命题的真假值及推理.ppt

第四章命题的真假值及推理 命题的真值判断推理及其种类有效推理与正确推理命题推理及其特征蕴涵析取推理及其应用 要点与重点 命题的真值形式命题推理 形式考察 有效推理 标准认知 正确推理 日常应用考察 知识分析思路 第一节真值函数 真值形式与真值函项 真值形式 从自然语言来看逻辑形式 有时需要考虑真假关系之外的因素 如支命题之间的相关性 语句的顺序等 如 如果摩擦 则生热 明天或者有雨 或者无雨 如果2 2 5 那么男人就不是男性 或者拉登已死 或者明天下雨第 组至少是令人奇怪的 因为从常识来看 支命题之间缺少相关性 情有可原 理无可恕 理无可恕 情有可原 支命题顺序不同 意义不同 但逻辑学难以对付诸如相关性 顺序等影响命题真假的因素 逻辑研究撇开逻辑联结词在自然语言中的非真值意义 仅从复合命题与支命题之间的真假制约关系来考虑逻辑联结词 这样 逻辑联结词就成为真值联结词 命题的逻辑形式也就成为真值形式 真值联结词 真值形式 仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的逻辑联结词 仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的命题形式 基本真值联结词 否定 合取 析取 蕴涵 等值 5种基本真值形式 p否定式p q合取式p q析取式p q蕴涵式p q等值式 真值函项 与函数类比 函数讲的是数值关系 一个函数的值依赖于其中变数的值y f x 即y的值f x 由x的取值决定 真值函项讲的是真值 真假 关系 一个真值形式的值依赖其变项的值 如p q的值 由p和q的值决定 每一真值形式都是真值函项 真值形式与真值函项的数目并不一样多 真值形式的数目无限 真值函项数却是确定的 不同的真值形式 表达相同的真值函项 真值函项是对公式中变项的真假组合的真值断定 变项组合数2n 对每一组合有真假两种断定 故真值函项数为22n 当n 变项数 为1时 其真假组合为2 对真假组合的断定有4种可能 即真值函项有4个 变项数为2 则真值函项有16个 变项数为3 则真值函项为256个 Pf1f2f3f4tttffftftf 真值函项是确定的 但真值形式是无穷的 p pp p p p p pp p p pp p p p p p p p p p 若变项数为2 则真值函项总数是16 但其真值函项的种类仍是3类 即重言式 矛盾式和可满足式 f1是重言式 f16是矛盾式 f2 f15是可满足式 f1f2f3f4 pqf1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f15f16ttttttttttfffffffftfttttffffttttffffftttffttffttffttfffftftftftftftftftf f1p q p p p q p q p q p q p q 等f2p q p q 等f3 p q q p p q等f4p q q p q q 等f5p q p q q p等f6q p p q p p 等 f7p q p q p q f8p q p q 随着变项数目的增加 函项数也增加 当变项数目为3时 函项数目达到256个 但不管函项数是多少 重言式的函项只是一个 矛盾式的函项也是一个 其余均是可满足式 真值函项有3类 那么 表达真值函项的真值形式也有3类 重言式 永真式 矛盾式 永假式 和可满足式 可真可假式 当然 每一类真值函项包括很多的真值形式 而同一类真值函项的真值形式是等值的 通过研究真值函项 使我们看到无穷的真值形式中的同一的和本质的东西 即不同形式的真值形式 公式 表达相同的真值函项 而且 可以把纷繁的真值形式加以归类 因为有多少真值函项 就有多少真值形式的类 使逻辑研究集中于规律性的东西上 永真式 重言式 命题变项在任意一组赋值下都为真 永假式 矛盾式 命题变项在任意一组赋值下都为假 可满足式 非重言的可真式 