《阶动态电路》PPT课件.ppt

第5章一阶动态电路 前面各章所讨论的是电阻电路的分析方法 电阻电路是用代数方程来描述的 实际上 许多实际电路不能仅用电阻电路来描述 在模型中往往不可避免地要包含电容元件和电感元件 这两种元件的伏安关系都要通过电流 电压的微分或积分表达 我们称这种元件为动态元件 电路中至少包含一个动态元件的电路称为动态电路 任何一个电路不是电阻电路便是动态电路 动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关 这与电阻电路完全不同 也就是说动态电路是 有记忆 的 本章将介绍电容元件和电感元件的定义 伏安关系 一阶电路的零输入响应 零状态响应 全响应和一阶电路的三要素法 5 1电容元件及其伏安关系 5 1 1电容元件 电容器是电子设备中常用的元件之一 在调谐 耦合 滤波 脉冲等电路中常用到 它的基本结构是用两块导体做极板 中间隔以电介质 如云母 绝缘纸 电解质等 组成 电容器加上电源后 极板上分别聚集起等量异号电荷 在介质中建立起电场 并储存电场能量 当电源断开后 电荷在一段时间仍继续聚集在极板上 内部电场继续存在 所以电容器是一种能够储存电场能量的元件 在实际电容器中 电容器上电压的变化 引起介质极化程度的变化 使介质有一定的介质损耗 同时介质也不可能完全绝缘 多少还有一些漏电流 质量优良的电容器 其介质损耗和漏电流都很小 可以忽略不计 电容元件就是反映实际电容器这种物理现象的电路模型 这样就可以用一个仅储存电场能量的理想元件即电容元件作为它的模型 电容元件的符号如图5 1 1所示 图5 1 1电容元件的图形符号 电容元件的定义如下 一个二端元件 如果在任一时刻 它的电荷q同它两端电压u之间的关系可以用u q平面上的一条明确的曲线来确定 则此二端元件称为电容元件 式中C是电容元件的参数 称为电容 在国际单位制中 电容的单位为F 法拉 简称法 由于法拉这个单位太大 实际中常用微法 F 与皮法 pF 作为电容的计算单位 1 F 10 6F1pF 10 12F 如果u q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线 如图5 1 2所示 则此电容元件称为线性电容元件 图5 1 2线性电容元件的库伏特性 我们常常将电容元件简称为电容 这样电容既代表一种元件的名称 同时也代表该元件的参数 5 1 2电容元件的伏安关系 电容元件上的伏安关系 即电压与电流的关系 在电路分析中是十分有用的 当电容两端的电压发生变化时 极板上的电荷也发生相应的变化 这时电容所在的电路中就有电荷的定向移动 形成了电流 在图5 1 3中 选定电容上的电压uC与电路电流i的参考方向一致 电容电路中的电流为 图5 1 3电容上电压与电流 式 5 1 2 表明 在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率 而与该时刻的电容电压无关 如果电压不变 那么 虽然有电压 电流也为零 故电容在直流情况下其两端电压恒定 相当于开路 或者说电容有隔断直流 简称隔直 的作用 电容电压变化越快 即越大 电流也越大 该公式是分析线性电容的基本公式 它是以电容电压与电流的参考方向一致为前提的 若电压与电流的参考方向不一致 则 假定时间的起始时刻为 并且此时电容无电荷存储 由式 5 1 2 可得表达式为 表明电容的电压与以前所有时刻流过电容的电流有关 时刻t0以后电容上电压与电流关系为 例5 1 1如图5 1 4 a 所示 电容与一电流源相接 电流源的波形如图5 1 4 b 所示 试求电容电压 设u 0 0 图5 1 4例5 1 1的图 图5 1 5电压波形图 5 1 3电容元件的储能 1 瞬时功率 若电压和电流都是随时间变化的 则算得的功率也是随时间变化的 则称每一瞬间的功率为瞬时功率 用符号p表示 当电容电压与电流的参考方向一致时 则 当电容的功率为正值时 说明电容吸收功率或消耗功率 当电容的功率为负值时 说明电容提供或放出功率 2 电容的储能 电容元件所存储的能量为它从 到t时刻所吸收的能量 电容元件吸收的能量以电场能的形式储存在元件中 若认为t 时 