地球 小球和环系统机械能守恒 环心为势能零点 a b a c 可解出 解 小球下落过程 球与环组成的系统对轴OO 角动量守恒 a b a c 小球A在b点的速率为 c点的速率为 下滑过程中 小球 环 地球为系统 机械能守恒 可解出 a b a c 环心为势能零点 3 小球在B点对地的速度可分解为竖直和水平方向 4 一长为L 质量为m的匀质杆竖直立在地面 下端点由一水平轴O固定 在微扰动作用下以O为轴倒下求 当杆与竖址方向成 角时 对轴的角速度 解 先求在任意角 时杆对O点的力矩 重力矩 质量元 对轴的力矩元 M是变力矩且与质量集中在质心c对轴的力矩相同 由 变角加速度 进而可由 积分求出 解 先求在任意角 时杆对点的力矩 重力矩 质量元 对轴的力矩元 由转动动能定理 又解 刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同 hc 填空题 1 刚体对轴的转动惯量取决于刚体的 和 2 一个质量为M 半径为R的圆盘 可绕通过中心垂直与盘面的光滑轴转动 原来处于静止 现有一质量为m 速度为v的子弹 沿圆周切线方向射入圆盘边缘 那么 子弹嵌入圆盘后 圆盘与子弹一起转动的角速度 圆盘与子弹系统损失的机械能为 3 一刚体以60r min绕z轴做匀速转动 以轴上任意点为坐标原点 某时刻刚体上P点的位矢为 则该点的速度为 由 与的方向相同 旋进现象 外力矩不为零情况 五刚体定点运动进动 进动现象是自旋物体在外力矩作用下沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果 旋进实例 陀螺的进动 枪炮膛线 进动是刚体定点转动的一种特例 外力矩与角动量垂直 外力矩只改变角动量的向而不改变它的大小 作业 6 7 6 9 6 10 6 12 6 15 作业 习题册 P20 34679