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计数原理 一、选择题（共12小题；共60分）1. 一个盒子里有 3 个分别标有号码 1，2，3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取 3 次，则取得小球标号最大值是 3 的取法有 A. 12 种B. 15 种C. 17 种D. 19 种 2. 某公共汽车上有 10 名乘客，沿途有 5 个车站，乘客下车的可能方式有 A. 50 种B. 25 种C. 510 种D. 105 种 3. 某同学逛书店，发现 3 本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有 A. 3 种B. 6 种C. 7 种D. 9 种 4. 7 名旅客分别从 3 个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是 A. 73B. 37C. A73D. C73 5. 将 3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，则不同放法有 种A. 81B. 64C. 14D. 12 6. 如果某年年份的各位数字之和为 7，我们称该年为“七巧年”那么从2000年到2999年中“七巧年“共有 A. 24 个B. 21 个C. 19 个D. 18 个 7. 已知 a，b0,1,2,9，若满足 ab1，则称 a，b“心有灵犀”则 a，b“心有灵犀”的情形的种数为 A. 9B. 16C. 20D. 28 8. 用 5 种不同的颜色给图中 4 个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的方法有 种A. 120B. 180C. 240D. 72 9. 为了庆祝“六一”儿童节某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该种食品 5 袋，能获奖的概率为 A. 3181B. 3381C. 4881D. 5081 10. 设 an 是等差数列，从 a1，a2，a3，a20 中任取 3 个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有 A. 90 个B. 120 个C. 160 个D. 180 个 11. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 A. 60B. 48C. 36D. 24 12. 小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反不同的两面他想把这 4 枚硬币摆成一摞，且满足相邻 2 枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 A. 4 种B. 5 种C. 6 种D. 9 种 二、填空题（共5小题；共25分）13. 某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有 4 次，轮船有 3 次，问此人的走法可有 种 14. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“”或“”）（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 （2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 （3）在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 （4）如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mii=1,2,3,n，那么完成这件事共有 m1m2m3mn 种方法 （5）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 15. 商店有 5 种不同型号的品牌电脑，3 种型号不同的DVD，如果小张要购买一台品牌电脑或一台DVD有 种不同的购买方式；如果小张要购买品牌电脑和DVD各一台共有购买方式 种 16. 若 A=1,2,3,4，B=a,b,c，a，b，cR，则 A 到 B 的映射有 个，B 到 A 的映射有 个，A 到 B 的函数有 个 17. 将数字 1，2，3，4，5，6 排成一列，记第 i 个数为 aii=1,2,6，若 a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有 种（用数字作答） 三、解答题（共5小题；共65分）18. 某单位职工义务献血，在体检合格的所有人中，O型血的共有 28 人，A型血的共有 7 人，B型血的共有 9 人，AB型血的共有 3 人求：（1）从体检合格的所有人中任选 1 人去献血，有多少种不同的选法?（2）从 4 种血型的人中各选 1 人去献血，有多少种不同的选法? 19. 如图所示，是一个通信电路图，求电流从 A 处到 B 处的不同路线共有多少条? 20. 电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有 30 封，乙箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运之星和幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果? 21. 有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选人参加（1）若只需一人参加，有多少种不同选法?