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模块二 函数 高考大纲考试内容要求层次ABC函数及其表示函数的概念与表示P映射P函数的基本性质单调性与最大（小）值P奇偶性P二次函数与幂函数幂函数的概念P幂函数的图像及其性质P指数与指数函数有理指数幂的含义P实数指数幂的意义P幂的运算P指数函数的概念、图像及其性质P对数与对数函数对数的概念及其运算性质P换底公式P对数函数的概念、图像及其性质P指数函数与对数函数互为反函数（a0且）P函数的图像P函数的值域与最值函数的定义域和值域P函数的最大值和最小值P函数与方程函数的零点P二分法P函数模型的应用P 分析解读从考纲内容来看，主要考查：（1）、了解函数的构成要素，会求一些简单函数的定义域和值域。（2）、掌握简单的分段函数的应用。（3） 以导数为工具研究函数的单调性，并以解答题形式出现。（4）、函数奇偶性的判断常与函数的单调性、最值结合考查。（5）、理解并掌握一次函数与二次函数的定义、图像及性质。（6）、运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题。（7）、了解幂函数的性质。（8）、掌握几种常见幂函数的图像。（9）、函数值的计算、函数值的求法、函数值的大小比较等。（10）、对数式运算和对数函数的图像和性质或由它复合而成的函数。（11）、以图像为载体考查函数的性质。（12）、理解函数的值域与最值的定义。（13）、掌握求函数的值域和最值的方法。（14）、掌握求方程近似解的方法。 考点一 函数及其表示函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数。表示函数的常用方法有：解析法、图像法和列表法 考点二 函数的定义域函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 考点三 函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.如何利用导数判断函数的单调性？ 0，不影响函数的单调性）， 考点四 函数的奇偶性偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或，若时，. 考点五 二次函数应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间m，n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。如： 考点六 幂函数一般地，形如的函数称为幂函数，其中a为常数。幂函数中，当 时，性质如下表所示：结合以上特征，得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点（1，1）；（2）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数；（3）如果a0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（4）如果a0，则幂函数在区间上是减函数。 考点七 指数函数与对数函数 由图象记性质！（注意底数的限定！） 考点八 函数图象的判断、变化与应用图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.1、周期性：函数，T是一个周期。2、对称性： 3、平移： 4、翻折： 考点九 函数的值域与最值函数值域、最值的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法；平均值定理法；利用函数的有界性；几何法；导数法。 考点十 函数的零点与方程的根1.函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2.函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3.函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4.二分法步骤：确定区间，验证；求区间的中点c，计算；判断的正负，找出下一个有根的区间。1.【2008北京文,2,5分】若，则（ ）AB CD 举一反三1.1【2009湖南,1,5分】若log2a0，则（）Aa1，b0 B0a1，b0 Ca1，b0 D0a1，b01.2【2011重庆,5,3分】下列区间中，函数，在其上为增函数的是（A） (B) (C) (D) 1.3【2011辽宁,9,5分】设函数，则满足的x的取值范围是A，2 B0，2 C1，+ D0，+2.【2011北京文,3,5分】如果，那么( ) A B C D 举一反三2.1【2012高考重庆文7】已知，则a,b,c的大小关系是（A） （B） （C） （D）2.2【2012高考全国文11】已知，则（A） （B） （C） （D）3.【2010北京文,4,5分】若a,b是非零向量，且，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 举一反三3.1【2011浙江,11,4分】若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a= 3.2【2011广东,4,5分】 设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A是偶函数 B是奇函数C是偶函数 D是奇函数3.3【2008辽宁,12,5分】设f（x）是连续的偶函数，且当x0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（）A.-3 B.3 C.-8 D.84.【2009北京文,4,5分】为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 举一反三4.1【2010上海,8,5分】对任意不等于1的正数a，函数f（x）=loga（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是 4.2【2012四川,5,5分】函数的图像可能是（ ）A. B. C.D. 4.3【2012课标全国,10,5分】已知函数，则的图像大致为（ ）A. B. C. D. 5.