u 0 电容元件在任何时刻t储存的电场能量WC t 将等于它吸收的能量 可写为 此式表明电容的能量总为正 但有时增加 有时减少 电场能量的单位为焦耳 以J表示 设时间从t1到t2对电容C充电 电容电压为u t 电流为i t 则在此期间电容元件吸收的能量为 由式 5 1 5 可知 在t1到t2期间电容储存或释放的能量只与t1 t2时刻的电压值有关 而与此期间内的其他电压值无关 电容元件充电时 u t2 u t1 WC t2 WC t1 故在此时间内元件吸收能量 电容元件放电时 WC t2 WC t1 元件释放能量 若元件原来没有充电 则在充电时吸收并储存起来的能量一定又在放电完毕时全部释放 它不消耗能量 所以 电容元件是一种储能元件 同时 由公式可知WC t 0 电容元件不会释放出多于它吸收或储存的能量 所以它又是一种无源元件 5 1 4电容的串联和并联 为了满足所需要的电容量和工作电压 常常将不同容量和不同额定电压的电容组合起来使用 1 电容的并联 图5 1 6所示为3个电容元件的并联情况 即所有电容处在同一电压U之下 各电容极板上的电量为 图5 1 6电容的并联 电源供给极板上的总电量为 根据等效条件 如果有一电容在同样电压之下 所充电量为 那么此电容为3个并联电容的等效电容 即 几个电容并联时其等效电容等于各个电容之和 电容并联时相当于极板面积的增大 所以增大了电容 因为并联使用的电容 它们的工作电压相等 所以外加的工作电压应该等于其中耐压最小的工作电压 2 电容的串联 图5 1 7所示为3个电容相串联的情况 因为只有最外面两块极板与电源连接 电源对这两极板充以相等的异号电荷 中间极板上因静电感应也出现等量异号电荷 图5 1 7电容的串联 根据KVL 而每个电容上的电压为故 根据等效条件 等效电容上的电压为所以得 即电容串联时的等效电容的倒数等于各电容倒数之和 电容串联时 其等效电容比每一个电容都小 因为电容串联时相当于加大了极板间的距离 从而减少了电容 当每个电容的额定电压小于外加电压时 可将电容串联使用 电容串联使用时 由每个电容上的电压可推出 电容串联时 各电容的电压与电容成反比 即电容小的所承受的电压高些 这一点在工作中应该特别注意 在工作实践中为了获得所需要的电容和耐压 常常采用既有并联 又有串联的混联接法 例5 1 2有两只电容器 耐压分别为450V及250V 求 1 并联使用时的等效电容及工作电压 2 串联使用时的等效电容及允许的端电压 例5 1 33只电容器连接如图5 1 8所示 其中 它们的耐压都是50V 求 1 等效电容 2 它们总的端电压u不能超过多少 图5 1 8例5 1 3的图 5 2电感元件 5 2 1电感元件 电感元件是实际电感器的理想模型 将一根导线绕成线圈 当线圈内的电流发生变化时 就会引起其磁通量的变化 使线圈周围建立磁场 储存磁场能量 若磁通与线圈匝相交链时 形成磁链 图5 2 1所示为一个线圈 其中的电流i产生的磁通 与N匝线圈交链 则磁链为 N 图5 2 1电感线圈 不考虑其他作用 只体现能够建立磁场 储存磁能这一物理特性的电路模型就是电路理论中的电感元件 简称为电感 定义 一个二端元件 如果在任一时刻 它的电流i同它的磁通链之间的关系可以用平面上的一条曲线来确定 则此二端元件称为电感元件 电流i同电感磁链 的关系为 式中 L是电感元件的参数 称为电感 电感的单位为H 亨利 简称亨 在电子技术中 常采用较小的单位 如mH 毫亨 和 H 微亨 图5 2 2电感元件的符号 图5 2 3线性电感元件的韦安特性 图5 2 4实际电感器模型 5 2 2电感元件的伏安特性 电感元件虽然是根据 i关系来定义的 但在电路分析中常常使用其伏安特性 如果通过电感的电流随时间变化 磁链也相应地跟随变化 根据电磁感应定律 线圈两端产生感应电压 如果通过电感的电流不变化 磁链也不发生变化 虽有电流却没有电压 当电压与磁链参考方向符合右手螺旋法则时 则 将式 5 2 2 代入式 5 2 1 可得电感上电压 电流符合关联参考方向 式 5 2 3 表明 在某一时刻电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率 