（河北专版）2019年中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.5 圆的综合问题（试卷部分）课件.ppt

8 5圆的综合问题 中考数学 河北专用 一 与圆相关的翻折问题 好题精练 1 2017邯郸一模 25 如图1 已知以AE为直径的半圆圆心为O 半径为5 矩形ABCD的顶点B在直径AE上 顶点C在半圆上 AB 8 点P为半圆上一点 1 矩形ABCD的边BC的长为 2 将矩形沿直线AP折叠 使点B落在点B 处 点B 到直线AE的最大距离是 当点P与点C重合时 如图2所示 AB 交DC于点M 求证 四边形AOCM是菱形 并通过证明判断CB 与半圆的位置关系 当EB BD时 直接写出EB 的长 图1图2 解析 1 4 连接OC OB 8 5 3 OC 5 BC 4 2 8 提示 当AB AE时 点B 到直线AE的距离最大 最大距离是8 证明 由折叠可知 OAC MAC OA OC OAC OCA OCA MAC OC AM 又 CM OA 四边形AOCM是平行四边形 又 OA OC AOCM是菱形 结论 CB 与半圆相切 证明 由折叠可知 AB C ABC 90 OC AM AB C B CO 180 B CO 90 CB OC OC为半圆的半径 CB 与半圆相切 4 2或4 2 提示 过点B 作B G AE 若EB BD 则有 ABD AEB tan ABD tan AEB 设B G x EG 2x 则AG 10 2x 在Rt AB G中 AB 2 AG2 B G2 82 10 2x 2 x2 解得x 4 EB x 4 2 2 如图 O的半径为6 AB为弦 将 O沿弦AB所在的直线折叠后 上的点H与圆心O重合 1 求弦AB的长度 2 点E是上的动点 过点E作的切线交 O于C D两点 当点E与点O重合时 判断CD与AB的位置关系 并说明理由 当点C与点A重合时 判断CD与AB的数量关系 并说明理由 请直接写出线段CD的长度的范围 解析 1 如图 连接OH 交AB于M 连接BO O的半径为6 沿AB折叠 H和O重合 OM HM 3 OH AB 由勾股定理得BM 3 由垂径定理得AB 2BM 6 2 当点E与点O重合时 CD AB 理由如下 如图1 连接HE OH是半径 CD切 H于E OH CD OH AB CD AB 如图2 当点C与点A重合时 CD AB 6 理由如下 连接HD CD切 H于A HA CD HAD 90 HD为直径 即HD 2 6 12 AH 6 在Rt DAH中 AD 6 即CD AB 6 6 CD 12 思路分析 1 连接OH 交AB于M 连接BO 根据勾股定理求出BM 根据垂径定理求出AB 2BM 得出弦AB的长 2 连接EH 根据折叠得出AB OH 根据切线的性质定理得出OH CD 可推出CD与AB的位置关系 先判断HD为 O的直径 然后在Rt DAH中求出AD的长 即可得出CD AB 当点C和A或B重合时 CD AB 当和A B不重合时 根据直径是最长的弦 得CD 12 从而可得出线段CD的长度的范围 二 与圆相关的旋转问题 1 2018保定竞秀一模 25 已知矩形ABCD AB 4 BC 3 以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部 如图1 将半圆O绕点A顺时针旋转 度 0 180 1 半圆的直径落在对角线AC上时 如图2所示 半圆与AB的交点为M 求AM的长 2 半圆与直线CD相切时 切点为N 与线段AD的交点为P 如图3所示 求劣弧AP的长 3 在旋转过程中 半圆弧与直线CD只有一个交点时 设此交点与点C的距离为d 直接写出d的取值范围 解析 1 如图1 连接B M 图1在Rt ABC中 AB 4 BC 3 AC 5 AB 为直径 AMB 90 AMB ABC 90 B AM CAB ABC AMB AM 2 如图2 连接NO并延长交BA的延长线于点Q 连接OP 图2 半圆弧与直线CD相切于点N ON CN NQ AD 3 ON 2 OQ 1 在Rt OAQ中 sin OAQ OAQ 30 PAO 60 又 OA OP APO为等边三角形 AOP 