山东省2019年中考数学题型专题复习题型6二次函数综合题课件.ppt

题型6二次函数综合题 类型 二次函数中的最值问题 例1 2015 德州 T24 12分 已知抛物线y mx2 4x 2m与x轴交于点A 0 B 0 且 2 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴为l 与y轴的交点为C 顶点为D 点C关于l的对称点为E 是否存在x轴上的点M y轴上的点N 使四边形DNME的周长最小 若存在 请画出图形 保留作图痕迹 并求出周长的最小值 若不存在 请说明理由 3 若点P在抛物线上 点Q在x轴上 当以点D E P Q为顶点的四边形是平行四边形时 求点P的坐标 规范解答 1 由题意 可得 是方程 mx2 4x 2m 0的两根 由根与系数的关系 可得 2 2 1分 2 即 2 解得m 1 2分 故抛物线的解析式为y x2 4x 2 3分 2 存在x轴上的点M y轴上的点N 使得四边形DNME的周长最小 理由 y x2 4x 2 x 2 2 6 抛物线的对称轴l为x 2 顶点D的坐标为 2 6 4分 又 抛物线与y轴交点C的坐标为 0 2 点E与点C关于l对称 点E的坐标为 4 2 作点D关于y轴的对称点D 点E关于x轴的对称点E 5分 则点D 的坐标为 2 6 点E 的坐标为 4 2 连接D E 交x轴于点M 交y轴于点N 此时 四边形DNME的周长最小为D E DE 如图1所示 6分 延长E E D D交于一点F 在Rt D E F中 D F 6 E F 8 则D E 10 7分 连接CE 交对称轴l于点G 在Rt DGE中 DG 4 EG 2 DE 2 四边形DNME的周长最小值为10 8分 3 如图2 P为抛物线上的点 过点P作PH x轴 垂足为H 若以点D E P Q为顶点的四边形为平行四边形 则 PHQ DGE PH DG 4 9分 y 4 当y 4时 x2 4x 2 4 解得x1 2 x2 2 10分 当y 4时 x2 4x 2 4 解得x3 2 x4 2 无法得出以DE为对角线的平行四边形 故点P的坐标为 2 4 或 2 4 或 2 4 或 2 4 12分 满分技法 以二次函数图象为背景探究动点形式的最值问题 要注意以下几点 1 要确定所求三角形或四边形面积最值 可设动点运动的时间t或动点的坐标 2 1 求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高的代数式或函数表达式 2 求四边形面积最值时 常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形 从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段 然后用含t的代数式表示出图形面积 3 用二次函数的性质来求最大值或最小值 满分必练 1 2018 淄博 如图 抛物线y ax2 bx经过 OAB的三个顶点 其中A 1 B 3 O为坐标原点 1 求这条抛物线所对应的函数表达式 解 把点A 1 点B 3 分别代入y ax2 bx 得解得 这条抛物线所对应的函数表达式为y 2 若点P 4 m Q t n 为该抛物线上的两点 且n m 求t的取值范围 3 若C为线段AB上的一个动点 当点A 点B到直线OC的距离之和最大时 求 BOC的大小及点C的坐标 解 由 1 得 抛物线开口向下 对称轴为直线x 当x 时 y随x的增大而减小 当t 4时 n m 由抛物线的对称性可知 当t 时 n m 综上所述 t的取值范围为t 4或t 解 如图 设抛物线交x轴于点F 分别过点A B作AD OC于点D BE OC于点E AC AD BC BE AD BE AC BC AB 当OC AB时 点A 点B到直线OC的距离之和最大 点A 1 点B 3 AOF 60 BOF 30 易求直线AB的函数表达式为y x 2 设直线AB与x轴交于点G 则点G 2 0 OG 2 OA 2 AOG是等边三角形 OAB 60 ABO 30 当OC AB时 BOC 60 FOC 30 设C c c 2 则tan FOC 解得c 点C的坐标为 2 2018 常德 如图 已知二次函数的图象过点O 0 0 A 8 4 与x轴交于另一点B 且对称轴是直线x 3 1 求该二次函数的解析式 2 若M是OB上的一点 作MN AB交OA于点N 当 ANM面积最大时 求点M的坐标 解 抛物线过原点 