而与该时刻的电感电流无关 如果电流不变 那么 虽然有电流 电压也为零 故电感在直流情况下其两端电压为零 相当于短路 或者说电感有通直流的作用 电感电流变化越快 即越大 电感电压也越大 该公式是分析线性电感的基本公式 它是以电感电压与电流的参考方向一致为前提的 若电感电压 电流是非关联参考方向 则关系式前要加负号 即 对式 5 2 3 积分 则电感电流i可表示为电压u的函数 即 表明 某一时刻t的电感电压不仅取决于该时刻的电压值 还取决于t之前 从 到t的所有时间里的电压值 因此 电感电流能记忆电压的历史 电感元件也是个记忆元件 5 2 3电感的储能 当电感电流 电压为关联参考方向时 任一时刻电感吸收的瞬时功率为 其中p t 表示瞬时功率 当p 0时 电感吸收能量 当p 0时 电感释放能量 从t 到t时刻 电感吸收的磁场能量为 由于t 时 i 0 所以 上式表明 当线圈通有电流时 线圈中就要储存磁场能量 通过线圈的电流越大 储存的能量也越多 通电线圈从外界吸收能量 在通有相同电流的线圈中 电感越大的线圈 储存的能量越多 因此 线圈的电感就反映它储存磁场能量的能力 从时间t0到t1 线性电感元件吸收的磁场能量为 电感元件不消耗能量 所以说电感元件仅是储能元件 它也不会释放出多于所吸收或储存的能量 是一种无源元件 5 2 4电感元件的串联 并联 1 电感的串联 若有几个电感串联 如图5 2 5所示 根据KVL 总电压为 其中 为等效电感 是各串联电感的总和 图5 2 5电感元件的串联 2 电感的并联 若有几个电感并联 如图5 2 6所示 根据KCL 总电流为 图5 2 6电感元件的并联 其中 为等效电路电感的初始电流 是各并联电感初始电流的代数和 其中 Lp为等效电路的等效电感 其倒数为各并联电感倒数的总和 一个实际的电感线圈 除了标明它的电感量以外 还应标明它的额定工作电流 在使用中 如果电流过大 会使电感线圈过热而发生变形 甚至烧毁线圈 5 3动态电路的基本概念 5 3 1概念 电容元件和电感元件其电压和电流的约束关系是通过导数 或积分 表达的 当电路中含电容和电感时 根据KVL和KCL以及元件的VCR建立的电路方程是以电流和电压为变量的微分方程或微分 积分方程 这显然与电阻的情况不同 电阻电路的电路方程是代数方程 仅含有一个电容或一个电感的电路 当电路的无源元件都是线性时不变时 电路方程将是一阶线性常微分方程 用一阶微分方程来描述的电路称为一阶动态电路 一阶电路的分解及等效 一阶动态电路可看成由两个单口网络组成 一个包含所有的电源及电阻元件 组成含源电阻网络 另一个则只含有一个动态元件 如图5 3 1 a 所示 例如 一种方法 利用戴维南定理将含源电阻网络化简为电压源与电阻串联 如图5 3 1 b 所示 另一种方法 利用诺顿定理将含源电阻网络化简为电流源与电阻并联的形式 如图5 3 1 c 所示 图5 3 1一阶电路的分解及等效 在自然界中 各种事物的运动过程通常都存在稳定状态 稳态 和过渡过程 例如 有一个含有两条支路的电路 第1条支路由一电阻箱和灯泡组成 另一条支路由一个线圈和灯泡组成 当接通电源后 含有电阻支路中的灯泡瞬间就亮 但含有线圈支路的灯泡经过一定的时间逐渐由暗变亮 这就是说不含有动态元件的电路无过渡过程 含有动态元件的电路在接通直流电源时有过渡过程 一般说来 电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程 在过渡过程中电路中的电压 电流处于暂时的不稳定状态 因此过渡过程又称为瞬态过程 简称瞬态 研究电路中的过渡过程是有实际意义的 例如 有些电路利用电容器充电和放电的过渡过程来完成一些特定的任务 像积分电路 微分电路 多谐振荡器等 另一方面 在电力系统中 由于过渡过程的出现将会引起过电压和过电流 若不采取一定的保护措施 就可能损坏电气设备 因此 我们要对动态电路的过渡过程进行研究 以便掌握其规律 引起电路过渡过程的原因有两个 即外因和内因 电路的接通或断开 电源的变化 电路参数的变化 电路的改接等都是外因 只有外因还不一定能引起电路的过渡过程 还必须有内因 内因是什么呢 即电路中必须含有储能元件 或称动态元件 5 3 