60 的长度 3 4 d 4或d 4 详解 当B 第一次落在CD上时 如图3 思路分析 1 利用圆周角定理和相似三角形的性质引出含有AM的等式得解 2 利用切线的性质先求得OQ的长 进而得出 OAQ和 PAO的大小 最后利用弧长公式求出的长 3 弄清半圆弧与直线CD的交点情况的界点即可得d的取值范围 2 2017保定莲池一模 25 在等边 AOB中 将扇形COD按图1摆放 使其半径OC OD分别与OA OB重合 OA OB 2 OC OD 1 等边三角形AOB不动 让扇形COD绕点O逆时针旋转 线段AC BD也随之变化 设旋转角为 0 360 1 当OC AB时 旋转角 2 发现 线段AC与BD有何数量关系 请根据图2给出证明 3 应用 当A C D三点共线时 求BD的长 4 拓展 P是线段AB上任意一点 在扇形COD的旋转过程中 请直接写出PC的最大值与最小值 解析 1 60 或240 2 AC BD 证明 AOB为等边三角形 AOB COD 60 AO OB 又 AOC 60 AOD BOD 60 AOD AOC BOD 在 AOC与 BOD中 AOC BOD SAS AC BD 3 当A D C三点顺次共线时 如图 连接CD 过点O作OE CD 垂足为E 易知 COD为等边三角形 OC OD 1 CE DE OE 在Rt AOE中 AE AC AE CE AC BD BD 当A C D三点顺次共线时 如图 由上述方法可知 此时BD AC 4 PC的最大值为3 最小值为 1 提示 在旋转过程中 点C在以点O为圆心 OC为半径的圆上 当点A O C顺次共线 且点P与点A重合时 PC取最大值 为3 当点P位于AB的中点 且点O C P顺次共线时 PC取最小值 为 1 3 如图 在Rt ABC中 C 90 BAC 60 AB 8 半径为的 M与射线BA相切 切点为N 且AN 3 将Rt ABC绕点A顺时针旋转 设旋转角为 0 180 1 当 为时 AC和 M相切 2 当AC落在AN上时 设点B C的对应点分别是点D E 画出旋转后的Rt ADE 草图即可 Rt ADE的直角边DE被 M截得的弦PQ的长为 判断Rt ADE的斜边AD所在的直线与 M的位置关系 并说明理由 3 设点M与AC的距离为x 在旋转过程中 当边AC与 M有一个公共点时 直接写出x的取值 解析 1 60 120 旋转到如图所示的位置时 AC 与 M相切于G 连接MG MN AGM 90 AN与 M相切于N ANM 90 连接AM GAN 2 MAN 在Rt AMN中 MN AN 3 tan MAN MAN 30 GAN 60 BAC 60 CAC 180 60 60 60 思路分析 1 先利用切线的性质得出 GAN 2 MAN 再利用三角函数求出 MAN 进而得出 的值 2 把三角形ABC绕A旋转120 就能得到图形 先求出NE的长 作MF DE 在Rt MFQ中 利用勾股定理可求出QF 根据垂径定理知QF就是弦PQ的一半 即可求出PQ的长 过M作AD的垂线 垂足为H 先判断 MAN MAD 然后利用角平分线的性质定理可得MN MH进而得解 3 分两种情况AC与 M相切或点C在 M内部 利用勾股定理即可得出结论 三 与圆相关的平移与滚动问题 1 2018秦皇岛海港一模 25 如图 在等边 ABC中 AB 3 点O在AB的延长线上 OA 6 且 AOE 30 动点P从点O出发 以每秒个单位的速度沿射线OE方向运动 以P为圆心 OP为半径作 P 同时点Q从点B出发 以每秒1个单位的速度沿折线B C A向点A运动 Q与A重合时 P Q同时停止运动 设P的运动时间为t秒 1 当 POB是直角三角形时 求t的值 2 当 P过点C时 求 P与线段OA圆成的封闭图形的面积 3 当 P与 ABC的边所在直线相切时 求t的值 4 当线段OQ与 P只有一个公共点时 直接写出t的取值范围 2 2017邢台模拟 25 如图 A 45 ABC 60 AB MN BH MN于点H BH 8 点C在MN上 点D在AC上 DE MN于点E 半圆的圆心为点O 直径DE 6 G为的中点 F是上的动点 发现 CF的最小值是 CF的最大值为 探究 沿直线MN向右平移半圆 1 当G落在 