华科王敏老师自控教案第二章.ppt

1 第二章线性系统的数学模型 2 1系统的微分方程2 2非线性数学模型的线性化2 3线性系统的传递函数2 4控制系统的结构图2 5反馈控制系统的传递函数 2 2 1系统的微分方程 在实际应用中 绝大多数控制系统在一定的限制条件下 都可以用线性微分方程来描述 用解析法列写系统微分方程的一般步骤为 根据实际工作情况 确定系数和各元件的输入 输出变量 从输入端开始 按照信号的传递顺序 依据各变量所遵循的物理 化学定理 列写出动态方程 一般为微分方程 消去中间变量 写出输入 输出变量的微分方程 标准化 3 例2 1设一弹簧 质量块 阻尼器组成的系统如图所示 当外力F t 作用于系统时 系统将产生运动 试写出外力F t 与质量块的位移y t 之间的微分方程 4 解 若弹簧恢复力F2 t 和阻尼器阻力F1 t 与外力F t 不能平衡 则质量块将产生加速运动 其速度和位移发生变化 根据牛顿定理有 式中f 阻尼系数 k 弹性系数 由以上所列方程中消去中间变量 5 2 2非线性数学模型的线性化 在一定条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化 在工程实际中 控制系统都有一个额定的工作状态和工作点 当变量在工作点附近作小范围的变化 且变量在给定的区域间有各阶导数时 便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数 忽略级数中高阶无穷小项后 就可得到只包含偏差的一次项的线性方程 这种线性化方法称为小偏差法 6 例如 设非线性函数y f x 如图所示 其输入量为x 输出量为y 如果在给定工作点y0 f x0 处各阶导数均存在 在y0 f x0 附近将y展开成泰勒级数 如果偏差 x x x0很小 则可忽略级数中高阶无穷小项 上式可写为 K表示y f x 曲线在 x0 y0 处切线的斜率 因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化 7 2 3 1传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为该系统的传递函数 若线性定常系统的微分方程为 在初始条件为零时 对上式进行拉氏变换 得 2 3线性系统的传递函数 描述该线性定常系统的传递函数为 8 2 3 2传递函数的性质 1 传递函数表示系统传递输入信号的能力 反映系统本身的动态特性 它只与系统的结构和参数有关 与输入信号和初始条件无关 2 传递函数是复变量s的有理分式函数 其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n 即m n 且系数均为实数 3 在同一系统中 当选取不同的物理量作为输入 输出时 其传递函数一般也不相同 传递函数不反映系统的物理结构 物理性质不同的系统 可以具有相同的传递函数 4 传递函数的定义只适用于线性定常系统 9 常把传递函数分解为一次因式的乘积 式中的K称为传递函数的增益或传递系数 放大系数 zj j 1 2 m 为分子多项式的根 称为传递函数的零点 Pi 1 2 n 为分母多项式的根 称为传递函数的极点 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式的特征多项式 令该分母多项式等于零 就可得到相应微分方程的特征方程 10 2 3 3典型环节的传递函数 11 2 惯性环节 惯性环节又称非周期环节 其输入 输出间的微分方程为 式中T为时间常数 K为比例系数惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化 存在时间上延迟 时间常数愈大惯性愈大 延迟时间也愈长 时间常数T表征了该环节的惯性 在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的 当t 3T 4T时 输出才能接近其稳态值 12 3 积分环节 积分环节的微分方程是 式中K 1 T 称为积分环节的放大系数 T称为积分时间常数 13 4 振荡环节 振荡环节的微分方程是 式中T 时间常数 阻尼比 对振荡环节有0 1 14 5 微分环节 理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为 的理想脉冲 在实际物理系统中得不到这种理想微分环节 15 6 纯滞后环节 当输入作用到环节以后 其输出量要等待一段时间 后 才能复现输入信号 在时间0到 的时间内 输出量为零 这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节 纯滞后环节的数学表达式为 16 2 3 4控制系统的传递函数 对于简单控制系统 在求取传递函数时 可采用直接计算法 即先列写系统的微分方程 再由拉氏变换求出系统的传递函数 解根据电路的基本定理可以得到如下的关系式 17 在零初始条件下 对上式进行拉氏变换 得 消去中间变量 得到输入 输出的微分方程式 由此得出该电路的传递函数为 18 在上述计算过程中 如果先对所列写的微分方程组作拉氏变换 再消去中间变量 可简化计算 在零初始条件下 对方程组取拉氏变换 得到消去中间变量可得 19 2 4控制系统的结构图 