2换路定律 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 换路 换路可能使电路改变原来的工作状态 转变到另一个工作状态 我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律 知道了电压 电流的初始值 就能掌握换路后电压 电流是从多大的初始值开始变化的 一般认为换路是在t 0时刻进行的 把换路前的最终时刻记为t 0 把换路后的最初时刻记为t 0 换路经历的时间为0 到0 当电路发生换路时 由于动态元件的存在 动态电路由原工作状态转变到新工作状态往往需要经历一个过程 在工程上称为过渡过程 分析动态电路的过渡过程的方法之一是 根据KCL KVL和支路的VCR建立描述电路的方程 建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程 然后求解常微分方程 从而解出电路变量 电压或电流 它们都是时间的函数 能够完整表达过渡过程的变化规律 此方法称为经典法 它是一种在时间域中进行分析的方法 求解常微分方程时 必须给出电路的初始条件 从而确定解答中的积分常数 设描述电路动态过程的微分方程为N阶 则需由初始条件确定电路中所求变量 电压或电流 及其 n 1 阶导数在t 0 时的值 称为初始值 1 具有电容的电路 对于线性电容 在任意时刻t 其电压与电流的关系为 令t0 0 t 0 则 如果在换路前后 即0 到0 的瞬间 流入 或流出 电容的电流iC t 为有限值 则上式中右边的积分项将为零 此时电容上的电荷和电压应当保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变 即 如果电容上电压uC可以跃变 即t 0时 uc由0突变为US 那么电路中的电流 这与电路电流为有限值相矛盾 另外 从能量的观点来看 当开关合上之前 电容的电场中储能为零 开关合上的瞬间 若uC跃变 电场能量就要跃变 则电路中的瞬时功率p 也就是说在电路接通的瞬间 需要电源供给电路无穷大的功率 对实际电源来讲这是不可能的 所以RC串联电路接通电源的瞬间 电容上的电压不能跃变 在t 0 时刻 若电容电压为U0 其电压在换路瞬间不发生跃变 因此uC 0 uC 0 U0 可见在换路后的瞬间 电容可视为一个电压值为U0的电压源 对于在t 0 时刻不带电压 即未充电 的电容来说 其电压在换路瞬间不发生跃变的情况下 uC 0 uC 0 0 在换路后瞬间电容相当于短路 2 具有电感的电路 对于线性电感来说 在任意时刻t 其电流与电压的关系为 令t0 0 t 0 则 如果t从0 到0 的瞬间 电感电压uL t 为有限值 式中右方的积分项将为零 此时电感中的电流不发生跃变 即 如果电流可以跃变 即dt 0时 若di 0 则电感上电压 这与电源电压为有限值是矛盾的 另外 从能量的观点来看 当开关合上时 电感中电流为零 磁场能量也为零 当开关合上的瞬间 若电流跃变 磁场能量就跃变 则电路中的瞬间功率 这就是说 在电路接通的瞬间 需要电源供给电路无穷大的功率 对任何实际电源来说 这是不可能的 所以 RL串联电路接通电源瞬间 电流不能跃变 在t 0 时电流为I0的电感 其电流在换路瞬间不发生跃变 因此iL 0 iL 0 I0 此电感在换路后瞬间可视为一个电流值为I0的电流源 对于t 0 时电流为零的电感 在换路瞬间不发生跃变的情况下 iL 0 iL 0 0 此电感在换路后瞬间相当于开路 在换路前后电容流过的电流和电感两端的电压为有限值的条件下 换路瞬间电容电压和电感电流不能跃变 即这个规律被称为换路定律 注意 1 换路定律仅表明当电路发生换路时 iL uC将保持换路前一瞬间的数值 但随着时间的推移 它们将会从这个数值逐渐向新的稳态值变化 2 换路定律只对iL和uC具有约束作用 电路中其他电压 电流不受换路定律的约束 因此可以发生跃变 5 3 3初始值的计算 由于基尔霍夫电流和电压定律是反映电路中互连的规律 只与元件的连接方式有关 而与构成电路元件性质无关 故对动态电路仍适用 R L C3种元件的电压与电流关系式则要用基本关系式 若电路是线性的 