ABC的边上时 求半圆与 ABC重合部分的面积 2 当点E与点H重合时 求半圆在BC上截得的线段长 3 当半圆与 ABC的边相切时 求CE的长 解析发现 如图1 图1 当F与E重合时 CF的最小值为CE的长 6 当CF经过圆心时 CF的长最大 最大值 OC OF 3 3 3 探究 1 如图2 当点G落在AC边上时 点E与C重合 连接OG 图2 G为的中点 则 DOG GOC 90 半圆与 ABC重合部分的面积 扇形ODG的面积 OCG的面积 32 3 3 如图3 当点G落在BC上 图3 OG MN BGO BCE 60 设BC与半圆相交的另一个点为S 连接OS OS OG OSG是等边三角形 半圆与 ABC重叠部分的面积 扇形OGS的面积 OGS的面积 32 32 综上 当G落在 ABC的边上时 半圆与 ABC重合部分的面积为 或 2 点E与H重合时 BH 8 OE 3 BO 5 设BC交半圆于R T OP RT于点P 则PT PR 图4 CBE 30 OP 连接OR 则RP RT 2PR 3 如图5 当半圆与AC相切时 设切点为K 则CK CE 作KU DE于U 图5 KOE 45 OK 3 KU OU EU 3 作KL MN于L 可得KL EU KCL 45 CK CE KL EU 3 3 如图6 当半圆与BC相切时 设切点为W 连接OW 则CE CW OCE OCW 30 图6 OE 3 tan30 CE 3 所以当半圆与 ABC的边相切时 CE 3 3或3 思路分析发现 当F与E重合时 CF的最小值为CE的长 当CF经过圆心时 CF的长最大 探究 1 分两种情形 当点G落在AC边上时 点E与C重合 半圆与 ABC重合部分的面积 扇形ODG的面积 OCG的面积 当点G落在BC上时 重叠部分的面积 扇形OGS的面积 OGS的面积 2 点E与H重合时 BH 8 OE 3 BO 5 作OP RT 先求出OP的长 然后利用勾股定理求得PR 即可求出RT的长 3 当半圆与AC相切时 设切点为K 则CK CE 作KU DE于U 根据CK EU得解 当半圆与BC相切时 设切点为W 连接OW 则CE CW 在Rt COE中 解直角三角形即可 3 2016石家庄模拟 24 如图1 等边 ABC的边长为3 分别以顶点B A C为圆心 BA长为半径作 我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形 显然莱洛三角形仍然是轴对称图形 设点I为对称轴的交点 1 如图2 将这个图形在线段MN上做无滑动的滚动 当它滚动一周后点A与端点N重合 则线段MN的长为 2 如图3 将这个图形的顶点A与等边 DEF的顶点D重合 且AB DE DE 2 将它沿等边 DEF的边做无滑动的滚动 当它第一次回到起始位置时 求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积 3 如图4 将这个图形的顶点B与 O的圆心O重合 O的半径为3 将它沿 O的圆周做无滑动的滚动 当它第n次回到起始位置时 点I所经过的路径长为 请用含n的式子表示 解析 1 等边 ABC的边长为3 ABC ACB BAC 60 l l l 线段MN的长为l l l 3 2 如图 由题意知 AG AF 又AB DE 等边 DEF的边长为2 等边 ABC的边长为3 S矩形AGHF 2 3 6 易知 BAG 120 S扇形BAG 3 图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3 S矩形AGHF S扇形BAG 3 6 3 27 3 如图 连接BI并延长交AC于D 连接AI I是 ABC的外心也是内心 DAI 30 AD AC OI AI 当它第1次回到起始位置时 点I所经过的路径是以O为圆心 OI为半径的圆周长 当它第n次回到起始位置时 点I所经过的路径长为n 2 2n 思路分析 1 先求出的弧长 继而得出莱洛三角形的周长为3 即可得出MN的长 2 先判断出莱洛三角形绕等边 DEF一周扫过的面积的图形 再求面积 3 先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径 