同济六版多元函数的基本概念.ppt

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 善于类比 区别异同 多元函数微分法 及其应用 第九章 第一节 一 平面点集 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性 多元函数的基本概念 本节重点 了解多元函数的基本概念会求函数的定义域会求简单的多元函数的极限知道极限不存在的说明方法 平面点集 n维空间 一 平面点集n维空间 直线R中的点集 实数集 一维空间 区间 自然数集 1 平面点集 实平面 二维空间 坐标平面 平面点集 常见平面点集 2 邻域 回忆 R中的邻域 平面中的邻域 点P0 x0 y0 的 邻域 空间中的邻域 点P0 x0 y0 z0 的 邻域 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 点P0的去心邻域记为 3 区域 1 内点 外点 边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U P E 若存在点P的某邻域U P E 若对点P的任一邻域U P 既含E中的内点也含E 则称P为E的内点 则称P为E的外点 则称P为E的边界点 的外点 显然 E的内点必属于E E的外点必不属于E E的 边界点可能属于E 也可能不属于E 2 聚点与孤立点 若对任意给定的 点P的去心 邻域 内总有E中的点 则 称P是E的聚点 聚点可以属于E 也可以不属于E 因为聚点可以为 E的边界点 所有聚点所成的点集称为E的导集 记作 若点集E的点都是内点 则称E为开集 例如 即为开集 开集不包含它的任何边界点 若点集E E 则称E为闭集 E的边界点的全体称为E的边界 记作 E 点集E是闭集 是指它包含了它的每一个非孤立的边界点 例如 即为闭集 3 开集与闭集 4 开区域及闭区域 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 开区域连同它的边界一起称为闭区域 则称D是连通的 连通的开集称为开区域 简称区域 例如 在平面上 开区域 闭区域 整个平面 点集 是开集 是最大的开域 也是最大的闭域 但非区域 对区域D 若存在正数K 使一切点P D与某定点 A的距离 AP K 则称D为有界域 界域 否则称为无 二元函数的概念 二 多元函数的概念 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 定义1 设非空点集 点集D称为函数的定义域 数集 称为函数的值域 特别地 当n 2时 有二元函数 当n 3时 有三元函数 映射 称为定义 在D上的n元函数 记作 多元函数的定义域 多元函数的定义域 明确指定或约定 定义域的约定 使函数表达式有意义的所有点的集合 例如 二元函数 定义域为 圆域 说明 二元函数z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面 的图形一般为空间曲面 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面 单位闭球 二元函数的图形 求多元函数的表达式 例设 求 解 因为 得 所以 多元函数的极限 三 多元函数的极限 说明 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 例1求证 证 当时 原结论成立 若当点 趋于不同值或有的极限不存在 解 设P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 在点 0 0 的极限 则可以断定函数极限 则有 k值不同极限不同 在 0 0 点极限不存在 以不同方式趋于 不存在 例2 讨论函数 函数 仅知其中一个存在 推不出其他二者存在 注 二重极限 不同 如果它们都存在 则三者相等 例如 显然 与累次极限 但由例2知它在 0 0 点二重极限不存在 多元函数的极限运算法则与一元函数类似 比如 四则运算法则 夹逼准则 等价无穷小代换 因式代换 但罗比达法则不再成立 例3求极限 解 其中 多元函数的连续性 四 多元函数的连续性 定义3 设二元函数 定义在D上 如果函数在D上各点处都连续 则称此函数在D上 如果 否则称为不连续 此时 称为间断点 则称二元函数 连续 连续 回忆一元函数的连续性 例如 函数 在点 0 0 极限不存在 故 0 0 为其间断点 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续 多元初等函数 由多元多项式及基本初等函数经过 有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个 式子所表示的多元函数叫多元初等函数 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 初等函数 处处连续 又如 函数 上间断 在圆周 例4 解 例5 证明 在全平面连续 证 为初等函数 故连续 又 故函数在全平面连续 由夹逼准则得 课内练习p63 6 6 定理 若f P 在有界闭域D上连续 则 4 f P 必在D上一致连续 在D上可取得最大值M及最小值m 3 对任意 有界性定理 最值定理 介值定理 一致连续性定理 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 证明略 作业 P623 5 偶数 6 奇数 7 8