叠加定理也适用 只由电阻和电源组成的部分 可以用戴维南等效电路或诺顿等效电路来代替 换路后瞬间电容电压 电感电流的初始值 用uC 0 和iL 0 来表示 它是利用换路前瞬间t 0 电路确定uC 0 和iL 0 再由换路定律得到uC 0 和iL 0 的值 uC 0 和iL 0 可以确定电路的初始状态 因此称uC 0 和iL 0 为独立的初始条件 其余电路变量在t 0 时刻的值 称为非独立的初始条件 该电路的非独立初始条件 即电阻的电压或电流 电容电流 电感电压等则需要通过已知的独立初始条件求得 若电路中的激励全部为直流 发生换路前t 0 时刻 电路处于稳定状态 各支路电压 电流对时间的变化率为零 根据两种元件的VCR可知iC 0 0 uL 0 0 因此 计算uC 0 和iL 0 的值时 可将换路前电路中的电容开路而电感短路 则uC 0 即为原电容位置的开路电压 iL 0 为原电感位置的短路电流 例5 3 1在图5 3 2 a 所示的电路中 开关S在t 0时闭合 开关闭合前电路已处于稳定状态 试求初始值uC 0 iL 0 i1 0 i2 0 ic 0 和uL 0 解 1 电路在t 0时发生换路 欲求各电压 电流的初始值 应先求uC 0 和iL 0 通过换路前稳定状态下t 0 电路可求得uC 0 和iL 0 在直流稳态电路中 uC不再变化 duC dt 0 故iC 0 即电容器C相当于开路 同理 iL也不再变化 diL dt 0 故uL 0 即电感器L相当于短路 所以t 0 时刻的等效电路如图5 3 2 b 所示 由该图可知 图5 3 2例5 3 1图 例5 3 2电路如图5 3 3 a 所示 开关S闭合前电路无储能 开关S在t 0时闭合 试求i1 i2 i3 uC uL的初始值 图5 3 3例5 3 2图 通过以上例题 可以归纳出求初始值的一般步骤如下 1 根据t 0 时的等效电路 求出uC 0 及iL 0 2 作出t 0 时的等效电路 并在图上标出各待求量 3 由t 0 等效电路 求出各待求量的初始值 例5 3 3直流电源的电压US 100V R2 100 开关S原先合在位置1 电路处于稳态 试求S由位置1合到位置2的瞬间 电路中电阻R1 R2上及电容C上的电压和电流的初始值 例5 3 4如图5 3 5所示电路 设已知US 10V R1 6 R2 4 2mH 求当开关S闭合后t 0 时各电流及电感电压的数值 开关S闭合前电路处于稳态 图5 3 4例5 3 3图 图5 3 5例5 3 4图 5 4一阶电路的零输入响应 电路中含有一个独立的动态元件 L或C 描述电路性状的方程称为一阶微分方程 这种电路叫一阶动态电路 简称一阶电路 没有外加电源 由电容元件和电感元件储存的能量激励电路产生的响应称为零输入响应 零输入响应依靠动态元件的初始储能进行 当电路中存在着耗能元件R时 有限的初始储能最终将被消耗殆尽 零输入响应终将为零 即零输入响应是一个放电过程 5 4 1RC电路的零输入响应 RC电路如图5 4 1所示 开关S闭合前 电容器C已充电 其电压uC U0 现把开关动作时刻取为计时起点 t 0 图5 4 1RC零输入响应电路 换路瞬间 由于电容电压不能跃变 所以此时电容器两端仍具有初始电压 即 因此在换路瞬间 电流将由0跃变U0 R 随后电容储存的电荷通过电阻放电 电容电压逐渐减少 最后为零 放电电流也相应地从U0 R逐渐下降为零 在这个过程中电容储存的电场能量逐渐为电阻消耗 转化为热能 此时 电容器初始状态并非为零 具有U0初始电压 这叫做非零初始状态 当开关闭合后 即t 0时 根据KVL可得 将电阻元件 电容元件的伏安关系式 代入上述方程 则得微分方程 这是一阶常系数线性齐次微分方程 由高等数学可知 此方程的通解为 代入式 5 4 1 后有相应的特征方程为 特征根为因此再由初始值确定待定系数A 将初始条件uC 0 U0代入上式 uC 0 Ae0 U0 则A U0 由此 我们得到了满足初始条件的微分方程的解 即RC电路的零输入响应为 这就是电容对电阻放电过程中电容电压uC的表达式 电路中的放电电流 电阻两端的电压 从以上表达式可以看出 电压uC uR及电流i都是按照同样的指数规律衰减的 