再用圆的周长公式即可得出点I所经过的路径长 一 与圆相关的翻折问题 教师专用题组 1 如图 在 O中 AB为直径 点C为圆上一点 将劣弧沿弦AC翻折 交AB于点D 连接CD 如果 BAC 20 则 BDC A 80 B 70 C 60 D 50 答案B如图 连接BC AB是 O的直径 ACB 90 BAC 20 B 90 BAC 90 20 70 根据翻折的性质 所对的圆周角为 B 所对的圆周角为 ADC ADC B 180 又 ADC BDC 180 BDC B 70 故选B 思路分析连接BC 根据直角三角形两锐角互余求出 B 再根据翻折的性质得到 ADC B 180 进而推出 BDC B 即可得出结论 2 如图 扇形OAB的半径为4 AOB 90 P是半径OB上一动点 Q是弧AB上的一动点 1 当P是OB中点 且PQ OA时 如图1 弧AQ的长为 2 将扇形OAB沿PQ对折 使折叠后的弧QB 恰好与半径OA相切于C点 如图2 若OP 3 则O到折痕PQ的距离为 解析 1 如图 连接OQ P是OB中点 OB 4 OP 2 PQ OA BPQ AOB 90 OP OQ 1 30 2 1 30 所以弧AQ的长 2 如图 找点O关于PQ的对称点O 连接OO O B O C O P 设OO 与PQ交于点M 则OM O M OO PQ O P OP 3 点O 是所在圆的圆心 O C OB 4 折叠后的弧QB 恰好与半径OA相切于C点 O C AO O C OB 四边形OCO B是矩形 在Rt O BP中 O B 2 在Rt OCO 中 OO 2 OM OO 2 即O到折痕PQ的距离为 思路分析 1 连接OQ 利用直角三角形直角边是斜边的一半 则这条直角边所对的锐角为30 及平行线的性质求出 PQO AOQ 30 再利用弧长公式计算得解 2 先找点O关于PQ的对称点O 连接OO O B O C O P 则易证四边形OCO B是矩形 利用勾股定理求得O B的长 从而求出OO 的长 则OM OO 二 与圆相关的旋转问题 1 2017石家庄正定二模 26 如图 正方形ABCD的边长是5 圆D的半径是3 在圆D上任取一点P 连接AP 将AP顺时针旋转90 到AP 连接BP 发现 无论点P在圆D上的什么位置 BP 的大小不变 BP 的长是 思考 1 APD的最大面积是 2 点P与P 之间的最小距离是 3 当点P与点B之间的距离最大时 CBP 的度数是 探究 当AP与圆D相切时 求 CDP 的面积 解析发现 连接DP 如图所示 由旋转的性质得AP AP PAP 90 四边形ABCD是正方形 BC AB AD 5 BAD 90 BAD DAP PAP DAP 即 BAP DAP 在 ABP 和 ADP中 ABP ADP SAS BP DP 3 思考 1 7 5 当PD AD时 如图所示 APD的最大面积 5 3 7 5 2 2 当P在AD上时 PP 最小 此时P 在AB上 AP AP 5 3 2 PAP 90 PP 2 3 45 当点P在射线BD上时 如图所示 点P与点B之间的距离最大 此时 ABP ADP 180 45 135 CBP 135 90 45 探究 分两种情况 如图所示 连接DP DP CP 过点P 作AB的垂线 交AB于F 交CD于E 则EF CD EF BC 5 AP是圆D的切线 APD 90 ABP ADP AP B APD 90 AP AP 4 在Rt ABP 中 P F P E 5 CDP 的面积 5 如图所示 连接DP DP CP 过点P 作AB的垂线 交AB于F 交CD于E 同理得P F P E 5 CDP 的面积 5 综上所述 当AP与圆D相切时 CDP 的面积为或 思路分析发现 连接DP 由旋转的性质和正方形的性质得出 ABP ADP 进而BP DP 3 思考 1 当PD AD时 APD的面积最大 5 3 7 5 2 当P在AD上时 AP最小也就是PP 最小 3 当点P在射线BD上时 点P与点B之间的距离最大 此时 ABP ADP 135 CBP 45 探究 分两种情况 在AD上方和AD下方连接DP DP CP 过点P 作AB的垂线 交AB于F 交CD于E 先由勾股定理得出AP AP 4 再利用等积法求出P