3 2命题的真值判定方法 真值表方法 真值表的作用 定义作用 5个基本真值形式的真值表定义了5个真值形式 如 什么是合取式 回答是 每一支命题为真 则它为真的那种真值形式 这正是合取式的真值表反映的情况 pq p q tttfftff tfff 判定作用 1 判定一个公式的性质 重言式 矛盾式或可满足式 2 判定任意多个公式的关系 等值或矛盾等 3 判定一个推理是否有效 即它是否一个重言的蕴涵式或等值式 真值表的作法 分解公式 把一复杂公式分解为支命题和命题变项 如 p q r r p q 1 先找到主联结词 即最大括号外的联结词 蕴涵号 得到 p q r 和 r p q 再行分解得到p q和r r p和 q2 按变项 最简单公式 复杂公式顺序排列p q r q r p q r p p q r r p q 3 最后是总公式 p q r r p q 4 可以坚持一条原则 一公式的支命题在前 该公式在后 因此顺序也可排为p q r q r p q p q r r p r p q 只要保证 被判定的公式的支命题在先已经赋值即可 然后画表 先画一个偏十字或表格 将分解后的公式成分由简到繁写进表 p q r r p q 的真值表作法第一步 分解公式 画表 3个变项 其真假组合共有23 8种可能因此有8行 变项有3个 整个公式可分解为7部分 共有10列 第二步 由简到繁填入欲赋值的公式 第三步 给变项赋值 技巧 先给最后一个变项按一真一假赋值 再给第2个变项按两真两假赋值 再给第一个变项按四真四假赋值 第四步 依次按照5个基本真值形式的真值表给每个子公式赋值 第五步 根据真值表中的总公式即最后一列的赋值 对公式做出判定 此总公式下每一行均为真 故该蕴涵式为重言式 即一个有效推理形式 判定多个公式的性质或关系 可以看出 第5列与第6列取值完全相反 二者为矛盾关系第6列与第7列取值完全相同 二者为等值关系第6列与第9列取值完全相同 二者为等值关系第8列每一行取值均为真 是重言式 123456789 练习 用真值表方法判断下列真值形式 p q p q p q pVq p q p q 第二节推理概述 一 什么是推理二 有效推理与正确推理三 命题推理及其特征 推理的定义 推理的组成 推理的自然语言表达与逻辑表达 推理的种类 演绎推理 归纳推理 一 什么是推理 例析 关羽是刘备的兄弟 张飞是关羽的兄弟 所以 张飞是刘备的兄弟 兄弟 a b 兄弟 b c 兄弟 a c P Q 前提 结论 推理形式 理 一般的 演绎推理与归纳推理 所有的教条主义者都是脱离实际的人 所有脱离实际的人不是实事求是的人 所以 所有实事求是的人都不是教条主义者 很久以前 科学家们考察了很多动物 发现它们的血都是红色的 老虎的血是红色的 猴子的血是红色的 青蛙的血是红色的 于是作出结论 动物的血都是红色的 2006年西安有人的寿命是299岁所以 2007年西安有人可能活到300岁 实践是检验真理的唯一标准 是马克思主义的一条基本原理所以 实践是检验真理的唯一标准 哪个支持度更大些 一个推理是有效的 二 有效推理与正确推理 对于其形式结构而言如果前提真 则结论必然真 可见 一个有效的推理形式所代表的任何推理都是有效的 这些推理有三种可能 前提真 结论真 前提假 结论真 前提假 结论真 惟独不可能出现的情况是前提真 结论假 一个推理是无效的 对于此推理形式 代入真前提 可以得到假结论 有效与否 一推理形式有效 当且仅当具有该推理形式的任一推理 都不会出现真前提和假结论 亦即前提蕴涵结论 有效形式 合格机器 真前提 真结论 合格原料 合格产品 VS 一个推理是正确的 一个推理是不正确的 1 前提真实 并且 2 形式有效 前提不真 或者形式无效 一个推理 形式正确并且结论虚假 则前提 A 一定虚假B 可能真实 也可能虚假C 一定真实 一个有效的推理必然是前提真 并且结论真 一个推理的前提假 且结论真 则它可能是无效的一个推理的前提真 并且结论假 则它可能是有效的 一个推理只有是有效的 