它们衰减的快慢取决于指数中RC的大小 当电阻的单位为 电容的单位为F时 乘积RC的单位为s 称为RC电路的时间常数 用 表示 RC 引入 后 电容电压uC和电流i可以分别表示为 图5 4 2所示为电压uC和电流i随时间变化的曲线 图5 4 2一阶RC电路零输入响应曲线 电压 电流衰减的快慢取决于时间常数的大小 越大 衰减越慢 反之则越快 越大 说明R或C越大 从物理概念上讲 如C一定 电阻R愈大 则放电电流的起始值就愈小 放电所需时间长 放电速度慢 如R一定 则放电电流的起始值一定 C愈大 电容起始储存的电荷愈多 放电需要的时间就愈长 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度 它是反映过渡过程特性的一个重要的量 理论上 按照指数规律 需要经过无限长的时间过渡过程才能结束 但当t 3 5 时 电容上的电压已达 0 0498 0 00674 U0 见表5 4 1 通常认为电容器放电基本结束 电路进入稳定状态 例5 4 1在图5 4 4所示的电路中 C 0 5 F R1 100 R2 50k Us 100V 当电容器充电至200V后 将开关K由接点1转向接点2 求初始电流 时间常数和电容电压 图5 4 3不同时间常数时uC的变化曲线 图5 4 4例5 4 1图 例5 4 2在图5 4 5 a 所示电路中 当t 0时电路已处于稳态 在t 0时打开开关K 求打开开关K后的电流i t 图5 4 5例5 4 2的电路 5 4 2RL电路的零输入响应 在RL电路中 没有外部激励源作用只是由电感初始储能引起的响应 称为RL电路的零输入响应 图5 4 6 a 所示电路 开关未动作之前电路处于稳定状态 t 0时开关由1倒向2 构成RL回路 等效电路如图5 4 6 b 所示 图5 4 6零输入响应电路 在开关K换路前 电路处于稳定状态 电感相当于短路 流过的电流为 由换路定律i 0 i 0 I0换路瞬间电感中储存的能量为 回路中的电流不能立即降为零 而是在R L构成的电路中继续流动 由于电阻器R是耗能元件 它不断地吸收能量 电感中的储能不断减少 电流将逐渐衰减 最后变到零 过渡过程也随之结束 这就是通常所说的电感的 放电 过程 图5 4 7RL电路电流 电压波形图 iL t uL t 的波形都是按指数规律从最大值开始衰减的 衰减的快慢同样取决于时间常数 在相同的初始电流条件下 L越大 存储的磁场能量越多 电阻消耗磁场能量的时间就越长 电阻越大 在同样的电流下 电阻消耗的能量越大 磁场能量释放的越快 在工程上一般认为当时间经过 3 5 后 过渡过程就已结束 例5 4 3如图5 4 8所示电路 t 0时开关K由1 2 开关动作前电路已处于稳态 求t 0时电感电压和电流 图5 4 8例5 4 3图 5 4 3零输入响应的一般形式 对上述RC电路和RL电路的零输入响应分析可以看出 对任意时间常数为非零有限值的一阶动态电路 不仅电容电压 电感电流而且所有的电压 电流的零输入响应 都是从它的初始值开始按指数规律衰减到零的 并且同一电路中所有电压 电流的时间常数相同 若以f t 表示电压或电流 f 0 表示电压或电流的初始值 用 表示时间常数 则式 5 4 2 式 5 4 4 可统一记为 对于RC电路 RC 对于RL电路 L R R为从动态元件两端看进去的等效电阻 由此可见 只要计算出一阶电路的初始值f 0 时间常数 便可直接写出表达式 电容电压或电感电流非零初始值也是一种激励 该激励产生相应的响应 其有别于独立电源激励产生的响应 时间常数 愈小 衰减愈快 式 5 4 6 的零输入响应形式不仅适用于状态变量 也适用于非状态变量 零输入响应线性 初始值增加K倍 零输入响应也增加K倍 反映一阶电路特性的时间常数是特征根 亦即固有频率倒数的相反数 在电路理论中 固有频率用来表征电路的固有性质 固有频率是负实数 表明响应总是按指数规律衰减的 例5 4 4在图5 4 9中 K是电阻 250 的继电器 吸合时 其电感L 25H R1 230 US 24V 设这种继电器的释放电流为 问当K闭合后多少时间继电器开始释放 图5 4 9例5 4 4图 5 5一阶电路的零状态响应 零状态响应就是电路在零初始状态 