对称轴是直线x 3 B点坐标为 6 0 设二次函数解析式为y ax x 6 把A 8 4 代入 得a 8 2 4 解得a 二次函数的解析式为y x x 6 即y x2 x 解 设点M的坐标为 t 0 易得直线OA的解析式为y x 设直线AB的解析式为y kx b 把B 6 0 A 8 4 代入 得解得 直线AB的解析式为y 2x 12 MN AB 设直线MN的解析式为y 2x n 把M t 0 代入 得2t n 0 解得n 2t 直线MN的解析式为y 2x 2t 解方程组得 点N的坐标为 S AMN S AOM S NOM 当t 3时 S AMN有最大值3 此时点M的坐标为 3 0 3 P是x轴上的点 过点P作PQ x轴与抛物线交于点Q 过点A作AC x轴于点C 当以点O P Q为顶点的三角形与以点O A C为顶点的三角形相似时 求P点的坐标 解 设点Q的坐标为 m m2 m OPQ ACO 当 PQO COA时 即 PQ 2PO 即 m2 m 2 m 解方程m2 m 2m 得m1 0 舍去 m2 14 此时点P的坐标为 14 0 解方程m2 m 2m 得m1 0 舍去 m2 2 此时点P的坐标为 2 0 当 PQO CAO时 即 PQ PO 即 m2 m m 解方程m2 m m 得m1 0 舍去 m2 8 舍去 解方程m2 m m 得m1 0 舍去 m2 4 此时点P的坐标为 4 0 综上所述 点P的坐标为 14 0 或 2 0 或 4 0 3 2018 定西 如图 已知二次函数y ax2 2x c的图象经过点C 0 3 与x轴分别交于点A 点B 3 0 点P是直线BC上方的抛物线上一动点 1 求二次函数y ax2 2x c的解析式 2 连接PO PC 并把 POC沿y轴翻折 得到四边形POP C 若四边形POP C为菱形 请求出此时点P的坐标 3 当点P运动到什么位置时 四边形ACPB的面积最大 求出此时点P的坐标和四边形ACPB的最大面积 类型 二次函数中的存在性问题 例2 2014 德州 T24 T12分 如图 在平面直角坐标系中 已知点A的坐标是 4 0 并且OA OC 4OB 动点P在过A B C三点的抛物线上 1 求抛物线的解析式 2 是否存在点P 使得 ACP是以AC为直角边的直角三角形 若存在 求出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 说明理由 3 过动点P作PE垂直于y轴于点E 交直线AC于点D 过点D作x轴的垂线 垂足为F 连接EF 当线段EF的长度最短时 求出点P的坐标 满分技法 1 解答二次函数中存在性问题的一般思路 先对结论作出肯定的假设 然后由肯定假设出发 结合已知条件进行正确的计算 推理 若推出矛盾 则否定先前假设 若推出合理的结论 则说明假设正确 由此得出问题的结论 2 对于点的存在性问题 首先要根据条件 运用画图判断存在的可能性 作出合理的猜想 然后再通过方法的选择 在演绎的过程或结论中 作出存在与否的判断 3 对于单个图形形状的存在性判断 先假设图形形状存在 然后根据图形的特殊性来求出存在的条件 即要求的点的坐标 当图形的形状无法确定唯一时 还要注意分类 如等腰三角形的腰与底 直角三角形中直角顶点的位置等 满分必练 4 2018 临沂 如图 在平面直角坐标系中 ACB 90 OC 2OB tan ABC 2 点B的坐标为 1 0 抛物线y x2 bx c经过A B两点 1 求抛物线的解析式 自主解答 在Rt ABC中 由点B的坐标可知OB 1 OC 2OB OC 2 则BC 3 又 tan ABC 2 AC 2BC 6 则点A的坐标为 2 6 2 点P是直线AB上方抛物线上的一点 过点P作PD垂直x轴于点D 交线段AB于点E 使PE DE 求点P的坐标 在直线PD上是否存在点M 使 ABM为直角三角形 若存在 求出符合条件的所有点M的坐标 若不存在 请说明理由 5 2018 岳阳 已知抛物线F y x2 bx c经过坐标原点O 且与x轴另一交点为 0 1 求抛物线F的解析式 2 如图1 直线l y x m m 0 与抛物线F相交于点A x1 y1 和点B x2 y2 点A在第二象限 求y2 y1的值 用含m的式子表示 3 在 2 中 若m 设点A 是点A关于原点O的对称点 如图2 判断 AA B的形状 并说明理由 平面内是否存在点P 使得以点A B A P为顶点的四边形是菱形 若存在 求出点P的坐标 若不存在 请说明理由