控制系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形 它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入 输出之间的因果关系 采用结构图 不仅能方便地求取复杂系统的传递函数 而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程 2 4 1结构图的组成把各环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中 并把相应的输入 输出信号分别以拉氏变换来表示 就可以得到传递函数方块图 这种图形既说明了信号之间的数学物理关系 又描述了系统的动态结构 因此称之为系统的动态结构图 简称为结构图 20 信号比较点 表示两个或多个信号在此代数相加 信号比较点的运算关系为 信号引出点 表示信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同 21 2 4 2结构图的画法绘制系统结构图的步骤如下 1 列写出系统各元件的微分方程 在建立方程时应分清各元件的输入量 输出量 同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应 2 在零初始条件下 对各微分方程进行拉氏变换 并将变换式写成标准形式 3 由标准变换式利用结构图的四个基本单元 分别画出各元部件的结构图 4 按照系统中信号的传递顺序 依次将各元部件的结构图连接起来 便可得到系统的结构图 22 例2 3在例2 2所示的滤波电路中 若以电压ur为输入 电压uc为输出 试画出其结构图 解 23 2 将上述方程整理 24 25 2 4 3结构图的等效变换 1 串联连接方式的等效变换 26 2 并联连接方式的等效变换 输入量相同 输出量相加或相减的连接称为并联 如下图所示 并联后总的传递函数为 27 3 反馈连接方式的等效变换 将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较 就构成了反馈连接 28 4 分支点的移动规则 将分支点跨越元件方块图移动时 必须遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则 29 分支点移动的规则为 若分支点从一个方块图的输入端移到其输出端时 应在移动后的分支中串入一个方块图 它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数 若分支点从一方块图的输出端移到其输入端时 应在移动后的分支中串入一个方块图 它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数 30 5 比较点的移动规则 如图 a 所示 当比较点在A处时 总输出量为C s G s R1 s R2 s 当比较点移到B处时 必须使两个输入都经过元件方块图后再相加 如图 b 所示 此时C s G s R1 s G s R2 s 与移动前相等 因而两图是等效的 31 当综合点之间相互移动时 如下图所示 因为三者输出都为C s R1 s R2 s R3 s 故它们都是等效的 可见 互换综合点的位置 不会影响总的输入输出关系 32 2 4 4系统结构图的简化 例2 4简化下图所示多回路系统 并求系统的传递函数C s R s 解这是一个没有交叉现象的多环系统 内回路称为局部反馈回路 外回路称为主反馈回路 简化时不需要将分支点和综合点作前后移动 可按简单串 并联和反馈连接的简化规则 从内部开始 由内向外逐步简化 33 34 梅逊公式一般形式为 2 4 5用梅逊 S J Mason 公式求传递函数 35 例2 5用梅逊公式求下图所示系统的传递函数 解图中共有四个不同回路 其回路传递函数分别为 故 Li L1 L2 L3 L4 36 在上述四个回路中 互不接触回路有 L2 L3 它们之间没有重合的部分 因此有 LiLj L2L3 G2G3H2 G4G5H3 G2G3G4G5H2H3图中没有三个互不接触回路 故 LiLjLK 0可得特征式 37 图中只有一条前向通路 且该前向通路与四个回路均接触 所以 注意应用梅逊公式可以方便地求出系统的传递函数 而不必进行结构图变换 但当结构图较复杂时 容易遗漏前向通路 回路或互不接触回路 因此在使用时应特别注意 38 2 5 1系统的开环传递函数 定义反馈信号B s 与偏差信号E s 之比 称为闭环系统的开环传递函数 简称开环传递函数 Gk s B s E s G s H s 2 5反馈控制系统的传递函数 39 2 5 2闭环传递函数 1 r t 作用下系统的闭环传递函数 在下图 a 所示的反馈系统中 为求取r t 作用下系统的闭环传递函数 可令n t 0 40 由图 b 求得输出C t 和输入r t 之间的传递函数为 r s 为输入信号r t 作用下系统的闭环传递函数 此时系统输出的拉氏变换式为 41 2 扰动n t 作用下系统的闭环传递函数 在下图 a 所示系统中 为求取n t 作用下系统的闭环传递函数 可令r t 0 此时图 a 可简化为图 b n s 为扰动信号n t 作用下系统的闭环传递函数 此时 系统输出的拉氏变换式为