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广东外语外贸大学 信息科学技术学院 电路与电子技术基础 第一篇电路分析基础第三章电路分析的几个定理 主讲教师 李心广电话 36207429 O EAIL lxg 3 1叠加定理 superpositiontheorem 独立电源代表外界对电路的输入 统称激励 电路在激励作用下产生的电流和电压称为响应 由独立源和线性元件组成的电路称为线性电路 叠加定理的内容是 在任何由线性电阻 线性受控源及独立电源组成的电路中 多个激励共同作用时 在任一支路中产生的响应 等于各激励单独作用时在该支路所产生响应的代数和 例3 1图3 1 a 所示电路 其中R1 3 R2 5 Us 12V Is 8A 试用叠加定理求电流I和电压U 解 1 画出各独立电源作用时的电路模型 图3 1 b 是为电压源单独作用时的电路 电流源置为零 即将含电流源的支路开路 图3 1 c 为电流源单独作用时的电路 置电压源为零 即将电压源短路 2 求出各独立源单独作用时的响应分量 对于图 b 电路 由于电流源支路开路 R1与R2为串联电阻 所以 对于图 c 电路 电压源支路短路后 R1与R2为并联电阻 故有 3 由叠加定理求得各独立电源共同作用时的电路响应 即为各响应分量的代数和 I I I 1 5 5 3 5A I 与I参考方向一致 而I 则相反 U U U 7 5 15 22 5V U U 与U的参考方向均一致 使用叠加定理分析电路时 应注意以下几点 1 叠加定理仅适用于计算线性电路中的电流或电压 而不能用来计算功率 因为功率与独立电源之间不是线性关系 2 各独立电源单独作用时 其余独立源均置为零 电压源用短路代替 电流源用开路代替 3 响应分量叠加是代数量叠加 当分量与总量的参考方向一致时 取 号 与参考方向相反时 取 号 4 如果只有一个激励作用于线性电路 那么激励增大K倍时 其响应也增大K倍 即电路的响应与激励成正比 这一特性称为线性电路的齐次性或比例性 例3 2图3 2所示线性无源网络N 已知当Us 1V Is 2A时 U 1V 当Us 2V Is 1A时 U 5 5V 试求Us 1V Is 2A时 电阻R上的电压 解 根据叠加定理和线性电路的齐次性 电压U可表示为U U U K1Us K2Is 代入已知数据 可得到 求解后得K1 2K2 1 5因此 当Us 1V Is 2A时 电阻R上输出电压为 例3 3求图3 3 a 电路中R4的电压U 解 用叠加定理求解 先计算Us单独作用时在R4产生的电压U 此时应认为电流源为零值 即Is 0 这就相当于把电流源用开路代替 得电路如图 b 显然 R2和R4组成一个分压器 根据分压关系 可得 再计算电流源单独作用时R4的电压U 此时电压源Us应以短路代替 经过整理 电路可画如图4 4 c 显然 R2和R4组成一个分流器 根据分流关系 可得 故 因此 3 2置换定理 substitutiontheorem 在任意的线性或非线性网络中 若某一支路的电压和电流为Uk和Ik 则不论该支路是由什么元件组成的 总可以用下列的任何一个元件去置换 即 1 电压值为Uk的独立电压源 2 电流值为Ik的独立电流源 3 电阻值为Uk Ik的电阻元件 这时 对整个网络的各个电压 电流不发生影响 下面我们通过具体的例子来说明这个定理的正确性 图3 4 a 所示电路中的电压 电流已在第二章例2 7中求得 它们是 U1 14 286V I1 1 143A I2 0 4286A I3 0 7143A 现在 为了表明置换定理得正确性 将含有20 电阻的支路换为一个电流源 这个电流源的电流值为0 7143A 即原支路的电流值 I3 如图3 4 b 所示 对于置换后的电路我们进行计算可知 置换对电路中的各电压 电流并无影响 对于图4 3 b 电路 可以列出节点方程 解得U1 14 286V进一步可算得I1 1 143AI2 0 4286A由此可知各电压和电流并未发生变化 这就说明电流为Ik的支路可以用一个电流值为Ik的电流源去置换 对网络不会产生影响 现在来论证这一定理 设U1 U2 Ub和I1 I2 Ib为某一给定网络中已知的各支路电压和支路电流 如所已知 它们必须满足基尔霍夫定律方程和支路伏安的关系 考虑网络中第k个支路为一电流源所置换的情况 该电流源的电流值为Ik 由于原网络和置换后的网络几何结构仍然相同 因此基尔霍夫定律方程仍然相同 除了第k条支路以外 所有支路的伏安关系也未改变 在置换后的网络中 第k个支路为一电流源 其唯一的约束关系就是支路电流应等于电流源的电流值 而该电流值已选定为Ik 电压则可为任意值 因此 原网络中的各支路电压 电流满足置换后网络的所有条件 因而这些电压 电流也就是置换后网络的解答 也即 置换前后网络各电压 电流是一致的 显然 上述的证明对线性网络和非线性网络都是适用的 其它两种置换情况的证明与此类似 3 3戴维南定理 Thevenin stheorem 戴维南定理 对于线性有源二端网络 均可等效为一个电压源与电阻串联的电路 