即动态元件初始储能为零的情况下由外施激励引起的响应 零状态响应是储能从无到有的建立过程 充电过程 5 5 1RC电路的零状态响应 在图5 5 1中 当开关K刚合上时 电容器上还没有电荷 它的电压uC 0 此时uR US 电路里的起始电流I0为最大 随着充电过程的发展 电路里有了电流 电容器极板上就开始积累电荷 电容器上的电压uC就随时间逐渐上升 由于 因此随着uC的升高 电阻两端电压uR就不断减小 根据欧姆定律可知 充电电流也随着变小 充电过程延续到一定时间以后 uC增加到趋近于电源电压US 则充电电流趋近于零 充电过程基本结束 由于电容器两端电压与电容电流的关系为 将上式代入中 得 一阶线性常系数非齐次微分方程 解的形式由两部分组成 为对应非齐次微分方程的特解 为对应齐次微分方程的通解 对应齐次微分方程与 5 4 1 式相同 其通解为式中 为时间常数 RC 由于电路的激励是直流电源 非齐次微分方程的特解应与输入的激励函数式相同 即 微分方程的解为 代入初始条件得A US 于是解出电容电压为 根据电容的伏安关系将上式代入中 得 其中US R C在具体电路中是常数 图5 5 2所示为零输入响应随时间变化的过程曲线 图5 5 1RC电路的零状态响应 图5 5 2 理论上 按照指数规律 需要经过无限长的时间充电过程才能结束 但当t 3 5 时 电容上的电压已达 0 95 0 99 US 见表5 5 1 通常认为电容器充电基本结束 电路进入稳定状态 从上表中可以看出 当t 时 充电电流恰好减小到其初始值的37 因此时间常数 是过渡过程已经变化了总变化量的63 余下37 所经过的时间 固有频率 从以上式子可以得出 电压 电流是随时间按同一指数规律变化的函数 电容电压由两部分构成 稳态分量 强制分量 暂态分量 自由分量 电容电压和电流随时间变化的曲线如图5 5 3所示 响应与外加激励成线性关系 图5 5 3电容电压和电流随时间变化的曲线 能量关系 在充电过程中电容储存的能量为 电阻消耗的总能量为 该能量与R的大小无关 在充电过程中电阻所消耗的总能量与电容最后所储存的能量是相等的 电源提供的能量为 例5 5 1在图5 5 1所示的电路中 已知US 100V R 1M C 50 F 问当K闭合后经过多少时间电流减小到其初始值的一半 5 5 2RL电路零状态响应 在图5 5 4所示的RL串联电路中 K刚刚闭合时 由于电感电流不能跃变 所以在t 0 时电路中的电流仍然为零 电感相当于开路 电阻上没有电压 这时电路的方程为uR uL US 即 电感两端的电压uL必然等于电源电压US 图5 5 4R L串联电路 随着电流的逐渐上升 电阻电压也逐渐增大 电感上的电压逐渐减小 电流的变化率也在逐渐减小 并且越来越慢 当时间t 后 电流不再变化 电感电压几乎为零 电感如同短路一样 电路中电流 由KVL方程 由RC电路零状态响应的求解步骤得 由此方程看出 RL电路的零状态响应是由零值开始按指数规律变化的 直到稳态值 式中 称为RL电路的时间常数 充电时电感电压与电流的波形图如图5 5 5所示 图5 5 5充电时电感电压与电流的波形图 事实上 对于一阶电路在直流电源作用下的零状态响应 无论是RC电路还是RL电路 其物理过程的实质都是电路中储能元件的储能从无到有逐渐增长的过程 对于RC电路来说 电容电压uC从零开始按指数规律上升到它的稳态值uC 对于RL电路来说 电感电流iL从零开始按指数规律上升到它的稳态值iL 它们具有相同的变化形式 时间常数 分别为RC和 当电路达到稳态时 电容相当于开路 电感相当于短路 所以零状态响应的一般形式为 由此可见 无论RC电路还是RL电路只要确定稳态值f 时间常数 就可以确定电路在零初始状态下 仅由外加激励作用所产生的响应 例5 5 2电路如图5 5 6所示 K闭合前电路处于稳定状态 t 0时 开关K闭合 求t 0时的iL t uL t 图5 5 6例5 5 2的图 例5 5 3图5 5 7 a 所示电路中的开关S打开已久 t 0时将开关S闭合 已知iL 0 0A 求t 0时的电流i 图5 5 7例5 5 3的图 5 5 3RC串联电路充放电过程的应用 在电子技术中 