才能是正确的 三 命题推理及其特征 2 命题推理的特征 1 命题推理命题推理谓词推理 两类不同类型的演绎推理 如果天下雨 那么地上湿 天下着雨 地上湿形式结构 如果p 那么q p q 所有的人都是要死的苏格拉底是人 苏格拉底是要死的形式结构 所有的M都是PS是M S是P 第三节命题推理的基本形式及规则 一 合取命题推理二 析取命题推理三 蕴涵命题推理四 等值命题推理五 负命题推理 联言命题 pq p q tttfftff tfff 真值 支支真 真 任一支假 假 p q的真值表 3 1联言命题推理 联言推理定义 前提或结论为联言命题的推理 依据联言命题性质进行的推理种类 分解式 依据合取式定义反过来 合取真则支支真 组合式 依据合取式定义 支支真则合取真 p q p p q q p q r p q r p p q 此推理模式是否有效 为什么 某地有两种人 分别是说谎族和诚实族 诚实族总说真话 说谎族总说假话 一天 有旅行者路过此地 看见此地的甲乙二人 他向甲提出一个问题 你俩中有诚实族吗 甲回答说 没有 旅行者想了想 就正确地推出了结论 问 以下哪项是旅行者作出的判断 A 甲是诚实族 乙是说谎族 B 甲乙都是诚实族 C 甲乙都是说谎族 D 甲是说谎族 乙是诚实族 E 甲乙所属均不明 选言命题 pq p q tttfftff tttf 真值 支支假 假 任意支真 真 p q的真值表 3 2选言命题推理 相容选言命题 依据p q的性质 至少有一支真 推理规则 否定一部分选言支 可以肯定另一部分选言支 肯定一部分选言支 不能否定另一部分选言支 相容选言推理 p q p q p q q p p q r p q r 但有 p q p q p q q p 无效式 肯定否定式 有效式 否定肯定式 p q q是否有效 p q p q是否有效 1 签字或盖章 签字 所以不要盖章 2 航天号飞机的失事或是由于设备故障 或是由于人为破坏 已查明失事原因确系设备故障 因此 可以排除人为破坏 以下哪项正确地评价了上述命题推理 A 推理正确 是不相容析取命题推理的肯定否定式 B 推理正确 是相容析取命题推理的否定肯定式 C 推理错误 是不相析取命题推理的否定肯定式 D 推理错误 是相容析取命题推理的肯定否定式 pq p q tttfftff fttf 真值 至少有一存在 但不能同时存在即至少且至多有一存在 也即唯一支真唯一支真 真 支支假 多支真 假 p q的真值表 不相容选言命题 选言命题 不相容选言推理依据p q性质 至多至少有一支真 推理规则为 否定一个选言支以外的选言支 可以肯定余下的那个选言支 肯定一个选言支 可以否定其他选言支 其有效式为 否定肯定式和肯定否定式 p q p q p q p q 不相容选言推理 肯定否定式根据至多有一支真 对多个支的不相容析取 肯定其一则可否定其余 即 p q r p q r p q r p q r p q r p q r 但否定其一 不能肯定剩余的每一个 只能肯定剩余的析取式 否定肯定式根据至少有一支真 在某餐馆中 所有的菜或属于川菜系或属于粤菜系 张先生的菜中有川菜 因此 张先生的菜中没有粤菜 以下哪项正确地评价了上述命题推理 张先生是四川人 只喜欢川菜 张先生是广东人 他喜欢粤菜 C 餐馆规定 如果点了川菜 可以不点粤菜 但点了粤菜 一定要点川菜 D 餐馆规定 点粤菜就不能点川菜 反之亦然 E 张先生是四川人 最不喜欢粤菜 某地有两个奇怪的村庄 张庄的人在星期一 三 五说谎 李村的人在星期二 四 六说谎 在其他日子他们说实话 一天 外地的王聪明来到这里 见到两个人 分别向他们提出关于日期的问题 两个人都说 前天是我说谎的日子 如果被问的两个人分别来自张庄和李村 以下哪项判断最可能为真 A 这一天是星期五或星期日 B 这一天是星期二或星期四 C 这一天是星期一或星期三 D 这一天是星期四或星期五 E 这一天是星期三或星期六 某岛上男性公民分为骑士和无赖 骑士只讲真话 无赖只讲假话 