F 进而得出P E 或P E 即可求出 CDP 的面积 2 2017秦皇岛海港二模 25 如图 矩形ABCD中 AB 4 BC 2 点O在AB的延长线上 OB 2 AOE 60 动点P从点O出发 以每秒2个单位长度的速度沿射线OE方向运动 以P为圆心 OP为半径作 P 设P的运动时间为t秒 1 BOC PA的最小值是 2 当 P过点C时 求 P与线段OA围成的封闭图形的面积 3 当 P与矩形ABCD的边所在直线相切时 求t的值 解析 1 30 2 3 如图1 四边形ABCD是矩形 图1 ABC 90 OBC 90 tan BOC BOC 30 当AP OP时 PA的值最小 OA AB OB 4 2 在Rt AOP中 AOE 60 sin60 AP 4 2 2 3 故PA的最小值是2 3 2 如图2 由题意得 OP r 2t 图2设 P与OA的另一个交点为M 连接PC PM 则PC PM PO r 2t POC PCO BOP BOC 60 30 30 BCO 90 BOC 90 30 60 PCB BCO PCO 60 30 90 即PC BC 此时直线BC与 P相切 过点P作PN OM于N PNB NBC BCP 90 四边形PCBN是矩形 BN PC 2t NOP 60 在Rt PNO中 OPN 30 ON OP t BN ON BO 2t t 2 t r 当t 时 P经过点C POM 60 且PO PM POM是等边三角形 OM 2ON 2t PN t 2 S小弓形OM S扇形POM S POM S小弓形OM 2 S大弓形OM S圆P S小弓形OM 故 P与线段OA围成的封闭图形的面积为 或 3 由 2 可知当 P与矩形ABCD的边BC所在的直线相切时 t 当 P与矩形ABCD的边AD所在的直线相切时 如图3 图3过P作PF AD于F 过P作PN AO于N AN FP r 2t ON OP t AN NO AO 2t t 2 4 t 当 P与矩形ABCD的边CD所在的直线相切时 如图4 图4过P作PM DC于M 交OA于H 则PM OP 2t PH t PM PH BC 2t t 2 t 4 2 综上所述 当 P与矩形ABCD的边所在直线相切时 t的值是或或4 2 思路分析 1 在直角 OBC中 先根据锐角的正切求 BOC的度数 根据垂线段最短可知 当AP OP时 PA的值最小 根据三角函数可求AP的最小值 2 过点P作PN OM 可得矩形PCBN 等边三角形POM P与线段OA围成的封闭图形是大弓形OM或小弓形OM 利用扇形面积公式 三角形面积公式可得结论 3 分三种情况 当 P与矩形ABCD的边BC所在的直线相切时 是第 2 问中的情况 此时t 当 P与矩形ABCD的边AD所在的直线相切时 根据AN NO AO列式可得t的值 当 P与矩形ABCD的边CD所在的直线相切时 根据PM PH BC列式可得t的值 3 如图1 在 ABC中 ACB 90 AC BC 以点B为圆心 1为半径作圆 设点P为 B上一点 线段CP绕着点C顺时针旋转90 得到线段CD 连接DA PD PB 1 求证 AD BP 2 若DP与 B相切 则 CPB的度数为 3 如图2 当B P D三点在同一直线上时 求BD的长 4 BD的最小值为 此时tan CBP BD的最大值为 此时tan CPB 图1图2备用图 解析 1 证明 ACB 90 DCP 90 ACD BCP AC BC CD CP ACD BCP SAS AD BP 2 45 或135 3 CDP为等腰直角三角形 CDP CPD 45 则 CPB 135 由 1 知 ACD BCP CDA CPB 135 AD BP 1 BDA CDA CDP 90 在Rt ABC中 AB 2 在Rt BDA中 BD 4 1 1 3 思路分析 1 根据SAS即可证明 ACD BCP 再根据全等三角形的性质可得AD BP 2 利用切线的性质结合等腰直角三角形求解 3 当B P D三点在同一条直线上时 利用勾股定理可得BD的长 4 当B D A三点在同一条直线上时 PBC 45 BD有最小值1 进而得出当B A D三点在同一条直线上时 PBC 135 BD有最大值3 三 与圆相关的平移与滚动问题 