【2008北京文,5,5分】函数的反函数为（ ）ABCD 举一反三5.1【2012高考全国文2】函数的反函数为（A） （B） （C） （D）6. 【2010北京文,6,5分】给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D） 举一反三6.1【2012高考四川文4】函数的图象可能是（ ）6.2【2012高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 7.【2012北京文,8,5分】某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为（ ）A5 B7 C 9 D11 举一反三7.1【2009山东,6,5分】函数的图象大致为（）A. B. C. D. 7.2【2011江西,10,5分】如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（） A B C. D. 8.【2012北京文,12,5分】已知函数，若，则_。 举一反三8.1【2102高考福建文9】设则的值为 A 1 B 0 C -1 D 8.2【2012高考陕西文11】设函数发f（x）=，则f（f（-4）= 8.3【2012高考上海文9】已知是奇函数，若且，则 9. 【2009北京文,12,5分】已知函数若，则 . 举一反三9.1【2010陕西,5,5分】已知函数若，则实数等于（ ）A. B. C.2 D.99.2【2012高考天津文科14】已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 .10.【2011北京文,13,5分】已知函数，若关于的方程 有两个不同的实根，则实数的取值范围是 举一反三10.1【2011山东,10,5分】已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为（）A6 B7 C8 D910.2【2012山东,12,5分】设函数.若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A.当时，, B. 当时, ,C.当时，, D. 当时，,10.3【2012福建,15,4分】对于实数a和b，定义运算“”：a*b=设f（x）=（2x1）（x1），且关于x的方程为f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 _11. 【2012北京文,14,5分】已知，。若，或，则的取值范围是_。 举一反三11.1【2011重庆,10,5分】 设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8 （B）8 （C）12 （D）1311.2【2012浙江,9,5分】设a0，b0 A若，则abB若，则abC若，则abD若，则ab12.【2011北京文,14,5分】设R)。记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 ； 的所有可能取值为 举一反三12.1【2010陕西,10,5分】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x（x表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A. B. C. D. 13.【2010北京文,14,5分】如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。 举一反三13.1【2010湖南,8,5分】用mina，b表示a，b两数中的最小值若函数f（x）=min|x|，|x+t|的图象关于直线对称，则t的值为（）A-2 B2 C-1 D113.2【2012江西,10,5分】如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分记SE=x（0x1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（）14.【2008北京文,14,5分】已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 举一反三14.1【2012上海,9,4分】已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）= 14.2【2008福建,4,5分】函数f（x）=x3+sinx+1（xR），若f（a）=2，则f（-a）的值为（）A3 B0 C-1 D-214.3【2011湖北,6,5分】已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax-a-x+2（a0，且a0）若g（a）=a，则f（a）=（）A2 B. C. Da2佩雷尔曼：大隐隐于“数”历史上，很多科学家都有着古怪的性格，科学家中的数学家，更是有多个人以古怪著称，而“古怪数学家”的典型代表就是来自俄罗斯的佩雷尔曼了。一谈到佩雷尔曼，除了提到他破解了大名鼎鼎的庞加莱猜想，拒绝领取数学界最高荣誉“菲尔兹”奖之外，话题的核心就是他与众不同的性格。最近，一本新出的传记一个天才和世纪数学突破的故事将这位有着古怪性格的伟大数学家的隐秘生活摆到人们面前。1、抛弃名利，拒“菲尔兹”和百万大奖1904年，法国数学家庞加莱做出了一个猜想，用三体空间来帮助理解宇宙的形状。这个猜想是拓朴学发展的关键。2000年，美国一家私人研究机构克莱数学研究所（ClayMathematicsInstitute）宣布，为世界七大数学难题悬赏700万大奖。任何人只要解开其中任何一个难题，将获得100万美元的奖金。“庞加莱猜想”就是这七大难题之一，其他一些难题包括计算机理论界的第一号难题“PVs.NP”、以杨振宁命名的“杨-米尔斯理论”以及数学领域中最重要的猜想“黎曼假设”等。为了这七大难题，无数科学家费尽一生周折或几十年的光阴，最终选择放弃。人们甚至怀疑，这家研究所送不出哪怕是一分钱。最终，“七大难题攻不破”的咒语被打破了。2002年，一个名叫格利高里佩雷尔曼（GrigoriPerelman）的俄罗斯数学家破解了“庞加莱猜想”。在发表在预印本文献库arXiv.org上的一系列文章中，佩雷尔曼用简明扼要的语言扫除了证明“庞加莱猜想”的最终障碍。他的证明完全行得通，全球数学界震惊了。