甲和乙是该岛上的土著居民 关于他俩 甲说了这句话 或者我是无赖 或者乙是骑士 根据上述条件 可以推出的是 A 甲和乙都是骑士B 甲和乙都是无赖C 甲是骑士 乙是无赖D 甲是无赖 乙是骑士 3 3假言命题推理 假言命题 充分条件假言命题 pq p q tttfftff tftt p q的真值表 真值 前 件 真而后 件 假 则 假前 件 假 或后 件 真 则 真 充分条件假言推理的规则 肯定前件可以肯定后件 否定前件不能否定后件 肯定后件不能肯定前件 否定后件可以否定前件 肯定后件式 有q不必有p否定前件式 无p不必无q p q p q p q q p 肯定前件式 有p必有q否定后件式 无q必无p p q q p p q p q 如果风很大 我们就会放飞风筝 如果天空不晴朗 我们就不会放飞风筝 如果天气很暖和 我们就会放飞风筝 假定上面的陈述属实 如果我们现在正在放飞风筝 则下面的哪项必定真 A 风很大 B 天空晴朗 C 天气暖和 D 天空晴朗并且天气暖和 练习 如果我有1000万 那么我就能买一座房子 我有1000万吗 没有 所以 我仍然没有房子 下面哪个选项 其结构与上述诗句最为类似 A 假如你是天边的月 我就是月边的星 假如你是山上的树 我就是树上的滕 B 如果2的倍数是5 则3的倍数就是8 3的倍数不是8 所以2的倍数不是5 C 假如地球是方的 我们就有地方藏身 但地球却是圆的 所以 我们不能不面对世界 D 如果一个人不自信 就没有人相信他 所以 如果没有人相信他 他就是一个不自信的人 1000 必要条件假言命题 真值 前 件 假而后 件 真 则 假前 件 真 或后 件 假 则 真 pq p q tttfftff ttft p q的真值表 必要条件假言推理的规则 否定前件可以否定后件 肯定前件不可否定后件 肯定后件可以肯定前件 否定后件不可否定前件 必要条件假言命题推理的有效式 否定前件式和肯定后件式 必要条件假言命题推理的无效式 肯定前件式和否定后件式 p q p q p q q p 否定前件式 无p必无q肯定后件式 有q必有p p q p q p q q p 肯定前件式 有p不必有q否定后件式 无q不必无p 根据p q等值于q p p q因此 两个有效式相当于 p q q p q p p q q p q p p q p q 柏拉图学园门口竖着一块牌子 这天 来了一群人 他们都是懂几何的人 如果牌子上的话 得到准确的理解和严格的执行 那么这群懂几何的人A 一定被允许入内B 一定不被允许入内C 可能不被允许入内D 不可能被允许入内 不懂几何者不得入内 有一个侦探逮捕了五个嫌疑犯 这五个人供出的作案地点有出入 进一步审讯了他们之后 他们分别提出了如下的申明 A 五个人当中有一个人说谎 B 五个人当中有两个人说谎 C 五个人当中的三个人说谎 D 五个人当中有四个人说谎 E 五个人全说谎 只能释放说真话的人 该释放哪几个人呢 充分必要分条件假言命题 pq p q tttfftff tfft 真值 前后件同真假 则 真 p q的真值形式 充要条件假言推理的规则 肯定前件可以肯定后件 否定前件可以否定后件 肯定后件可以肯定前件 否定后件可以否定前件 充要条件假言推理的有效式 肯定前件式 否定前件式 肯定后件式 否定后件式 充要条件假言推理 p q p q p q p q 肯定前件式有p必有q否定前件式无p必无q p q q p p q q p 肯定后件式有q必有p否定后件式无q必无p 只要对前后件进行一致的肯定或否定 充要条件推理就是有效的根据转换 三种假言推理中 充分条件假言推理是基本的 条件命题的转换 p q q p q p p q q p p q p q p q q p p q p q p q p q p q q p 如果摩擦 则生热只有生热 才摩擦如果未生热 则未摩擦 只有发烧 才患肺炎如果患肺炎 则发烧如果不发烧 则未患肺炎 一个数能被2整除 当且仅当它是偶数一个数是偶数 当且仅当它能被2整除 一个数能被2整除 