1 2017石家庄模拟 25 如图 ABC中 ACB 90 ABC 45 BC 12cm 半圆O的直径DE 12cm 点E与点C重合 半圆O以2cm s的速度从左向右运动 在运动过程中 点D E始终在BC所在的直线上 设运动时间为x s 半圆O与 ABC重叠部分的面积为S cm2 1 当x s 时 点O与线段BC的中点重合 2 在 1 的条件下 求半圆O与 ABC的重叠部分的面积S 3 当x为何值时 半圆O所在的圆与 ABC的边所在的直线相切 解析 1 如图1 当点O在AB的中点时 x 6s 图1 2 如图1 设 O与AB交于点H 连接OH CH BC是直径 CHB 90 AC BC ACB 90 HBC HCB 45 HC HB OH BC OH OB OC 6cm S S扇形OHC S OHB 62 6 6 18 9 cm2 3 如图2 当 O与边AB所在的直线相切时 点O在点B左侧 易知OH BH 6cm OB 6cm OC 12 6 cm x 9 3 s 图2如图3 当 O与边AB所在的直线相切时 点O在点B右侧 易知OH BH 6cm OB 6cm OC 12 6 cm x 9 3 s 图3如图1 x 6s时 O与AC所在的直线相切 易知当x 0s时 O与AC所在的直线相切 综上所述 当x 0或 9 3 或6或 9 3 s时 半圆O所在的圆与 ABC的边所在的直线相切 2 2016石家庄二模 26 如图1 已知点A 0 9 B 24 9 C 22 3 0 半圆P的直径MN 6 且P A重合时 点M N在AB上 过点C的直线l与x轴的夹角 为60 现点P从A出发以每秒1个单位长度的速度向B运动 与此同时 半圆P以每秒15 的速度绕点P顺时针旋转 直线l以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向运动 与x轴的交点为Q 当P B重合时 半圆P与直线l停止运动 设点P的运动时间为t秒 发现 1 点N距x轴的最近距离为 此时 PA的长为 2 t 9时 MN所在直线是否经过原点 请说明理由 3 如图2 当点P在直线l上时 求直线l分半圆P所成两部分的面积比 拓展 如图3 当半圆P在直线l左侧 且与直线l相切时 求点P的坐标 探究 求出直线l与半圆P有公共点的时间有多长 解析 发现 1 9 3 6 当PN y轴 且N在AB下方时 点N距x轴最近 A 0 9 OA 9 MN 6 PN MN 3 点N距x轴的最近距离为9 3 此时 APN 90 t 6 PA的长为6 2 MN所在直线经过原点 理由 当t 9时 APN 180 9 15 45 AP 9 1 9 设此时直线MN交y轴于点D 则AD AP tan45 9 1 9 又OA 9 所以点D与点O重合 即MN所在直线经过原点 3 如图1 当点P在直线l上时 过点P作PH x轴 垂足为H 过点E作EF x轴 垂足为F 图2则OQ OF FQ AE t 6 6 3 t 又CQ t OQ CQ 6 3 t t OC 22 3 得t 8 此时 点P的坐标为 8 9 探究 当半圆P在直线l右侧 且与直线l相切时 如图3所示 设直线l与AB交于点G 与半圆P相切于点R 连接PR 思路分析 发现 1 当PN y轴 且N在AB下方时 点N距x轴最近 易得PN MN 3 点N距x轴的最近距离为9 3 此时 APN 90 求得t 6 所以PA的长为6 2 当t 9时 得到 APN 180 9 15 45 AP 9 1 9 然后求出直线MN与y轴的交点到点A的距离 再与OA的长比较 即可判断MN所在直线经过原点 3 当点P在直线l上时 过点P作PH x轴 垂足为H 用t表示出OC的长 即可求出t的值 然后求出 NPQ与 MPQ的大小 即可得到直线l分半圆P所成两部分的面积比 拓展 设直线l与AB交于点E 与半圆P相切于点T 连接PT 易知PT 3 AE AP PE t 6 过点E作EF x轴 垂足为F 求得OQ 6 3 t 构建方程 求得t的值 即得点P的坐标 探究 设直线l与AB交于点G 与半圆P相切于点R 连接PR 易得PR 3 AG AP PG t 6 过点G作GJ x轴 垂足为J 构建方程 求得t的值 得出结论