常利用RC串联电路的充放电过程来实现微分电路和积分电路 1 微分电路 图5 5 8所示为一种简单的微分电路 由电容和电阻串联后的两端A B作为输入端 电阻R的两端C D作为输出端 B和D实际为一点 图5 5 8微分电路 这样的电路 为什么叫微分电路呢 我们看一看输出电压与输入电压的关系 选择电流和电压的参考方向如图中所示 输出电压输入电压 在电容uc电压远大于电阻R上电压u2期间 即uc u2时 就有 所以这样输出电压u2与输入电压u1之间就有微分关系 图5 5 9微分电路的工作过程 2 积分电路 图5 5 10所示为电阻器电容器组成的积分电路 它的输出电压u2与输入电压u1之间存在积分关系 图5 5 10积分电路 积分电路的条件是 1 时间常数 a 2 从电容两端输出 在脉冲电路中 常应用积分电路将矩形脉冲换成近似三角形 如图5 5 11所示 图5 5 11将矩形脉冲换成近似三角形 5 6一阶电路的全响应 一阶电路换路后由外加激励和初始储能共同作用引起的响应 称为一阶电路的全响应 图5 6 1所示电路为已充电的电容经过电阻接到直流电压源US上 设电容原有电压为U0 在t 0时刻 开关闭合 图5 6 1RC电路的全响应 根据KVL及元件VCR 可列出电路方程为 解这个初始值不为零的非齐次微分方程 可得电路的全响应为齐次解 特解 即 解的形式由两部分组成 为对应非齐次微分方程的特解 为对应齐次微分方程的通解 式中 为时间常数 RC 由于电路的激励是直流电源 非齐次微分方程的特解应与输入的激励函数式相同 即 微分方程的解为代入初始条件得于是 解出电容电压为 根据电容的伏安关系uC响应曲线如图5 6 2所示 图5 6 2uC响应曲线 暂态响应是由于电路本身的性质决定的 其变化规律取决于特征根 电源激励仅会影响其大小 而不会改变其变化规律 因此也称其为全响应的固有分量 图5 6 3所示曲线说明了一阶电路全响应各分量之间的关系 RL电路的全响应有同样的结论 图5 6 3一阶电路全响应各分量 一阶电路的全响应的表达式也可改写为 同时 由表达式可知 全响应为零输入响应与零状态响应的叠加 这是由线性电路的性质所决定的 则一阶电路全响应表达式为 例5 6 1如图5 6 4 a 所示电路 开关K闭合前电路已处于稳态 t 0时K闭合 试求uC t t 0 图5 6 4例5 6 1的图 例5 6 2如图5 6 6 a 所示电路 当t 0时 电路已处于稳态 t 0时K1打开 K2合上 求 t 0时的iL t 和u t 并画出波形图 图5 6 6例5 6 2电路 5 7一阶电路的三要素法 以上两个方程均为一阶微分方程 分析一阶电路动态 就是求出微分方程的特解 稳态分量 和对应齐次微分方程的通解 暂态分量 通过前面几节的讨论 我们看出 一阶动态电路的过程通常是 电路变量由初始值开始逐渐增长或逐渐衰减到新的稳态值 并且是按照指数规律逐渐趋向于新的稳态值 同一电路中各支路电压 电流的时间常数都是相同的 它们的变化波形可以概括在如下4种方式中 如图5 7 1所示 图5 7 1一阶电路响应波形图 图中 表示电压或电流的初始值 f 表示电压或电流的新的稳态值 表示电路的时间常数 表示电路中待求的电压或电流 因此 对于一阶动态电路的分析 不论电路结构如何 也不论电路属于哪一种响应 只要掌握式 5 7 1 就掌握了一阶动态电路的分析和计算 其中f 0 f 称为三要素 这种由计算3个量直接求得动态电路响应的方法称为三要素法 称为三要素公式 三要素法求解步骤如下 1 确定初始值f 0 2 确定稳态值f 3 求时间常数 4 写出所求变量的函数表达式 例5 7 1如图5 7 2 a 所示电路 已知t 0时电路已处于稳态 时开关打开 求t 0时的uC t 和iC t 图5 7 2例5 7 1图 例5 7 2如图5 7 3 a 所示电路 t 0时开关由a投向b 试绘出i t 和il t 的波形图 并写出解析式 假定换路前 电路已处于稳态 图5 7 3例5 7 2图 例5 7 3在5 7 5 a 所示电路中 已知iS 10A R1 1 R2 2 C 1F uC 0 2V g 0 25S 求t 0时的电流i1和iC 图5 7 4i及iL的波形图 图5 7 5例5 7 3图