与此同时，小道消息也在不大的数学圈中传开：这个数学家似乎天生对名声就没有兴趣，只是简单地在网络上发表自己的研究，并不打算正式发表自己的论文。他继续隐居在他圣彼得堡的公寓中，偶尔接受媒体的采访，但几乎不和外界接触。2006年，中国数学家宣布另行解开了庞加莱猜想。不过，一些学者认为他们的结论事实上引用了佩雷尔曼的成果。此事一度引发巨大争议。不过，佩雷尔曼本人并没有对此发言，他显得更封闭了。当年，科学杂志以“本年度科学最大突破”之名承认，佩雷尔曼破解了庞加莱猜想，这算是数学界首次承认了他的成就。紧接着，数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖被授予佩雷尔曼，这是国际数学联盟对他的正式肯定。然而，他的举动再次惊动世人他竟然拒绝领取了这个数学界的诺贝尔奖，理由很简单，“这个奖和我没有关系。如果证据是正确的，每个人都能理解它，那么也不需要什么肯定。”佩雷尔曼同样也拒绝了克莱数学研究所的百万美元奖赏，如果要领取这个奖，他必须将论文发表在相关权威数学期刊上。他始终没有这么做。更令人惊讶的是，不久之后，佩雷尔曼就辞去了他在司捷克洛夫数学研究所的职位，他在辞职信中这么写着：“我对数学厌倦了，我想做不同的事情。”2、成长过程，“孤僻的数学天才”有人认为，佩雷尔曼个性孤僻，向来不善与人打交道，“隐居”生活并不奇怪；有人认为，佩雷尔曼和研究所发生了矛盾，当他破解了庞加莱猜想后，他的同事们却有意忽视了这个事实；还有人认为，尽管佩雷尔曼破解了世界难题，但他并没有领取“菲尔兹”奖，是因为他极度贫困到拿不出旅费来。而关于佩雷尔曼最新传记中，专注于后苏联时期知识分子的俄罗斯记者格森（MashaGessen）认为，佩雷尔曼的确从小就是一个安静、孤僻但超级聪明的数学天才，但真正让他与世界自我隔离起来的，还是因为他对完美的极度追求。1966年，佩雷尔曼出生在列宁格勒市（现圣彼得堡）一个普通的犹太知识分子家庭，父亲是电机工程师，也是佩雷尔曼成长过程中重要的角色。他很喜欢用各种逻辑和数学的难题来挑战儿子的智慧。他给了儿子很多书，教会他下象棋，佩雷尔曼的母亲是名数学老师，他的姐姐后来也成为数学家。不过，只有佩雷尔曼从小就展示了惊人的数学才华。14岁时，佩雷尔曼已经成为圣彼得堡数学俱乐部的重要成员。圣彼得堡天才少年数学中心的主任瑞斯金（SerygeyRukshin）开始亲自指导佩雷尔曼的学习。两年后，佩雷尔曼以一个完美的满分获得了当年国际数学奥林比克竞赛的金奖。佩雷尔曼虽然孤僻，但很友善，无论对朋友还是同学，他都很友好。他自己在数学以外也有兴趣，比如他会听歌剧，会算计着生活的开支。16岁时，佩雷尔曼就进入了列宁格勒州立大学学习，很快就被安排到高级几何班中上学。他的表现完全折服了他的老师布莱格（YuriBurago）：“佩雷尔曼的回答总是正确的，他总是很仔细，很仔细地检查。他并不快，对他来说，速度根本没有关系。数学并非关于速度，是关于深度。”他在接受纽约客的采访时说。在休息的时候，佩雷尔曼会玩乒乓球，玩他妈妈教他的小提琴。一旦碰到了一个难题，小佩雷尔曼就会在自己的桌上反复地打一个乒乓球，使劲地搔自己的下巴，低声呻吟直到解开这个问题。3美国访学，采蘑菇的数学家佩雷尔曼上大学的时候就不修边幅，指甲长到了弯曲的程度。他只想在一个知名的国家数学所中无拘无束地研究数学，他的梦想实现了。上世纪80年代末，佩雷尔曼以一篇“欧式几何”的论文结束了列宁格勒州立大学的博士项目研究。后来，他进入司捷克洛夫数学研究所，上升为一名闪耀的数学明星。1992年，他受邀到美国的纽约大学和纽约州立大学进行为期一年的访问。在美国，佩雷尔曼依然以古怪的性格和生活习惯出名。他每天都穿同样的一件灯芯绒棕色夹克衫，只吃俄罗斯黑面包、奶酪和发酵奶，指甲长到了几英寸长。“他就像怪僧拉斯普丁，长发飘飘，指甲巨长。”加州大学洛杉矶分校的数学家格林（RobertGreene）形容道。尽管佩雷尔曼很少与人打交道，美国同事们依然喜欢他。佩雷尔曼还将一个俄罗斯的爱好带到了美国：他会骑车到森林中去采蘑菇。佩雷尔曼在美国很重要的一个阶段是后来到普林斯顿大学高级研究中心，进行每周一次的讲座。同时，佩雷尔曼也认识了来自世界各地的重要数学家，比如瑟斯敦（WilliamThurston）和汉密尔顿（RichardHamilton）。他们对佩雷尔曼的研究工作产生了很大的影响。随后，佩雷尔曼得到了一个加州大学伯克利分校的奖学金，在一次演讲中，他第一次透露了准备攻破庞加莱猜想的想法。佩雷尔曼在伯克利发表了几篇重要的论文，并参加了1994年的国际数学家大会，很多美国和以色列的大学都看中了这位年轻的当红数学家。然而，一些奇怪的事情发生了，佩雷尔曼拒绝给斯坦福大学的一个职位递交简历，说如果大学熟悉他的工作的话，就不会需要简历。同样的，他也拒绝了欧洲的一些科研机构。1995年，佩雷尔曼离开了美国，回到圣彼得堡。他告诉朋友，自己在美国赚的钱足够他下半生的生活了。他迁回到母亲的公寓中和母亲同住，并一直都和母亲生活在一起。此后的几年中，他就将自己大部分的时间封闭在这个公寓中，他几乎很少和同事联系，也没有和世界上其他数学家沟通。尽管他还能从互联网中获取一些数学界的最新消息，但是他已经完完全全沉浸在自己的研究中直到2002年突然在网上发表自己的研究成果。这才最终完成了他这一生最大的成就。在俄罗斯，佩雷尔曼的名声已经超越了他的数学成就，他成为很多流言、笑话和漫画中的角色，但是在数学界，他依然是最令人尊敬的数学家之一。如同纽约时报评价的，他破解了庞加莱，“是数学发展，也是人类思想发展的里程碑”。延伸阅读：庞加莱猜想法国数学家庞加莱1904年提出一个猜想，即在一个三维空间中，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球。简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。菲尔兹奖这是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。每四年颁奖一次，每次最多四人得奖。得奖者在该年元旦前需不满四十岁。它是据加拿大数学家约翰查尔斯菲尔兹的要求设立的。菲尔兹奖被视为数学界的诺贝尔奖。arXiv由物理学家保罗金斯巴格在1991年建立的网站，本意在收集物理学的论文预印本，随后括及天文、数学等其他领域。现今的数学家及科学家习惯将其论文先上传至arXiv.org，再提交予专业的学术期刊。怪僧拉斯普丁俄国尼古拉二世时的神秘主义者，擅长催眠术。因为对皇储阿列克谢的治疗工作而获得信任，可以自由出入宫廷。拉斯普丁掌握着对皇后的巨大影响力，甚至官员的任命都要先获得他的同意。