如图3 5 a b 所示 图中N为线性有源二端网络 R为求解支路 等效电压源Uoc数值等于有源二端网络N的端口开路电压 串联电阻Ro等于N内部所有独立电源置零时网络两端之间的等效电阻 如图3 5 c d 所示 例3 4求图3 6 a 电路中二极管的电流 在图3 6 a 电路中除二极管支路以外 电路的其余部分如图3 7 a 所示 其等效电路可求得如下 把二极管支路与这等效电路接上后 即得图3 6 b 可知二极管阴极电位比阳极电位高2 4V 因此二极管不导通 I 0 例3 5用戴维南定理求图3 8 a 电路中的电流I 解 1 求开路电压Uoc 自a b处断开RL支路 设出Uoc参考方向 如图3 8 b 所示 应用叠加定理求得有源二端网络的开路电压 2 求等效电阻Ro 将图 b 中的电压源短路 电流源开路 得如图 c 所示电路 其等效电阻 3 画出戴维南等效电路 接入RL支路 如图3 8 d 所示 于是求得 例3 6试说明 若含源二端网络的开路电压为Uoc 短路电流为Isc 则戴维南等效电路的串联电阻为 解 已知一个含源二端网络N可以用一个电压源Uoc 串联电阻Ro的等效电路来代替 因此 原网络N的短路电流Isc应等于这个等效电路的短路电流 而这个等效电路的短路电流显然为Uoc Ro 故得 见图3 9 b 由上式可得 3 4诺顿定理 Norton stheorem 诺顿定理 一个含源二端网络N也可以简化为一电流源 并联电阻等效电路 这个电流源的电流等于该网络N的短路电流Isc 并联电阻Ro等于该网络中所有独立电源为零值时所得网络N0的等效电阻Rab 例3 7用诺顿定理求图3 11电路中流过4 电阻的电流I 解 把原电路除4 电阻以外的部分 即图3 11中a b右边部分 简化为诺顿等效电路 1 将拟化简的二端网络短路 如图3 12 a 所示 求短路电流Isc 根据叠加定理可得 2 将二端网络中的电源置零 即此电路中电压源短路 如图3 12 b 所示 求等效电阻Ro 可得 3 求得诺顿等效电路后 将4 电阻接上 得图3 12 c 由此可得 在学习叠加定理的时候曾经指出 叠加定理适合由独立源和线性元件组成的线性电路 而戴维南定理是由叠加定理推导而来的 因此 原则上戴维南定理是对含有独立电源和线性元件的电路而言的 在运用戴维南定理分析含受控源的电路 在求等效电阻Ro时 必须计其受控源的作用 特别要注意不能像处理独立源那样把受控源也用短路或开路代替 否则将导致错误结果 所以对于含受控源的二端网络可用如下方法求出等效电阻 在无 独立 源二端网络两端施加电压U 如图3 13所示 计算端钮上的电流I 则 3 5应用戴维南定理分析受控源电路 例3 8求图3 14所示电路的戴维南等效电路 解 先求开路电压Uoc 参见图3 14 此时I为零 电流控制电流源CCCS的电流0 5I也为零 相当于开路 各电阻上也无电压 故得 Uoc Uab 10V由于这个电流中包含有CCCS 其电流为0 5I 图中的I方向必须标出 因为作为受控源 电流0 5I所示的方向取决于控制量I的方向 没有I的方向 也就谈不上CCCS电流的方向 下面求ab端的等效电阻 为此将原电路中的独立电压源用短路代替 根据图3 13所示的方法 在ab端施加电压U如图3 15 a 所示 得出I 从而求得ab端的等效电阻 为了算出I 可把受控电流源变换为等效受控电压源 如图3 15 b 所示 由基尔霍夫电压定律得2000I U 500I 0即1500I U 所以 故原电路的等效电路由10V的电压源与1500 电阻串联组成 例3 9求含受控源电路的等效电路时 其内阻Ro也可根据端钮上的开路电压Uoc及短路电流Isc求得 试用此方法求上例电路的等效电源内阻 解 在上例中已根据原电路求得Uoc 10V再把原电路ab端短路 如图3 16 a 所示 注意一切电源均应保留 为什么 设短路电流的方向如图中所示 则CCCS电流为0 5Isc 且其方向应与图3 15 a 中的方向相反 为什么 经过电源等效变换得图3 16 b 由此可得 10 2000Isc 500Isc 0即1500Isc 10 因此 例3 10求图3 17 a 电路中流过R2的电流 解 电源U2对电路两处供电 可以用两个电源来代替 如图3 17 b 所示 图中ab左边的电路是拟简化的电路 这部分中a b 左边的部分又是在逐步简化过程中可以先简化的部分 对这部分来说 其等效电路如图3 17 c 中a b 左边所示 现在来简化ab左边的整个部分 其开路电压 Uoc rmIc1 R3Ic1Ic1是ab开路时Ic之值 其值为 故得 下面计算ab端的短路电流Isc 在短路时 R3的电压与受控源的电压相等 可表示为rmIc2 Ic2是ab短路时Ic之值 又流过R3的电流为 Ic2 Isc 因此rmIc2 R3 Ic2 Isc 现在的问题是要把Ic2求出来 Isc即可解决 看到R o两端的电压为 U oc rmIc2 它应等于R oIc2 故得R oIc2 U oc rmIc2由此得 因此 算得 因此 等效电路的电阻Ro可以算得 最后求流过R2的电流I2应为