当且仅当它是偶数 假言易位推理 假言联锁推理 p q q p p q q p 充分条件假言易位推理 必要条件假言易位推理 充要条件假言易位推理 p q q p 两个以上假言命题作前提 充分条件 p q q r p r p q q r r p 肯定式 否定式 必要条件 肯定式 否定式 p q q r r p p q q r p r 混合条件 肯定式 否定式 p q q r p r p q q r p r 如果雪是白的 那么冰就是硬的 如果雪不是白的 那么冰就不是硬的 如果上述断定为真 可推出下面哪个结论 A 雪是白的 冰不是硬的 B 雪不是白时 冰是硬的 C 冰是硬时 雪是白的 D 冰不是硬时 雪是白的 3 4负命题及其推理 负命题 p p tf ft 真值 负命题真 当且仅当原命题假因此有双重否定律 p p P p p tf ft tf 负命题的等值推理 联言命题负命题推理 p q p q 否定合取得析取 分配否定到变项 充分条件假言命题负命题推理 相容选言命题负命题推理 不相容选言命题负命题推理 p q p q 否定析取得合取 分配否定到变项 德摩根定律 p q p q p q p q p q 必要条件假言命题负命题推理 充要条件假言命题负命题推理 p q p q p q p q p q 负命题的负命题推理 p p 鱼和熊掌不可兼得 或者鱼不可得 或者熊掌不可得 鱼 熊掌二者至少有一个得不到 鱼和熊掌皆不可得 p q p q 总经理 我主张小王和小孙两人中至少提拔一人 董事长 我不同意 董事长的意思是 执法人员 要么罚款 要么停业 业主 我不同意 问 业主同意什么命题 p q p q p q p q p q 并非如果风调雨顺 农作物就会丰收 这个命题的含义是 A 如果风调雨顺 则农作物不一定丰收 B 风调雨顺 可农作物没有丰收 C 如果农作物没有丰收 则并非风调雨顺 D 农作物丰收了 但不是风调雨顺 p q p q 并非只有是天才 才能创造发明 等值于 不是天才 也能创造发明 p q p q 假设 如果甲是经理或乙不是经理 那么 丙是经理 为真 由以下哪个前提可推出 乙是经理 的结论 A 丙不是经理 B 甲和丙都是经理 C 丙是经理 D 甲不是经理 E 甲或丙有一个不是经理 3 5蕴涵析取推理 什么是蕴涵析取推理 二难推理 3 5复合命题的其他推理 假言选言推理 二难推理 定义 由假言 选言命题构成 假言前提为2者是二难推理形式 简单构成式 简单破坏式 复杂构成式 复杂破坏式 p r p rp p总之 r p qp r q r总之 p p qr sp r总之 或q或s 简单构成式结论不带析取肯定前件式前件不同后件同 简单破坏式结论不带析取否定后件式后件不同前件同 复杂构成式结论带析取肯定前件式前后件均不同 p qr s q s总之 或 p或 r 复杂破坏式结论带析取否定后件式前后件均不同 破斥错误的二难推理 推理形式评估前提审查 充分条件存在否 选言支穷尽否 构造相反的二难推理 假言联言推理 定义 假言命题与联言命题构成 结论为联言命题形式 肯定式 否定式 p qr sp r q s p qr s q s p r 实际是一次分解式 两次肯定前件式 一次组合式 实际是一次分解式 两次否定后件式 一次组合式 p rp qr sq p rprs q s q s q sp qr s p q s q s r p r p r p r q r p q r p r q s p q r s p q p r q r p p r q s r s p q 二难推理的应用与破斥 欲寄君衣君不还 不寄君衣君又寒 寄与不寄间 妾身千万难 古代有一个智者 犯了死罪 按律当斩 国王设计了一种特殊的行刑方式 希望智者能通过自己的智慧来拯救自己的生命 有两个武士 每人手里各拿着一瓶外观完全一样的酒 其中 一瓶是美酒 另一瓶是毒酒 两个武士有问必答 其中一个回答的都是真话 另一个回答的都是假话 两个武士都知道上述所有信息 