1916年，他被政敌暗杀。（来源：科学松鼠会）模块二答案： 函数1.【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】根据3，67，21，0.81，可知log31，0log760，log20.80，进而比较出大小【解答】log31，0log760，log20.80abc故选A【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象是高考的热点1.1【考点】对数函数的单调区间【解析】依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0a1，b0【答案】D【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式，属基本题1.2【考点】对数函数的单调性，函数图象的变换【解析】用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D【答案】D【点评】易错点：对对数函数的性质模糊，平移出错。1.3【考点】对数函数的单调性，不等式【解析】当x1时，21-x2的可变形为1-x1，x0，0x1当x1时，1-log2x2的可变形为x1，故答案为0，+）【答案】D【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解2.【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案【解答】不等式可化为：又函数y=的底数01故函数y=为减函数xy1故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据对数函数的性质将对数不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键2.1【答案】B【解析】，则2.2【答案】D【解析】，所以，选D.3.【考点】平面向量数量积的运算【分析】，因为，所以，所以函数f（x）是一次函数且是奇函数【解答】因为，所以，因为所以，所以函数f（x）是一次函数且是奇函数故选A【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算和函数的奇偶性求解中要明确两向量互相垂直等价于二者点乘等于03.1【考点】偶函数的定义【解析】f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）恒成立，即x2-|x+a|=x2-|x-a|恒成立，即|x+a|=|x-a|恒成立，所以a=0【答案】0【点评】本题考查偶函数的定义：f（x）=f（-x）对于定义域内的x恒成立3.2【考点】函数奇偶性的判断【解析】函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定。故选A【答案】A【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键3.3【考点】偶函数的性质【解析】：f（x）为偶函数，且当x0时f（x）是单调函数若时，即或，得x2+3x-3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=-3或x3+x4=-5满足的所有x之和为-3+（-5）=-8，故选C【答案】C【点评】本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：变换自变量与函数值的关系、培养数形结合的思想方法4.【考点】对数函数，图像的变换【解析】因为，只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，故选C【答案】C【点评】本题主要考查函数图象的平移变换属于基础知识、基本运算的考查4.1【考点】对数函数的图像和性质，反函数【解析】函数f（x）=logax恒过（1，0），将函数f（x）=logax向左平移3个单位后，得到f（x）=loga（x+3）的图象，故f（x）=loga（x+3）的图象过定点（-2，0），又由互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，所以其反函数的图象过定点（0，-2）【答案】（0，-2）【点评】指数函数恒过（0，1）点，对数函数恒过（1，0）点，则此不难推导：g（x）=a（x+h）+k恒过（-h，1+k）点，而f（x）=loga（x+h）+k恒过（1-h，k）点4.2【考点】指数函数的图像与变换【解析】首先以看成把函数的图象向下平移个单位得到的当a1时，函数是增函数，图象过点，当，故排除A、B当 1a0时，函数是减函数，图象过点，且故排除C，故选D【答案】D【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点的应用，指数函数的图象变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题4.3【考点】对数函数图像与性质的综合运用，导数【解析】设，g（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+）上为减函数，g（x）g（0）=0，得：x0或-1x0均有f（x）0排除A，C，D【答案】B【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题5.【考点】反函数【分析】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数【解答】y=（x-1）2+1，（x-1）2=y-1，x1即x-10，x-1=移项并换号得f-1(x)=1又原函数的值域是y1，故选B【点评】本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是求出原函数的值域，此题是一道比较基础的习题，希望同学们解答时一定注意：一是要注意利用原函数的定义域去判定在逆运算的过程中根号前面的符号，二是用原函数的值域作为反函数的定义域5.1【答案】B【解析】因为所以.由得，所以，所以反函数为，选A.6.