（2）若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法?（3）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法? 22. 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，求 4 张贺年卡不同的分配方式有多少种?答案第一部分1. D【解析】分为三种情况： 3 次均取 3 号球，有 1 种取法； 3 次取球两次取 3 号球，另一次取 1 或 2 号球，共有 23=6 种； 3 次取球一次取 3 号球，另两次取 1 或 2 号球，注意可以重复取 1 或 2，共有 34=12 种故共有 1+6+12=19 种2. C3. C4. B5. B6. B7. D【解析】由题意知当 a 为 0 时，b 只能取 0，1；当 a 为 9 时，b 只能取 8，9；当 a 为其他数时，b 都可以取三个数故共有 28 种情形8. B9. D10. D【解析】从 a1，a2，a3，a20 中任取三项，它们若成等差数列，则第一个数和第三个数要么同为奇数项，要么同为偶数项，我们从奇数项或偶数项中任意挑两项，作为新等差数列的第一项和第三项，则 an 中必有一项可以作为第二项和它们构成等差数列，且每一组的第一项和第三项调换又可以组成一个等差数列，所以不同的等差数列最多有 2A102=180 个其他方法：设新数列的公差为 m，原来数列的公差是 d，当确定了 m，如果再确定了第一项，则第二和第三项也就确定了，因此只考虑如何选择第一项 m=d 时，a19 和 a20 不能做第一项，能做第一项的有 18 种结果； m=2d，a17 至 a20 不能做第一项，有 16 种结果； m=3d，a15 至 a20 不能做第一项，有 14 种结果； m=4d，a13 至 a20 不能做第一项，有 12 种结果； m=5d，a11 至 a20 不能做第一项，有 10 种结果；以此类推 m=9d，a3 至 a20 不能做第一项，有 2 种结果；当 m 大于 9d，则不能选出满足题意的数列 总共个数 =2+4+6+8+18=90，当数列的公差与列举的公差互为相反数时，又有 90 个结果， 共有 90+90=180 个11. B【解析】易知长方体的 6 个表面所在的平面分别与相应直线（过两个顶点）构成的“平行线面组”有 66=36（个），另外，长方体的 6 个对角面所在的平面分别与相应直线（过两个顶点）构成的“平行线面组”有 62=12（个），故共有 36+12=48（个）12. B【解析】没有限制条件的所有摆法一共有 24=16 种正面与正面相对的情况有：有两组正面相对，1 种；有一组正面相对，当正面与正面相对的硬币处于中间位置，有 22=4 种；当正面与正面相对的硬币处于顶部或底部时，有 23=6 种所以，一共有 24146=5 种第二部分13. 7【解析】因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有 4+3=7（种）14. ，15. 8，1516. 81，64，8117. 30【解析】分两步：第一步，先排 a1，a3，a5，若 a1=2，有 2 种排法；若 a1=3，有 2 种排法；若 a1=4，有 1 种排法，所以共有 5 种排法第二步，排 a2，a4，a6，共有 A33=6 种排法，故有 56=30 种不同的排列方法第三部分18. （1） 从O型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法，从A型血的人中选 1 人共有 7 种不同的选法，从B型血的人中选 1 人共有 9 种不同的选法，从AB型血的人中选 1 人共有 3 种不同的选法从体检合格的所有人中任选 1 人去献血，有不同的选法种数为 28+7+9+3=47答：从体检合格的所有人中任选 1 人去献血，有 47 种不同的选法（2） 要从 4 种血型的人中各选 1 人去献血，即要在每种血型的人中依次选出 1 人，用分步计数原理，共有 28793=5292 种答：从 4 种血型的人中各选 1 人去献血，有 5292 种不同的选法19. 有 8 种20. 分两类：幸运之星在甲箱中抽，有 302920=17400 种幸运之星在乙箱中抽取，有 201930=11400 种共有不同结果 17400+11400=28800 种21. （1） 只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各自有 3，6，8 种方法，总方法数为 3+6+8=17 种（2） 分两步，先选老师，共 3 种选法，再选学生，共 6+8=14 种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为 314=42 种（3） 选老师、男同学、女同学各一人，可分三步，每步方法依次为 3，6，8 种由分步乘法计数原理知总方法数为 368=144 种22. 解法1：设 4 人A、B、C、D写的贺年卡分别是a、b、c、d，当A拿贺年卡b，则B可拿a、c、d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有 3 种不同的分配方式同理，A拿c、d时也各有 3 种不同的分配方式由加法原理，4 张贺年卡共有 3+3+3=9 种分配方式解法2：让 4 人A、B、C、D依次拿 1 张别人送出的贺年卡如果A先拿有 3 种取法，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有 3 种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有一种取法由乘法原理，4 张贺年卡不同的分配方式有 3311=9 种
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