现在只允许智者向两个武士中的任意一个提一个问题 并根据得到的回答判定哪瓶是美酒 并把它一饮而尽 Which 造块这样的石头吧 上帝能否创造一块连他自己都举不起来的石头 如果上帝不能创造出一块他自己都不能搬动的石头 则他不是万能的 如果上帝能创造出一块他自己都不能搬动的石头 则他同样不是万能的 上帝或者能创造出一块他自己都不能搬动的石头 或者不能 二者必居其一 因此 总之 上帝不是万能的 如何破斥二难推理 指出前提虚假 指出推理形式无效 如果中国队赢了 那么他们将直接出线 如果中国队输了 那么他们将直接出局 中国队或输或赢 总之 中国队或直接出线或直接出局 如果经济上犯罪 那么将受到法律制裁 如果刑事上犯罪 那么将受到法律制裁 或者经济上没有犯罪或者形式上没有犯罪 总之 不会受到法律制裁 当人们的财政状况陷入危机的时候 对钱的过分焦虑就会使他们和靠近他们的人 如家人 朋友 同事不幸福 除非他们的财政状况得到扭转 否则他们以及他们周围的人不会幸福 如果上述命题为真 以下哪个选项可以合逻辑地推出来A 只有严重的 令人担心的财政问题 才会使人不幸福 B 令人担心的金融问题得到解决后 就会使人幸福 C 那些没有严重财政问题的人是幸福的 D 如果一个人不幸福 那么他肯定会有严重的财政危机 E 如果一个人是幸福的 那么他肯定不会有严重的财政危机 鱼和熊掌不可兼得 这句话的意思是 A 鱼可得但熊掌不可得 B 熊掌可得 但鱼不可得 C 或者鱼不可得 或者熊掌不可得 D 如果鱼可得 则熊掌不可得 E 如果熊掌可得 则鱼不可得 一个老问题 关于某案件的四个断定中 只有一个是真的 哪个断定是真的 如果甲是案犯 那么乙是案犯 作案者是丙 作案者是甲 作案者是甲或丁 美国芝加哥的一条最繁华的大街上 有一家大百货商店在一天晚上被盗窃了一批财物 事情发生后 芝加哥警察局经过侦察拘捕了三个重大嫌疑犯 他们是 山姆 汤姆与吉宁士 后来 又经审讯 查明了以下事实 1 罪犯带着赃物是开小汽车逃掉的 2 不伙同山姆 吉宁士决不会作案 3 汤姆不会开车 4 罪犯就是这三个人中的一个或一伙 请问 在这个案子里 山姆有罪吗 简化的真值表方法 归谬赋值法 仅适用于蕴涵式是否重言式的判定 蕴涵式表达一个推理形式 因此也是一种判定复合命题推理是否有效的方法 由于其他的公式可以转换成蕴涵式 所以 这是一种有一定普遍性的方法 原理 一个公式或真或假 否定一个矛盾式 就得到一个重言式 否定一个重言式 就得到一个矛盾式 假设一个公式为假 如果至少一个变项的赋值必定出现矛盾 既赋真 又赋假 则表明原来的假设是错误的 否定假 就得到真 即原公式是重言式 步骤 1 写出被判定公式的横式 如有必要将其转换成蕴涵式 2 假设该蕴涵式为假 3 依次按照基本真值形式的定义 给每一变项赋值 4 看得到赋值后的任一变项是否必然矛盾 5 若至少有一变项的赋值必然矛盾 则原公式是重言式 它表达的推理是有效的 否则不是重言式 相应的推理是无效的 第一步 写出被判定公式的横式 横式必须是蕴含式 p q q p p q q p 第二步 假设蕴涵式为假 p q q p 第三步 给变项赋值 1 2 3 TFF p q q p p q q p FTFTTFFFT TTTFF p q q p F 或者另一种可能TTTTTFFFT 第四步 判定 变项p的赋值矛盾 所以该公式是重言式 对应的推理是有效的 p q r r p q 1F2TF3TF4TTT5FF6TFF 变项q的赋值必然出现矛盾 故该蕴涵式 推理 是有效的 若使得q不出现矛盾 则p必定出现矛盾 若使p q不出现矛盾 则r必定矛盾 总之 三个变项必有一个出现矛盾 因此 赋值后变项出现矛盾是必然的 练习 分别用真值表方法和归谬赋值法判定下列推理的有效性 如果运动着的物体某一瞬间在这儿 那么 这一瞬间它肯定不在这儿 因此 运动着的物体某一瞬间既在这儿又不在这儿 运动着的物体某一瞬间在这儿 当且仅当这一瞬间它不在这儿 因此 运动着的物体某一瞬间既在这儿又不在这儿 本章结束 谢谢大家