【考点】函数单调性的判断与证明【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y=|x-1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，为增函数【解答】是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x-1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件6.1【答案】【解析】当时单调递增，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，故C正确 ；D不正确.6.2【答案】D. 【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.7.【考点】函数的图象与图象变化；函数的表示方法；函数模型及其应用。【解析】若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点，则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率，由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大，即前9年的年平均产量最高，故选C。【答案】C【点评】本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键7.1【考点】函数的图象判断与图象变化【解析】函数有意义，需使0，其定义域为x|x0，排除C，D，又因为，所以当x0时函数为减函数，故选A。【答案】A【点评】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质7.2【考点】函数的图象判断与图象变化【解析】如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M，则大圆圆弧, 与小圆点M转过的圆弧相等以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记AOM=，则OM1O1=M1OO1=，故M1O1A=M1OO1+OM1O1=2大圆圆弧的长为l1=1=，小圆圆弧的长为即l1=l2，小圆的两段圆弧和长相等，故点M1与点M重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段观察各选项，只有选项A符合故选A【答案】A【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解答本题的关键8.【考点】对数的运算性质【分析】由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）由此能求出结果【解答】函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2故答案为：2【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答8.1【答案】B【解析】是无理数，故选B.8.2【答案】4.【解析】，.8.3【答案】3【解析】由，得，所以。9.【考点】函数的图像与图像变化【分析】要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案【解答】由x=log32，无解，故答案为log32【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值属于基础知识、基本运算的考查分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者9.1【考点】分段函数，函数及其表示【解析】由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2故选C【答案】C【点评】本题考查对分段函数概念的理解9.2【答案】或。【解析】函数，当时，当时，综上函数，做出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或。10.【考点】函数的零点与方程的根，分段函数【解析】函数的图像如右图：由图像可知在上取值从单调递增到1，在上取值从1单调递减并趋向于0；由于的图象和直线有两个交点，所以.【答案】（0，1）【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键同时应注意数形结合和转化思想的运用。10.1【考点】函数的零点与方程的根，函数的周期性【解析】当0x2时，f（x）=x3-x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间0，6上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为7，故选B【答案】B【点评】本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力10.2【考点】函数的零点与方程的根，不等式，导数的应用。【解析】法一：令，则，设，令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，解得，此时，此时；当时，解得,此时 . 法二：令可得。设，不妨设，结合图形可知，当时如图，此时，即，此时，即；同理可由图形经过推理可得当时.【答案】B【点评】从解析可看出，第二种方法显然简单省事些，这就要求考生能熟练运用数形结合的思想。10.3【考点】函数的零点与方程的根，分段函数的解析式求法及其图象的作法。【解析】2x1x1时，有x0，根据题意得f（x）=即f（x）=，画出函数的图像：从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），当x2+x=m时，有x1x2=m，当2x2x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，x1x2x3=m（）=，m（0，）令y=，则，又在m（0，）上是增函数，故有h（m）h（0）=10在m（0，）上成立，函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，函数的值域是（f（），f（0），即故答案为：【答案】【点评】本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目11.【考点】复合命题的真假【分析】由于g（x）=2x-20时，x1，根据题意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）0在x1时成立，根据二次函数的性质可求【解答】g（x）=2x-2，当x1时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0此时f（x）=m（x-2m）（x+m+3）0在x1时恒成立则由二次函数的性质知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则，-4m0故答案为：（-4，0）【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键。11.1【考点】二次函数的性质【解析】设，则方程在区间（0,1）内有两个不同的根等价于，因为，所以，故抛物线开口向上，于是，令，则由，得，则，所以m至少为2，但，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由，所以m至少为4，依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故的最小值为13【答案】D【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点11.2【考点】指数函数的综合应用【解析】若，必有构造函数：，则恒成立，故有函数在x0上单调递增，即ab成立其余选项用同样方法排除【答案】A【点评】考察函数的性质和比较大小，利用单调性比较大小是常用的方法，而单调性除了用初等函数的性质来判断外，还有求导法。12.【分析】作出平行四边形，结合图象得到平行四边形中的整数点的个数【解答】当t=0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）=6作出平行四边形ABCD将边OD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6，7，8故答案为6；6，7，8【点评】本题考查画可行域、考查数形结合的数学思想方法12.1【考点】函数及其表示【解析】特殊取值法。若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选B【答案】B【点评】此题运用特殊取值法会比较简单，主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂读明白题意，再根据数学知识即可得到答案对于选择题要会选择最恰当的方法13.【考点】轨迹方程；函数的周期性【分析】由题中信息可知无论正方形是沿着x轴的正方向还是负方向滚动，再次使用点P与x轴接触的x轴方向的路程是4，故其最小正期为4，在正方形的翻滚过程中，函数y=f（x）的两个相邻零点间点P的轨迹如图所示，可得其面积【解答】不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90，然后以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为S=，故答案为4，【点评】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，本题是一道信息题，考查学生的分析问题能力、阅读能力、推理能力和应用知识解决问题的能力13.1【考点】函数的图像与图像变化【解析】由下图可以看出，要使函数f（x）=min|x|，|x+t|的图象关于直线对称，则t的值为t=1故应选D 【答案】D【点评】本题的考点是函数的图象与图象的变化，通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力，属中档题13.2【考点】函数的图像，线面垂直，导数。【解析】定性法：当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.【答案】A【点评】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.14.【考点】导数，函数的图像，函数的奇偶性【解析】函数显然是偶函数，其导数为y=2x+sinx，当0x时，0sinx1，02x，f（x）0，函数f（x）在上为增函数，由偶函数性质知函数在上为减函数。当x12x22时，得|x1|x2|0，f（|x1|）f（|x2|），由函数f（x）在为偶函数得f（x1）f（x2），故成立因为，而，不成立，同理可知不成立故答案是【答案】【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙14.1【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【解析】由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（-1）+（-1）2=0解得f（-1）=-3,所以g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1【答案】-1【点评】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型14.2【考点】函数奇偶性的性质【解析】由f（a）=2,f（a）=a3+sina+1=2，a3+sina=1，又f（-a）=（-a）3+sin（-a）+1=-（a3+sina）+1=-1+1=0故选B【答案】B【点评】本题主要考查函数奇偶性的运用属基础题14.3【考点】函数奇偶性的性质【解析】f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，由f（x）+g（x）=ax-a-x+2 得f（-x）+g（-x）=a-x-ax+2=-f（x）+g（x） 联立解得f（x）=ax-a-x，g（x）=2，由已知g（a）=a，a=2f（a）=f（2）=22-2-2=【答案】B【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法-方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a求出a值，是解答本题的关键
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